1

FÍSICA NUCLEAR Septiembre 2017. Pregunta 5A.- Un átomo de

238U se desintegra a través de una cascada

radioactiva y da lugar a un átomo de 206

Pb, siendo el periodo de semidesintegración del 238

U de 4,47·109

años. Una muestra mineral de monacita contiene 2,74 mg de 238

U y 1,12 mg de 206

Pb procedentes de la

desintegración del uranio. a) Obtenga el número de átomos iniciales de

238U en la muestra, a partir del cálculo del número de

átomos de uranio y de plomo existentes en ella.

b) Calcule la antigüedad del mineral y determine la actividad actual de la muestra. Datos: Masa atómica del 238U, MU = 238,05 u; Masa atómica del plomo 206Pb, MPb = 205,97 u; Número de

Avogadro, NA = 6,02·1023 mol‒1.

Solución. a. Cada núcleo de 238U que se desintegra da lugar a un núcleo 206Pb, por lo tanto el número de núcleos

iniciales será la suma del número de núcleos de 238U que quedan sin desintegrar con el número de núcleos de 206Pb

que se han formado. Si designo por N al número de núcleos que tiene el mineral y No al de núcleos iniciales:

( ) núcleos 1093,6U mol

U núcleos 1002,6

U g 05,238

Umol 1Ug102,74 UN 18

238

23823

238

2382383-238 ⋅=

⋅⋅⋅⋅=

( ) núcleos 1027,3Pb mol

Pb núcleos 1002,6

Pb g 97,205

Pb mol 1Ug101,12PbN 18

206

20623

206

2062383-206 ⋅=

⋅⋅⋅⋅=

( ) ( ) núcleos 1002,11027,31093,6PbNUNN 191818206238o ⋅=⋅+⋅=+=

b. La antigüedad del mineral se calcula mediante la ecuación fundamental de la radioactividad.

tλo eNN −⋅=

Siendo λ la constante de desintegración, que se puede calcular a partir del periodo de semidesintegración (tiempo

necesario para que el número de núcleos iniciales se reduzca a la mitad).

2 LnT λ2

1LnT λeN

2

N21

logaritmos Prop

21T λ

oo 21 = →=−⇒⋅=

−

110

921

a 1055,1104,47

2 Ln

T

2 Lnλ −−⋅=

⋅==

Si la ecuación fundamental se aplica al número de núcleos actuales, se calcula la edad del mineral.

t1055,11918 10

e1002,11093,6−⋅−

⋅⋅=⋅

Tomando logaritmos neperianos se despeja t

a 105,21055,1

1002,1

1093,6Ln

t 9

10

19

18

⋅≈⋅−

⋅

⋅

=−

Aproximadamente 2500 millones de años

La actividad de la muestra, es el número de núcleos que se desintegran en la unidad de tiempo, se calcula

como el producto del número de núcleos por la constante de desintegración.

año cionesDesintegra

1007,11093,61055,1NλA 91810 ⋅=⋅⋅×=⋅= −

En el sistema internacional se expresa en Bq (Becquerel) que equivale a una desintegración por segundo.

Bq 1,34s 3600

h 1

h 24

d 1

d 365

año 1

año

cionesDesintegra1007,1A

9 ≈⋅⋅⋅⋅=

2

Junio 2017. Pregunta 5A.- Se dispone de una muestra del isótopo 226

Ra cuyo periodo de

semidesintegración es 1588,69 años.

a) Determine la constante de desintegración del isótopo.

b) Transcurridos 200 años, el número de núcleos que no se han desintegrado es 9,76·1016

. ¿Cuál era

la masa inicial de la muestra de 226

Ra? Datos: Masa atómica del 226Ra, M = 226 u; Número de Avogadro, NA = 6,02·1023 mol‒1.

Solución. a. El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda una muestra en reducir el número de

núcleos a la mitad.

Partiendo de la ecuación fundamental de la radioactividad ( )t λo e NN −= , donde N representa el

número de núcleos que quedan sin desintegrar, No el número de núcleos iniciales y λ la constante de

desintegración (característica de cada isótopo), y aplicando a las condiciones de semidesintegración, se

obtiene una expresión de la constante de desintegración en función del periodo de semidesintegración

(T½).

½T λo

o

o

t λo e N

2

N:

2NN

e NN −−

=

=

=

Simplificando No y tomando logaritmos neperianos se despeja λ

2

1LnT λ ½ =− ; 2 LnT λ ½ = ;

14

½

a 1036,469,1588

2 Ln

T

2 Lnλ

−−×===

b. Aplicando la ecuación fundamental:

t λo e NN −= ; núcleos 1006,1

e

1076,9

e

NN 17

2001036,4

16

t λo 4⋅=

⋅==

⋅⋅−

−

− −

Conocido el número de núcleos iniciales, mediante el número de Avogadro y la masa atómica

del elemento, se puede calcular la masa inicial.

( ) gµ 40g104mol

g 226

núcleos1002,6

mol 1núcleos1006,1Ram 5

23

17 =⋅=⋅⋅

⋅⋅= −

Septiembre 2016. Pregunta 5A.- Después de 191,11 años el contenido en 226

Ra de una

determinada muestra es un 92% del inicial.

a) Determine el periodo de semidesintegración de este isótopo.

b) ¿Cuántos núcleos de 226

Ra quedarán, transcurridos 200 años desde el instante inicial, si la masa

inicial de 226

Ra en la muestra era de 40 µg? Datos: Masa atómica del 226Ra, M = 226 u; Número de Avogadro, NA = 6,02·1023 mol‒1.

Solución.

a. Aplicando la ecuación general de la radioactividad ( ) tλo e NN −= al 21T , tiempo para que se

reduzca a la mitad el número de núcleos iniciales se obtiene el periodo de semidesintegración.

21T λo

o e N2

N −= 21T λ

e2

1 −=

Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros y ordenando se obtiene la expresión del

periodo de semidesintegración en función de la constante de desintegración:

=

− 21T λe Ln

2

1 Ln

λ

2LnT 21 =

La constante de desintegración se puede calcular aplicando la ecuación general al número de

núcleos que quedan sin desintegrar pasados 191,11 años.

11,191λoo

o

tλo e NN

100

92;

N100

92N

a 11,191t;e NN ⋅−− =

=

==

Simplificando y tomando logaritmos neperianos, se despeja λ y se calcula 21T .

100

92Lnλ 11,191 =− ;

( ) 14 a 1036,411,191

92,0Lnλ −−×=

−=

3

a 69,15881036,4

2Ln

λ

2LnT

421 =×

==−

b. Se aplica la ecuación general al número de núcleos iniciales.

( ) Ra núcleos 10065,1Ra mol

Ra núcleos 1002,6

Ra g 226

Ra mol 1Ra g1040RaN 17

236

o ×=×

⋅⋅×= −

Ra núcleos 10765,9e10065,1e NN 162001036,417 tλo

4

×=⋅×== ⋅×−− −

Junio 2016. Pregunta 5A.- El isótopo radiactivo

131I es utilizado en medicina para tratar

determinados trastornos de la glándula tiroides. El periodo de semidesintegración del 131

I es de 8,02 días.

A un paciente se le suministra una pastilla que contiene 131

I cuya actividad inicial es 55·106 Bq.

Determine:

a) Cuántos gramos de 131

I hay inicialmente en la pastilla.

b) La actividad de la pastilla transcurridos 16 días.

Datos: Número de Avogadro, NA = 6,02·1023

mol‒1

; Masa atómica del 131

I, MI = 130,91 u.

Solución. a. El número de núcleos iniciales se puede calcular a partir de la actividad inicial.

oo NλA ⋅=

La constante de desintegración (λ) se calcula con el periodo de semidesintegración (tiempo

necesario para reducir el número de núcleos iniciales a la mitad).

t λoeNN −= 21t λ

oo eN

2

N −= 21t λe

2

1 −= 16

21

s 100,136002402,8

2 Ln

t

2 Lnλ −−⋅=

⋅⋅==

núcleos105,5100,1

1055

λ

AN 13

6

6o

o ⋅=⋅

⋅==

−

Conocidos el número de núcleos iniciales, se calcula la masa de I131

( ) I g 196,1I mol

I g 91,130

Núcleos 1002,6

I mol 1Núcleos 105,5Im 131

131

131

23

13113131 =⋅

⋅⋅⋅=

b. La actividad al cabo de un tiempo t viene expresado por:

Bq 108,13e 1055e AA 636002416100,16t λo

6

⋅=⋅== ⋅⋅⋅⋅−− −

Modelo 2016. Pregunta 5A.- La masa de cierto isótopo radiactivo decae a un octavo de su cantidad

original en un tiempo de 5 h. Determine:

a) La constante de desintegración de dicho isótopo y su vida media.

b) El tiempo que debe transcurrir para que la masa de dicho isótopo sea un 10% de la masa inicial.

Solución. a. Mediante la ecuación fundamental de la radioactividad, se puede llegar a establecer una relación

entre la masa inicial y la masa que queda sin desintegrar pasado un cierto tiempo.

Ecuación fundamental: tλo eNN −⋅= , donde N y No representa los núcleos que quedan sin

desintegrar y los iniciales respectivamente, λ la constante de desintegración y t el tiempo transcurrido.

El como se trata de núcleos del mismo isótopo, número de núcleos se puede calcular en función

de la masa:

( )( )

( )molnuclosNmolgM

gmN A

a

⋅=

Donde Ma representa a la masa atómica del elemento y NA el número de Avogadro.

Sustituyendo en la ecuación fundamental: tλ

Aa

oA

a

eNM

mN

M

m −⋅=

4

tλAo eNmm −⋅⋅=

Según el enunciado, para t = 5 h, 8

mm o= , sustituyendo en la ecuación fundamental y

expresando el tiempo en segundo:

( ) 14λ1800036005λo

o s 1016,118000

8Ln

18000

8

1Ln

λ ; 8

1e ; em

8

m −−−⋅⋅− ×==

−

==⋅=

La vida media ( )τ es el tiempo que por término medio tarda un núcleo en desintegrarse, siendo

su valor el inverso de la constante de desintegración.

s 2,86561016,1

1

λ

1τ

4=

×==

−

b. Utilizando la misma expresión que en el apartado anterior, y utilizando el valor de la constante

de desintegración y la relación entre las masas iniciales y finales, se despeja el tiempo.

13 h5s 19850101,16

10Ln

101,16

10

1Ln

t ; 10

1e ; em

10

m44

t101,16t101,16o

o44

′≈≈×

=×

−

==⋅=−−

×−×− −−

Septiembre 2015. Pregunta 5B.- El isótopo 18

F (ampliamente utilizado en la generación de

imágenes médicas) tiene una vida media de 110 minutos. Se administran 10 µg a un paciente.

a) ¿Cuál será la actividad radiactiva inicial?

b) ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que queda sólo un 1% de la cantidad inicial?

Datos: Masa atómica del 18

F, M = 18 u; Número de Avogadro, NA = 6,02·1023

mol‒1

.

Solución. a. La actividad inicial es el número de núcleos que se descomponen inicialmente en la unidad de

tiempo.

λNA oo ⋅=

F núcleos 1034,3F mol 1

F núcleos 1002,6

F g 18

F mol 1

F gµ 1

F g 10F gµ 10N 1817

18

1823

18

18

18

18618

o ⋅=⋅

⋅⋅⋅=−

14s 1052,1

60110

1

τ

1λ

−−⋅=⋅

==

sNúcleos1006,51052,11034,3λNA 13417

oo ⋅=⋅⋅⋅=⋅= −

b. Se calcula aplicando la ecuación fundamental de la radioactividad: tλ

o eNN −⋅=

oN100

1N = ⇒

tλoo eNN

100

1 −⋅= tλ

e100

1 −= 100

1Lntλ =−

'25 h8s302971052,1

100 Ln

λ

100 Lnt

4==

⋅==

−

Junio 2015. Pregunta 5A.- Cuando se encuentra fuera del núcleo atómico, el neutrón es una

partícula inestable con una vida media de 885,7 s. Determine:1

a) El periodo de semidesintegración del neutrón y su constante de desintegración.

b) Una fuente de neutrones emite 1010

neutrones por segundo con una velocidad constante de 100

km s‒1

. ¿Cuántos neutrones por segundo recorren una distancia de 3,7·105 km sin desintegrarse?

Solución.

a. s 7,885τ = 13 s 10129,17,885

1

τ

1λ −−×===

5

Aplicando la ecuación general de la radioactividad ( ) tλo e NN −= al 21t ,

=⇒=

2

NNtt mitad la a osradioactiv núcleos de número el reduzca se que para tiempo o

21 se obtiene

el periodo de semidesintegración.

21 tλo

o e N2

N −= 21 tλ

e2

1 −=

Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros y ordenando se obtiene la expresión del

periodo de semidesintegración en función de la constante de desintegración:

=

− 21 tλe Ln

2

1 Ln s 614

10129,1

2ln

λ

2Lnt

321 ≈×

==−

b. Se calcula el tiempo que los neutrones tardan en recorre la distancia propuesta y con ese tiempo

se calcula el numero de neutrones que quedan sin desintegrarse.

s 3700s Km 100

Km 107,3

v

st

1

5

=×

==−

El número de neutrones que quedan sin desintegrarse pasado ese tiempo se calcula mediante la

ecuación fundamental de la radioactividad.

8370010129,110 tλo 1053,1e10e NN

3

×=⋅== ⋅×−− −

Modelo 2015. Pregunta 5B.- En un meteorito esférico de radio 3 m se ha encontrado U-238. En el

momento de formación del meteorito se sabe que había una concentración de 5×1012

átomos de U-238 por

cm3 mientras que en la actualidad se ha medido una concentración de 2,5×10

12 átomos de U-238 por cm

3.

Si la vida media de dicho isótopo es 4,51×109 años, determine:

a) La constante de desintegración del U-238.

b) La edad del meteorito.

Solución. a. Vida media (τ) ≡ tiempo que por término medio tardará un núcleo en desintegrase.

λ

1τ = λ ≡ Constante de desintegración.

117110

9s 1047,6

s 3600

h 1

h 24

d 1

d 365

a 1a1004,2

a 1051,4

1

τ

1λ

−−−−×=⋅⋅⋅×=

×==

b. Aplicando a ecuación fundamental de la desintegración: tλ

oeNN −=

Teniendo en cuenta que el número de núcleos se puede calcular multiplicando la concentración

por el volumen, y suponiendo que el volumen del meteorito no ha variado:

[ ] [ ] tλo e VUVU −⋅=⋅ [ ] [ ] tλ

o e UU −=

[ ][ ]o

tλ

U

Ue =−

[ ][ ]

a 3398105

105,2Ln

a 1004,2

1

U

ULn

λ

1t

12

12

110o

≈

×

×⋅

×

−=⋅

−=

−−

Septiembre 2014. Pregunta 5B.- Inicialmente se tienen 6,27×1024

núcleos de un cierto isótopo

radiactivo. Transcurridos 10 años el número de núcleos radioactivos se ha reducido a 3,58×1024

.

Determine:

a) La vida media del isótopo.

b) El periodo de semidesintegración.

Solución. a. Vida media (τ) ≡ tiempo que por término medio tardará un núcleo en desintegrase.

λ

1τ = λ ≡ Constante de desintegración.

6

La constante de desintegración se calcula aplicando los datos del enunciado a la ecuación

fundamental de la desintegración.

tλo eNN −⋅=

o

tλ

N

Ne =−

oN

NLnt λ =−

N

NLn

t

1λ o=

s1078,11058,3

1027,6Ln

h

s3600

d

h24

a

d365a 10

1λ 9

24

24−×=

×

×

⋅⋅⋅

=

d 30 m 10 a 17s 1063,51077,1

1

λ

1τ

8

9≈×=

×==

−

b. El periodo de semidesintegración (T1/2) o periodo de semivida es el tiempo que debe transcurrir

para que el número de núcleos presentes en una muestra se reduzca a la mitad.

21 tλ

oo

o

tλo eN

2

N:

2NN

eNN −−

⋅=

=

⋅=

2

1e 21 tλ

=−

Tomando logaritmos

s109,31078,1

2 Ln

λ

2 Lnt

8

921 ×=×

==−

Junio 2014. Pregunta 5B.- Una cierta muestra contiene inicialmente 87000 núcleos radiactivos.

Tras 22 días, el número de núcleos radiactivos se ha reducido a la quinta parte. Calcule:

a) La vida media y el periodo de semidesintegración de la especie radioactiva que constituye la

muestra.

b) La actividad radioactiva (en desintegraciones por segundo) en el instante inicial y a los 22 días.

Solución. a. Aplicando la ecuación fundamental de la radiactividad se calcula la constante de desintegración

( λ ) , y conocida λ, se calcúlale valor de la vida media (τ).

1900800λooo

t λo eNN

5

1:N

5

1Ns1900800d22t:eNN

⋅−− =

====

5

1e

λ1900800 =− ( )

5

1LneLn

λ1900800 =− 5Lnλ1900800 −=−

17s1047,8

1900800

5Lnλ

−−×==

La vida media, “tiempo que por término media tardará un núcleo en desintegrase”, se calcula

como el inverso de la constante de radiactividad.

s1018,11047,8

1

λ

1τ

6

7×=

×==

−

El periodo de semidesintegración ( )21T , es el tiempo que tarda en reducirse el número de núcleos

iniciales a la mitad.

2121 TλTλ

oo

o

21t λ

o e2

1 ;eN

2

N:

2

NN

Tt

:eNN⋅−⋅−−

==

=

=

=

Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros y despejando:

d 9,5s 8186301047,8

2Ln

λ

2LnT

721 ≈=×

==−

b. Se denomina actividad (A) de una sustancia radiactiva al número de desintegraciones que se

producen por unidad de tiempo, en el sistema internacional se mide en Becquerel (Bq), que representa el

número de desintegraciones por segundo.

Nλdt

dNA ⋅==

- Inicialmente: Bq 074,0870001047,8NλA 7oo =⋅×=⋅= −

7

- T=22 d: Bq 015,05

870001047,8

5

NλNλA

7o =⋅×=⋅=⋅=−

Modelo 2014. Pregunta 5A.- Una roca contiene dos isótopos radioactivos, A y B, de periodos de

semidesintegración 1600 años y 1000 años, respectivamente. Cuando la roca se formó el contenido de

núcleos de A y B era el mismo.

a) Si actualmente la roca contiene el doble de núcleos de A que de B, ¿qué edad tiene la roca?

b) ¿Qué isótopo tendrá mayor actividad 2500 años después de su formación?

Solución. a. El número de núcleos radioactivos que quedan sin desintegrar en una muestra pasado un tiempo

t, viene dado por la expresión:

tλo eNN ⋅−⋅=

Aplicando a cada uno de los isótopos:

⋅=

⋅=⋅−

⋅−

tλoB

tλoA

B

A

eNN

eNN

Comparando ambas expresiones para el tiempo to, y siendo este el tiempo en el que se cumple

que NA = 2·NB:

oB

oA

tλo

tλo

B

B

B

A

eN

eN

N

N2

N

N

⋅−

⋅−

⋅

⋅=

⋅=

( )ABo

oB

oAλλt

tλ

tλ

ee

e2

−⋅

⋅−

⋅−

==

Tomando logaritmos neperianos, se despeja el tiempo transcurrido ( )ot .

( )ABo λλt2 Ln −⋅= ( )AB

oλλ

2 Lnt

−=

Las constantes de desintegración ( )λ se calculan a partir de los periodos de semidesintegración

de ambos isótopos

=λ

2LnT 21 .

( )14

21A año 1033,4

1600

2Ln

AT

2Lnλ −−×===

( )14

21B año 1093,6

1000

2Ln

BT

2Lnλ −−×===

Sustituyendo loas constantes en la expresión del tiempo transcurrido:

( ) ( )años 95,2665

1033,41093,6

2 Ln

λλ

2 Lnt

44AB

o =×−×

=−

=−−

b. La actividad de una muestra, es el número de núcleos radioactivos que quedan sin desintegrar

multiplicados por la constante de radioactividad, representa la velocidad de desintegración, es decir, el

número de desintegraciones que se producen por unidad de tiempo.

tλo eNλNλA ⋅−⋅⋅=⋅=

Aplicando la definición de actividad a cada uno de los isótopos y comparando:

( ) tλλ

B

A

tλoB

tλoA

B

Atλ

oBB

tλoAA AB

B

A

B

A

eλ

λ

eNλ

eNλ

A

A:

eNλA

eNλA ⋅−

⋅−

⋅−

⋅−

⋅−

⋅=⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

Sustituyendo por los datos

( ) ( )120,1e

1093,6

1033,4e

λ

λ

A

A 25001033,41093,6

4

4tλλ

B

A

B

A44

AB >=⋅×

×=⋅=

⋅×−×

−

−⋅− −−

1A

A

B

A > BA AA >>>>

Pasados 2500 años, la actividad del isótopo A es mayor que la del isótopo B.

8

Septiembre 2013. Pregunta 4A.- Dos muestras de material radioactivo, A y B, se prepararon con tres

meses de diferencia. La muestra A, que se preparó en primer lugar, contenía doble cantidad de cierto

isótopo radioactivo que la B. En la actualidad, se detectan 2000 desintegraciones por hora en ambas

muestras. Determine:

a) El periodo de semidesintegración del isótopo radioactivo.

b) La actividad que tendrán ambas muestras dentro de un año.

Solución. a. El periodo de semidesintegración ( )21T o periodo de semivida es el tiempo que debe transcurrir

para que el número de núcleos presentes en una determinada muestra se reduzca a la mitad. Se puede

expresar en función de la constante de desintegración (λ), y esta expresión se obtiene si en la ecuación

fundamental de la radioactividad ( ) tλoeNN −= se sustituye N por 2No , obteniendo:

21T λo

o eN2

N −=

λ

2 LnT 21 =

Para calcular la constante de desintegración nos dan los siguientes datos:

( ) ( ) 12B1A h 2000tAtA −== siendo h 2160tmeses 3tt 221 +=+= y ( ) ( )BN2AN oo =

( )( )

⋅⋅=⋅=

⋅⋅=⋅=→

⋅=

⋅=

−

−

−2

1

t λoBB

t λoAA

tλo eBNλNλA

eANλNλA

eNN

NλA

Igualando:

( ) ( ) 21 t λo

t λo eBNλeANλ

−−⋅⋅=⋅⋅

( )( ) 1

2

t λ

t λ

o

o

e

e

BN

AN−

−

=

Teniendo en cuenta los datos:

( )( )

( )21 ttλ

o

o eBN

BN2 −=

⋅

( )22 t2160tλe2

−+= λ2160e2 =

2160

2Lnλ =

Conocida la constante se calcula el periodo de semidesintegración.

h 216021602 Ln

2 Ln

λ

2 LnT 21 ===

b. La actividad de una muestra viene expresada en función del tiempo y la actividad inicial por: tλ

o eAA −⋅=

Si se considera la actividad inicial como la actividad que tiene en el momento actual, y la

constante de desintegración la despejamos del periodo de semidesintegración:

14

21

h 1021,32160

2 Ln

T

2 Lnλ −−×===

( ) t1021,3 4

e2000tA−×−⋅=

Siendo t el tiempo expresado en horas

( ) 1360024365 1021,3 h 8,141e2000año 1A4 −⋅⋅×− =⋅=

−

Junio 2013. Pregunta 4A.- La vida media de un elemento radioactivo es de 25 años. Calcule:

a) El tiempo que tiene transcurrir para que una muestra del elemento radioactivo reduzca su

actividad al 70%.

b) Los procesos de desintegración que se producen cada minuto en una muestra que contiene 109

núcleos radioactivos.

Solución.

a. Se pide calcular el tiempo para que oA100

70A = , teniendo en cuenta que A = λN:

oNλ 7,0Nλ = oN 7,0N =

Aplicando la ecuación fundamental la desintegración ( )tλoeNN −= :

otλ

o N7,0eN =− 70,0etλ

=−

( ) 7,0LneLn tλ =− 7,0Lntλ =−

9

λ

7,0Lnt −=

La constante de desintegración (λ) se obtiene de la vida media (τ) del elemento.

λ

1τ =

1a

25

1

τ

1λ

−==

a 9,8a251

7,0Lnt

1=−=

−

b. El número de núcleos desintegrados en 60 segundos, es la diferencia entre el número de núcleos

iniciales y el número de núcleos que quedan sin desintegrar pasado ese tiempo.

( ) 60λooo eNN60tNNdosdesintegra núcleos nº ⋅−−==−=

( )min

nucleos 1,76e110e1Ndosdesintegra núcleos nº6010268,1960λ

o

9

=

−⋅=−=

⋅×−⋅− −

Modelo 2013. Pregunta 5A.- El Co-60 es un elemento radiactivo cuyo período de

semidesintegración es de 5,27 años. Se dispone inicialmente de una muestra radiactiva de Co-60 de 2 g de

masa. Calcule:

a) La masa de Co-60 desintegrada después de 10 años.

b) La actividad de la muestra después de dicho tiempo.

Dato: Número de Avogadro: N = 6,023×1023

mol‒1

Solución. a. El número de núcleos (N) que quedan sin desintegrar de un material radioactivo pasado un

tiempo t, viene dado por la expresión: tλ

oeNN −=

Donde No representa el número de núcleos iniciales y λ es la constante de desintegración. Esta ecuación

también se puede expresar en función de la masa inicial de núcleos radioactivos (mo) y de la masa

existente (m) después de transcurrir un tiempo determinado. tλ

oemm −=

La constante de desintegración se puede obtener a partir del periodo de semidesintegración (T½),

que representa el tiempo necesario para que la muestra se reduzca a la mitad.

21Tλo

o

o

tλo

eN2

N:

2N

N

eNN −−

=

=

= 21Tλ2Ln = 1

21

año 1315,027,5

2Ln

T

2Lnλ −===

g 537,0e2emm 101315,0tλo =⋅== ⋅−−

La masa desintegrada es la diferencia entre la inicial y la que queda sin desintegrar.

g 463,1537,02m =−=

b. La actividad de una muestra de una sustancia radioactiva es el número de desintegraciones que

se producen por unidad de tiempo.

NλeNλeNdt

d

dt

dNA

tλo

tλo ====

−−

nucleos1039,5mol

nucleos10023,6

molg

60

g537,0N

M

mNnN

2123AA ×=×⋅=⋅=⋅=

19

21

s 1017,436002436527,5

2Ln

T

2Lnλ −−×=

⋅⋅⋅==

Bq1025,21039,51017,4Nλdt

dNA

13219×=×⋅×===

−

10

Septiembre 2012. Pregunta 5B.- El periodo de semidesintegración de un isótopo radiactivo es de

1840 años. Si inicialmente se tiene una muestra de 30 g de material radiactivo,

a) Determine que masa quedara sin desintegrar después de 500 años.

b) ¿Cuanto tiempo ha de transcurrir para que queden sin desintegrar 3 g de la muestra?

Solución. a. El número de núcleos (N) que quedan sin desintegrar de un material radioactivo pasado un

tiempo t, viene dado por la expresión: tλ

oeNN −=

Donde No representa el número de núcleos iniciales y λ es la constante de desintegración. Esta ecuación

también se puede expresar en función de la masa inicial de núcleos radioactivos (mo) y de la masa

existente (m) después de transcurrir un tiempo determinado. tλ

oemm −=

La constante de desintegración se puede obtener a partir del periodo de semidesintegración (T½),

que representa el tiempo necesario para que la muestra se reduzca a la mitad.

21Tλo

o

o

tλo

eN2

N:

2N

N

eNN −−

=

=

= 21Tλ2Ln = 14

21

año10767,31840

2Ln

T

2Lnλ −−×===

g 85,24e30emm 50010767,3tλo

4

=⋅== ⋅×−− −

b. tλoemm −=

o

tλ

m

me =

−

om

mLntλ =−

om

mLn

λ

1t

−=

años 5,611230

3Ln

10767,3

1t

4=

×

−=

−

Junio 2012. Pregunta 5A.- Se dispone de 20 g de una muestra radioactiva y transcurridos 2 días se

han desintegrado 15 g de la misma. Calcule

a) La constante de desintegración radiactiva de dicha muestra

b) El tiempo que debe transcurrir para que se desintegre el 90% de la muestra

Solución. a. El número de núcleos que quedan sin desintegrar pasado un cierto tiempo de una muestra

radioactiva viene dado por la ecuación fundamental de la radioactividad, que una vez integrada queda: tλ

oeNN −=

Siendo No el número de núcleos iniciales, y λ la constante de desintegración caracteristica de

cada elemento.

Teniendo en cuenta .at .M

mn :

.at .M

mN o

o ==

tλoemm −=

Aplicando los datos del enunciado:

=−=→=

=

g 51520mdías 2t

g 20mo

d2λe 205 ⋅−=

Tomando logaritmos neperianos se despeja la constante:

20

5Lnλ2 =−

1d 69,0

4

1Ln

2

1λ

−=−=

b. Si se ha desintegrado el 90% de la muestra, quedará sin desintegrar el 10%:

oo m100

10m %10m ==

Sustituyendo en la ecuación general.

11

t69,0oo emm

100

10 −⋅= : 5min8h 3dd 34,369,0

1,0Lnt ==−=

Septiembre 2011. Problema 2B.- La constante radioactiva del Cobalto-60 es 0,13 años‒1

y su

masa atómica es 59,93 u. Determine:

a) El periodo de semidesintegración del isótopo.

b) La vida media del isótopo.

c) La actividad de una muestra de 20 g del isótopo.

d) El tiempo que ha de transcurrir para que en la muestra anterior queden 5 g del isótopo.

Dato: Nº de Avogadro = 6,02·1023

núcleos/mol.

Solución.

a. años 33,513,0

2 Ln

λ

2 LnT

21 ===

b. años 69,713,0

1

λ

1τ ===

c. Bq 1028,8g 93,59

nucleos1002,6g 20

s 360024365

añoaño 13,0NλA

1423

1×=

×⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅=

−

d. tλoemm −= ;

tλ

o

em

m −= ;

tλ

o

o

em

m4

1

−= ;

4

1e

tλ=

−

4

1Lnt λ =− ; 4 Lnt λ = ; años 7,10

13,0

4 Ln

λ

4 Lnt ===

Junio 2011. Cuestión 3B.- Se tiene una muestra de 80 mg del isótopo 226

Ra cuya vida media es de

1600 años.

a) ¿Cuánta masa del isótopo quedará al cabo de 500 años?

b) ¿Qué tiempo se requiere para que su actividad se reduzca a la cuarta parte?

Solución. a. Ecuación fundamental de la radioactividad:

tλoeNN −=

Donde:

- N ≡ nº de núcleos radioactivos que quedan sin desintegrar

- No ≡ nº de núcleos radioactivos iniciales

- λ ≡ constante de desintegración

- t ≡ tiempo

Esta ecuación también se puede expresar en función de las masas. tλ

oemm −=

La constante de desintegración se calcula a partir del dato de vida media, tiempo necesario que

por término medio tardará un núcleo en desintegrarse. La vida media (τ) es el inverso de la constante de

desintegración.

λ

1τ = ;

1a

1600

1

τ

1λ

−==

Aplicando los datos a le ecuación general, se calcula la masa de isótopo radioactivo que quedará

500 años después.

mg 9,58e 80m500

1600

1

==⋅−

12

b. Se define actividad (A) de una sustancia radioactiva como el número de desintegraciones que se

producen en la unidad de tiempo. La actividad de una sustancia se puede expresar en función de la

actividad inicial. tλ

oeAA −=

Si la actividad se reduce a la cuarta parte de la inicial oA4

1A =

tλoo eAA

4

1 −= ;

tλe

4

1 −= ; tλ

4

1Ln −= ; años 2218

16001

4 Ln

λ

4 Lnt ===

Septiembre 2010 F.M. Cuestión 3B.- El tritio es un isótopo del hidrógeno de masa atómica igual

a 3,016 u. Su núcleo está formado por un protón y dos neutrones.

a) Defina el concepto de defecto de masa y calcúlelo para el núcleo de tritio.

b) Defina el concepto de energía media de enlace por nucleón y calcúlelo para el caso del tritio,

expresando el resultado en unidades de MeV.

Datos: Masa del protón mp = 1,0073 u; Masa del neutrón mn = 1,0087 u

Valor absoluto de la carga del electrón e = 1,6×10−19

C

Unidad de masa atómica u = 1,67×10−27

kg; Velocidad de la luz en el vacío c = 3×108 m/s

Solución. a. Se define el defecto de masa como la diferencia entre la suma de las masas de los protones y

neutrones que forman el núcleo y la masa de núcleo.

( ) MmZAmZm np −⋅−+⋅=∆

Siendo Z el número de protones o número atómico, A el número másico, A−Z el número de neutrones y

M la masa atómica.

u107,8016,30087,120073,11m∆3−

×=−⋅+⋅=

b. Se define energía de enlace o energía de ligadura del núcleo, a la energía que equivale al defecto

de masa de acuerdo con la ecuación de Einstein ( )2cmE ⋅∆= . La energía de enlace por nucleón es la

energía de enlace del núcleo dividida por el número de nucleones (partículas) que forman el núcleo.

J1031,1s

m103

u

kg1067,1u107,8cmE

122

82732 −−−×=

×⋅×⋅×=⋅∆=

MeV 17,8eV

MeV10

eVJ106,1

1J1031,1E

6

19

12=⋅

×⋅×=

−

−

−

Teniendo en cuenta que el núcleo del tritio esta formado por tres nucleones (1 protón + 2

neutrones), la energía de enlace por nucleón es:

nucleónMeV72,2

3

17,8E ==

Septiembre 2010 F.G. Cuestión 3B.- Una muestra de un organismo vivo presenta en el momento

de morir una actividad radiactiva por cada gramo de carbono, de 0,25 Bq correspondiente al isótopo 14

C.

Sabiendo que dicho isótopo tiene un periodo de semidesintegración de 5730 años, determine:

a) La constante radiactiva del isótopo 14

C.

b) La edad de una momia que en la actualidad presenta una actividad radiactiva correspondiente al

isótopo 14 C de 0,163 Bq, por cada gramo de carbono.

Datos: 1 Bq = 1 desintegración/segundo.

Considere 1 año = 365 días

Solución. a. La constante radioactiva se puede calcular conociendo la actividad inicial y el periodo de

semidesintegración. Según la ecuación fundamental de la radioactividad el número de núcleos activos en

función del tiempo es: t

o eNN λ−⋅=

Si se aplica esta ecuación al periodo de semidesintegración (T½ tiempo necesario para que el

número de núcleos iniciales se reduzca a la mitad) se obtiene:

13

½T o

oeN

2

N λ−⋅= : ½T

e2

1 λ−=

Tomando logaritmos, se despeja la constante radioactiva.

2

1LnT ½ =λ− :

14

½

a1021,1años 5730

Ln2

T

Ln2

−−×===λ

b. La ecuación fundamental de la radioactividad se puede expresar en función de la actividad inicial

(Ao) y la actividad de la muestra transcurrido un determinado tiempo. t

o eAA λ−⋅=

Tomando logaritmos se despeja el tiempo en función de la actividad.

oA

ALn t =λ− : años 3563

163,0

25,0Ln

a1021,1

1

A

ALn

1t

14

o=

×=

λ=

−−

Junio 2010. F.G. Cuestión 3B.- De 1os 120 g iniciales de una muestra radiactiva se han

desintegrado, en 1 hora, el 10% de los núcleos. Determine:

a) La constante de desintegración radiactiva y el periodo de semidesintegración de la muestra.

b) La masa que quedará de la sustancia radiactiva transcurridas 5 horas.

Solución. a. La ecuación fundamental de la radioactividad:

toeNN λ−=

se puede expresar en función de la masa inicial de los núcleos radioactivos (mo) y de la masa existente

(m) después de transcurrir un tiempo determinado. t

oemm λ−=

Aplicando los datos del enunciado:

Para t = 1 h: oooo m9,0m100

90m

100

10mm ==−=

1oo emm9,0 ⋅λ−= : 9,0e =

λ− :

1h 105,09,0 Ln

−=−=λ .

Se denomina periodo de semidesintegración (T1/2) al tiempo que debe transcurrir para que el

número de núcleos presentes en una muestra se reduzca a la mitad, su calculo se puede realizar haciendo

que N = No/2 ó m = mo/2, en la ecuación fundamental de la radioactividad.

21T o

oem

2

m λ−= : h 6,582 Ln

h 0,105

12 Ln

1T

121 ==λ

=−

b. g 86,70e120emm 5105,0 to =⋅== ⋅−λ−

Septiembre 2009. Problema 2A.- En un tiempo determinado, una fuente radiactiva A tiene una

actividad de 1,6×1011

Bq y un periodo de semidesintegración de 8,983×105 s y una segunda fuente B tiene

una actividad de 8,5×1011

Bq. Las fuentes A y B tienen la misma actividad 45,0 días más tarde.

Determine:

a) La constante de desintegración radiactiva de la fuente A.

b) El número de núcleos iniciales de la fuente A.

c) El valor de la actividad común a los 45 días.

d) La constante de desintegración radiactiva de la fuente B.

Nota: 1 Bq = 1 desintegración/segundo

Solución. a. La constante radioactiva se puede calcular a partir del periodo de semidesinteración.

λ

2 LnT

21 =

17

5

21

s10716,710983,8

2 Ln

T

2 Lnλ

−−×=

×==

14

b. Conocida la actividad y la constante de desintegración se puede calcular el número de núcleos

que hay en ese instante.

NλA ⋅= : Núcleos 1007,2s10716,7

Bq106,1

λ

AN 17

17

11o

o ×=×

×==

−−

c. Conocida la actividad en el momento actual, se puede calcular al actividad 45 días después.

Bq108e106,1eAA 93600244510716,711 tλo

7

×=⋅×=⋅= ⋅⋅⋅×−− −

d. Conociendo la actividad en el instante inicial y 45 días después, se calcula la constante de

desintegración de la fuente B. tλ

o eAA −⋅= : 36002445λ119

e105,8108⋅⋅⋅−

⋅×=×

16

11

9

s102,1105,8

108Ln

36002445

1λ −−×=

×

×⋅

⋅⋅

−=

Junio 2009. Cuestión 5.- Una roca contiene dos isótopos radiactivos A y B de periodos de

semidesintegración de 1600 años y 1000 años respectivamente. Cuando la roca se formó el contenido de

A y B era el mismo (1015

núcleos) en cada una de ellas.

a) ¿Qué isótopo tenia una actividad mayor en el momento de su formación?

b) ¿Qué isótopo tendrá una actividad mayor 3000 años después de su formación?

Nota: Considere 1 año = 365 días

Solución. a. Se define la actividad de una muestra radioactiva como el valor absoluto de la velocidad de

desintegración, y viene expresada por:

Ndt

dNA ⋅λ==

Donde λ es la constante radioactiva de la especie y N es el número de núcleos de la especie presentes

La constante radioactiva se puede obtener del periodo de semidesintegración:

λ=

2 LnT

21 :

21T

2 Ln=λ :

( )

( )

×=⋅⋅⋅

==λ

×=⋅⋅⋅

==λ

−−

−−

111

21

B

111

21

A

s102,23600243651000

2 Ln

BT

2 Ln

s1037,13600243651600

2 Ln

AT

2 Ln

La actividad inicial de cada isótopo será:

Bq 13700101037,1NA 1511oAA =⋅×=⋅λ= −

Bq 2200010102,2NA 1511oBB =⋅×=⋅λ= −

( ) ( )AABA oo >

b. La actividad a t > 0 se puede relacionar con la actividad inicial (A = λ N), comparando sus

expresión.

oo N

N

A

A

λ

λ= :

oo

N

NAA =

Si: toeNN λ−=

o

to

oN

eNAA

λ−

= : toeAA λ−=

Aplicando esta relación a cada isótopo:

( ) ( ) Bq 3748e13700eAAAA 36002436530001037,1 to

11A =⋅=⋅= ⋅⋅⋅⋅×−λ− −

( ) ( ) Bq 2745e22000eBABA 3600243653000102,2 to

11B =⋅=⋅= ⋅⋅⋅⋅×−λ− −

15

Pasados 3000 años, tendrá mayor actividad el isótopo A.

Otra forma de resolver este apartado, seria calcular primero el número de núcleos que quedan en

la muestra sin desintegrar, y a continuación calcular la actividad mediante la expresión A = λ N.

Para calcular el número de núcleos que no se han desintegrado se parte de la ley de

desintegración radiactiva:

Ndt

dNλ−=

Separando variables e integrando entre t = 0 y t = t, se obtiene la expresión del número de

núcleos que quedan en la muestra en función del tiempo y del número de núcleos iniciales.

Ndt

dNλ−= : dt

N

dNλ−= : ∫∫ λ−=

t

0

N

Ndt

N

dN

o

Donde No es el número de núcleos iniciales y N es el número de núcleos a tiempo t. Integrando

la expresión:

tN

NL

o

λ−= : toeNN λ−=

Para t = 3000 años, el número de núcleos del isótopo A es:

( ) ( ) nucleos1074,2e10eANAN 1436002436530001037,115 to

11A ×=== ⋅⋅⋅⋅×−λ− −

Para el isótopo B:

( ) ( ) nucleos1025,1e10eBNBN 143600243653000102,215 to

11B ×=== ⋅⋅⋅⋅×−λ− −

Conocido el número de núcleos cuando han pasado 3000 años, se calcula la actividad

Bq 37541074,21037,1NλA 1411AA =×⋅×=⋅= −

Bq 27501025,1102,2NλA 1411BB =×⋅×=⋅= −

Pasados 3000 años, tendrá mayor actividad el isótopo A.

Modelo 2009. Problema 2A.- El periodo de semidesintegración del 228

Ra es de 5,76 años mientras

que el de 224

Ra es de 3,66 días. Calcule la relación que existe entre las siguientes magnitudes de estos dos

isótopos:

a) Las constantes radiactivas.

b) Las vidas medias.

c) Las actividades de 1 g de cada isótopo.

d) Los tiempos para los que el número de núcleos radiactivos se reduce a la cuarta parte de su valor

inicial.

Solución. a. El número de núcleos radioactivos que quedan sin desintegrar en una muestra al cabo de un

tiempo t viene dado por la expresión: t

o eNN λ−⋅=

Donde No es el número de núcleos iniciales, t es el tiempo transcurrido y λ es la constante

radioactiva o constante de desintegración.

Para calcular la relación entre las constantes radioactivas del 228

Ra y 224

Ra se aplica a la ecuación

anterior el periodo de semidesintegración, o tiempo necesario para que se reduzca la muestra inicial a la

mitad, se despeja la constante y se dividen las expresiones.

84,2103 o

o

21

228 228eN2

N:días 84,2103

añodía365,25años 76,5T:Ra

λ−⋅==×=

228 84,2103e

2

1 λ−= : 228 84,2103

2

1Ln λ−= :

84,2103

2Ln228 =λ

66,3 o

o

21

224 224eN2

N:días 66,3T:Ra

λ−⋅==

16

224 66,3e

2

1 λ−= : 224 66,3

2

1Ln λ−= :

66,3

2Ln224 =λ

La relación pedida se obtiene dividiendo las expresiones de las constantes radioactivas.

228224228

224 8,5748,57466,3

84,2103

84,2103

2Ln

66,3

2Ln

λ=λ⇒===λ

λ

La constante del

224Ra es 574.8 veces mayor que el del

228Ra

b. Se define la vida media (τ) de un isótopo radioactivo como el tiempo que tarda un núcleo elegido

al azar en desintegrarse.

λ=τ

1

Para el 228

Ra: 228

2281

λ=τ

Para el 224

Ra: 224

2241

λ=τ

La relación entre ambas magnitudes se obtiene dividiendo:

224228228

224

224

228

224

228 τ 8,574τ8,574λ

λ

λ

1

λ

1

τ

τ=⇒===

La vida mediad el 228

Ra es 574,43 veces menor que el del 224

Ra.

c. Se llama actividad o velocidad de desintegración (A) de una sustancia radioactiva al número de

desintegraciones que se producen por unidad de tiempo:

Ndt

dNA λ==

Por ser una magnitud proporcional a la constante radioactiva (λ), la relación entre las actividades

de los dos isótopos del radio será la misma que entre que constantes.

La actividad del 224

Ra es 574,43 veces mayor que el del 228

Ra.

d. El tiempo necesario para que el número de núcleos se reduzca a la cuarta parte de su valor inicial

es igual a dos periodos de desintegración, ya que el número de núcleos ha de reducirse a la mitad dos

veces sucesivas.

( )( )

( )( )

( )( )

43,57466,3

84,2103

RaT

RaT

RaT2

RaT2

Rat

Rat

22421

22821

22421

22821

22441

22841

===⋅

⋅=

El 224

Ra tardará 574.43 veces más que el 228

Ra.

Septiembre 2008. Problema 1A.- En una muestra de azúcar hay 2,1×1024

átomos de carbono. De

éstos, uno de cada

1012

átomos corresponden al isótopo radiactivo 14

C. Como consecuencia de la presencia de dicho isótopo

la actividad de la muestra de azúcar es de 8,1 Bq.

a) Calcule el número de átomos radiactivos iniciales de la muestra y la constante de desintegración

radiactiva (λ) del 14

C.

b) ¿Cuántos años han de pasar para que la actividad sea inferior a 0,0l Bq?

17

Nota: 1 Bq = 1 desintegración/segundo

Solución. a. El número de átomos radioactivos (

14C) es una proporción de la muestra tal como indica el

enunciado.

12

14

10

1

C

C= ⇒

1224

1212

14101,2101,2

10

1Cat nº

10

1Cat nº ×=×⋅==

Con el número de átomos radioactivos iniciales y la actividad inicial de la muestra (Ao = 8,1 Bq)

se calcula la constante de desintegración (λ).

Ndt

dNA λ== : 112

12o

o s1086,3at101,2

sat1,8

N

Aλ −−×=

×==

b. Teniendo en cuenta la relación existente entre el número de núcleos existentes y la actividad,

para que la actividad sea menor a 0,01 Bq, el número de núcleos debe cumplir:

01,0N:01.0A

NA<λ

<

λ= : 9

121059,2

1086,3

01,0N ×=

×<

−

El tiempo necesario para que el número de núcleos radioactivos se reduzca al nivel que marca la

actividad pedida se puede obtener a partir de la expresión que relaciona el número de núcleos con el

tiempo.

to eNN λ−⋅= :

t

o

eN

N λ−= :

t

o

e LnN

NLn

λ−= :

oN

NLn t =λ− :

oN

NLn

1t

λ−=

años 55175s1074,1101,2

1059,2Ln

1086,3

1t 12

12

9

12≈×=

×

×

×−=

−

Modelo 2008. Problema 2B.- El deuterio es un isótopo del hidrógeno de masa atómica igual a

2,0136 u. Su núcleo está formado por un protón y un neutrón.

a) Indique el número atómico (Z) y el número másico (A) del deuterio.

b) Calcule el defecto de masa del núcleo de deuterio.

c) Calcule la energía media de enlace (expresada en MeV) por nucleón del deuterio.

d) Si un ión de deuterio es acelerado mediante un campo eléctrico, partiendo del reposo, entre dos

puntos con una diferencia de potencial de 2000 V, calcule su longitud de onda de De Broglie

asociada.

Datos: Masa del protón mp = 1,0073 u; Masa del neutrón mn = l,0087 u

Valor absoluto de la carga del electrón e =1,6×10−19

C

Unidad de masa atómica u = l,67×10−27

kg

Velocidad de la luz en el vacío c = 3×l08 m/s

Constante de Planck h = 6,63×10−34

J s

Solución. a. Número atómico (Z): Número de protones del átomo. Z = 1

Número másico(A): Suma de protones y neutrones de un átomo. A = 2

b. Defecto de masa: Diferencia entre la suma de las masas de las partículas que forman el núcleo y

la masa del núcleo.

( )Hmmmm21np −+=∆

u103,20136,20087,10073,1m3−

×=−+=∆ ; kg 10008,4u

kg1067,1u104,2m

30273 −−−×=×⋅×=∆

c. El defecto de masa lleva asociada una variación de energía según la ecuación de Einstein (∆E =

∆m·c2), que representa la energía que se despende en la formación del núcleo.

( ) J10607,310310008,4cmE 1328302 −− ×=×⋅×=⋅∆=∆ ;

MeV 25,2eV1025,2J106,1

eV 1J10607,3E 6

19

13 =×=×

⋅×=∆−

−

18

d. La longitud de onda d De Broglie viene dada por la expresión:

mv

hλDB =

El producto mv se puede calcular si tenemos en cuenta que todo el trabajo realizado sobre la

carga se transforma en energía cinética.

Vqmv2

1 2∆⋅= ; Vqmvm

2

1 22∆⋅⋅= ; Vqm2mv ∆⋅⋅=

Sustituyendo en la expresión de la longitud de onda de De Broglie:

Vqm2

hλDB

∆⋅⋅=

Donde q es la carga del núcleo del deuterio (protón) y m su masa.

C106,1q 19−×=

kg36,3u

kg1067,1u0136,2m

2727 −−=×⋅=

m1052,4

2000106,11036,32

1063,6

Vqm2

hλ

13

1927

34

DB−

−−

−

×=

⋅×⋅×⋅

×=

∆⋅⋅=

Junio 2007. Cuestión 5.-. Una muestra de un material radiactivo posee una actividad de 115 Bq

inmediatamente después de ser extraída del reactor donde se formó. Su actividad 2 horas después resulta

ser 85,2 Bq.

a) Calcule el período de semidesintegración de la muestra.

b) ¿Cuántos núcleos radiactivos existían inicialmente en la muestra?

Dato: 1 Bq = 1 desintegración/segundo

Solución. a. El periodo de semidesintegración es el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de la

muestra.

El número de núcleos que quedan en la muestra pasado un tiempo t viene dado por la expresión: tλ

oeNN ⋅−=

Para N = No/2:

21tλo

o eN2

N ⋅−=

2

1e 21tλ =

⋅− 2 Ln2 Ln

2

1Lntλ

121 −===⋅−

−

λ

2 Lnt 21 =

La constante de semidsintegración se puede obtener de los datos de actividad de la muestra. tλ

oeNλA ⋅−=

Aplicando la expresión para los datos del enunciado:

λ7200o

o

eNλ2,85s 7200t

Nλ1150t⋅−

=→=

=→=

Dividiendo:

115

85

Nλ

eNλ

o

λ7200o =

⋅−

115

85e

λ7200=

⋅−

=⋅−

115

85Lnλ7200

( ) 15s102,4

7200

1152,85Lnλ

−−×=−=

Conocida la constante, se calcula el periodo de semidesintegración.

s 639 16102,4

2 Ln

λ

2 Lnt

521 =×

==−

b. El número de núcleos iniciales se obtiene aplicando la ecuación de la actividad a las condiciones

iniciales.

19

o0ttλ

o NλAeNλA = →==⋅−

nucleos1074,2102,4

115

λ

AN 6

5o ×=×

==−

Modelo 2007. Problema 2B.- Una muestra contiene inicialmente 1020

átomos, de los cuales un

20% corresponden a material radiactivo con un periodo de semidesintegración (o semivida) de 13 años.

Calcule:

a) La constante de desintegración del material radiactivo.

b) El número de átomos radiactivos iniciales y la actividad inicial de la muestra.

c) El número de átomos radiactivos al cabo de 50 años.

d) La actividad de la muestra al cabo de 50 años.

Solución. a) Se llama constante de desintegración radiactiva (λ) a la constante de proporcionalidad entre el

número de desintegraciones por segundo y el número de átomos radiactivos (λ = A / N). Se puede

calcular a partir del periodo de semidesintegración. t

o eNN λ−⋅=

La semidesintegración se produce cuando la muestra inicial se ha reducido a la mitad.

21 t

oo

eN2

N λ−

⋅= : 21 t

e2

1 λ−

=

Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros y operando:

1

21

años 053'0años 13

2Ln

t

2Ln −===λ

En el sistema internacional:

19

21

s 1069'136002436531

2Ln

t

2Ln −−×=

⋅⋅⋅==λ

b) .at102at10100

20N %20N 1920

To ×=⋅==

Se define la actividad de una muestra como el número de desintegraciones que se producen por

unidad de tiempo.

( ) to

to eNeN

dt

d

dt

dNA λ−λ− ⋅λ=−=−=

En las condiciones iniciales (t = 0).

Bq1038'3s1069'1at102NeNA 101919o

0 oo ×=×⋅×=λ=⋅λ= −−λ−

Nota: Bq (Becquerelio) = desintegraciones por segundo

c) 18año 50año 053'019 to 104'1e102eNN

1

×=⋅×=⋅= ⋅−λ− −

d) ( ) ( )( )

( )tN eN eNdt

d

dt

dNtA

tN

to

to λ=⋅λ=−=−=

λ−λ−

43421

( ) ( ) Bq104'7104'1053'0año 50N años 50A 1618 ⋅=×⋅=λ=

Septiembre 2006. Cuestión 5.- La ley de desintegración una sustancia radioactiva es a siguiente,

donde t 003,0oeNN −= , donde N representa el número de núcleos presentes en la muestra en el instante t.

Sabiendo que t está expresado en días, determine:

a) El periodo de semidesintegración (o semivida) de la sustancia.

b) La fracción de núcleo radiactivos sin desintegrar en el instante 2

1T5t =

Solución. a) Hallamos el tiempo que tarda una muestra de N núcleos en reducirse a la mitad:

2

NN

o=

20

t0030́2

1Ln e

2

1 eN

2

N t 003´0t 003´0o

o−==⋅=

−−

días 231T 0´003

2Ln t0´003t 2 Ln

21 ==−=−

b) ( )o

2315003´0o

21 N 0´03125N eNT 5fN =⋅=

= ×⋅− 031250́N

N

o

≈

100

1,3

N

N

o

≈

Pasado un tiempo igual 5 veces el periodo de semidesintegración, quedarán un 3’1% de la

muestra de núcleos iniciales

Junio 2003. Cuestión 5. Se dispone inicialmente una muestra radiactiva que contiene 5x1018

átomos

de un isótopo de Ra, cuyo periodo de semidesintegración(semivida) τ es de 3,64 días. Calcule:

a) La constante de desintegración radiactiva del Ra y la actividad inicial de la muestra.

b) El número del átomo en la muestra al cabo de 30 días.

Solución. a. El número de átomos iniciales es No = 5x10

18 átomos de radio, siendo su vida media

64'32

1 =τ días. Para calcular λ, se aplica la ley de semidesintegración t·o eNN λ−⋅= . Aplicando para el

21t τ= ,

2

NN

o=

21·

oo

eN2

N

τλ−

=

simplificando No

21·

e2

1 τλ−

=

tomando logaritmos neperianos para despejar λ

21

2

1Ln τ⋅λ−=

despejando

1

21

días 19'064'3

21Ln

21Ln

−=−=

τ−=λ

La radioactividad de una sustancia se mide a través de su actividad definida como el número de

desintegraciones que ocurren en cada unidad de tiempo

dt

dN. La actividad inicial será la variación del

número de átomos con respecto al tiempo, particularizada para t = 0

( ) t·o

t·o eN·eN

dt

d

dt

dN λ−λ−⋅λ−=⋅=

para t = 0

Actividad =11718

o0·

o0t

s 105'910519'0N·eN·dt

dN −λ−

=

×=×⋅=λ=⋅λ−=

b. átomos1067'1e105eNN 16·30 19,018t·o ×=×=⋅= −λ−

Septiembre 2002. Cuestión 5.- El isótopo 234

U tiene un periodo de semidesintegración (semivida)

de 250000 años. Si partimos de una muestra de 10 gramos de dicho isótopo, determine:

a. La constante de desintegración radiactiva.

b. La masa que quedará sin desintegrar después de 50000 años.

21

Solución.

a. La constante de desintegración radiactiva, se relaciona con el periodo de semidesintegración

según la ecuación:

τ=λ

2Ln

Expresamos τ = 250000 años en segundo:

τ = 250000· 365· 24· 3600 τ = 7’884·1012

seg.

sustituyendo:

λ = 8’79· 10−14

b. La expresión que nos da el número de núcleos que quedan en una muestra determinada al cabo

de un tiempo t es:

( ) t·o eNtN λ−⋅=

Calculamos el número inicial de núcleos No.

Si la muestra inicial es de 10 gr de 234

U, el número inicial de moles es:

moles 0'043n 234

10grn

PM

mn ooo ===

y el número inicial de núcleos No, teniendo en cuenta que un mol contiene el número de Avogadro de

núcleos:

No = no · NA = 0’043 (moles) · 6’02 · 1023

(núcleos/mol) = 2’57· 1022

núcleos

No = 2’57·1022

núcleos

Al cabo de t = 50000 años (t = 1’58· 1012

seg)

( ) núcleos 1024'2e1057'21058'1N 221058'1·1079'81212 1214

⋅=⋅⋅=⋅ ⋅⋅− −

La masa que nos queda sin desintegrar será entonces:

N = 2’24· 1022

núcleos

moles 0'0372n nucleos10·023'6

núcleos10·24'2n

23

22

==

que expresamos en gramos:

m = n · PM m = 8’705 gr

¿Cuánto vale el defecto de masa del núcleo de helio He42 ? Conteste el resultado en unidades de masa

atómica.

Datos: Masas atómicas: Núcleo de helio: 4,00262 u ; neutrón: 1,00866 u ; protón: 1,00728 u