Universidad Nacional de Ingeniera Calculo por Elementos Finitos

NDICE

Enunciado del Problema..........................................................................2

Anlisis.....................................................................3

Tabla de Conectividad: Coordenadas y GDL...........................................3

Matriz de Rigidez Elemental de cada Elemento.......................................4

Ensamblado de la Matriz de Rigidez Estructural........................5

Desplazamientos Nodales.......................................................................5

Esfuerzos de cada Elemento....................................................................6

Fuerzas de Reaccin.........................................................................7

Diagrama de Flujo....................................................................................8

ARMADURA PLANA

Problema: Considere la armadura balcn en la figura. Estamos interesados en la determinacin de la desviacin de cada articulacin bajo la carga mostrada en la figura. Todos los miembros estn hechos de madera de pino con un mdulo de elasticidad de E = 1,90x106 lb / pulg2 y un rea de seccin transversal de 8 pulg2. Tambin estamos interesados en el clculo tensiones medias en cada miembro.Datos del problema:Mdulo de elasticidad: E= 1,90x106 lb /pulg2 = 13104.7343 N/mm2rea de la seccin constante de cada viga: A=8 pulg2 = 5161.28mm2Longitud del elemento: Le = a = 3 pie= 36 pulg= 914.4mmCarga P = 500 lb. =2224.908 N

Solucin:1. Anlisis (mtodo de elementos finitos)

2. Tabla de conectividad: Coordenadas y GLD

NodoX(pulg)Y(pulg)

1036

23636

37236

4360

500

ElementosNodosGDLLe(pulg)Ae(pulg2)E(lb/pulg2)

11 21 2 3 43681,90x1060

22 33 4 5 63681,90x1060

33 45 6 7 850.981,90x106225

42 43 4 7 83681,90x106270

51 41 2 7 8 50.981,90x106315

64 57 8 9 103681,90x106180

3. Matriz de Rigidez elemental de cada elemento (Ki)

i =

1 2 3 4 1 = x105 lb/pulg

3 4 5 62 = x105 lb/pulg

5 6 7 83 = x105 lb/pulg

3 4 7 84 = x105 lb/pulg

1 2 7 85 = x105 lb/pulg

7 8 9 106 = x105 lb/pulg

4. Ensamblado de la matriz de rigidez estructural (K)

La matriz de rigidez estructural K se ensambla a partir de i, sumando las contribuciones de cada elemento teniendo en cuenta su conectividad.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x105

K: lb/pulg.

5. Desplazamientos nodales (Q)

Las filas y columnas correspondientes a los grados de libertad que corresponden a los soportes fijos se borran de la matriz, entonces la ecuacin del elemento finito reducido ser:Q1=0, Q2=0, Q9=0, Q10=0

=: : : .x =

Luego, el vector desplazamiento nodal de la armadura ser:

= Tpulg. = Tmm.

6. Esfuerzo en cada elemento

i= Q: Q:

ElementoGDLQ

1101 2 3 4T

2103 4 5 6T

3-1/-1/5 6 7 8T

40-13 4 7 8T

51/-1/1 2 7 8T

6-107 8 9 10T

1 = xT 2 = xT3 = xT 4 = xT 5 = xT 6 = xTLuego el vector esfuerzo de la armadura ser: = lb/pulg2= N/mm2

7. Fuerzas de reaccin:Para hallar las fuerzas de reaccin en los apoyos, resolvemos la ecuacin original del elemento finito mostrado a continuacin, tomando en cuenta solamente las filas de K que correspondan a los grados de libertad 1, 2, 9, 10(grados de libertad que corresponden a los apoyos).= =0: : : :

R =105x

R= lb.

R= N.

8. Diagrama de flujo del programaINICIOLeer datos de entrada.Para i=1 hasta N de nodosIngresar coordenadas de los nodos.Calcular rea, N de filas de cond_contorno(CC1)Para i=1 hasta 2veces N de nodosCont=0Para j=1 hasta N de filas de cond_contorno(CC1)123

12Si i=CC(i,1)Cont=1, C2=CC1(i,2)C1=CC1(i,1)SISi cont=1CC(i,1)=C1;CC(i,2)=C23SINOCC(i,1)=0;CC(i,2)=0Para i=1 hasta N elementosCalcula Le, l, m, las posiciones de la matriz de rigidez global y su valor.4

4Para i=1 hasta 2veces N elementos.Si i=CC(i,1)Q(i,1)=CC(i,2)Acumulamos fuerzas(FC=[FC;F(i)])

SINOPara j=1;2*NnodosSi jCC(j,1)

acuh=[acuh,Kij(i,j)]acumula filasSIacuv=[acuv;acuh];acumula columnasCalcula los desplazamientos generalesQ1=acuv\FC;5

5Para i=1;2N nodosSi i==CC(i,1)

Calcula las reaccionesr=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);R=[R;r i];

Para i=1 hasta N de elementosCalcula esfuerzosImprime Desplazamientos, reaciones y esfuerzos

9. Digitacion del programa en matlab%ARMADURAS PLANASformat longnd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS=');ne=input('INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS=');D=input('INGRESE EL DIMETRO DE LAS SECCIONES(mm)=');E=input('INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(N/mm^2=');tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)=');%EJEMPLO [1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1]ni=[];for i=1:nd disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i); n(i,1)=input('N(X)= '); n(i,2)=input('N(Y)= ');endF=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS=');CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posicin valor]=');lm=[];A=pi/4*D^2;krs=zeros(2*nd);Kij=zeros(2*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[];le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];CC=[];[fc,cc]=size(CC1);for i=1:2*nd cont=0; for j=1:fc if i==CC1(j,1) cont=1; c1=CC1(j,1); c2=CC1(j,2); end end if cont==1 CC(i,1)=c1; CC(i,2)=c2; else CC(i,1)=0; CC(i,2)=0; endendfor i=1:ne le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2); l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i); m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i); ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; krs(ps1,ps1)=l(i)^2;krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps1,ps3)=-l(i)^2;krs(ps1,ps4)=-l(i)*m(i); krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps4)=-m(i)^2; krs(ps3,ps1)=-l(i)^2;krs(ps3,ps2)=-l(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=l(i)^2;krs(ps3,ps4)=l(i)*m(i); krs(ps4,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps2)=-m(i)^2;krs(ps4,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps4)=m(i)^2; Kij=Kij+E*A/le(i)*krs; krs=zeros(2*nd);endfor i=1:2*nd if i==CC(i,1) Q(i,1)=CC(i,2); else FC=[FC;F(i)]; for j=1:2*nd if j~=CC(j,1) acuh=[acuh,Kij(i,j)]; end end end acuv=[acuv;acuh]; acuh=[];endQ1=acuv\FC;for i=1:2*nd if i~=CC(i,1) Q(i,1)=Q1(1,1); [f,c]=size(Q1); if f>=2 Q1=Q1(2:f,1); endendendfor i=1:2*nd if i==CC(i,1) r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1); R=[R;r i]; endendESF=[];for i=1:ne ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1)];endformat shortdisp('=============');disp('RESULTADOS');disp('=============');disp('LOS DESPLAZAMIENTOS');disp(Q);disp('LAS REACIONES');disp('REACCIN POSICIN');disp(R);disp('LOS ESFUERZOS');disp(ESF');10. Ejecucin del ProgramaINGRESE EL NUMERO DE NODOS=5INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS=6INGRESE EL DIMETRO DE LAS SECCIONES (mm)=81.065INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(N/mm^2=13104.7343INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD (solo nodos)= [1 2; 2 3; 3 4; 2 4; 1 4; 4 5]INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 1N(X)= 0N (Y)= 914.4INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 2N(X)= 914.4N (Y)= 914.4INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 3N(X)= 1828.8N (Y)= 914.4INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 4N(X)= 914.4N (Y)= 0INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 5N(X)= 0N (Y)= 0INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS= [0 0 0 -2224.908 0 -2224.908 0 0 0 0]'INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posicin valor]= [1 0; 2 0; 9 0; 10 0]=============RESULTADOS=============LOS DESPLAZAMIENTOS 0 0 0.0301 -0.2905 0.0602 -0.4959 -0.0902 -0.2604 0 0

LAS REACIONESREACCIN POSICIN 1.0e+003 *

-6.6747 0.0010 4.4498 0.0020 6.6747 0.0090 0 0.0100

LOS ESFUERZOS 0.4311 0.4311 -0.6096 -0.4311 1.2193 -1.2932

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