31002-8-911762751729

TEORI PROBABILITAS

Oleh:

Mafizatun Nurhayati, SE., MM

Kopetensi Dasar:

Mahasiswa dapat:

1. Menjelaskan pengertian teori probabilitas

2. Menjelaskan macam-macam distribusi probabilitas diskrit

StatistikaMahfizatun Nurhayati, SE. MM.

Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

‘11 1

Modul 9

STATISTIKA

TEORI PROBABILITAS

Probabilitas adalah peluang suatu kejadian. Manfaat mengetahui probabilitas adalah membantu

pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan

informasi yang tidak sempurna.

Contoh:

• Pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham

• Peluang produk yang diluncurkan perusahaan (sukses atau tidak), dan lain-lain.

Probabilitas adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di

masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase.

Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan

timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

Hasil (outcome) adalah suatu hasil dari sebuah percobaan. Peristiwa (event) adalah kumpulan

dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

Contoh:

Pendekatan Probabilitas

1. Pendekatan Klasik

Definisi: Setiap peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi.

Rumus:



‘11 2

2. Pendekatan Relatif

Definisi: Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak

suatu kejadian terjadi.

Rumus:

Contoh:

Dalam 12 bulan, 10 bulan terjadi inflasi dan 2 bulan deflasi.

Maka probabilitas inflasi = 10/12=0,83 dan probabilitas deflasi = 2/12=0,17

3. Pendekatan Subjektif

Definisi: Probabilitas suatu kejadian didasarkan pada penilaian pribadi yang dinyatakan

dalam suatu derajat kepercayaan.

Contoh:

• Menurut Menteri Keuangan Indonesia Sri Mulyani pada tahun 2007, Indonesia akan

menghadapi gejala krisis, walaupun fondasi ekonomi kuat.

• Menurut Bu Mafiz, anda akan mendapatkan nilai minimal B untuk mata kuliah Statistik.

• Menurut pengamat politik, Fauzi Bowo akan terpilih sebagai Gubernur DKI Jakarta pada

Pilkada Agustus 2007.



‘11 3

Konsep Dasar Hukum Probabilitas

1. Hukum Penjumlahan

Bila kejadian yang terjadi saling lepas, maka probabilitas suatu kejadian atau probabilitas

kejadian lain terjadi sama dengan penjumlahan probabilitas masing-masing kejadian.

Probabilitas jual = P(A) = 120/200 = 0,60

Probabilitas beli = P(B) = 80/200 = 0,40

Maka probabilitas jual atau beli saham = P(A atau C ) = 0,60 + 0,40 = 1,00

Probabilitas BCA = P(D) = 70/200 =0,35

Probabilitas BLP = P(E) = 80/200 = 0,40

Probabilitas BNI = P(F) = 50/200 = 0,25

Maka

Berapa probabilitas kejadian BCA atau BNI

P(D ATAU F ) = P(D) + P(F) = 0,35 + 0,25 = 0,60

Berapa probabilitas kejadian BCA, BII atau BNI

P(D atau E atau F) = P(D) + P(E) + P(F) = 0,35 + 0,40 + 0,25 = 1,00

• Peristiwa atau Kejadian Bersama

Terjadi apabila ada dua atau lebih peristiwa terjadi secara bersama-sama, maka

probabilitas terjadinya peristiwa A atau B



‘11 4

Contoh:

Hitung berapa probabilitas jual saham BCA dan probabilitas beli saham BCA

P(BD) = 40/200 = 0,20

P(AD) = 30/200 = 0,15

Berapa probabilitas kejadian jual saham atau saham BCA

P(A atau D) = P(A) + P(D) – P(AD) = 0,60 + 0,35 – 0,15 = 0,80

Berapa probabilitas kejadian beli saham atau saham BNI

P(B atau F) = P(B) + P(F) – P(BF) =0,4 + 0,25 – 0,05 = 0,6

• Peristiwa Saling Lepas (Mutually Exclusive)

Terjadi apabila hanya satu atau dua atau lebih peristiwa yang dapat terjadi

P(AB) = 0

Maka probabilitas terjadinya peristiwa A atau B :

P(A ATAU B) = P (A) + P(B) + 0

= P(A) + P(B)

Contoh:

Hitung berapa probabilitas kejadian jual saham dan beli saham

P(A ATAU B) = P (A) + P(B) + 0 = 0,6 + 0,4 – 0 = 1

Probabilitas kejadian untuk saham BCA, BLP dan BNI

P(D atau E atau F) = P(D) + P(E) + P(F) – P(DEF) = 0,35 + 0,40 + 0,25 – 0 = 1

Probabilita kejadian saham BCA atau BLP

P(D atau E) = P(D) + P(E) – P(DE) = 0,35 + 0,40 – 0 = 0,75



‘11 5

2. Hukum Perkalian

Jika peristiwa yang terjadi adalah independen, yaitu suatu peristiwa terjadi tanpa harus

menghalangi peristiwa lain terjadi, maka probabilitas kejadian A dan B adalah:

P( A DAN B) = P(A) X P(B)

Peristiwa A dan B independen, apabila peristiwa A terjadi, maka tidak menghalangi

terjadinya peristiwa B.

Contoh:

Seorang infestor di BEI melakukan dua transaksi jual dan beli. Berapa probabilitas bahwa

kedua transaksi tersebut adalah transaksi jual dan beli

Apabila P(A) = 0,35 DAN P(B) = 0,25

Maka P(A DAN B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875

Kejadian Bersyarat (probabilitas bersyarat /Conditional Probability)

Suatu peristiwa terjadi dengan ketentuan peristiwa lain terjadi.

Probabilitas peristiwa A, dengan syarat peristiwa B telah terjadi.

P(B|A) = P(AB)/P(A)

Probabilitas terjualnya saham BCA:

probabilitas jumlah transaksi jual : 120/200 = 0,60

probabilitas saham BCA yang dijual : 30/200 = 0,15

Maka P(D|A) = 0,15/0,60 = 0,25

Probabilitas saham BCA terjual:

probabilitas jumlah transaksi saham BCA : 70/200 = 0,35

probabilitas saham BCA yang terjual : 30/200 = 0,15

Maka P(A|D) = 0,15/0,35 = 0,43



‘11 6

Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)

Menunjukkan bahwa apabila ada dua peristiwa A dan B yang saling melengkapi,

sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi.

Maka probabilitas keduanya:

P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)

Contoh :

Iklim di Indonesia adalah kemarau dan penghujan

Bila probabilitas hujan P(A) = 0,2

maka probabilitas kemarau P(B) = 1 – 0,2 = 0,8

Beberapa Prinsip Menghitung

1. Factorial

Adalah berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam kelompok.

Contoh:

Ada berapa cara menyusun urutan dari 5 bank?

5! = 5x4x3x2x1 = 120 cara

2. Permutasi

Adalah sejumlah kemungkinan susunan jika terdapat satu kelompok objek

.

Contoh:

Ada berapa susunan yang mungkin dari 5 bank yang ada apabila tiap susunan terdiri atas 2

bank?

5P2 = 5!/ (5-2)!= 5x4x3x2x1/3x2x1 = 20



‘11 7

3. Kombinasi

Adalah berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan

urutannya.

Contoh:

Ada 5 bank yang mengajukan kredit portofolio ke BI. Sementara itu BI hanya akan

memilih 2 bank saja. Ada berapa kombinasi bank yang dapat dipilih oleh BI?

5C2 = 5!/2! (5-2)! = 5! / 2!3! = 5.4.3!/2.1.3! = 20 / 2 = 10

Teorema Bayes

Merupakan probabilitas bersyarat-suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada. Pendeta

Thomas Bayes bertanya: Apakah Tuhan ada dengan memperhatikan fakta-fakta yang ada di

bumi. Jadi bila Tuhan ada, maka ada fakta sebagai ciptaan Tuhan. Bila fakta dilambangkan

P(A1) untuk suatu fakta, dan P(A2) untuk fakta lain, sedang keberadaan Tuhan dinyatakan

dengan P(B), maka Theorema Bayes:

Rumus:

Contoh:

Sebuah perusahaan bergerak dalam industri peranti lunak (software) komputer mempekerjakan

400 orang. 100 orang karyawannya merupakan sarjana teknik informatika dan jumlah eksekutif

perusahaan mulai dari kepala bagian sampai direksi adalah 80 orang. Karena merupakan

perusahaan software, maka ditentukan 50% dari eksekutif haruslah berlatar belakang

pendidikan teknik informatika. Tentukan probabilitas karyawan yang berpendidikan teknik

informatika yang menjabat sebagai eksekutif pada perusahaan tersebut.

Penyelesaian:

P(A1) = 80 / 400 = 0,20

P(A2) = 320/400 = 0,80



‘11 8

P(A1 dan B1) = 40/400 = 0,10

P(A2 dan B1) = 60/400 = 0,15

P(B1|A1) = 0,10/ 0,20 = 0,50

P(B1|A2) = 0,10/0,80 = 0,125

Maka Theorema Bayes:

0,20 x 0,50 0,10

P(A1|B1) = ------------------------------------ = ----------------- = 0,50

(0,20 x 0,50) + (0,80 x 0,125) 0,10 + 0,10

Latihan soal Probabilitas:

1. PT Kalimantan Abadi merupakan perusahaan pengekspor dan produsen jeruk. Pada

panen raya setiap hektar dapat dihasilkan 5 ton jeruk. Namun demikian dari setiap

hektar ada beberapa kualitas jeruk karena perbedaan umur tanaman, hama penyakit

dan jenis tanah. Berikut distribusi jeruk berdasarkan kualitasnya.

Kualitas Jumlah (ton)

Kelas A 0,5

Kelas B 1,5

Kelas C 2,0

Lokal 1 0,6

Lokal 2 0,4

a. Berapa probabilitas jeruk kelas A dapat dihasilkan ?

b. Berapa probabilitas jeruk kelas C dapat dihasilkan?

c. Berapa probabilitas jeruk kelas A dan B dapat dihasilkan?

2. Pada awal tahun 2003 diluncurkan saham-saham baru di BEJ; di antaranya adalah

saham Bank Mandiri setelah Bank BCA dan Bank Lippo. Kondisi transaksi jual dan beli

di sebuah reksa dana digambarkan sebagai berikut:

Kegiatan Perusahaan Jumlah



‘11 9

Mandiri (D) BCA (E) Lippo (F)

Jual (A) 400 200 200 800

Beli (B) 700 400 100 1200

Jumlah 1100 600 300 2000

Dari 2000 transaksi tersebut:

a. Berapa probabilitas terbelinya saham dan saham yang terbelinya adalah saham

Bank Mandiri (P(D|B) dan berapa probabilitas saham Bank Mandiri terbeli oleh

konsumen (P(A|D)?

b. Dengan menggunakan hukum perkalian, berapa probabilitas terbelinya saham Bank

Mandiri?

3. Berdasarkan hasil penelitian ternyata bahwa mahasiswa pria hanya 40% dari total

jumlah mahasiswa di Jakarta. Berdasarkan pada tingkat kelulusan ternyata mahasiswa

wanita 90% lulus tepat waktu, dan 80% mencapai IPK di atas 3,0. Sedang mahasiswa

pria yang lulus tepat waktu hanya 40% dan IPK di atas 3,0 hanya 50%. Hitunglah:

a. Berapa persen, mahasiswa pria lulus tepat waktu dan IPK di bawah 3,0?

b. Berapa peluang mahasiswi lulus tepat waktu dan IPK di atas 3,0?

4. CV Mekar Sari setiap hari memproduksi buah-buahan untuk supermarket di Jakarta

sebanyak 1000 Kg. Dari sekian banyak buah tersebut 300 kg adalah buah semangka,

dan sebanyak 150 Kg adalah buah berkualitas A. Perusahaan menginginkan 40% dari

buah berkualitas yang dikirim adalah buah semangka, karena merupakan produksi

sendiri. Berapa peluang buah semangka merupakan buah berkualitas yang dikirimkan

ke supermarket oleh CV. Mekar Sari?

5. Di sebuah outlet di Jalan Dago, Bandung, ada 10 jenis baju yang sangat menarik.

Namun demikian karena keterbatasan dana, maka hanya 2 saja yang dapat dibeli.

Hitunglah, ada berapa kombinasi baju yang dapat dipilih oleh seorang konsumen?

6. PT West Jawa di Cibinong memproduksi pakian jadi. Dengan 1000 karyawan dapat

dihasilkan 2500 potong pakaian. Berikut adalah jumlah pakaian berdasarkan jenisnya.



‘11 10

Jenis Pakaian Potong

Pria Dewasa 200

Wanita Dewasa 500

Remaja Pria 600

Remaja Wanita 800

Anak-anak 400

a. Berapa probabilitas pakaian remaja wanita dihasilkan?

b. Berapa probabilitas pakaian wanita dewasa dapat dihasilkan?

c. Berapa probabilitas pakaian remaja dan wanita dewasa dapat dihasilkan?

7. PT Sampoerna akan memasang iklan pada media di televisi, oleh karena itu diadakan

survei kepada sekelompok eksekutif -- televisi apa yang sering dilihat. Berikut adalah

hasil penelitian tersebut:

Jenis

Eksekutif

Televisi

RCTI SCTV Trans TV Jumlah

Muda 100 150 50 300

Senior 100 50 50 200

Jumlah 200 200 100 500

a. Berapa probabilitas terpilihnya eksekutif senior?

b. Berapa probabilitas terpilihnya eksekutif muda yang menonton RCTI?

c. Berapa probabilitas terpilihnya eksekutif muda dan yang menonton RCTI ?

8. Indonesia pada tahun 2004 akan mengadakan pemilihan presiden secara langsung.

Berdasarkan pada ketentuan, calon presiden harus didukung oleh DPR, dan

berdasarkan pada jumlah partai di DPR yang memenuhi ketentuan minimal anggota

DPR ada 6, sehingga diperkirakan akan ada 12 orang yang berebut menjadi presiden

dan wakil presiden. Berapa banyak susunan atau kombinasi yang berbeda dapat

dihasilkan dari 12 orang tersebut?

9. Kajian terhadap pertumbuhan ekonomi di negara berkembang menunjukkan bahwa dari

120 negara anggota, 40 negara di kawasan Asia dan Afrika bagian utara dan selatan



‘11 11

relatif akan berkembang menjadi negara industri baru. Negara yang menuju negara

industri dicirikan dengan komposisi penduduk terdiri dari 80% termasuk sehat, 15%

cukup sehat dan 5% kurang sehat. Sedang negara yang tidak berkembang menjadi

industri dicirikan dengan 60% kurang sehat, 30% cukup sehat dan 10% sehat. Dengan

menggunakan Diagram Pohon, berapa probabilitas Anda menemukan penduduk yang

kurang disehat di negara berkembang?

10. Seorang petugas karantina di pelabuhan Tg. Priok diminta mengawasi setiap barang

yang masuk pelabuhan. Pada tanggal 12 Mei 2003 ada 15 jenis ikan yang diimpor, dan

petugas karantina ingin memeriksa 5 jenis ikan. Berapa banyak contoh berbeda yang

mungkin diperoleh oleh petugas karantina tersebut?

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT

Pengertian Distribusi Probabilitas

Bagaimana mengetahui probabilitas terhadap banyak kejadian atau percobaan? Distribusi

probabilitas memberikan keseluruhan kemungkinan nilai yang mungkin muncul atau terjadi dari

sebuah kejadian atau percobaan. Distribusi probabilitas adalah sebuah susunan distribusi yang

mempermudah mengetahui probabilitas sebuah peristiwa. Merupakan hasil dari setiap peluang

peristiwa.

Contoh Kasus:

• Berapa peluang meraih untung dari investasi di reksa dana

• Berapa banyak barang harus dikirim, apabila selama perjalanan barang mempunyai

probabilitas rusak

• Berapa peluang karyawan bekerja lebih baik besok hari

Contoh Kasus 1:

Ada tiga orang nasabah yang akan menabung di bank. Terdapat dua bank yaitu Bank BCA dan

BNI. Ketiga orang tersebut bebas memilih bank tempatnya akan menabung, bisa di BCA

semua, di BCA dan BNI atau di BNI semua. Berikut adalah kemungkinan dari pilihan ketiga

orang tersebut:



‘11 12

Dari 8 kemungkinan tersebut, dapat disusun distribusi probabilitas sbb:

Dengan distribusi probabilitas hasil memudahkan kita mengetahui probailitas dari kejadian yang

bersifat acak atau untung-untungan atau bebas, artinya bebas memilih mana yang disukai dan

tidak ada orang yang tahu.

Rata-Rata Hitung, Varians, dan Standar Deviasi dari Distribusi Probabilitas



‘11 13

Kemungkinan Jumlahpilihan 1 2 3 Pilihan BNI

1 BCA BCA BCA 02 BCA BCA BNI 13 BCA BNI BCA 14 BCA BNI BNI 25 BNI BCA BCA 16 BNI BCA BNI 27 BNI BNI BCA 28 BNI BNI BNI 3

Nasabah

• Rata-rata Hitung

merupakan nilai harapan (expected value), merupakan nilai rata-rata hitung tertimbang

karena seluruh kemungkinan diberikan bobot berupa probabilitas pada setiap kejadian

masing-masing.

m = nilai rata-rata hitung distribusi probabilitas

E(X) = nilai harapan (expected value)

X = kejadian

P(X) = Probabilitas suatu kejadian X

å = lambang operasi penjumlahan

• Varians

• Standar Deviasi

Varians dan standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang mengukur seberapa

besar data-data menyebar dari nilai tengahnya.

Semakin kecil sebaran data, maka semakin baik, karena menunjukkan data mengelompok

pada nilai rata-rata hitung, juga menunjukkan adanya homogenitas yang lebih tinggi dan

perbedaan antar-data tidak terlalu tinggi.

Contoh :

• Hitung nilai rata-rata hitung pada kasus pilihan tiga nasabah atas BNI pada contoh 1.

• Hitung standar deviasi pada contoh 1 untuk distribusi probabilitas pilihan nasabah.



‘11 14

Standar deviasi = s = Ös2 =Ö0,75 = 0,87

Nilai rata-rata hitung = 1,5 menunjukkan bahwa dari 3 orang nasabah yang akan menabung,

maka 1,5 orang akan memilih BNI ~ dibulatkan 2.

Standar deviasi = s = Ös2 =Ö0,75 = 0,87, menunjukan bahwa standar penyimpangan data dari

nilai tengahnya adalah 0,87

Distribusi Probabilitas Binomial

Ciri-ciri Percobaan Bernouli (Jacob Bernoulli)

• Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian:

(a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan;

(b) transaksi saham: jual- beli,

(c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.

à Maka disebut binomial

• Probabilitas suatu kejadian untuk suskes atau gagal adalah tetap untuk setiap kejadian.

P(p), peluang sukses, (q) peluang gagal, dan P(p) + P(q)= 1.

Rumus distribusi probabilitas binomial:

• P( r ) = nilai probabilitas binomial

• p = Probabilitas sukses suatu kejadian dalam setiap percobaan

• r = banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan

• n = jumlah total percobaan



‘11 15

• q = probabilitas gagal suatu kejadian yang diperoleh dari q = 1 – p

• ! = lambang faktorial

Contoh:

PT MJF mengirim buah melon ke Hero. Buah yang dikirim 90% diterima dan sisanya ditolak.

Setiap hari 15 buah dikirim ke Hero. Berapa peluang a) 15 buah diterima, b) 13 buah diterima?

Jawab:

P(p) = 0,9 dan P(q) = 1-0,9 = 0,1

P(15) = [15!/(15!(15-15)!] 0,9150,10 = 0,206

P(13) = [15!/(13!(15-13)!] 0,9130,12 = 0,267

Untuk mencari nilai distribusi binomial dapat menggunakan tabel distribusi binomial dengan

n=15; di mana X =15, dan X = 13 dengan P(p)= 0,9 dan dapat diperoleh nilai 0,206 dan 0,267

Distribusi Hipergeometrik

Dalam distribusi binomial diasumsikan bahwa peluang suatu kejadian tetap atau konstan atau

antar-kejadian saling lepas. Dalam dunia nyata, jarang terjadi hal demikian. Suatu kejadian

sering terjadi tanpa pemulihan dan nilai setiap kejadian adalah berbeda atau tidak konstan.

Distribusi dengan tanpa pemulihan dan probabilitas berbeda adalah Distribusi Hipergeometrik.

Rumus nilai Distribusi Hipergeometrik:

• P( r ) = nilai probabilitas hipergeometrik dengan kejadian r

sukses

• N = jumlah populasi

• S = jumlah sukses dalam populasi

• r = jumlah sukses yang menjadi perhatian

• n = jumlah sampel dari populasi

• C = simbol kombinasi



‘11 16

Contoh:

Ada 33 perusahaan di BEJ akan memberikan deviden dan 20 di antaranya akan membagikan

dividen di atas 100/lembar. BAPEPAM sebagai pengawas pasar saham akan melakukan

pemeriksaan dengan mengambil 10 perusahaan. Berapa dari 10 perusahaan tersebut, 5

perusahaan akan membagikan saham di atas 100/lembarnya?

Jawab:

N = 33

S= 20

n=10

r=5

P(r) = [(20C5) x (33-20C10-5)] / (33C10) = 0,216

Jadi probabilitas 5 perusahaan sampel akan membagikan saham di atas Rp 100 per lembar

adalah 21,6 %

Distribusi Poisson

Dikembangkan oleh Simon Poisson. Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat

bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan baik, namun untuk n di atas 50 dan nilai P(p)

sangat kecil akan sulit mendapatkan nilai binomialnya. Poisson mengembangkan distribusi

tentang peristiwa yang sulit terjadi, yaitu peristiwa dengan probabilitas sukses sangat kecil,

walaupun jumlah n sangat besar.

Contoh peristiwa yang sesuai dengan persoalan Poisson:

• Kemungkinan kesalahan pemasukan data

• Kemungkinan cek ditolak oleh bank

• Jumlah pelanggan yang harus antre pelayanan rumah sakit, restoran cepat saji atau

pada pintu masuk Dunia Fantasi Ancol.

Rumus:

P(X) = Nilai probabilitas distribusi Poisson

µ = rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses, dimana µ = n.p

e = bilangan konstan = 2,71828



‘11 17

X = jumlah nilai sukses

p = Probabilitas sukses suatu kejadian

! = lambang faktorial

Contoh:

Jumlah emiten di BEJ ada 120 perusahaan. Akibat krisis ekonomi, peluang perusahaan

memberikan deviden hanya 0,1. Apabila BEJ meminta secara acak 5 perusahaan, berapa

peluang ke-5 perusahaan tersebut akan membagikan dividen?

Jawab:

n = 120

X=5

p=0,1

m=n.p =120 x 0,1 = 12

P(X) = 1252,71828-12/5! = 0,0127

Jadi probabilitas 5 perusahaan sampel membagikan dividen hanya 0,0127 atau 1,27%

Untuk mendapatkan nilai distribusi Poisson, dapat digunakan tabel distribusi Poisson. Carilah

Nilai m = 15 dan nilai X = 5, maka akan didapat nilai 0,002

Daftar Pustaka

Suharyadi dan Purwanto. 2006. Statistik Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Buku 1

Salemba empat. Jakarta



‘11 18

Documents

31002-8-911762751729