Embed Size (px)
Citation preview
11..-- DDEETTEERRMMIINNAANNTTSS
1.1.- Introducció 1.2.- Càlcul de determinants I
1.3.- Propietats dels determinants 1.4.- Càlcul de determinants II
22..-- MMAATTRRIIUU IINNVVEERRSSAA
33..-- CCÀÀLLCCUULL DDEELL RRAANNGG DD’’UUNNAA MMAATTRRIIUU
44..-- RREESSOOLLUUCCIIÓÓ DDEE SSIISSTTEEMMEESS
4.1.- Mètode de la matriu inversa 4.2.- Mètode de Cramer
55..-- DDIISSCCUUSSSSIIÓÓ DDEE SSIISSTTEEMMEESS
5.1.- Sense paràmetres 5.2.- Amb paràmetres
2
11..-- DDEETTEERRMMIINNAANNTTSS
1.1.- Introducció
El determinant d’una matriu indica, a través d’un número, alguns aspectes importants d’una manera ràpida;
entre molts d’altres, aquests:
Podem calcular la matriu inversa d’una determinada matriu? Només quan el determinant sigui
diferent de zero.
Hi ha alguna fila o columna que és combinació lineal d’alguna altra? És possible que hi hagi alguna
equació d’un sistema que sigui redundant? Només quan el determinant és zero.
Per referir-nos al determinant de la matriu11 12
21 22
a aA
a a
es pot fer de totes aquestes maneres:
det A 11 12
21 22
a adet
a a
A 11 12
21 22
a a
a a
NOTA: És important observar que els determinants només existeixen per a matrius quadrades.
1.2.- Càlcul de determinants I
D’ORDRE 1: El càlcul és aquell mateix nombre amb el seu signe corresponent.
11 11a a
D’ORDRE 2: El desenvolupament d’un determinant com aquest és:
a b
a d b cc d
exemple: 3 7
3 8 7 2 24 14 102 8
D’ORDRE 3: S’aplica l’anomenada regla de Sarrus. Consisteix en el desenvolupament següent:
3
11 12 13
21 22 23 11 22 33 13 21 32 12 23 31 13 22 31 12 21 33 11 23 32
31 32 33
a a a
A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
.
A la pràctica, la millor manera de fer memòria és recordant les imatges següents:
Signe + Signe -
exemple: Calcula
3 1 4
5 3 0
4 2 2
A .
Resolució:
3 1 4
5 3 0 3 3 2 1 0 4 5 2 4 4 3 4 1 5 2 0 2 3 18 0 40 48 10 0 0
4 2 2
IMPORTANT: També es pot desenvolupar un mètode molt similar a la regla de Sarrus.
1.- Es copien les dues primeres files i es col·loquen a sota del determinant.
3 1 4
5 3 0
4
3 1
2 2
4
5 3 0
A
2.- Els productes dels nombres es fan a partir dels nombres següents.
4
3 1 4
5 3 0
4
3 1
2 2
4
5 3 0
A
3 1 4
5 3 0
4
3 1
2 2
4
5 3 0
A
Productes amb signes positius Productes amb signes negatius
3.- El resultat final és la suma de tots els productes amb els seus signes corresponents:
3·3·2 + 5·2·4 + 4·1·0 - 4·3·4 - 3·2·0 - 5·1·2 = 18 + 40 + 0 – 48 – 0 -10 = 0
D’ORDRE nxn: Els determinants majors de 3 tenen un desenvolupament que es complica d'una
manera exagerada. La seva resolució la veurem al final del punt següent.
exercicis complementaris: 1.
1.3.- Propietats dels determinants
El determinant d'una matriu coincideix amb la de la seva transposada, per això podem fer extensiva
les propietats de les files a les columnes i a l'inrevés.
A partir d’ara parlarem de línia quan vulguem referir-nos a les files i/o columnes indistintament.
exemple: 2 3
4 1A
2 3
2 12 144 1
A
2 4
3 1
TA
2 4
2 12 143 1
TA
Si una matriu té una línia de zeros el seu determinant és zero.
exemple: 0 0
03 1
5
Si canviem dues línies d’una matriu, el determinant canvia de signe.
exemple: 3 7
12 14 22 4
i 2 4
14 12 23 7
Si una matriu té dues línies paral·leles iguals (dues files o dues columnes), el seu determinant és
zero.
exemple: 3 4
12 12 03 4
Si multipliquem cada element d’una línia d’una matriu per un núm., el determinant queda multiplicat
pel núm. en qüestió.
exemple: 4 7
20 21 13 5
; 5 4 5 7 4 7
100 105 5 53 5 3 5
Si una matriu té dues línies paral·leles proporcionals, el seu determinant és zero.
exemple: 2 6 2 6 2 6
7 014 42 7 2 7 6 2 6
(per les propietats 4 i 5).
Si a una línia d’una matriu li sumem una altra línia paral·lela a l’anterior multiplicada per un núm., el
determinant de la matriu no s’altera.
exemple: 4 7 4 7 5 7
3 11 3 11 5 11
S’anomena Menor d’una matriu al determinant que es forma després de seleccionar n files i n
columnes de la matriu original. Com que sempre seleccionarem el mateix nombre de files que de columnes, el
menor complementaris sempre es forma a partir d’una matriu quadrada.
El menors són determinants provenen sempre complementaris.
exemple: La matriu
5 5 2 10
3 7 11 6
0 1 0 9
2 3 16 7
A
té molts menors:
6
5 5 10
3 7 6
0 1 9
M
, 1 0
3 6M
, ...
S’anomena Menor complementari d’un determinat element ai j al determinant format per la submatriu
originada per l’eliminació de la fila i i la columna j. Ho simbolitzarem per i j .
exemple: El menor complementari del 16 (de la matriu anterior) és:
4,3
5 5 10
3 7 6 180
0 1 9
M
.
S’anomena Adjunt d’un element ai j al número 1i j
i j
. Se simbolitza per i jA .
Es calcula mitjançant a fórmula: 1i j
i j i jA
i j és el menor complementari d’aquell element.
1i j
és el signe del menor complementari. Es pot calcular de dues maneres.
Formalment, aquest valor es calcula elevant a 1 la suma de la posició de la fila i la columna
que ocupa el menor complementari.
Gràficament, el signe del menor complementari és:
exemple: L’adjunt de l’element a3,2 = 1 de la matriu
3 7 3 11
4 2 0 7
4 1 2 2
0 4 6 5
A
és ...
primer: El menor complementari de a3,2 = 1 és: 3,2
3 3 11
4 0 7 198
0 6 5
segon: El signe és: 3 2 53
1 1 1 12
i ji
j
últim: càlcul de 3 2
3,3 321A
3,2 1·198 198A
+ +
+
+ +
7
11. Si els elements d’una fila o columna es multipliquen pels seus respectius adjunts i se sumen els
resultats, s’obté el determinant de la matriu inicial.
11 12 13
21 22 23 11 11 21 21 31 31
31 32 33
a a a
A a a a a A a A a A
a a a
exemple: Calcula el determinant
3 1 17
4 13 2
1 6 3
, desenvolupa’l per una columna.
3 1 1713 2 1 17 1 17
4 13 2 3 4 1 3 27 4 105 1 223 5626 3 6 3 13 2
1 6 3
1.4.- Càlcul de determinants II
En el desenvolupament dels determinants majors de 3 s’aprofita varies propietats per tal de simplificar-lo
al màxim.
MÈTODE A: Aprofitant els menors complementaris.
El determinant d’una matriu és igual a la suma dels productes dels elements d’una línia (fila o columna)
pels seus adjunts.
11 12 1
21 22 2
11 11 21 21 1 1
1 2
...
...· · ... ·
...
n
n
n n
n n nn
a a a
a a aA a A a A a A
a a a
exemple: Calcula el valor del determinant
3 1 0
2 1 5
4 2 3
.
Resolució:
Desenvoluparem el determinant per la primera columna.
8
1 1 1 2 1 3
1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3
3 1 0
2 1 5 1 · · 1 · · 1 · ·
4 2 3
B a a a a
1 5 1 0 1 0
1·3· 1 ·2· 1· 4 ·2 3 4 3 1 5
3 · (7) 2 · (3) 4 · (5) = 21 + 6 + 20 = 5
MÈTODE B: Aprofitant el Mètode de Gauss.
1r) Es tracta de fer zeros en una columna qualsevol ( la que hi hagi un 1 i/o zeros, preferentment) a
través del mètode Gauss. ( propietat 7)
2n) Es calcula el determinant de l’adjunt d’aquella columna, on només hi quedarà, si és possible, un 1
(propietat 8).
exemple: Calcula aquest determinant pel mètode de Gauss:
7 4 1 9
2 0 6 3
5 1 6 11
1 7 2 8
A
.
Resolució:
Aprofitarem la segona columna que ja té un zero i a més hi ha un 1.
7 4 1 9
2 0 6 3
5 1 6 11
1 7 2 8
1 4·34 7·3a aa a
13 0 23 35
2 0 6 3
5 1 6 11
36 0 40 69
3 2
13 23 35
1 · 2 6 3 1.628
36 40 69
exemple: Calcula aquest determinant
1 3 5 2 0
4 1 2 1 1
3 5 0 1 2
0 1 3 1 0
4 0 5 1 3
Sol: 1281
exercicis complementaris: 2 i 3.
9
22..-- MMAATTRRIIUU IINNVVEERRSSAA
Hi ha dos mètodes:
Mètode Gauss-Jordan: Aquest mètode s’ha vist en el tema anterior.
Mètode per determinants: és el que veurem en aquest apartat.
Pel càlcul de la matriu inversa (A-1
) d’una matriu A, s’ha de fer:
1 Construir una matriu amb els menors complementaris de cada element.
2 Posar els signes corresponents per obtenir els adjunts de cada element.
3 Transposar la matriu dels adjunts.
4 Dividir cada element entre A , és a dir: AA
A 1 1*
NOTA: Si no dividim pel A aconseguirem l’anomenada matriu adjunta d'A (A*).
exemple: Troba la matriu inversa de
321
014
123
.
Resolució:
1 Els menors complementaris.
332
0111 12
4 0
1 312
13
4 1
1 29
21
2 1
2 38
22
3 1
1 310
23
3 2
1 24
31
2 1
1 01
4
04
1332 11
14
2333
2 Els adjunts.
1 1
11 111 · 1·3 3A
1 2
12 121 · 1·12 12A
1 3
13 131 · 1·9 9A
. . .
1141
4108
9123
10
3 La transposició.
1141
4108
9123
1149
41012
183
*A (A* és la matriu adjunta)
4 inversa. AA
A 1 1*
42
321
014
123
A
42
11
21
2
14
321
2
21
5
7
242
1
21
4
14
1
1149
41012
183
42
1A 1
exemple: Calcula la matriu inversa de:
200
110
013
Sol: 1/3 1/3 1/6
0 1 1/2
0 0 1/2
Així, es parla de...
Matriu regular: són les matrius quadrades que A 0 es poden invertir.
Matriu singular: són les matrius quadrades que 0A NO es poden invertir.
Matriu ortogonal: Quan la matriu inversa i la seva transposada coincideixen: 1T AA .
exercicis complementaris: 4.
11
12
33..-- CCÀÀLLCCUULL DDEE RRAANNGG DD’’UUNNAA MMAATTRRIIUU
Hi ha dos mètodes:
- Mètode dels determinants: el veurem en el tema següent.
- Mètode de Gauss (El més utilitzat i pràctic):
El rang d’una matriu es calcula buscant:
el determinant més gran que no és zero.
La metodologia és anar calculant els diferents determinants possibles, primer començant pels més grans i
acabant pels més petits.
Atesa una matriu 44 ...
Primer: es fa el determinant més gran possible, és a dir, 4x4:
Si NO és zero, el rang de la matriu és 4. S’ha acabat l’exercici.
Si és zero, el rang < 4 Seguirem el càlcul: és a dir, el segon pas:
Segon: es calculen tots els determinants 3x3 possibles:
El primer d’ells que NO sigui zero, ja sabem que el rang és 3. Final de l’exercici.
Si tots són zero, el rang < 3. Seguirem el càlcul amb el tercer pas, però ara amb els
determinants de 2x2.
I així successivament.
exemple: Troba el rang de la matriu
987
301
021
A .
Resolució:
Hi ha algun determinant d’ordre 1 que sigui no nul?
Sí, qualsevol nombre de la matriu, excepte els zeros com a mínim el r (A) = 1.
Hi ha algun determinant d’ordre 2 que sigui no nul?
Sí, per exemple
01
21 com a mínim el r (A) = 2.
Hi ha algun determinant d’ordre 3 que sigui no nul?
13
No ja que l’únic que es pot construir té 0A el r (A) = 2.
exercici: Troba el rang de la matriu
0 1 2 5
A 7 2 1 3
7 0 5 7
. (r(A) = 2)
exercicis complementaris: 5.
44..-- RREESSOOLLUUCCIIÓÓ DDEE SSIISSTTEEMMEESS
4.1.- Mètode de la matriu inversa
Un sistema pot expressar-se en forma matricial de la manera següent:
n
2
1
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
c
c
c
x
x
x
a...aa
...............
a...aa
a...aa
L’expressió es pot deixar com: A X C·
exemple: La forma matricial de:
6zyx
9zyx2
12zy2x3
és:
6
9
12
z
y
x
111
112
123
on:
14
111
112
123
A
z
y
x
X
6
9
12
C
Si multipliquem X•A
z
y
x
111
112
123
zyx
zyx2
zy2x3
NOTA: Recorda que per poder multiplicar dues matrius és necessari que coincideixen les columnes de
la 1a i les files de la 2a).
Si multipliquem l’expressió A X C· per la matriu A1 s’obté: A A X A C 1 1· · ·
com que: A A I 1 · (matriu identitat) tindrem: I X A C· · 1
i atès que: XX•I , resulta que X A C 1 · ; que és una de les maneres de resoldre un sistema
d’equacions.
NOTA: Fixa’t que és necessari que la matriu A tingui inversa.
exemple: Soluciona el sistema
6
9
12
z
y
x
111
112
123
pel mètode de la matriu inversa.
Resolució:
Primer hem de saber si la matriu A es pot invertir. Per això el seu determinant ha de ser diferent de zero:
03
111
112
123
A
Calculem la matriu inversa A1 (pel mètode de Gauss-Jordan):
100123
010112
001111
103410
012110
001111
111300
012110
001111
15
3
1
3
1
3
1100
3
1
3
4
3
5010
001111
3
1
3
1
3
1100
3
1
3
4
3
5010
011001
3
1
3
1
3
13
1
3
4
3
5011
A 1
1
2
3
12
9
6
•
3
1
3
1
3
13
1
3
4
3
5011
z
y
x
x = 3, y = 2 i z = 1.
exemple: Resol el sistema
6zy2x7
1z4y5x3
4zyx
pel mètode de la matriu inversa. (Sol: x = 1; y = 2 i z = 3)
4.2.- Mètode de Cramer
El valor de cada incògnita s’obté dividint el determinant que es forma de substituir pels termes
independents la columna que formen els coeficients de l'esmentada incògnita entre el determinant del sistema.
Operativament: xA
A
x
11
xA
A
x
22
xA
A
x
33
on
nn2nn
n2222
n1121
x
a...ac
..............
a...ac
a...ac
A1
nnnn2
n2221
n1111
x
a...ca
..............
a...ca
a...ca
A2 ......
n2n1n
22221
11211
x
c...aa
..............
c...aa
c...aa
A1
exemple: Resol aquest sistema
2z9y4x
2z3y2x
3zyx
pel mètode de Cramer.
16
Resolució:
primer calculem 2
941
321
111
A
després: Ax
3 1 1
2 2 3
2 4 9
6 ; 2
921
321
131
Ay
i 2
241
221
311
Az
i per tant: xA
A
x
6
23 y
A
A
y
2
21 1
2
2
A
Az z
exemple: Resol per Cramer.
4zyx2
5zy3x
4zy2x
(Sol: x = 1; y = 1 i z = 1)
exercicis complementaris: 6 i 7.
17
55..-- DDIISSCCUUSSSSIIÓÓ DDEE SSIISSTTEEMMEESS
5.1.- Sense paràmetres
Es planteja el problema d’un sistema de la forma general, és a dir, un sistema amb m equacions lineals i
n incògnites:
Per a l’estudi de la compatibilitat hem de definir dues matrius i els seus rangs:
A, la matriu m n, formada pels coeficients de les incògnites.
mn2m1m
n22221
n11211
a...aa
...............
a...aa
a...aa
A
A+, la matriu ampliada: és la matriu anterior on s’incorporen, a més, els termes independents dels
sistema.
mmn2m1m
2n22221
1n11211
ca...aa
..................
ca...aa
ca...aa
A
Sigui r el rang d’A i sigui r+ el rang de A
+. L’expressió més habitual és:
rAr i rAr
Teorema de Roché-Fröbenius:
Si les matrius A i A+ obtingudes del sistema tenen diferent rang, l'última columna de la matriu A no és
combinació lineal de les columnes anteriors, és a dir, el sistema no admet cap solució, és incompatible.
Explicació ...
En el cas que ArAr el sistema és compatible; si nAr totes les incògnites quedaran en el
primer terme i la solució és única, però si nAr hi haurà més incògnites que equacions el sistema tindrà
infinites solucions.
18
atindetermin
determinat
nrr
nrr
rr Sistema compatible
rr Sistema incompatible
exemple:
0yx
2yx ( m = n = 2 )
Resolució:
Les dues matrius que hem de buscar són:
11
11A
011
211A
Com que 0211
11A
El rang de A és 2 (r = 2). (El sistema és de Cramer) També podem
veure que r+ = 2. Només cal que agafem la matriu anterior que està inclosa en l’ampliada.
el sistema és compatible i determinat: r = r+ = 2.
exemple: Discuteix el sistema següent:
3z2y
3yz2
0zx
2zyx
( m = 4, n = 3 )
Resolució:
El rang de A el calcularem a través del mètode de fer zeros.
210
012
101
111
A
210
210
210
111
000
000
210
111
r = 2.
19
3210
3012
0101
3111
A
3210
3210
3210
1321
0000
0000
3210
1321
2r
Observa que si r = r+ < n el sistema és compatible i indeterminat.
exemple: El sistema
1zyx
2z5y4x2
7yx3
és ... Sol: r = r* = 2 < n C. indet.
5.2.- Amb paràmetres
Discutir i estudiar un sistema amb paràmetres consisteix en classificar el sistema; és a dir, veure si és
compatible o incompatible, i en cas que sigui compatible esbrinar si és determinat o indeterminat en funció
d’aquell paràmetre.
Els paràmetres se solen simbolitzar amb lletres diferents de les utilitzades per a les variables del sistema.
Les més comunes són: a, k, m, , , etc.
Hi ha diversos mètodes:
20
Mètode dels rangs o Roché-Fröbenius. Els rangs es poden determinar per Gauss o per
determinants.
Rangs per Gauss: per a mi, el millor.
Avantatges: és el que estem acostumats a fer sempre.
Serveix per a qualsevol tipus de sistema.
Inconvenients: a vegades se’ns pot escapar algun valor.
Si hi ha molts paràmetres es fa força difícil
per fer aquest ja s’hagués pogut fer el mètode de Gauss directa.
Rangs per determinants: és el “lleig”.
Avantatges: crec que cap.
Sempre és igual de difícil.
Inconvenients: és molt pesat anar calculant els diferents determinants que, en alguns
casos en poden ser molts.
Mètode de Gauss: molt semblant al Rangs per Gauss.
Avantatges: és el que estem acostumats a fer sempre.
Serveix per a qualsevol tipus de sistema.
Inconvenients: a vegades se’ns pot escapar algun valor.
Si hi ha molts paràmetres es fa força difícil.
a vegades és difícil explicar correctament la justificació de perquè és un
tipus o un altre.
Mètode de Cramer: és el que us agradarà més.
Avantatges: és molt mecànic i fàcil de recordar.
Inconvenients: només serveix per a sistemes quadrats: 2x2, 3x3, 4x4, etc..
exemple: Discuteix el sistema
1z4y5kx
3z2yx
1zy2x3
.
Resolució:
En ser un sistema 3x3, es pot fer per qualsevol mètode. En aquest cas optarem pel mètode de Gauss.
21
45k
211
123
A
k54
112
321
12k30
730
321
k 12 = 7 k = 5
Si k = 5 r = 2, però si k 5 r = 3.
Per una altra part:
145k
3211
1123
A
k451
1213
3121
3k330
8570
3121
3r
Resumint: si k = 5 r = 2 i r+ = 3 incompatibles
k 5 r = r+ = n = 3 compatible i determinat.
exemple: Determina el valor de a perquè el sistema
01ayxa
0ayax
0ayax
2
2
2
sigui compatible.
Resolució:
Observa que no es tracta d’un sistema homogeni, sinó que...
1ayxa
ayax
ayax
2
2
2
(3 equacions 2 incògnites).
En haver dues incògnites ...
No es pot resoldre per Cramer; per tant, el farem per Rangs + determinants (el lleig).
Calcularem el determinant de la matriu ampliada: 1a01a2a
1aa
a1a
aa136
2
2
Observa que en col·locar la solució de a tenim que una de les equacions és combinació lineal de les
altres. Les matrius queden:
22
11
11A
11
11
11
A r (A) = 2
111
111A
111
111
111
A r (A+) = 2
Resumint: si a = 1 r = 2 i r+ = 2 compatible i determinat.
exercicis complementaris: 8 i 9.
