1

NEKE JEDNAINE KOJE SE SVODE NA KVADRATNE

1) Bikvadratna jednaina To je jednaina oblika: 024 =++ cbxax Uvodimo smenu tx =2 , dobijamo jednainu

02 =++ cbtat , nadjemo a

acbbt

2

422,1

= i vratimo se u smenu:

1

2 tx = i 22 tx =

12,1 tx = i 24,3 tx =

Primer 1. Rei jednainu 034 24 =+ xx Reenje: =+ 034 24 xx smena tx =2 2 4 3 0t t + =

12

24

32

242

24

2

12164

12

314)4()4(

2

4

2

1

2,1

22

2,1

=

=

=+

=

=

=

=

=

t

t

t

a

acbbt

Vratimo se u smenu: i

3

4

1

=

=

=

c

b

a

3

3

3

3

2

1

2,1

2

12

=

+=

=

=

=

x

x

x

x

tx

1

1

1

1

4

3

4,3

2

22

=

+=

=

=

=

x

x

x

x

tx

2

2

1,2

1,2

1

2

4

2

2 4 12 2 4

2 23

1

b b act

a

t

t

t

=

+ = =

=

=

Primer 2. Rei jednainu )838(2)5()54( 42222 =++ xxx

01665030

166162510254016

)838(2)5()54(

24

42424

42222

=++

=++++

=++

xx

xxxxx

xxx

021630 24 =+ xx Bikvadratna, smena: tx =2 2 30 216 0t t + =

122

24

182

362

6302

86490030

2

4

2

1

2,1

2

2,1

==

==

=

=

=

t

t

t

a

acbbt

Vratimo se u smenu:

22

22

22

12

12

4

3

4,3

4,3

2

=

+=

=

=

=

x

x

x

x

x

Primer 3. Rei jednainu 3)2(2)2( 222 = xxxx Ovo lii na bikvadratnu jednainu, ali je mnogo bolje uzeti smenu: txx = 22

22 2( 2 ) 2 ( 2 ) 3x x x x =

3

2

1

=

=

=

c

b

a

216

30

1

=

=

=

c

b

a

23

23

23

18

18

2

1

2,1

2,1

2

=

+=

=

=

=

x

x

x

x

x

032

322

2

=

=

tt

tt

3

Vratimo se sada u smenu:

ili

012

12

2

2

2

22

=+

=

=

xx

xx

txx

Sada reavamo dve nove kvadratne jednaine po x.

1

12

022

442

4

3

4,3

4,3

=

=

=

=

x

x

x

x

Dakle, reenja su: { }1,1,1,3 Primer 4. Rei jednainu 5625,0)3)(2)(1( =+++ xxxx Ovo ba i ne lii na bikvadratnu jednainu, a ne vidi se da ima neka pametna smena. Ako sve pomnoimo tek tad smo u problemu! Probajmo da pomnoimo prva dva, i druga dva, da vidimo ta e da ispadne

5625,0)623)(( 22 =++++ xxxxx

=+++ 5625,0)65)(( 22 xxxx Nee! Probajmo onda prvi i etvrti, a drugi i trei!

5625,0)3)(2)(1( =+++ xxxx

5625,0)23)(3(

5625,0)212)(3(22

22

=+++

=++++

xxxx

xxxxx

E, ovo je ve bolje Smena: txx =+ 32

05625,02

5625,0)2(2 =+

=+

tt

tt

032

32

2

2

2

12

=

=

=

xx

xx

txx

3

2

1

=

=

=

c

b

a

1

32

422

1242

2

1

2,1

2,1

=

=

=

+=

x

x

x

x

1

2

1

=

=

=

c

b

a

4

25,2

25,02

5,22

2

25,242

2

1

2,1

=

+=

=

+=

t

t

t

Vratimo se u smenu:

025,23

25,232

2

=+

+=+

xx

xx

ili

2

32

03

2

993

43

4,3

4,3

==

=

=

xx

x

x

Primer 5. Rei jednainu 045

352

2

=++

++

xx

x

x

xx

045

35

045

35

2

2

2

2

=++

++

=++

++

xx

x

x

xx

xx

x

x

xx

Ovde je zgodno uzeti smenu tx

xx=

+ 52, jer je onda

txx

x 1

52=

+

034

043

/041

3

2

2

=++

=++

=++

tt

tt

tt

t

3

12

24

2

12164

2

1

2,1

=

=

=

=

t

t

t

Vratimo se u smenu:

025,03

25,032

2

=+

+=+

xx

xx

2

103

2

103

2

103

2

193

2

1

2,1

2,1

=

+=

=

+=

x

x

x

x

5

152

=+

x

xx ili 3

52=

+x

xx

052

05

5

2

2

2

=+

=++

=+

xx

xxx

xxx

054

035

35

2

2

2

=+

=++

=+

xx

xxx

xxx

( )2

612

2

622

2

242

2

2042

2,1

2,1

2,1

2,1

=

=

=

+=

x

x

x

x

5

1

4

3

=

=

x

x

61

61

2

1

=

+=

x

x

{ }5,1,61,61 + su reenja.

Binomne jednaine

To su jednaine oblika:

0= BAxn gde su 0>A i 0>B Najpre pokuamo da datu jednainu rastavimo na inioce upotrebom poznatih formula, pa koristimo 00 == MNM ili 0=N

Uvek ovu jednainu moemo reiti smenom nB

x yA

= , koja binomnu jednainu svede

na oblik 01=ny

2

201642,1

+=x

2

642,1

=x

6

Primer 1. Rei jednainu 0278 3 =x Pazi: Pogreno je (jer se gube reenja!) Upotrebiemo formulu

0)332)2)((32(

))((22

2233

=++

++=

xxx

BABABABA

=++ 0)964)(32( 2 xxx odavde je:

2

3

32

032

1 =

=

=

x

x

x

ili

4

333

8

)333(2

8

366

4

333

8

)333(2

8

366

3

2

iiix

iiix

=

=

=

+=

+=

+=

PAZI: ii 363361108108 ===

03)2(

027833

3

=

=

x

x

2

3

8

27

8

27

278

3

3

3

=

=

=

=

x

x

x

x

2

2,3

2,3

2

3

4 6 9 0

6 36 144

8

6 108 6 6 3

8 8

6 6 3

8

6 6 3

8

x x

x

ix

ix

ix

+ + =

=

= =

+=

=

7

Primer 2 Rei jednainu 07296 =x

03

072966

6

=

=

x

x

= 0)3()( 2323x Razlika kvadrata 3 3 3 3

2 2

( 3 )( 3 ) 0

( 3)( 3 9)( 3)( 3 9) 0

x x

x x x x x x

+ =

+ + + + =

03 =x ili 0932 =++ xx ili 03 =+x ili 0932 =+ xx

1 3x =

23 3 3

2

ix

+= 3

3 3 3

2

ix

=

3 0x + = 4 3x = 2 3 9 0x x + =

2

36936,5

=x

53 3 3

2

ix

+= 6

3 3 3

2

ix

=

PAZI: ii 333912727 === Primer 3. Rei jednainu: 025 3 =+x Reenje: Sad se ne moe upotrebiti formula, pa idemo na smenu:

nB

x yA

= , kako je A=5, B=2, 3=n

smena je 32

5

x y=

022

025

25

025

25

3

3

3

3

=+

=+

=+

y

y

y

8

333

2

273

2

3693

3,2

3,2

ix

x

=

=

=

8

=+ 0)1(2 3y 013 =+y (zbir kubova) Sad drugi inilac izjednaavamo sa nulom. Vratimo se u smenu: i

2

1

( 1)( 1) 0

1 0

1

y y y

y

y

+ =

+ =

=

2

31

2

31

2

31

2

411

01

3

2

3,2

3,2

2

iy

iy

iy

y

yy

=

+=

=

=

=

32

331

3

5

2

2

31

5

2

5

21

5

2

+

=

==

=

ix

x

yx

33 5

2

2

31

=

ix

9

Primer 4. Reiti jednainu 01711 4 =x Reenje: I ovde ne moemo lako datu jednainu rastaviti na inioce; zato

upotrebljavamo smenu: nA

Byx =

Kako je 4=n , 17=B , 11=A =x 411

17y

4

4

4

4 4 4 2 2

2 2

2

1711 17 0

11

1711 17 0

11

17 17 0 17( 1) 0 1 0 ( ) 1 0

( 1)( 1) 0

( 1)( 1)( 1) 0

y

y

y y y y

y y

y y y

=

=

= = = =

+ =

+ + =

01=y ili 01=+y ili 012 =+y

11 =y 12 =y 12 =y

iy

iy

+=

==

3

4,3 1

iy =4

Vratimo se u smenu =x 411

17y

;11

17

11

171 441 ==x 442 11

17

11

171 ==x

;11

174

3 ix = 44 1117

ix =

10

Trinomne jednaine To su jednaine oblika

02 =++ cbxax nn

gde su ba, i c realni brojevi (razliite od nule).

Reava se smenom 22 txtx nn == . Reavamo kvadratnu po t , pa se vratimo u smenu. Primer 1: Rei jednainu 087 36 =+ xx 087 36 =+ xx Reenje: 3 2 3( ) 7 8 0x x+ = smena tx =3

0872 =+ tt

8

12

97

2

1

2,1

=

=

=

t

t

t

Vratimo se u smenu:

ili ili 02 =+x ili 422 + xx 24 =x 2,3

1 3

2

ix

=

0)1)(1(

01

1

2

3

3

=++

=

=

xxx

x

x

01=x 012 =++ xx

11 =x

3

3

3 3

2

8

8 0

2 0

( 2)( 2 4) 0

x

x

x

x x x

=

+ =

+ =

+ + =

ix

ix

x

31

2

322

2

122

6,5

6,5

6,5

=

=

=

11

Primer 2. Reiti jednainu: 8 417 16 0x x + = Reenje:

8 417 16 0x x + =

4 2 4

2

( ) 17 16 0

17 16 0

x x

t t

+ =

+ = smena: tx =4

1

162

1517

2

1

2,1

=

=

=

t

t

t

Vratimo se u smenu:

ili 14 =x

0)1)(1)(1(

0)1)(1(

01

2

22

4

=++

=+

=

xxx

xx

x

ili ili ili ili Dakle reenja su: { }iiii + ,,1,1,2,2,2,2

ix

ix

x

x

2

2

4

4

4

3

4,3

2

=

+=

=

=

164 =x

0)4)(2)(2(

0)2)(2(

02

016

2

2222

44

4

=++

=+

=

=

xxx

xx

x

x

02 =x 02 =+x 042 =+x

22 =x21 =x

01=x 012 =+x01=+x

15 =x 16 =x

ix

ix

x

x

=

+=

=

=

8

7

8,7

2

1

1

12

Simetrine (reciprone) jednaine To su jednaina oblika: 0... 221 =++++++ abxcxcxbxax nnn Gde su ...,, cba realni brojevi. Naziv simetrine potie jer su koificijenti uz knx i kx

)...2,1,0( nk = jednaki. Drugo ime reciprone su dobile zbog osobina: Ako je =x jedno reenje, onda je i

1

=x takodje reenje date jednaine i vai osobina: Ako je najvei stepen n neparan

broj, tada je 11 =x jedno reenje simetrine jednaine!!!

Postupak reavanja

- Ako je jednaina neparnog stepena podelimo je sa )1( +x i dobijemo jednainu parnog sistema

- Celu jednainu podelimo sa srednjim lanom i grupiemo odgovarajue

lanove.

- Uzimamo smenu 1

x tx

+ = , ovde kvadriramo i dobijamo:

22

2

22

2

22

12

112

1

tx

x

txx

xx

tx

x

=++

=++

=

+

=+ 21 2

22 tx

x ZAPAMTI

Jo je esta i situacija:

13

33

3

33

3

332

23

33

113

1133

113

12

1

txx

xx

txx

xx

txx

xx

xx

tx

x

=+

++

=+++

=++++

=

+

3 33

13x t t

x+ = ZAPAMTI

itd Primer 1. Reiti jednainu: 0231632 234 =+++ xxxx Reenje: Ovo je jednaina parnog stepena , pa najpre: celu jednainu delimo sa 2x jer je on srednji lan.

0231632

222

2

2

3

2

4

=++

+xx

x

x

x

x

x

x

x

01

21

316322

2 =+++xx

xx grupiemo lanove!!!

0161

31

2 2 =

++

+x

xx

x smena: tx

x =+1

02032

016342

0163)2(2

2

2

2

=+

=+

=+

tt

tt

tt

4

133

4

160932,1

=

+=t

41 =t , 25

2 =t

14

Vratimo se u smenu:

ili

2

1

24

16255

0252

522

2

51

4

3

4,3

2

2

=

=

=

=+

=+

=+

x

x

x

xx

xx

xx

Dakle, reenja su 2 i 2

1 , 32+ i 32 i reciprona su! Za 2 i

2

1 je to

oigledno, a ta je sa 32+ i 32 ?

32

1

32

3)2(

32

32

1

32

1

32 2

=

=

+=

+

Sad vidimo (posle racionalizacije) da su i ona takodje reciprona. Primer 2. Reiti jednainu:

0121637371612 2345 =+++ xxxxx Reenje: Ovo je jednaina petog stepena, pa je jedno reenje 1=x , pa emo celu jednainu podeliti sa )1( +x

12441412)1(:)121637371612( 2342345 +++=++++ xxxxxxxxxx Pogledaj deljenje polinoma fajl polinomi iz I godine Dalje radimo:

0

112

1441412

:/012441412

22

2234

=+++

=+++

xxxx

xxxxx

0411

41

122

2 =

++

+x

xx

x

32

32

2

4164

014

41

41

2

1

2,1

2

2

=

+=

=

=++

=+

=+

x

x

x

xx

xx

xx

15

Smena 211 2

22 =+=+ tx

xtx

x

065412

04142412

0414)2(12

2

2

2

=+

=+

=+

tt

tt

tt

2

56

1324

564

2

1

2,1

=

=

=

t

t

t

Vratimo se u smenu:

6

131=+x

x i 2

51=+

xx

06136 2 =+ xx 0252 2 =++ xx

22

14

35

4

3

4,3

=

=

=

x

x

x

Dakle:

1,2,

2

1,

3

2,

2

3 su reenja.

Veoma sline simetrinim su KOSOSIMETRINE jednaine, one su oblika

1 2 2... 0n n nax bx cx cx bx a + + + = tj. koeficijenti uz kx i knx su suprotni koeficijenti Ako je kososimetrina jednaina neparnog sistema, jedno reenje je uvek 11 =x Postupak reavanja je slian!!!

3

2

12

82

3

12

1812

513

2

1

2,1

==

==

=

x

x

x

16

Primer 3. Rei jednainu 01716167 2345 =++ xxxxx

01716167 2345 =++ xxxxx kososimetrina Poto je njeno reenje 11 =x , celu jednainu delimo sa )1( x

16106)1(:)1716167( 2342345 ++=++ xxxxxxxxxx Dobijena jednaina: 016106 234 =++ xxxx je simetrina 2:/ x

0

116106

016106

22

234

=++

=++

xxxx

xxxx

itd

Dobijena reenja su 32,32,1,1 4321 =+=== xxxx i 15 =x