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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ALEGEBRA TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA

TRABAJO COLABORATIVO DEL MOMENTO # 6

Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:

1. Demostrar que 4 x2+9 y 2+24 x+36 y=0 es la ecuación de una elipse y

Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

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Desarrollo

4 x2+9 y 2+24 x+36 y+36=0

4 x+24 x+9 y 2+36 y=−36

Complementamos cuadrando para obtener

4 ( x2+6 x+( 62 ) ²)+9( y2++4 y−( 42 ) ²)

−36+4 ( 64 ) ²+9( 42 ) ²

4

( x+3 ) ²9 +

( y+2 ) ²4 =1

a. √ 9=3

A (0,3 )

A (0,−3 )

b. √ 4=2

B (2,0 )

BA (−2,0)

Centro

C (h,k )=C (−3,−2 )

Vértice

V ₁=(h , k , a )=(−3,−2−3 )=(−3,−5 )

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V ₂ (h , k +a )=(−3,−2+3 )=(−3,1 )

1. Determine el valor de la variable X en la siguiente función racional.

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x ( x2+3 x−10 )= x( x+5)( x−2)

!"ora se resuelve polinomio del denominador.

x2+5 x= x ( x+5 )

!$rupamos los términos linealiados en la función racional.

x3+3 x2−10 x x

2+5 x = x ( x+5)( x−2)

x ( x+5 )

(liminamos los términos seme#antes.

x ( x+5)( x−2) x ( x+5 )

= x−2

!"ora se procede a operar el ) polinomio.

− x2+6 x−7 x+7

=−( x+7)( x−1)

x+7

'implificando los términos seme#antes tenemos que:

−( x+7 ) ( x−1 ) x+7

=− x+1

!"ora a$rupamos todos los términos $enerados.

2 ( x+7 )+ x+6+ x−2− x+1=0

3 x+19=0

Por le ley del producto nulo tenemos que:

x=−19

3

Compro&ación con *eo$e&ra.

2. Resuelva la siguiente ecuación y compruebe su solución :7c−15=−2 [6 (c−3 )−4 (2−c )]

'e empiea operando los factores que están dentro de los paréntesis de la

ecuación.

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7c−15=−2 [6c−18−8+4c ]

!"ora sumamos términos seme#antes.

7 c−15=−2 [10 c−26 ]

+ultiplicamos el factor producido por ,-

7 c−15=−20 c+52

!"ora a$rupamos términos seme#antes de la ecuación.27 c=67

Despe#amos c.

c=67

27

Comprobamos con eogebra.

!. Resolver el sistema de ecuaciones y compruebe su solución.

2 x−

3 y+

2 z=−

1

x+2 y=14

x−3 z=−5

! continuación desarrollaremos por el método de ramer.

∆=2 −3 21 2 0

1 0 −3

Desarrollamos por sarrus.

2 −3 21 2 0

1 0 −32 −3 21 2 0

a=(2∗2∗−3 )+ (0 )+(0)

b=(1∗2∗2)+ (0 )+(1∗−3∗−3)

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D=−12−13=−25

Calculamos por productos cruados el ∆ x

∆ x=−1 −3 214 2 0

−5 0 −3

a=(−1∗2∗−3 )+(0 )+ (0 )

b=(−5∗2∗2 )+ (14∗−3∗−3 )+(0)

∆ x=6−106=−100

Calculamos por cofactor el ∆ y

∆ y=2 −1 21 14 0

1 −5 −3

∆ y=2 [ (14∗−3 )+0 ]+[ 1∗−3 ]+2[ (1∗−5 )− (1∗14 )]∆ y=−125

Calculamos por productos cruados el ∆ z

∆ z=2 −3 −11 2 14

1 0 −5

a=(2∗2∗−5 )+ (−3∗14∗1 )+(0 )

b=(1∗2∗−1 )+(1∗−3∗−5 )+(0)

∆ z=−62−13=−75

!"ora calculamos los valores de cada una de las varia&les.

x=∆ x

∆ =

−100−25

=4

y=∆ y

∆ =

−125−25

=5

z=∆ z

∆ =

−75−25

=3

Comprobación con eogebra.

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". #n ingeniero $u%mico desea preparar una solución resultante a partir de dos

soluciones base& la primera solución denominada X& tiene una

concentración al 2'( de )Cl& y la segunda solución denominada *& tiene unaconcentración al !+( de )Cl& la cantidad resultante de solución debe ser de

!++ ml& con una concentración al 2,( de )Cl& -cuntos mililitros de

solución X y * se deben me/clar0

'e formulan dos ecuaciones% una para el volumen y la otra para la concentración.

(cuación de volumen.

x+ y=300

(cuación de concentración

0.25 x+0.3 y=300(0.28)

0.25 x+0.3 y=84 !"ora despe#amos de la ecuación de volumen.

x=300− y

/eemplaamos este valor en la ecuación de concentración.

0.25 (300− y )+0.3 y=84

75−0.25 y+0.3 y=84

0.05 y=9

y=180

!"ora para calcular el valor de 0 se procede a reemplaar en la ecuación de

volumen.

x+180=300

x=120

ntonces se debe me/clar 12+ ml de solución de y 1,+ ml de solución de y.

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'. Resolver la siguiente ecuación y compruebe su solución:

√ 4 x+1−√ 2 x−3=8

Primero se procede a elevar al cuadrado los términos radicales.

(√ 4 x+1 )2=( 8+√ 2 x−3 )

2

Desarrollando nos queda que:

4 x+1=(64+2√ 2 x−3+(2 x−3 ))

'e procede a operar las constantes y las varia&les.

4 x+1−2 x−64+3=(16√ 2 x−3)

2 x−60=(16√ 2 x−3)

Volvemos a elevar los términos al cuadrado.

(2 x−60)2=(16√ 2 x−3)2

Desarrollando se tiene que:

4 x2

−240 x+3600=256 (2 x−3 )

4 x2−240 x+3600−512 x+768=0

4 x2−752 x+4368=0

'acamos factor común.

x2−188 x+1092=0

'e procede a linealiar el trinomio cuadrático por el método de factoriación.

( x−182) ( x−6 )

1ue$o las posi&les soluciones son:

x=182

x=6

'e puede apreciar que la solución es 23-% ya que al reemplaar el valor de 4 en la

ecuación% la i$ualdad no se cumple.

Compro&ación con *eo$e&ra

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3. Resuelva la siguiente inecuación y compruebe su solución:

4 x+13 x−5

≤5

4perando tendr%amos $ue:

4 x+13 x−5

−5≤ 0

5plicamos producto cru/

4 x+1−5(3 x−5)3 x−5

≤ 0

−11 x+263 x−5

≤ 0

56ora se resuelve por diagrama de signos.

Calculamos los puntos cr%ticos.

x=26

11

x=5

3

!"ora el producto de nuestro dia$rama nos dar5a lo si$uiente.

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Como muestra la inecuación% se esco$en los intervalos donde se es ne$ativa.

Rta:

(−∞ , 53 )u¿

Comprobación con eogebra

7. Resuelva la siguiente inecuación y compruebe su solución:

x

2−3 x+9 x+3

≤3

x2−3 x+9

x+3−3 ≤ 0

x2−3 x+9−3 x−9

x+3≤ 0

x2−6 x x+3

≤ 0

Factoriamos el primer termino x ( x−6)

x+3≤0

Procedemos a calcular los puntos cr5ticos de nuestra inecuación.

x=0

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x=6

x=−3

!"ora calculamos el producto de la inecuación.

Rta: (−∞,−3 )u[0,6]

Comprobación por eogebra.

,. ncuentre la solución para la siguiente ecuación con valor absoluto ycompruebe su solución:

| x2−6 x+5|=4

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Por las propiedades del valor a&soluto se tiene que:

x2−6 x+5=4 ó x2−6 x+5=−4

x2−6 x+1=0 ó x2−6 x+9=0

x=6±√ 6

2−4 (1 ) (1 )2

ó x2−6 x+9=0

x=3+ √ 322

=3+2√ 2 ( x−3)2

x=3−2√ 2=3−√ 32

2

x=3


8. ncuentre la solución para las siguientes inecuaciones con valor absoluto ycompruebe su solución:

|2 x−122 |≤8Por las propiedades del valor a&soluto se tiene que:

−8≤ 2 x−12

2≤ 8

−16 ≤ 2 x−12≤ 16

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−4 ≤ 2 x ≤28

Dividimos toda la e0presión en -:

−2 ≤ x ≤ 14

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Conclusiones

'e si$uió los pasos propuestos por la $u5a de actividades. Dando como resultado plantear

alternativas de la solución a los e#ercicios a&ordados% !$ilidad en "erramientas matemáticas

6i&lio$raf5a

"ttp:77datateca.unad.edu.co7contenidos78928927+odulo!l$e&ra;ri$onometriay*eometria

!nalitica-922.pdf
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/Modulo_Algebra_Trigonometria_y_Geometria_Analitica_2011.pdfhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/Modulo_Algebra_Trigonometria_y_Geometria_Analitica_2011.pdfhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/Modulo_Algebra_Trigonometria_y_Geometria_Analitica_2011.pdfhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/Modulo_Algebra_Trigonometria_y_Geometria_Analitica_2011.pdf

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