3.Transfer Fonksiyonu (1)

Serhat YILMAZ, [email protected]

1

3. Doğrusal 3. Doğrusal Sistemlerin Transfer Sistemlerin Transfer Fonksiyonu ModelleriFonksiyonu Modelleri

Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi

Elektronik ve Haberleşme Bölümü


2

Doğrusal bir sistemin(veya bir Doğrusal bir sistemin(veya bir elemanın) transfer fonksiyonu, tüm ilk elemanın) transfer fonksiyonu, tüm ilk koşullar sıfır iken sistemin çıkış koşullar sıfır iken sistemin çıkış değişkeninin Laplace dönüşümünün, değişkeninin Laplace dönüşümünün, giriş değişkeninin Laplace dönüşümüne giriş değişkeninin Laplace dönüşümüne oranı olarak tanımlanır. oranı olarak tanımlanır.

Parametreleri zamanla değişen Parametreleri zamanla değişen sistemlerin Laplace dönüşümü sistemlerin Laplace dönüşümü alınamayacağından, transfer alınamayacağından, transfer fonksiyonunun çıkarılabilmesi için fonksiyonunun çıkarılabilmesi için sistemin sabit parametreli olması sistemin sabit parametreli olması gerekir. gerekir.


3

Yüksek dereceli bir sistemde y(t) yanıt, Yüksek dereceli bir sistemde y(t) yanıt, r(t) giriş olmak üzere sistemi r(t) giriş olmak üzere sistemi betimleyen diferansiyel denklem betimleyen diferansiyel denklem aşağıdaki gibi olsun :aşağıdaki gibi olsun :

rp.....dt

rdp

dt

rdpyq.....

dt

ydq

dt

ydq 02n

2n

2n1n

1n

1n01n

1n

1nn

n

n

rp.....dt

rdp

dt

rdpyq.....

dt

ydq

dt

ydq 02n

2n

2n1n

1n

1n01n

1n

1nn

n

n

rp.....dt

rdp

dt

rdpyq.....

dt

ydq

dt

ydq 02n

2n

2n1n

1n

1n01n

1n

1nn

n

n

rp.....dt

rdp

dt

rdpyq.....

dt

ydq

dt

ydq 02n

2n

2n1n

1n

1n01n

1n

1nn

n

n

Bütün başlangıç koşulları sıfıra Bütün başlangıç koşulları sıfıra eşitse sistemin transfer fonksiyonu eşitse sistemin transfer fonksiyonu

olur.olur.


4

Örnek : RC devresiÖrnek : RC devresi (Dorf ve (Dorf ve Bishop,2005)Bishop,2005)

Şekildeki RC Şekildeki RC devresinin transfer devresinin transfer fonksiyonu fonksiyonu Kirschoff ’un Kirschoff ’un gerilim yasası gerilim yasası kullanılarakkullanılarak

bulunabilir. Sistemin transfer fonksiyonu :Sistemin transfer fonksiyonu :


5

Zaman düzlemine geçerken gibi bir Zaman düzlemine geçerken gibi bir ifadenin ters Laplace’ı, (veya ) şeklinde ifadenin ters Laplace’ı, (veya ) şeklinde bulunur. bulunur.

Burada işaret, a büyükse hızlı, küçükse yavaş Burada işaret, a büyükse hızlı, küçükse yavaş sönümlenir. Bu nedenle a’ nın veya genel sönümlenir. Bu nedenle a’ nın veya genel kullanımıyla kullanımıyla ’nın ’nın zaman düzleminde belirleyici bir özelliği vardır. zaman düzleminde belirleyici bir özelliği vardır.

Genelde transfer fonksiyonları sistem Genelde transfer fonksiyonları sistem elemanları tarafından belirlenen zaman sabiti, elemanları tarafından belirlenen zaman sabiti,

yani yani ττ cinsinden ifade edilir. Burada zaman cinsinden ifade edilir. Burada zaman

sabiti sabiti τ τ =RC’dir.=RC’dir. Bu durumda transfer fonksiyonunu G(s) = Bu durumda transfer fonksiyonunu G(s) =

şeklinde de yazabiliriz. şeklinde de yazabiliriz.


6

Örnek : Kütle - yay - sönümleme Örnek : Kütle - yay - sönümleme sistemi sistemi (Dorf ve Bishop,2005)(Dorf ve Bishop,2005)

Çözüm : Her bir kütlenin cisim şemalarını Her bir kütlenin cisim şemalarını çizerek Newton’un hareket kanunu çizerek Newton’un hareket kanunu ile hareket denklemleri elde ederiz. ile hareket denklemleri elde ederiz.


7

MM11 ve Mve M2 2 kütlelerinin cisim şemaları kütlelerinin cisim şemaları aşağıdaki gibidir.aşağıdaki gibidir.

1. Hareket 1. Hareket denklemidenklemi

2. Hareket 2. Hareket denklemidenklemi


8

İlk koşullar sıfır kabul edilerek iki İlk koşullar sıfır kabul edilerek iki denklemin de Laplace dönüşümleri denklemin de Laplace dönüşümleri alınırsaalınırsa

Denklemleri Denklemleri yeniden yeniden düzenlersek;düzenlersek;

Matrissel formda yazarsak;Matrissel formda yazarsak;


9

Cramer yöntemiyle V(s)’i çekeriz;Cramer yöntemiyle V(s)’i çekeriz;

bulunur.bulunur.

Benzer şekilde denklemden VBenzer şekilde denklemden V22(s)’i çekip, (s)’i çekip, R(s) girişiyle, MR(s) girişiyle, M22 kütlesinin hızı arasındaki kütlesinin hızı arasındaki transfer fonksiyonu bulunabilir. transfer fonksiyonu bulunabilir.


10

DC motorun transfer fonksiyonuDC motorun transfer fonksiyonu (Dorf ve Bishop,2005)(Dorf ve Bishop,2005)

DC motorlar, şekilde görüldüğü gibi, verilen DC motorlar, şekilde görüldüğü gibi, verilen elektrik enerjisini, yükün dönel mekanik elektrik enerjisini, yükün dönel mekanik hareketine dönüştüren işletici hareketine dönüştüren işletici elemanlardır. elemanlardır.


11

Doğal mıknatısla veya sargılarla (alan sargılarının Doğal mıknatısla veya sargılarla (alan sargılarının oluşturduğu elektromıknatısla) oluşturulan oluşturduğu elektromıknatısla) oluşturulan manyetik alana birden çok telin sarıldığı (rotor-manyetik alana birden çok telin sarıldığı (rotor-armatür-endüvi sargıları) dönel bir kütle (rotor) armatür-endüvi sargıları) dönel bir kütle (rotor) yerleştirirsek, Kutuplara dik olan tellerden akım yerleştirirsek, Kutuplara dik olan tellerden akım geçerken en büyük kuvvetle rotoru iterler. Bu geçerken en büyük kuvvetle rotoru iterler. Bu kuvvete, bundan sonra döndürme etkisinden kuvvete, bundan sonra döndürme etkisinden dolayı Tork (T, döndürme momenti) diyelim. dolayı Tork (T, döndürme momenti) diyelim.

Kutupları, dolayısıyla akımın yönünü değiştirerek, Kutupları, dolayısıyla akımın yönünü değiştirerek, ters yönde de aynı hareketi elde edebiliriz.ters yönde de aynı hareketi elde edebiliriz.

DC motorlarda manyetik alan doğal bir DC motorlarda manyetik alan doğal bir mıknatısla oluşturulursa değeri sabit kalır. mıknatısla oluşturulursa değeri sabit kalır. Manyetik alan sargılarına akım verilerek Manyetik alan sargılarına akım verilerek oluşturulursa akımla orantılı olarak değişir. oluşturulursa akımla orantılı olarak değişir.


12

Rotorla stator arasındaki hava boşluğunda Rotorla stator arasındaki hava boşluğunda oluşan manyetik akı, , alan sargılarından akan oluşan manyetik akı, , alan sargılarından akan akımla (doyuma ulaştığı bölgeye kadar) doğru akımla (doyuma ulaştığı bölgeye kadar) doğru orantılı olarak değişir. orantılı olarak değişir.

Motorun döndürme momenti, armatür akımı ve Motorun döndürme momenti, armatür akımı ve manyetik akıyla doğru orantılıdır.manyetik akıyla doğru orantılıdır.

DC motorlar kontrol yöntemi bakımından iki DC motorlar kontrol yöntemi bakımından iki

türlü olarak kabul edilebilirler: Alan denetimli türlü olarak kabul edilebilirler: Alan denetimli ve endüvi (armatür) denetimli motorlar. ve endüvi (armatür) denetimli motorlar. Doğrusal bir eleman elde etmek için Doğrusal bir eleman elde etmek için akımlardan birini sabit tutmamız gerekir. akımlardan birini sabit tutmamız gerekir.


13

Alan denetimli DC motorların Alan denetimli DC motorların transfer fonksiyonutransfer fonksiyonu

Armatür akımı sabit tutulup ( ia(t)=Ia ) , Armatür akımı sabit tutulup ( ia(t)=Ia ) , alan sargılarının akımı ayarlanarak motor alan sargılarının akımı ayarlanarak motor denetleniyorsa, bu alan denetimli bir denetleniyorsa, bu alan denetimli bir motordur. motordur.

Döndürme momentinin Laplace gösterimi :Döndürme momentinin Laplace gösterimi :

Km tüm sabitlerin çarpımından oluşan motor sabitidir. Km tüm sabitlerin çarpımından oluşan motor sabitidir.


14

Üretilen döndürme momenti, vizkoz Üretilen döndürme momenti, vizkoz sürtünmesi ve eylemsizliği yenmek koşuluyla sürtünmesi ve eylemsizliği yenmek koşuluyla J eylemsizlik kütlesinin harekete geçmesini J eylemsizlik kütlesinin harekete geçmesini sağlar.sağlar.

İvmeİvme::

Burada dönel hareket vardır ve her şey tıpkı Burada dönel hareket vardır ve her şey tıpkı düzlemsel hareketteki gibi gelişir. Sadece M düzlemsel hareketteki gibi gelişir. Sadece M kütlesinin yerini J eylemsizlik kütlesi, y kütlesinin yerini J eylemsizlik kütlesi, y düzlemsel yer değiştirmesinin yerini düzlemsel yer değiştirmesinin yerini θθ açısal açısal yer değiştirmesi ve yer değiştirmesi ve νν hızının yerini hızının yerini ωω açısal açısal hızı alır.hızı alır.Yük Yük momenti:momenti:Vizkoz sürtünmesi: Vizkoz sürtünmesi: Eylemsizlik:Eylemsizlik:


15

Sistemi, elektriksel ve mekanik kısma ait zaman Sistemi, elektriksel ve mekanik kısma ait zaman sabitleri cinsinden tanımlamak istersek; sabitleri cinsinden tanımlamak istersek;


16

Alan kontrollü DC motorun Alan kontrollü DC motorun blok şema gösterimi blok şema gösterimi


17

Armatür denetimli DC motorların Armatür denetimli DC motorların

transfer fonksiyonutransfer fonksiyonu Alan akımı sabit tutulup ( iAlan akımı sabit tutulup ( iff(t)=I(t)=If f ) , armatür akımı ) , armatür akımı

ayarlanarak motor denetleniyorsa, bu armatür denetimli ayarlanarak motor denetleniyorsa, bu armatür denetimli bir motordur. bir motordur.

Döndürme momentinin Laplace gösterimi :Döndürme momentinin Laplace gösterimi :

Motor burada Va gerilimine zıt bir Motor burada Va gerilimine zıt bir elektromotor kuvveti üretir; elektromotor kuvveti üretir;


18


19

Armatür kontrollü DC motorun Armatür kontrollü DC motorun blok şema gösterimiblok şema gösterimi (Dorf ve (Dorf ve

Bishop,2005)Bishop,2005)


20

Aşağıda tipik bir DC motorun parametre değerleri örnek olarak verilmiştir :

Km sabiti verilmemişse, pratikte aşağıdaki Km sabiti verilmemişse, pratikte aşağıdaki formülle yaklaşık bir değer bulunabilir. Burada formülle yaklaşık bir değer bulunabilir. Burada

M rotorun kütlesi, r ise yarıçapıdır. M rotorun kütlesi, r ise yarıçapıdır.

(Dorf ve Bishop,2005)


21

Blok Şeması ModelleriBlok Şeması Modelleri

Aşağıda alan denetimli DC motorun Aşağıda alan denetimli DC motorun θθ(s) açısal yer (s) açısal yer değiştirmesiyle, Vdeğiştirmesiyle, Vff(s) giriş gerilimi arasındaki ilişki (s) giriş gerilimi arasındaki ilişki blok diyagramla betimlenmiştir.blok diyagramla betimlenmiştir.


22

Çok değişkenli sistemler, birden fazla transfer Çok değişkenli sistemler, birden fazla transfer fonksiyonunun ve dolayısıyla bloğun birbirine fonksiyonunun ve dolayısıyla bloğun birbirine bağlanmasıyla elde edilebilirler. bağlanmasıyla elde edilebilirler.

Transfer fonksiyonu ilişkileri kullanılarak, çıkış Transfer fonksiyonu ilişkileri kullanılarak, çıkış değişkenleri için iki bağımsız denklem değişkenleri için iki bağımsız denklem yazılabilir. yazılabilir.


23

Sistemin blok şema Sistemin blok şema gösterimi: gösterimi:


24

Blok Şema DönüşümleriBlok Şema Dönüşümleri (Dorf ve (Dorf ve Bishop,2005)Bishop,2005)

1. Ard arda bağlı iki bloğun

birleştirilmesi

G1(s) X1 X2 G2(s) X3

X1 G1G2 X3

X1 G2G1 X3

veya

2. Bir toplama noktasını bloğun ardına almak

X1 G(s) X3

+

X2

X1 G(s) X3

+

X2 G(s)

3. Bir düğümü bloğun önüne almak

X1 G(s) X2

X2

X1 G(s)

X2 G(s)

X2


25


26

Örnek : Blok diyagramın Örnek : Blok diyagramın indirgemesi indirgemesi (Dorf ve Bishop,2005)(Dorf ve Bishop,2005)

Birden çok Birden çok döngüden oluşan döngüden oluşan geri bildirimli bir geri bildirimli bir kontrol sistemini, kontrol sistemini, blok şema blok şema dönüştürmeleriyle , dönüştürmeleriyle , girişle çıkış girişle çıkış arasındaki transfer arasındaki transfer fonksiyonunu ifade fonksiyonunu ifade eden tek bir bloğa eden tek bir bloğa indirgeyelim. indirgeyelim.


27


28

İşaret Akış Şeması Modelleriİşaret Akış Şeması Modelleri İşaret akış şemaları, blok şemalarına alternatif İşaret akış şemaları, blok şemalarına alternatif bir gösteriş biçimidir. Toplayıcılar ve düğümler bir gösteriş biçimidir. Toplayıcılar ve düğümler yerine sadece düğümler vardır. Blok şeması yerine sadece düğümler vardır. Blok şeması içindeki transfer fonksiyonu, iki düğüm (işaret) içindeki transfer fonksiyonu, iki düğüm (işaret) arasında bir kazançla (transfer fonksiyonu) arasında bir kazançla (transfer fonksiyonu) ifade edilir.ifade edilir.

Örneğin DC motorun transfer fonksiyonuÖrneğin DC motorun transfer fonksiyonu :

Akış şemasının gösteriş biçimi:Akış şemasının gösteriş biçimi:


29

Aşağıdaki gibi bir denklem takımını ele alalım.

Burada girişler rBurada girişler r1 1 ve rve r2, 2, çıkışlar da xçıkışlar da x11 ve x ve x22’dir.’dir.


30

Denklemi Cramer yöntemiyle çözersek ;

Örneğin xÖrneğin x11 çıkışı ile r çıkışı ile r1 1 girişi arasındaki transfer fonksiyonugirişi arasındaki transfer fonksiyonu


31

Burada Burada determinant olarak determinant olarak ifade ettiğimiz, ifade ettiğimiz, transfer transfer fonksiyonlarının fonksiyonlarının payda kısmı, yani payda kısmı, yani sistemin sistemin karakteristik karakteristik denklemidir. denklemidir. Sistemin Sistemin karakteristiği karakteristiği yapısal bir özelliktir yapısal bir özelliktir ve değişmez. ve değişmez.

ÖrneÖrneğğin Gin G1111’i inceleyelim. ’i inceleyelim. İşİşaret akaret akış şış şemasemasıındaki Rndaki R11’den X’den X11’e ’e

giden ileri yol giden ileri yol : : PP11=1=1

ve bu yol (düve bu yol (düğğümleriyle birlikte) tümüyle kaldümleriyle birlikte) tümüyle kaldıırrııldldığıığında geri nda geri kalan döngülerin 1’den çkalan döngülerin 1’den çııkarkarıılmaslmasııyla elde edilen birinci yla elde edilen birinci kofaktör kofaktör : : ΔΔ11=1-=1-aa22 22 ’dir.’dir.

GG1111’in pay kısmı P’in pay kısmı P11ΔΔ1 1 ’dir. Payda kısmındaki determinant ise ’dir. Payda kısmındaki determinant ise yine 1’den önce bağımsız döngülerin çıkarılması, sonra yine 1’den önce bağımsız döngülerin çıkarılması, sonra birbirine değmeyen ikili döngülerin eklenmesi şeklindedir. birbirine değmeyen ikili döngülerin eklenmesi şeklindedir.


32

Mason Kazanç FormülüMason Kazanç Formülü PPijkijk : x : xi i değişkeninden xdeğişkeninden xjj

değişkenine giden j. ileri yoldur.değişkenine giden j. ileri yoldur.

ΔΔ : Sistemi temsil eden işaret akış şemasının : Sistemi temsil eden işaret akış şemasının determinantı, transfer determinantı, transfer fonksiyonunun payda kısmını oluşturur. fonksiyonunun payda kısmını oluşturur.

L: Döngüleri ifade L: Döngüleri ifade eder.eder.


33

ΔΔijkijk = P = Pijkijk yolunun kofaktörü : yani P yolunun kofaktörü : yani Pijkijk yolu kaldırıldığında geriye kalan döngüler yolu kaldırıldığında geriye kalan döngüler için determinantın hesaplanmasıiçin determinantın hesaplanması

ΣΣkk=P=PijkijkΔΔijkijk : x : xii’den x’den xjj’ye olası k tane yol ’ye olası k tane yol için için ΔΔijkijkPPijkijk çarpımları bulunur ve çarpımları bulunur ve bunların toplamı transfer fonksiyonunun bunların toplamı transfer fonksiyonunun pay kısmını oluşturur.pay kısmını oluşturur.


34

Örnek : Etkileşimli bir sistemin Örnek : Etkileşimli bir sistemin

transfer fonksiyonutransfer fonksiyonu (Dorf ve (Dorf ve Bishop,2005)Bishop,2005) İki yola sahip İki yola sahip

olan işaret akış olan işaret akış şemasında şemasında Y(s)/R(s) Y(s)/R(s) transfer transfer fonksiyonunu fonksiyonunu bulunuz.bulunuz.

Çözüm:Çözüm:• 2 ileri yol var 2 ileri yol var 1. yol P1. yol P11=G=G11GG22GG33GG4 4 , 2. yol , 2. yol PP22=G=G55GG66GG77GG88

• 4 tane döngü vardır. 4 tane döngü vardır. LL11=G=G22HH22 , L , L22=G=G33HH33, L, L33=G=G66HH66, , LL44=G=G77HH77


35

• 1. yolun kofaktörü bulalım. 1. yol, düğümleriyle 1. yolun kofaktörü bulalım. 1. yol, düğümleriyle birlikte kaldırılınca Lbirlikte kaldırılınca L11 ve L ve L22 de ortadan kalkar. L de ortadan kalkar. L33 ve Lve L44 kalır. kalır.

•Benzer şekilde 2. yolun kofaktörü için 2. yol Benzer şekilde 2. yolun kofaktörü için 2. yol kaldırıldığında geriye Lkaldırıldığında geriye L11 ve L ve L2 2 kalır. kalır.

Sistemin transfer fonksiyonu :Sistemin transfer fonksiyonu :


36

Örnek : Karmaşık bir sistemin Örnek : Karmaşık bir sistemin transfer fonksiyonu transfer fonksiyonu (Dorf ve (Dorf ve

Bishop,2005)Bishop,2005)

Çözüm: Çözüm: • İleri yollar İleri yollar P P11=G=G11GG22GG33GG44GG55GG66 P P22=G=G11GG22GG77GG66

PP33=G=G11GG22GG33GG44GG88

• Geri bildirim döngüleri Geri bildirim döngüleri LL11= -G= -G22GG33GG44GG55HH22 L L22= -G= -G55GG66HH11 L L33= -G= -G88HH11 L L44= -G= -G77HH22GG22

LL5 5 = -G= -G44HH44

LL6 6 = = -G-G11GG22GG33GG44GG55GG66HH33 LL77 = -G = -G11GG22GG77GG66HH3 3 LL88= -= -GG11GG22GG33GG44GG88HH33

R(s)

-H2

1 G1 G2 G3 G4 G5 G6 Y(s)

-H4 -H1

-H3

G7

G8

Şekil. İki ileri yola sahip etkileşimli sistem (Dorf ve Bishop,2005)


37

• Kofaktörler :Kofaktörler :PP11 yolu kaldırıldığında bütün düğümler ortadan kalkar, yolu kaldırıldığında bütün düğümler ortadan kalkar, onlara bağlı döngüler de bozulur ve ortadan kalkarlar.onlara bağlı döngüler de bozulur ve ortadan kalkarlar.

PP2 2 kaldırılınca sadece Lkaldırılınca sadece L55 döngüsü kalır. döngüsü kalır.

Sistemin transfer fonksiyonu :Sistemin transfer fonksiyonu :

PP33 yoluyla birlikte ortadan kalkan düğümlere bağlı yoluyla birlikte ortadan kalkan düğümlere bağlı döngüler (burada tümü) bozulur. döngüler (burada tümü) bozulur.


38

Kontrol Sistemlerinin Kontrol Sistemlerinin Bilgisayar AnaliziBilgisayar Analizi Sistemin başarımı, akla gelebilecek tüm koşullar altında gözlemlenmiş olur. Sistemin başarımı, akla gelebilecek tüm koşullar altında gözlemlenmiş olur.

Sistemin farklı durumlarda nasıl davranabileceğini kestirmek için, gerçek Sistemin farklı durumlarda nasıl davranabileceğini kestirmek için, gerçek sistemde elde edilmiş birkaç sonuç, benzetim modeli kullanılarak sistemde elde edilmiş birkaç sonuç, benzetim modeli kullanılarak genişletilebilir.genişletilebilir.

Henüz fikir aşamasında olan geleceğe yönelik sistemler bilgisayar ortamında Henüz fikir aşamasında olan geleceğe yönelik sistemler bilgisayar ortamında incelenebilir. incelenebilir.

Test aşamasındaki sistemde yapılan denemeler çok daha kısa zamanda Test aşamasındaki sistemde yapılan denemeler çok daha kısa zamanda tamamlanabilir. tamamlanabilir.

Gerçek deneylere nazaran maliyet düşük olur.Gerçek deneylere nazaran maliyet düşük olur.

Gerçek hayatta, mevcut zamanda veya dünya koşullarında Gerçek hayatta, mevcut zamanda veya dünya koşullarında gerçekleştirilemeyecek olan varsayımsal durumlar da bilgisayar ortamında gerçekleştirilemeyecek olan varsayımsal durumlar da bilgisayar ortamında incelenebilir.incelenebilir.

Bir sistemi çözümlemek ve değerlendirmek için başvurabileceğimiz en Bir sistemi çözümlemek ve değerlendirmek için başvurabileceğimiz en tehlikesiz ve kullanışlı yöntem bilgisayar modelleme ve benzetimidir. tehlikesiz ve kullanışlı yöntem bilgisayar modelleme ve benzetimidir.


39

Transfer Fonksiyonu Modellerinin Transfer Fonksiyonu Modellerinin

MATLAB ile AnaliziMATLAB ile Analizi s^3+3s^2+4 polinomunun kökleri s^3+3s^2+4 polinomunun kökleri rootsroots

komutu ile bulunur. komutu ile bulunur.

Sonuçlar;Sonuçlar;r =r = -3.3553 -3.3553 0.1777 + 1.0773i0.1777 + 1.0773i 0.1777 - 1.0773i0.1777 - 1.0773i


40

Sistem transfer fonksiyonu Sistem transfer fonksiyonu tf tf komutu ile komutu ile bulunur; bulunur;

Transfer fonksiyonu payı paydaya bölme, sonucu Transfer fonksiyonu payı paydaya bölme, sonucu bölüm ve kalan olarak yazma işlemi değildir. Bir bölüm ve kalan olarak yazma işlemi değildir. Bir sistemin giriş/çıkış bağıntısını modelleyen sistemin giriş/çıkış bağıntısını modelleyen sembolik bir gösterim biçimidir. sembolik bir gösterim biçimidir.

Transfer function:Transfer function: 1010--------------------------------s^2 + 2 s + 5s^2 + 2 s + 5

Transfer function:Transfer function: 1010----------s + 1s + 1

SonuçlaSonuçlar ;r ;


41

Art arda seri bağlı iki sistemin transfer Art arda seri bağlı iki sistemin transfer fonksiyonlarının indirgenmesi, fonksiyonlarının indirgenmesi, seriesseries komutuyla ya da “*” çarpım operatörüyle komutuyla ya da “*” çarpım operatörüyle yapılır. yapılır.

Sonuç; Sonuç; Transfer function:Transfer function: 1010 ------------------------------------------------s^3 + 3 s^2 + 7 s + 5s^3 + 3 s^2 + 7 s + 5


42

Paralel bağlı iki sistem bloğunun Paralel bağlı iki sistem bloğunun indirgenmesi indirgenmesi parallel parallel komutu ya da “+” komutu ya da “+” toplama operatörüyle yapılır. toplama operatörüyle yapılır.

Sonuç;Sonuç;Transfer Transfer

function:function: s^2 + 12 s + 15s^2 + 12 s + 15 --------------------------------------------s^3 + 3 s^2 + 7 s s^3 + 3 s^2 + 7 s

+ 5+ 5


43

Geri bildirim döngüsünün indirgenmesi Geri bildirim döngüsünün indirgenmesi feedback feedback komutu ile yapılır. komutu ile yapılır. T=feedback T=feedback (G,H,işaret);(G,H,işaret); burada işaret, geri bildirim burada işaret, geri bildirim negatif ise -1, pozitif ise +1’dir. işaret negatif ise -1, pozitif ise +1’dir. işaret belirtilmediği takdirde negatif geri belirtilmediği takdirde negatif geri bildirime göre hesaplama yapılır. bildirime göre hesaplama yapılır.

Yukarıdaki gibi bir sistemde ileri yol G(s)= Yukarıdaki gibi bir sistemde ileri yol G(s)= GD(s)*GDS(s) , geri bildirim H(s), geri GD(s)*GDS(s) , geri bildirim H(s), geri bildirimli sistemin transfer fonksiyonu T(s)’dir. bildirimli sistemin transfer fonksiyonu T(s)’dir.


44

Sonuçlar;Sonuçlar;Transfer function: G=Transfer function: G= s + 4s + 4 ---------- s + 5s + 5 Transfer function: T= Transfer function: T= s^2 + 6 s + 5s^2 + 6 s + 5 -------------------------------------------------------------- s^4 + 7 s^3 + 11 s^2 + 5 s s^4 + 7 s^3 + 11 s^2 + 5 s

+ 4+ 4


45

Bir sistemin kutupları ve sıfırları sırasıyla Bir sistemin kutupları ve sıfırları sırasıyla polepole ve ve zerozero komutlarıyla bulunur. Kutup komutlarıyla bulunur. Kutup ve sıfırları s karmaşık düzleminde ve sıfırları s karmaşık düzleminde çizdirmek için ise çizdirmek için ise pzmappzmap komutu komutu kullanılır.kullanılır.

sifirlar =sifirlar = 0 + 0 + 0.4082i0.4082i 0 - 0 - 0.4082i0.4082i

kutuplar kutuplar == -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000

Sonuçlar;Sonuçlar;


46

Sistemin Test Girişlerine YanıtıSistemin Test Girişlerine Yanıtı

i)i) Basamak yanıtı Basamak yanıtı step step komutu ile bulunur. komutu ile bulunur. step(G,t) komutu G(s) transfer fonksiyonuna step(G,t) komutu G(s) transfer fonksiyonuna birim basamak (1/s ) girişi uygular. birim basamak (1/s ) girişi uygular. Y(S)=G(S)*R(s) yanıtını bulur. Ters Laplace’ını Y(S)=G(S)*R(s) yanıtını bulur. Ters Laplace’ını alarak y(t) yanıtını elde eder. t süresi boyunca alarak y(t) yanıtını elde eder. t süresi boyunca değerler vererek y(t) yanıtını çizdirir. t bir değerler vererek y(t) yanıtını çizdirir. t bir vektörse (örneğin t=0:0.1:10) tüm t değerleri vektörse (örneğin t=0:0.1:10) tüm t değerleri boyunca, t bir son değerse (örneğin t=10), boyunca, t bir son değerse (örneğin t=10), 0’dan 10’a kadar bilgisayarda daha önceden 0’dan 10’a kadar bilgisayarda daha önceden tanımlanmış (0.00001 gibi) aralıklarla tanımlanmış (0.00001 gibi) aralıklarla simülasyon yapılır. simülasyon yapılır.

ii)ii) Dürtü yanıtı da benzer şekilde Dürtü yanıtı da benzer şekilde impulse impulse komutuyla bulunur. komutuyla bulunur.


47

Tasarım UygulamalarıTasarım Uygulamaları Örnek Örnek : Elektrikli Tren Motorunun Hız : Elektrikli Tren Motorunun Hız Kontrolü Kontrolü a) a) Modelleme öncesi hazırlıkların Modelleme öncesi hazırlıkların yapılması yapılması


48

b) b) Fiziksel sistemin modellenmesiFiziksel sistemin modellenmesi

Modelimizde kullanacağımız toplama elemanı istenen değerle (Modelimizde kullanacağımız toplama elemanı istenen değerle (wwRR), ),

gerçek değerin ( gerçek değerin (wwYY ) farkını yani hatayı(e) bulmayı amaçlar; ) farkını yani hatayı(e) bulmayı amaçlar; vvgg =e =e

= = wwRR– – wwYY

Sürekli durumda, eğer tasarladığımız sistem başarılı çalışıyorsa bu Sürekli durumda, eğer tasarladığımız sistem başarılı çalışıyorsa bu hata 0 olacaktır. hata 0 olacaktır. eessss=0. Yani =0. Yani wwRR= = wwYY olmalıdır. olmalıdır.


49

Fiziksel sistemdeki fark yükselteci ise bunların gerilim Fiziksel sistemdeki fark yükselteci ise bunların gerilim karşılıklarının farkını hesaplar. İstenen karşılıklarının farkını hesaplar. İstenen wwRR hızı yerine bunun hızı yerine bunun

gerilim karşılığı olan gerilim karşılığı olan vvRR sisteme istenen giriş olarak verilir. sisteme istenen giriş olarak verilir.

Çıkıştan ölçülen hız da takometrenin kazancı nedeniyle 0.1 ile Çıkıştan ölçülen hız da takometrenin kazancı nedeniyle 0.1 ile çarpılarak takometre gerilimine dönüşüp çarpılarak takometre gerilimine dönüşüp vvtt olarak fark olarak fark

yükseltecinin diğer girişine gelir (yükseltecinin diğer girişine gelir (vvtt =0.1 =0.1 wwYY veya sürekli veya sürekli

durumda durumda vvtt =0.1 =0.1 wwRR). Fark yükseltecinin çıkış gerilimi sürekli ). Fark yükseltecinin çıkış gerilimi sürekli

durumda durumda vvgg =0 olacağından=0 olacağından

Fark yükseltecinin genel çıkış Fark yükseltecinin genel çıkış denklemi :denklemi :


50

Güç yükselteci nonlineer bir davranış göstermektedir( ). Transfer fonksiyonu modelini elde edebilmek için çalışma noktası olan ( vg0,vç0 ) civarında doğrusallaştırma yapmak gerekir vg0 =1.5V.

gvç ev 32

Armatür Armatür kontrollü DC kontrollü DC motorun motorun blok şema blok şema gösterimi gösterimi


51

İşaret akış İşaret akış şeması şeması

SistemiSistemin blok n blok şema şema modelimodeli


52

Mason kazanç formülünü kullanarak işaret akış Mason kazanç formülünü kullanarak işaret akış şemasından tüm sistemin transfer fonksiyonunu şemasından tüm sistemin transfer fonksiyonunu bulabiliriz. bulabiliriz.

Buradan sistemin yanıtının oldukça salınımlı ve Buradan sistemin yanıtının oldukça salınımlı ve eksik sönümlü olduğu anlaşılmaktadır. eksik sönümlü olduğu anlaşılmaktadır.

Karakteristik denklem 2. derecedenKarakteristik denklem 2. dereceden


53

Basamak yanıtının çizdirilmesi


54

Ardışıl Tasarım Örneği: Disk Sürücüsü

Okuma Sistemi (Dorf ve Bishop,2005)(Dorf ve Bishop,2005)

Hedef ; sistemin istenen Hedef ; sistemin istenen 0.1 0.1 radyanlıkradyanlık basamak girişine basamak girişine yanıtını zaman düzleminde yanıtını zaman düzleminde incelemek, gerekirse tasarımda incelemek, gerekirse tasarımda değişiklikler yapmaktır.değişiklikler yapmaktır.


55

Disk sürücü sistemi Disk sürücü sistemi sabit mıknatıslı DC sabit mıknatıslı DC motor kullanmaktadır. motor kullanmaktadır. Parametreleri tabloda Parametreleri tabloda verilmiştir. Sistemin verilmiştir. Sistemin transfer transfer fonksiyonlarından fonksiyonlarından oluşan blok şema oluşan blok şema modeli;modeli;


56

Sistemin transfer fonksiyonu Mason kazanç Sistemin transfer fonksiyonu Mason kazanç formülünden:formülünden:


57

Sistemin 0.1rad’lık basamak girişine yanıtı için Sistemin 0.1rad’lık basamak girişine yanıtı için hazırlanan program ve yanıtın grafiği şekilde hazırlanan program ve yanıtın grafiği şekilde görüldüğü gibidir. görüldüğü gibidir.


58

KaynaklarKaynaklar1) Dorf, R.,C., 1) Dorf, R.,C., BishopBishop, R.,H., Modern Control , R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 2005Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 20052) 2) www.mathworks.com3) 3) http://www.engin.umich.edu/group/ctm/4) Arifoğlu,U., Kubat, C., Matlab ve Mühendislik 4) Arifoğlu,U., Kubat, C., Matlab ve Mühendislik Uygulamaları, Alfa Yayınları, 2003Uygulamaları, Alfa Yayınları, 20035)Kovacı,R.,KOÜ. Mü .Fak. Elo ve Hab. Blm,Otomatik 5)Kovacı,R.,KOÜ. Mü .Fak. Elo ve Hab. Blm,Otomatik Kontrol Dersi ÖdeviKontrol Dersi Ödevi

Documents

3.Transfer Fonksiyonu (1)