CONSTRUCCIÖN E IDENTIFICACIÖN DE DIRECCIONES DE INDICES DE MILLER EN LAS

CELDAS UNITARIAS

Autor: T.S.U. Martín Martínez

Revisado Por: Ing. Rubén Graterol

CONSTRUCCIÓN DE DIRECCIONES DE INDICE DE MILLER EN LAS CELDAS

UNITARIAS

EL principal paso para la construcción de direcciones dentro de la celda unitaria es establecer el Punto de Referencia.

Por lo tanto, existen ocho posibles puntos de referencia, que se mostraran a continuación:

1) [ h k l ]

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

(6) (7)

(8)2) [ h k l ]

3) [ h k l ]

4) [ h k l ]

5) [ h k l ]

6) [ h k l ]

7) [ h k l ]

8) [ h k l ]

PARA VISUALIZAR MEJOR CADA PUNTO DE REFERENCIA

-X

- Z

Z

Y-Y

X

1) [ h k l ]

-X

- Z

Z

Y-Y

X

2) [ h k l ]

-X

- Z

Z

Y-Y

X

3) [ h k l ]

-X

- Z

Z

Y-Y

X

4) [ h k l ]

-X

- Z

Z

Y-Y

X

5) [ h k l ]

-X

- Z

Z

Y-Y

X

6) [ h k l ]

-X

- Z

Z

Y-Y

X

7) [ h k l ]

-X

- Z

Z

Y-Y

X

8) [ h k l ]

Suponga que se debe construir la Dirección [1 1 1]

Como se menciono anteriormente se procede a ubicarse enel punto de referencia correspondiente, en este caso el punto dereferencia es el numero uno (1) por ser de la forma [ h k l ]:

X

Y

Z

Para trazar la dirección del INDICE DE MILLER se une el punto de referencia con el punto de llegada anterior, a través de una flecha, siendo la cola el punto de partida y la punta de la dirección el punto de llegada del recorrido.

De esta manera se ha trazado la dirección [ 1 1 1].

Se recorre en función de la magnitud del primer digito del INDICE DE MILLER, en este caso 1.

Se recorre en función de la magnitud del segundo digito, desde el punto de llegada anterior hasta la magnitud indicada por el segundo digito en este caso 1.

Se recorre en función de la magnitud del tercer digito, desde el punto de llegada anterior hasta la magnitud indicada por el tercer digito en este caso 1.

El caso anterior es el mas general, pero en ocasiones es necesario reducir los ÍNDICE DE MILLER a sus mínimos para poder representarlos.

Para explicar este caso se representara la dirección [ 4 1 2 ]:

Solución:

1.- Siempre que alguno de los dígitos del Índice de Miller sea mayor a uno se tiene que calcular su mínimo común divisor (mc.d.), en este caso en particular es el 4, que resulta de multiplicar 4x1, sin tomar en cuenta el 2, puesto que este es múltiplo de 4.

2.- Se procede a dividir cada dígito entre el m.c.d como se muestra a continuación:

4 1 24 4 4

Dando como resultado: [ 1 ¼ ½ ] representándose de la siguiente manera:

Como es de la forma se procede a ubicarse en el punto de referencia 6).

[ h k l ]

-X

- Z

Z

Y-Y

X

Se recorre en función de la magnitud del primer digito del INDICE DE MILLER en este caso 1.

Se recorre en función de la magnitud del segundo digito, desde el punto de llegada anterior hasta la magnitud indicada por el segundo digito en este caso 1/4.

Se recorre en función de la magnitud del tercer digito, desde el punto de llegada anterior hasta la magnitud indicada por el tercer digito en este caso 1/2.

Para trazar la dirección del INDICE DE MILLER se une el punto de referencia con el punto de llegada anterior, a través de una flecha, siendo la cola el punto de partida y la punta de ladirección, el punto de llegada.

De esta manera se ha trazado la dirección [ 1 ¼ ½ ].

Otro caso muy común es cuando alguno de los dígitos del ÍNDICE DE MILLER es cero por ejemplo [ 1 1 0], como es de la forma se procede a ubicarse en el punto de referencia (3):

[ h k l ]

-X

- Z

Z

Y-Y

X

Se recorre en función de la magnitud del primer digito del INDICE DE MILLER en este caso 1.

Para trazar la dirección del INDICE DE MILLER se une el punto de referencia con el punto de llegada anterior, a través de una flecha, siendo la cola el punto de partida y la punta del INDICE DE MILLER el punto de llegada.

De esta manera se ha trazado la

dirección [ 1 1 0 ].

Se recorre en función de la magnitud del segundo digito, desde el punto de llegada anterior hasta la magnitud indicada por el segundo digito en este caso 1.

Nota: En este caso el tercer digito es cero lo cual indica que no hay recorrido en el eje Z y por lo tanto no se toma en consideración.

Un caso interesante es cuando el ÍNDICE DE MILLER tiene un solo digito por ejemplo: [1 0 0], [0 1 0], [0 0 1].

Como la celda unitaria es una subdivisión de la red cristalina esta conserva las característica de la red cristalina y por tanto el punto de referencia utilizado para definir direcciones en estos casos carece de importancia, claro esta siempre debe referirse a su eje de coordenadas correspondiente.

Veamos a que se hace referencia con red cristalina:

Nota: Esta configuración se repite a través de todo el material.

Veamos las diferentes forma de ubicarse para representar la dirección [ 1 0 0 ].

Nota: Como se observa nos hemos ubicado en el punto de referencia (1) , pero también es posible ubicarse en los puntos de referencia (4),(5), y (8).

(1) (4)

(8)(5)

Seguramente se habrá preguntado ¿Por qué es indistinto colocarlo en cualquiera de esos puntos de referencia? Ya que si es una dirección [ 1 0 0] siempre tendría que ubicarse en el punto de referencia (1).

La respuesta no es tan complicada, veamos lo siguiente:

(1) (4)

(5) (8)

Si se ve desde el punto de vista de la red Cristalina el punto de referencia (4) para la CELDA A, es el punto de referencia (1) para la CELDA B, mientras que el punto de referencia (8) de la CELDA A es el punto de referencia (5) para la CELDA B , patrón que se repite infinitamente por lo que la dirección [ 1 0 0 ] puede representarse en cualquiera de estos puntos de referencia claro esta se debe conservar la magnitud y la dirección que el ÍNDICE DE MILLER indique.

Nota: Este procedimiento se puede aplicar para todos los ejes (x,y,z).

(1)

(5)

Celda A Celda B

IDENTIFICACIÓN DE DIRECCIONES DE INDICE DE MILLER REPRESENTADA EN

UNA CELDA UNITARIA

Metodología:

1.- Utilizando un sistema de Coordenadas dextrógiro(x,y,z), determine las coordenadas de dos puntos que estén en esa dirección.

2.- Reste las coordenadas del punto final las coordenadas del punto inicial de manera algebraica.

3.- Reduzca las fracciones y/o resultados obtenidos a los mínimos enteros correspondientes.

4.- Encierre el resultado final en Corchetes [ ]. Si se obtiene un numero negativo, represéntelo con una barra sobre el mismo número.

Supóngase que dentro de la celda unitaria se encuentra la dirección de color violeta y se debe identificar el INDICE DE MILLER.

½

½

½

Para determinar las coordenadas tanto de la punta como de la cola de la dirección se establece un punto de referencia (para ambos tiene que ser el mismo de lo contrario seria erróneo el resultado).

Para este caso en particular se establece el punto de referencia (5)

(5)Coordenadas de la Punta: 1 -½0

Coordenadas de la Cola: ½0 0

Punta –Cola = [1 - ½ -½ ]

En este caso para reducir a los mínimos enteros se multiplica por 2 [1 - ½ -½ ] x 2

Índice de Miller Resultante: [ 2 1 1 ]