Školska godina 2014/2015

Diskretna matematika

dr Tatjana Aleksić Lampert

3. TEORIJA GRAFOVA

Definicija 1.

Graf 𝐺 je uređen par (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)), gde je 𝑉(𝐺) konačan

neprazan skup elemenata koji se zovu čvorovi, a 𝐸(𝐺) je

konačan skup različitih neuređenih parova različitih

elemenata skupa 𝑉(𝐺) koji se zovu grane.

Graf 𝐺 se može geometrijski predstaviti crtežom u ravni.

Čvorovi grafa se predstavljaju tačkama ravni, a grane grafa

linijama koje povezuju odgovarajuće čvorove.

Grafovi

𝑉 𝐺 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4}

𝐸(𝐺) = {{𝑣1, 𝑣2}, {𝑣1, 𝑣3}, {𝑣2, 𝑣3}, {𝑣3, 𝑣4}}

Slika 1.

𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺))

Grafovi

Ako u definiciji 1 izostavimo ograničenje da grane moraju biti

različite tada se odgovarajući matematički objekat zove

multigraf (slika 2). Dve ili više grana koje spajaju isti par

čvorova zovu se višestruke grane.

Ako u definiciji 1 takođe izostavimo ograničenje da grane

moraju da spajaju različite čvorove i dopustimo mogućnost

postojanja petlji, tada se odgovarajući matematički objekat

naziva pseudograf (slika 3).

Grafovi

Grafovi - multigraf

Slika 2.

𝑉 𝐺 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4}

𝐸 𝐺 = {{𝑣1, 𝑣2}, {𝑣1, 𝑣3}, {𝑣1, 𝑣3}, {𝑣2, 𝑣3}, {𝑣2, 𝑣3}, {𝑣2, 𝑣3}, {𝑣3, 𝑣4}}

𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺))

Grafovi - pseudograf

𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺))

Slika 3.

𝑉 𝐺 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4}

𝐸 𝐺 = {{𝑣1, 𝑣2}, {𝑣1, 𝑣3}, {𝑣1, 𝑣3}, {𝑣2, 𝑣2}, {𝑣2, 𝑣2}, {𝑣2, 𝑣3}, {𝑣2, 𝑣3},{𝑣2, 𝑣3}, {𝑣3, 𝑣4}, {𝑣4, 𝑣4}}

Stepen čvora 𝑣, u oznaci 𝑑(𝑣), jednak je broju grana koje su sa

čvorom 𝑣 incidentne.

Za graf 𝐺 sa slike 1. je 𝑑 𝑣1 = 𝑑 𝑣2 = 2 , 𝑑 𝑣3 = 3 i𝑑(𝑣4) = 1.

Teorema Neka je 𝐺 graf sa 𝑛 čvorova i 𝑚 grana. Tada važi

𝑑1 + 𝑑2 +⋯+ 𝑑𝑛 = 2𝑚.

Zadatak 1. Da li postoji prost graf (neorijentisan, bez

višestrukih grana i petlji) u kome svaka dva čvora imaju

različit stepen?

Grafovi

Ako su svi čvorovi grafa 𝐺 stepena 𝑟, tada se 𝐺 zove regularan

graf stepena 𝑟.

Ako je 𝐺 regularan graf sa 𝑛 čvorova stepena 𝑟 = 𝑛 − 1 (tj.

svaka dva čvora u njemu su susedna) onda se kaže da je 𝐺kompletan (potpun) graf. Tada je broj čvorova grafa 𝐺 jednak

𝑚 =𝑛2

=𝑛(𝑛−1)

2.

Posebno su interesantni regularni grafovi stepena dva. Oni se

nazivaju konture. Oznaka za konturu sa 𝑛 čvorova je 𝐶𝑛. Na

slici 4 prikazane su konture 𝐶3, 𝐶4, 𝐶5, 𝐶6 i 𝐶7.

Specijalni grafovi

Grafovi

Zadatak 2. Da li postoji regularan graf neparnog stepena

sa neparnim brojem čvorova?

Slika 4.

Grafovi

Definicija Graf 𝐺 je povezan ako se svaka dva njegova čvora

mogu povezati putem. Ako postoje čvorovi koji se ne mogu

povezati putem, graf je nepovezan.

Graf 𝐺1 je povezan, a graf 𝐺2 nepovezan. Graf 𝐺2 ima šest

komponenti povezanosti.

Slika 5.

Povezanost grafa

Zadatak 3. Neka je 𝐺 prost graf sa 𝑛 (𝑛 > 2) čvorova i neka

najmanji stepen čvora u grafu 𝐺 nije manji od𝑛−1

2. Dokazati da

je graf 𝐺 povezan.

Zadatak 4. Ako u prostom grafu 𝐺 sa 𝑛 (𝑛 > 2) čvorova za broj

grana važi 𝑚 >𝑛 − 12

dokazati da je graf 𝐺 povezan.

Definicija Dva grafa 𝐺1 = (𝑉1, 𝐸1) i 𝐺2 = (𝑉2, 𝐸2) su

izomorfna (oznaka 𝐺1 ≅ 𝐺2) ako postoji bijekcija 𝑓: 𝑉1 → 𝑉2koja održava osobinu susednosti čvorova, tj.

(∀ 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉1)(𝑣𝑤 ∈ 𝐸1 ⇔ 𝑓 𝑣 𝑓 𝑤 ∈ 𝐸2) .

Iz same definicije je očigledno da su izomorfni grafovi, u

stvari, isti grafovi, ali različito predstavljeni odnosno nacrtani.

Zbog toga je značajno pitanje kako se može prepoznati graf,

tj. kako se može utvrditi da li su dva grafa izomorfna. Problem

izomorfizma grafova je izuzetno težak i do danas nije poznat

odgovarajući algoritam bitno različit od neposrednog

proveravanja.

Izomorfizam grafova

Izomorfizam grafova

Slika 6.

𝐺1 ≅ 𝐺2: 𝑓 =𝑣1 𝑣2𝑣1′ 𝑣2

′⋯…

𝑣6𝑣6′

Definicija Komplement 𝐺 grafa 𝐺 je je graf koji ima iste

čvorove kao graf 𝐺, pri čemu su dva čvora susedna u 𝐺 ako i

samo ako ti čvorovi nisu susedni u 𝐺.

𝐺 𝐺

Teorema Ako je 𝐺 nepovezan graf, njegov komplement 𝐺 je

povezan (tj. bar jedan od grafova 𝐺 i 𝐺 je povezan graf).

Specijalni grafovi

Slika 7.

Graf 𝐺 je samokomplementaran ako i samo ako je izomorfan

svom komplementu 𝐺.

𝐺

𝐺

Specijalni grafovi

Slika 8.

Zadatak 5. Dokazati da samokomplementaran graf 𝐺 ima 4𝑟 ili

4𝑟 + 1 čvorova, pri čemu je 𝑟 prirodan broj.

Zadatak 6. Neka je 𝐺 graf koji sadrži 6 čvorova. Dokazati da

bar jedan od grafova 𝐺 i 𝐺 sadrži trougao.

Zadatak 7. Na jednom međunarodnom skupu se sastalo 6

delegata. Pokazalo se da među proizvoljna 3 od njih uvek

postoje dva koja se mogu sporazumeti na nekom jeziku.

Dokazati da sigurno postoji trojka delegata unutar koje je

između svaka dva delegata moguće sporazumevanje.

Specijalni grafovi

Graf koji ne sadrži nijednu konturu kao podgraf naziva se

šuma. Ako je graf, uz to, povezan, on se naziva stablo.

Stablo u kojem nijedan čvor nema stepen veći od dva naziva se

put. Put sa 𝑛 čvorova obeležava se sa 𝑃𝑛. Na slici 9 prikazano

je prvih šest puteva.

Specijalni grafovi

Slika 9.

Bipartitan graf je graf čiji se skup čvorova moze razbiti na dva

disjunktna skupa (partitivni skupovi) na takav način da svaka

grana spaja čvor prvog skupa sa čvorom drugog skupa.

Kompletan bipartitan graf je bipartitan graf kod koga je svaki

čvor prvog skupa susedan sa svakim čvorom drugog skupa.

Ako partitivni skupovi sadrže 𝑟 i 𝑠 čvorova, respektivno, tada

se kompletan bipartitan graf označava sa 𝐾𝑟,𝑠.

𝐾3,3

Specijalni grafovi

Slika 10.

Kompletan bipartitan graf oblika 𝐾1,𝑠 zove se zvezda. Na slici

11 prikazana je zvezda 𝐾1,5.

Specijalni grafovi

Slika 11.

Definicija

Povezan graf koji ne sadrži konture kao podgrafove naziva se

stablo. Nepovezan graf koji ne sadrži konture kao podgrafove

naziva se šuma.

Stabla i šume su specijalna vrsta grafova sa vrlo interesantnim

osobinama i od posebnog su interesa u računarstvu i

elektrotehnici.

Očigledno, komponente povezanosti šume su stabla.

Uobičajena oznaka za stablo je 𝑇. Stablo je netrivijalno ako

ima više od jednog čvora.

Stabla

Teorema Neka je 𝐺 graf sa 𝑛 čvorova. Tada su sledeći iskazi

ekvivalentni sa iskazom da je 𝐺 stablo:

10 Graf 𝐺 je povezan graf koji ne sadrži nijednu konturu.

20 Graf 𝐺 je povezan graf sa 𝑚 = 𝑛 − 1 grana.

30 Graf 𝐺 je graf bez kontura koji ima 𝑚 = 𝑛 − 1 grana.

40 Graf 𝐺 je minimalan povezan graf, tj. graf 𝐺 je povezan, ali

udaljavanjem bilo koje grane postaje nepovezan graf.

50 Graf 𝐺 je maksimalan graf koji ne sadrži konture, tj. graf 𝐺 ne

sadrži konture, ali se dodavanjem nove grane između bilo koja dva

čvora formira tačno jedna kontura u 𝐺.

60 Svaka dva čvora grafa 𝐺 su povezana tačno jednim putem.

Stabla

Stabla

Slika 12.

„Matematičke strukture spadaju među

najdivnija otkrića ljudskog uma. Njihova

veličina je u njihovoj velikoj moći metafore i

objašnjavanja realnosti.“

Douglas Hofstadter (Meta Mathematical Themas, 1985)

Leonard Ojler - problem mostova grada Keningsberg

Problem Kroz centar nekadašnjeg pruskog grada Keningsberga,

danas Kalinjingrada, protiče reka Pregel. Na reci su dva ostrva

povezana međusobno i sa obalama reke sa sedam mostova.

Stanovnici Keningsberga zabavljali su se pokušavajući da obiđu

sedam mostova, a da pri tome svaki od njih pređu tačno jedanput.

Ojlerovi grafovi

Leonhard Euler: Pitanje je bilo da li je moguće početi šetnju iz

bilo koje tačke u gradu i vratiti se u polaznu tačku, prelazeći pri

tome svaki most tačno jednom?

Ojlerovo rešenje ovog

problema smatra se prvim

rezultatom, a samim tim i

početkom teorije grafova.

Ojlerovi grafovi

Ojler je problem rešio tako što je svakoj obali i ostrvima

pridružio čvorove, a mostovi su bili grane između njih. Tako je

dobio jedan multigraf.

Ojlerovi grafovi

A

C

B

D

Ojler je problem rešio tako što je svakoj obali i ostrvima

pridružio čvorove, a mostovi su bili grane između njih. Tako je

dobio jedan multigraf.

Problem Da li postoji zatvorena šetnja (staza) u datom grafu koja

sadrži svaku granu tačno jednom?

Ojlerovi grafovi

A

C

B

D

Ojler je dokazao da je takav prelazak nemoguć, uz napomenu

da se razmatranje može proširiti da prozvoljan raspored ostrva i

mostova.

U njegovu čast čitava jedna klasa grafova dobila je ime

Ojlerovi grafovi.

Definicija 2. Ojlerova staza je staza koja tačno jedanput prolazi

kroz svaku granu grafa. Ona može da bude otvorena (Ojlerov put)

ili zatvorena (Ojlerova kontura). Graf koji poseduje Ojlerovu

konturu zove se Ojlerov graf.

Graf koji poseduje Ojlerov put zove se Poluojlerov graf.

Ojlerovi grafovi

Zadatak 3. Ispitati da li dati orijentisani graf sadrži Ojlerov put i

Ojlerovu konturu.

Ojlerovi grafovi

Zadatak 3. Ispitati da li dati orijentisani graf sadrži Ojlerov put i

Ojlerovu konturu.

Ojlerov put: 2 − 1 − 1 − 2 − 3 − 5 − 3 − 4 − 4 − 5.

Ojlerovi grafovi

Zadatak 4. Da li se može jednim potezom, bez podizanja olovke

sa papira i bez prelaska preko već nacrtanih linija nacrtati

prikazana figura?

1) 2)

Ojlerovi grafovi

Teorema. Povezan neorijentisan (multi)graf bez petlji je

Ojlerov ako i samo ako su svi njegovi čvorovi parnog stepena.

Teorema. Povezan neorijentisan (multi)graf bez petlji je

Poluojlerov ako i samo ako sadrži 0 ili 2 čvora neparnog

stepena.

Zadatak 4.

1) NE 2) DA

Poluojlerov graf

Ojlerovi grafovi

Organizatori velikih izložbi moraju (ako hoće da posetioci vide sve

eksponate i da prelaze što manji put) da odrede jedan Ojlerov put

(ako postoji) u grafu određenom izložbenim prostorom i stazama

kroz njega.

Problem kineskog poštara(M. Kuan 1962.): Poštar treba da obiđe

svoj reon i raznese sva pisma. On polazi iz pošte, kroz svaku ulicu

svog reona treba da prođe bar jedanput i da se na kraju vrati u poštu.

Cilj je odrediti takav put poštara koji je minimalne dužine.

Problemu se može pridružiti graf u kome čvorovi odgovaraju

raskrsnicama, a grane delovima ulica koji povezuju susedne raskrsnice.

Ako je graf Ojlerov, tada je rešenje Problema kineskog poštara jedna

Ojlerova kontura, a u ostalim slučajevima optimalno rešenje ovog

problema će prolaziti više puta kroz neke grane.

Ojlerovi grafovi - primena

HVALA NA PAŽNJI!