1

3.9.8: A Pressão Total no Interior de uma : Ela será a resultante das contribuições de todos as componentes: (3.72) elétrons

núcleos JÁ SABEMOS ESCREVER OS TERMOS ACIMA!!

»» Balanço entre Pr e Pgás:

e ;

Igualando as duas expressões, obtém-se a região limite para P:

fótons

2

Limite entre predominâncias de Pr e Pgás :

( em g/cm3 e T em K).

Isso pode ser visto na Fig. 3.6 (Maciel’s):

Pr domina

Pgás domina

não DG

DG

não-relativístico

relativístico

cristalização

3

IV: TERMODINÂMICA DO INTERIOR ESTELAR (cf. R. REIF, “Fundamental of Statistical & Thermal Physic”, McGraw-Hill)

Introdução:

▲ Em geral, está em Equilíbrio Hidrostático, mas, nem sempre tem configuração estática. »» Durante sua evolução, sofre contrações e expansões,em pelo menos parte de suas camadas internas. Se forem suficientemente lentas, ≡ ≡ ≡ ≡ sistema em equilíbrio a qualquer momento ► ► processo quase-estático, ou reversível (i.é, pode ocorrer no sentido inverso) Processos ocorrendo corriqueiramente no interior estelar podem , assim, ser tratados como adiabáticos

4

»» Uma como um todo, deve obedecer às leis da termodinâmica dos processos irreversíveis ≡ ≡ ≡ ≡ de não-equilíbrio.

► Aproximação geralmente feita: dividir a em camadas, cada uma delas em equilíbrio.

4.1: A Lei de Stefan-Boltzmann

»» De antes: ≡≡

lei de Stefan-Boltzmann, deduzida

leis da Termodinâmica + processos quasi-estáticos:

1ª lei da termodinâmica (1LT), (4.1)

5

, sendo o calor absorvido pelo sistema, a variação da energia interna e o trabalho realizado pelo

2ª lei da termodinâmica (2LT), (4.2) ,

sendo a variação de entropia do sistema, ►

► ;

» Em geral, E = E(V,T) e deve-se escrever:

(4.3) ;

Como em geral, também S = S(V,T), ►

(4.4) ; sendo

6

E conclui-se:

(4.5) .

» Relembrando que é a densidade de energia por V,

vem que E = U(T) V. Daí,

(4.6) e (4.7) .

▲ Para um gás de fótons, e de (4.5) – (4-7),

, cuja integral ► U = const. X T4lei de Stefan-Boltzmann

7

4.2: Calores Específicos (gases perfeitos):

▲ Algumas relações termodinâmicas p/ os gases perfeitos:

»» de , com E = E(T) ► (4.8)

onde agora ≡ o volume específico.

»» Introduzamos oscalores específicos a volume constante e a pressão constante:

(4.9) e (4.10) .

(cf. Reif, cap. 3)

8

Utilizando agora a eq. de estado dos Gases Perfeitos,

considerando constante (razoável!) e

R ⁄ = constante dos gases ⁄ grama de matéria

► (4.11) .

»» Para dQ, de (4.8) e (4.11) ,

(4.12)

» O cP fica: (4.13) .

» E a razão dos calores específicos, (4.14) .

9

»» Para gás perfeito monoatômico (cf. Reif), E = 3/2 NkT , donde

e como , segue que:

(4.15) , o que nos fornece o resultado clássico

= 5/3 que vale para um gás ideal monoatômico .

► É possível mostrar que depende de f ≡ ,

f ≡ número de graus de liberdade da partícula, sendo

= 1 + 2 ⁄ f , e para f = 3, = 5 ⁄ 3

10

4.2: Expansão Adiabática de um Gás:

»» Da 1LT (p/ unidade de massa) ►

e como com se obtém

Como, para um gás ideal cP e cV são ctes.,

Integrando T V -1 = constante (4.16)

►► outras formas dessa equação:

PV = cte. , P 1- T = cte. , T = cte. -1 (4.17)

Reif

11

»» em termos das variações adiabáticas dos parâmetros, podemos escrever:

(4.18) e (4.19)

variações adiabáticas num gás perfeito não degenerado.

»» O Gradiente Adiabático é uma grandeza que aparece

amiúde no interior das s :

(4.20) .

Para um gás perfeito (eq. 4.18), (4.21) .

»» Ex.: gás perfeito monotômico ►

► = 5/3 e = 2/5

Entropia constante

12

4.4: Efeito da Pressão de Radiação

»» s + massivas : Pr pode ser importante → Pg .

Examinemos a expansão adiabática de um gás ideal, não DG e monoatômico, levando em conta Pr :

(4.21)

A energia interna ≡ energia cinética do gás:

e,

Ptotal

13

» Por outro lado, da 1ªLT,

e das eqs. anteriores,

Como a expansão é adiabática,

(4.22) , onde , e

Analogamente,

(4.23) .

14

»» Por analogia com o gás de partículas,

► define-se os

Expoentes Adiabáticos de Chandrasekhar,

de modo a conservar a forma das eqs.:

(4.24) , (4.25) e

(4.25) ; das relações acima obtém-se:

(4.26) .

»» E quanto vale para um gás com patclas. + radiação?

15

da definição do gradiente, e de

(4.27)

»» Outras relações que podem ser obtidas para os :

16

»» Exs. Práticos de valores dos e : ( )

≡ ≡ gás de partículas, sem radiação;

≡ ≡ gás só de fótons

= 5/3

= 5/3

»» Finalmente, Gradientes de T, P e podem ser deduzidos

das eqs. dT/T... e dP/P...: exs.,

Euler Lagr.

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4.5: Gás Parcialmente Ionizado (caso + real!)

»» Se nesse gás ocorre p.ex. que T , Grau de ionização , ≡

≡ Grande Gasto de Energia e Termodinâmica ≠ da de um gás neutro ou ionizado

{gás com calor específico grande}

ne ≠ constante

»» Em ET, as populações relativas de dois níveis de energia

j e k de um elemento X no estágio de ionização r são dadas

pela equação de Boltzmann,

(4.28) , sendo

18

onde

≡ pesos estatísticos dos níveis e ≡ as energias desses níveis.

» Generalizando essa equação, obtém-se, a distribuição dos átomos do elemento X nos diversos estágios de ionização

(4.29), onde

= densidade de elétrons e

equação de ionização de Saha:

≡ função de partição:

19

a função de partição do átomo X no estágio de ionização r é:

NOTA: j e k ≡ Estados de Excitação; r ≡ Estágio de ionização

»» Em ET, equações de Boltzmann e Saha populações de cada nível e cada estágio de ionização dos átomos do gás, conhecidos os gs , fr , H , etc...

»» P.ex., seja um gás de H puro em ET; nele ocorrem

H+ + e- H0 + H ,

20

H+ + e- H0 + H , onde H = 13,6 eV é o

potencial de ionização do nível fundamental do H

NOTA: SUPONDO UM ÚNICO NÍVEL PARA O H

» Nesse caso, a eq. de Saha será

, n+ = np, n0 = n de H neutro

(4.30)

Relações úteis:

13,6 eV

21

»» Podemos então, determinar as populações relativas

e o grau de ionização x do gás, ou seja,

a fração do gás de H puro que se encontra ionizada:

= (n+ ⁄ n) = ne ⁄ n ≡ y ,

ou seja, p/ H neutro e para H

totalmente ionizado.

» A eq. de SAHA pode então ser escrita:

(4.31)

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»» NA VIDA REAL:

aplica-se a equação de Saha sucessivamente a todas as espécies de partículas existentes no gás grau de ionização de todos os componentes.

»» Ex. com o Sol:

(H puro)

interior, >P, >T

regiões superficiais

fig. 5.1

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»» AINDA NA VIDA REAL: (Natureza camarada...)

a) geralmente, DOIS estágios de ionização bastam

e as zonas de ionização respectivas são separadas;

b) geralmente, apenas ALGUNS níveis atômicos precisam ser considerados. {cf. referências s/ o assunto em Maciel, pg. 110}

»» ALGUNS RESULTADOS (Gás de H puro,

parcialmente ionizado) :

24

1) Calores Específicos:

da definição dos mesmos

(4.32)

(4.33)

, sendo

, n = H + H+ + ne = H + 2H+ e

V ≡ volume específico = Vol./massa (cm3g-1) , e ne ,

H+ + H = Na ⁄ V , Na ≡ nº de Avogadro

25

» Variação de cP e cV com xH :

p/ H neutro, =1 e ordenada=cP/c0

p/ H ionizado, =1/2 e ord.= 2cP/c0

xH = fração do gás ionizada ≡

≡ grau de ionização do gás

nas regiões intermediárias, os c , pois precisa-se de > E

para a ionização.

cP ⁄ cV não varia com xH

c0 ci

ci = 2 c0, pois o número de ptclas. livres = 2x >

fig. 5.2

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2) s :

»» Em geral, Mas, s ~1

A partir das definições dos

(4.35)

... e suas variações, para T≃104 K (≡ interior de uma estrela)

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(só H...; porém, como ele é o + abundante, a figura abaixo é bastante representativa)

3) Gradiente adiabático:

como e , também muda.

variações rápidas nas regiões

0 – 1% e 99 – 100%;

< 4/3 (~1,33) ≡ instabilidades

ISTO É,

Na > parte do tempo, a ionização age como fator desestabilizante

5 – 95%

fig. 5.3

28

»» Num gás de H puro parcialmente ionizado,

(4.36)

Ei-lo, nas camadas externas do Sol:

ou seja, se xH , ad , pois

E é gasta com ionização

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Havera DG se:

Trans. Relat-nao rel.

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