1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA

MECÁNICA

CUARTO LABORATORIO

ARMADURAS EN EL ESPACIO

Semestre Académico: 2012 – I

Profesor:

Ing. Cueva Pacheco, Ronald

Alumno:

Ramírez Neyra David

Código:

20081039d

Sección:

F

Fecha de Presentación:

13/06/2012

2

INDICE

Enunciado del Problema...............................................................................2 Solución...................................................................................................... ……..4

Cuadro de Conectividad................................................................................6

Grados de Libertad Nodales……………………………………………………………………………..7 Vector Carga.................................................................................................7 Matriz de Rigidez........................................................................................ ……..8

Ecuación de Rigidez y Esfuerzos.....................................................................9

Resultados....................................................................................................9 Código en Matlab....................................................................................... ………10

Diagrama de Flujo....................................................................................…..13

Conclusiones................................................................................................14

3

CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA

(ARMADURAS EN EL ESPACIO)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Una armadura tridimensional, compuesta por barras tubulares de sección circular, se

encuentra sometida a cargas concentradas tal como lo muestra la figura. Determinar:

o El esfuerzo en cada barra de la armadura.

o El desplazamiento de los nodos de la armadura.

Datos:

E = 3.1x105 N/mm2

P =40000 N

El diámetro y el espesor de todas las barras tubulares de la armadura son:

D = 100 mm

t =10 mm

4

Además,

5

SOLUCION:

1. MODELADO DEL CUERPO REAL

Para este problema modelaremos a cada barra que compone la armadura como un

elemento finito, puesto que estas son de sección uniforme a lo largo de su longitud y

a que permiten cuantificar en forma directa el desplazamiento de cada nodo, el

esfuerzo en cada barra y la deformación de estas.

Entonces:

6

nodos GDL nodos GDL

1 1 2 3 7 19 20 21

2 4 5 6 8 22 23 24

3 7 8 9 9 25 26 27

4 10 11 12 10 28 29 30

5 13 14 15 11 31 32 33

6 16 17 18

Calculo del Área de los elementos finitos:

Dado que todas las barras son de sección circular y poseen el mismo diámetro,

entonces el área de cada elemento finito será:

Orientación de los elementos finitos en el plano x-y-z:

Para este propósito definimos 3 ángulos directores :

7

2. CUADRO DE CONECTIVIDAD(x-y-z)

NODOS GDL le

β

Ө

ф

e (1) (2) 1 2 3 4 5 6 (m)

1 1 2 1 2 3 4 5 6 0.6 90 0 90

2 1 3 1 2 3 7 8 9 1.030776406 75.93756 90 14.036243

3 1 6 1 2 3 16 17 18 1.030776406 104.036243 90 14.036243

4 2 4 4 5 6 10 11 12 1.030776406 75.93756 90 14.036243

5 2 5 4 5 6 13 14 15 1.030776406 104.036243 90 14.036243

6 3 4 7 8 9 10 11 12 0.6 90 0 90

7 4 5 10 11 12 13 14 15 0.5 0 90 90

8 5 6 13 14 15 16 17 18 0.6 90 0 90

9 6 3 16 17 18 7 8 9 0.5 0 90 90

10 3 7 7 8 9 19 20 21 4 90 90 0

11 4 8 10 11 12 22 23 24 4 90 90 0

12 5 9 13 14 15 25 26 27 4 90 90 0

13 6 10 16 17 18 28 29 30 4 90 90 0

14 7 8 19 20 21 22 23 24 0.6 90 0 90

15 8 9 22 23 24 25 26 27 0.5 0 90 90

16 9 10 25 26 27 28 29 30 0.6 90 0 90

17 10 7 28 29 30 19 20 21 0.5 0 90 90

18 7 11 19 20 21 31 32 33 1.073545528 103.46629 106.227254 21.33266

19 8 11 22 23 24 31 32 33 1.073545528 103.46629 73.772746 21.33266

20 9 11 25 26 27 31 32 33 1.073545528 76.53371 73.772746 21.33266

21 10 11 28 29 30 31 32 33 1.073545528 76.53371 106.227254 21.33266

22 8 10 22 23 24 28 29 30 0.781024968 129.80557 39.805571 90

23 3 8 7 8 9 22 23 24 4.044749683 90 97.12501 7.12501

24 5 8 13 14 15 22 23 24 4.031128874 82.875 90 7.12501

25 5 10 13 14 15 28 29 30 4.044749683 90 82.875 7.12501

26 3 10 7 8 9 28 29 30 4.031128874 97.12501 90 7.12501

8

27 3 5 7 8 9 13 14 15 0.781024968 129.80557 140.19443 90

28 5 1 13 14 15 1 2 3 1.192686044 102.995 120.20306 33.02387

29 1 4 1 2 3 10 11 12 1.192686044 77.9004 120.20306 33.02387

3. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)

El empotramiento de la armadura en los nodos (1) y (2) imposibilita el movimiento

de esta, por lo que nuestro vector de desplazamiento global seria el siguiente:

[ ]

La siguiente tabla resume los GDL de cada elemento finito y su orientación:

nodos GDL x y z

1 1 2 3 Q1 Q2 Q3

2 4 5 6 Q4 Q5 Q6

3 7 8 9 Q7 Q8 Q9

4 10 11 12 Q10 Q11 Q12

5 13 14 15 Q13 Q14 Q15

6 16 17 18 Q16 Q17 Q18

7 19 20 21 Q19 Q20 Q21

8 22 23 24 Q22 Q23 Q24

9 25 26 27 Q25 Q26 Q27

10 28 29 30 Q28 Q29 Q30

11 31 32 33 Q31 Q32 Q33

4. CARGAS NODALES (Vector Carga)

Partiendo de la premisa de que es posible reemplazar el peso de cada barra, que

actúa en el centro de gravedad del cuerpo al que pertenece, por dos fuerzas de igual

magnitud, que actúan en los extremos de dicha barra, sin que esta sustitución afecte

el equilibrio del cuerpo, o sea, que la suma de fuerzas sea igual a cero, y además, que

la suma de momentos tomados desde cualquier punto de referencia inercial de

movimiento, también sea cero.

9

Reacciones y tensiones:

nodos GDL x y z

1 1 2 3 F1 F2=0 F3

2 4 5 6 F4 F5=0 F6

9 25 26 27 F25 F26=0 F27

10 28 29 30 F28 F29=0 F30

Diagrama de cuerpo libre:

Calculo de la tensión:

Sumamos momentos respecto al origen de las 2 tensiones de los pesos de las

barras y obtenemos:

Entonces:

[ ]⁄

5. MATRIZ DE RIGIDEZ (K)

Con ayuda del cuadro de conectividad podemos sumar los términos que

interactúan entre sí, en la armadura. Utilizando el Matlab se puede obtener en

forma directa la siguiente matriz de rigidez. No mostramos la matriz de rigidez por

ser demasiado grande para este formato.

10

6. ECUACION DE RIGIDEZ

De la matriz de rigidez sacamos una matriz reducida (M):

Entonces:

[

]

7. ESFUERZOS

En cada elemento los esfuerzos se obtienen por medio de la siguiente relación:

(

)

[ ]

[

]

8. RESULTADOS

En la presente sección se resumen todos los resultados obtenidos en el informe.

nodos GDL Qx(m) Qy(m) Qz(m) Fx(kN) Fy(kN) Fz(kN)

1 1 2 3 0 0 0 -290.8248 262.3798 64.5997

2 4 5 6 0 0 0 309.395 -262.3798 58.9981

3 7 8 9 0.0157 -0.0131 -0.2017 -4.2677 0 -7.3919

4 10 11 12 0.0272 0.0237 -0.1318 -4.3189 0 -7.4806

5 13 14 15 -0.0084 -0.0198 -0.1675 -3.786 0 -6.5576

6 16 17 18 -0.0038 -0.0403 -0.2168 -4.2024 0 -7.2788

7 19 20 21 -0.0103 -0.0039 -0.2095 -1.7298 0 -2.9962

8 22 23 24 -0.0004 0.0302 -0.1433 -2.598 0 -4.4999

9 25 26 27 0.0062 0.0376 -0.1359 -0.0332 0 -7.6468

10 28 29 30 0.022 0.0292 -0.1707 -0.7294 0 -8.8527

11 31 32 33 -0.0028 0.0681 -0.1429 3.0953 0 -70.8933

Los esfuerzos en cada barra son:

11

e S(MPa) e S(MPa) e S(MPa)

1 0 11 -151.1484 21 -3.3618

2 -300.0576 12 -57.5402 22 264.7541

3 -65.8033 13 260.6295 23 329.7895

4 -169.0153 14 16.7619 24 -253.5386

5 -38.0887 15 -33.6574 25 173.431

6 191.5168 16 42.3006 26 -342.8337

7 -130.8755 17 -23.8325 27 105.3133

8 -283.7915 18 5.3145 28 170.2767

9 306.9262 19 3.4493 29 -207.067

10 -23.4523 20 26.2997

9. CODIGO EN MATLAB

%modulo de young: E=3.1*100000 ;%MPa %peso especifico: w=8000; w=w*9.81; %area: A=pi*(100^2-80^2)/4 ;A=A*10^-6 %m2

%vector longitud L en m L=[0.6 1.030776406 1.030776406 1.030776406 1.030776406 0.6 0.5 0.6 0.5 4 4 4 4 0.6 0.5 0.6 0.5 1.073545528

1.073545528 1.073545528 1.073545528 0.781024968 4.044749683 4.031128874 4.044749683 4.031128874 0.781024968 1.192686044 1.192686044];

12

%matriz angulos directores: ang=[90 0 90 75.93756 90 14.036243 104.036243 90 14.036243 75.93756 90 14.036243 104.036243 90 14.036243 90 0 90 0 90 90 90 0 90 0 90 90 90 90 0 90 90 0 90 90 0 90 90 0 90 0 90 0 90 90 90 0 90 0 90 90 103.46629 106.227254 21.33266

103.46629 73.772746 21.33266 76.53371 73.772746 21.33266 76.53371 106.227254 21.33266 129.80557 39.805571 90 90 97.12501 7.12501 82.875 90 7.12501 90 82.875 7.12501 97.12501 90 7.12501 129.80557 140.19443 90

102.995 120.20306 33.02387 77.9004 120.20306 33.02387]; n=29;

a=[1 2 3 4 5 6; 1 2 3 7 8 9;1 2 3 16 17 18;4 5 6 10 11 12; 4 5 6 13 14 15;7 8 9 10 11 12;10 11 12 13 14 15;13 14 15 16 17 18; 16 17 18 7 8 9;7 8 9 19 20 21;10 11 12 22 23 24;13 14 15 25 26 27; 16 17 18 28 29 30;19 20 21 22 23 24;22 23 24 25 26 27;25 26 27 28 29 30; 28 29 30 19 20 21;19 20 21 31 32 33;22 23 24 31 32 33;25 26 27 31 32 33; 28 29 30 31 32 33;22 23 24 28 29 30;7 8 9 22 23 24;13 14 15 22 23 24; 13 14 15 28 29 30;7 8 9 28 29 30;7 8 9 13 14 15;13 14 15 1 2 3; 1 2 3 10 11 12];

%Calculo de la matriz de rigidez K: K=zeros(n+4); %donde n+4=GDL for i=1:n l=cos(ang(i,1)); m=cos(ang(i,2)); p=cos(ang(i,3)); c=[l^2 l*m l*p -l^2 -m*l -l*p l*m m^2 m*p -l*m -m^2 -m*p l*p m*p p^2 -l*p -m*p -p^2 -l^2 -l*m -l*p l^2 l*m l*p -l*m -m^2 -m*p l*m m^2 m*p -l*p -m*p -p^2 l*p m*p p^2]; k=E*A*L(i)^-1; c=k*c; z=zeros(n+4);

13

z(a(i,1):a(i,3),a(i,1):a(i,3))=c(1:3,1:3); z(a(i,1):a(i,3),a(i,4):a(i,6))=c(1:3,4:6); z(a(i,4):a(i,6),a(i,1):a(i,3))=c(4:6,1:3); z(a(i,4):a(i,6),a(i,4):a(i,6))=c(4:6,4:6); K=K+z; end K %10^6 N/m %Resolucion del problema: %calculo de las pesos: W=-L*w*A; f=zeros(1,33);ff=zeros(1,33); for i=1:29 ff(a(i,3))=W(i)/2; ff(a(i,6))=W(i)/2; f=f+ff;% en x'-z' end g=zeros(1,33); % en N %conversion a x-z: for i=1:29

g(a(i,1))=f(a(i,3))*sin(pi/6); g(a(i,3))=f(a(i,3))*cos(pi/6); end %calculo de las tensiones(T): G=0; for i=1:29 G=G+W(i); end T=3*G*cos(pi/3)/(2*sin(pi/12)*(5+0.25*tan(pi/12)^-1));

%matriz reducida (sin apoyos fijos): M=zeros(27);M=K(7:33,7:33);M %en 10^6 N/m %vector carga reducido (sin reacciones): F=zeros(1,33);F(31)=3095.26953;F(33)=-70893.32763; F(25)=-T*sin(pi/12);F(27)=T*cos(pi/12); F(28)=-T*sin(pi/12);F(30)=T*cos(pi/12);F=F+g; f1=F(7:33); %en N %vector desplazamiento reducido(sin apoyos fijos): Q1=inv(M)*f1'; %Entonces, el vector Q es: Q=[0 0 0 0 0 0 Q1']';%10^-6 m %Encontrando las reacciones: F=K*Q; %N

%Resultados: %Reacciones: R=F(1:6) %N

%Esfuerzos: h=0;S=[]; for i=1:n l=cos(ang(i,1));m=cos(ang(i,2));p=cos(ang(i,3)); d=[-l -m -p l m p]; s= d*[Q(a(i,1)) Q(a(i,2)) Q(a(i,3)) Q(a(i,4)) Q(a(i,5)) Q(a(i,6))]';

s=s*E/L(i);s=s*10^-6;S=[S s]; end S=S' % MPa

14

10. DIAGRAMA DE FLUJO

Inicio

Calcula:

Matriz senos cosenos c;

Matriz de Rigidez K;

Lee datos de entrada:

E, A (área) como constantes;

L (Long.), ang como vectores; a (conectividad) como matriz

4xn

Para i=1

hasta n+3

F=KxQ

Para i=1

hasta n+3

Imprime:

Desplazamientos Q; Reacciones F;

Esfuerzos S;

FIN

Calcula:

el vector esfuerzo S;

15

11. CONCLUSIONES

o Los resultados obtenidos, tanto esfuerzos como reacciones y

desplazamientos, para la pluma (armadura en el espacio) muestran que

esta, está sometida principalmente a un proceso de compresión.

o Los desplazamientos encontrados para los nodos de la armadura en

cuestión son, en algunas direcciones, demasiado grandes ya que están en el

orden de los centímetros. La explicación lógica para este fenómeno es la

existencia de un ángulo de rotación, respecto a su posición inicial, que

presenta la pluma debido a la forma en como está cargada. Resulta

evidente, dado que las dimensiones de la pluma son del orden de los

metros, que cualquier ángulo de rotación, por pequeño que sea, generará

un desplazamiento grande mientras más alejado este el nodo del centro de

rotación. Esta explicación se demuestra de manera formal al plotear las

posiciones de los nodos desplazados y compararlas con las posiciones

iniciales.

o También están los desplazamientos pequeños, del orden de los milímetros,

que son efecto únicamente de las deformaciones por tensión o compresión

de las barras que componen la pluma.

o Los esfuerzos encontrados para las barras de pluma son bastante grandes,

lo que obedece al elevado valor de las cargas, pero principalmente a la

reducida área que presentan dichas barras.

o El elemento 1 no presenta esfuerzo de tracción y este hecho es coherente

con la forma en como esta sujetado este objeto. , y al hecho de que las

reacciones encontradas se anulan en la dirección del eje de este elemento.

o El mayor desplazamiento nodal en la armadura, está en el nodo (11) que

es a su vez el punto más alejado de los apoyos fijos y el que a mayor carga

se encuentra sometido.