ตวัอยา่ง

ตวัอยา่ง

ผู้เขียน :ทวินันท์ อยู่สุนทร

ราคา250บาท

พิมพ์ครั้งที่1 :มีนาคม2558

สงวนลิขสิทธิ์โดย: บริษัทสมาร์ทอินเทลลิเจนท์จ�ากัด

จัดพิมพ์โดย : บริษัท สมาร์ท อินเทลลิเจนท์ จ�ากัด 2387อาคารรวมทุนพัฒนาชั้น3ถนนเพชรบุรีตัดใหม่ แขวงบางกะปิเขตห้วยขวางกรุงเทพฯ10310 โทร.0-2318-4818(10คู่สาย) แฟกซ์:0-2318-4809 E-mail:SM8RTINTEL@gmail.com

จัดจ�าหน่ายโดย : บริษัท ซีเอ็ดยูเคชั่น จ�ากัด (มหาชน) เลขที่1858/87-90ถนนบางนา-ตราด แขวงบางนาเขตบางนากรุงเทพฯ10260 โทรศัพท์0-2739-8000 โทรสาร0-2751-5999 http://www.se-ed.com

พิมพ์ที่ : บริษัท แอคทีฟ พริ้นท์ จ�ากัด โทร.0-2530-4114(8คู่สาย)

ข้อมูลทางบรรณานุกรมหอสมุดแห่งชาติ

ทวินันท์ อยู ่สุนทร.

รวมสูตร ติวคณิต ! พิชิต ADMISSION และเตรียมตัวสอบ ม.4-5-6. --กรุงเทพฯ : สมาร์ท อินเทลลิเจนท์, 2558. 544 หน้า. 1. คณิตศาสตร์--การศึกษาและการสอน (มัธยมศึกษา). 2. คณิตศาสตร์--ข้อสอบและเฉลย. I. ชื่อเรื่อง. 510.76 ISBN 978-616-7972-00-8

รวมสูตร ติวคณิต ! พิชิต ADMISSION

และเตรียมตัวสอบ ม. 4-5-6

ตวัอยา่ง

ค�ำน�ำ

กว่าจะมาเป็นหนังสือเล่มนี ้ได้ ก่อนอื่นพี ่แอนก็ต้องขอขอบคุณ

คุณพ่อคุณแม่ที ่เลี ้ยงดูและให้การศึกษา ขอบคุณอาจารย์คณิตศาสตร์

ทุกท่านที ่ได้ให้ความรู้ ให้ความคิด จนปัจจุบันนี้พี ่น�าความรู ้ที ่ได้เรียน

มาถ่ายทอดในการสอนน้อง ๆ ขอบคุณน้อง ๆ Tutor ที่ช่วยในการตรวจ

และเรียบเรียงข้อความแก้ไขให้สมบูรณ์มากขึ้น ขอบคุณ บริษัท สมาร์ท

อินเทลลิเจนท์ จ�ากัด และทีมงานที่ไว้วางใจให้พี่ได้ท�าหนังสือเล่มนี้ขึ ้นมา

หนังสือเล่มนี้เขียนขึ้นมาจากประสบการณ์การสอนวิชาคณิตศาสตร์

ของพี่แอนที ่มีมามากกว่า5ปีเพื ่อที ่จะช่วยน้อง ๆที ่มักบ่นว่า...

“โอ๊ย!!! ปวดหัว ท�ำไมคณิตศำสตร์มันยำกอย่ำงงี…้”

“สูตรเยอะจริง จ�ำไม่ไหว ใช้ไม่ถูก!!”

โดยพี่แอนได้สรุปสูตรที่จ�าเป็นต้องใช้ในการท�าโจทย์ และเทคนิค

ที ่จะช่วยท�าโจทย์ได้เร็วขึ ้นในรูปแบบที่อ่านง่ายและน�าไปใช้ได้จริง

เนื ้อหาในเล่มนี ้มีทั ้งหมด 18 บท น้อง ๆ สามารถอ่านเรียง

ล�าดับไปตัง้แต่บทที ่ 1 จนถึง 18 หรือเลือกอ่านบทใดก่อนก็ได้ แต่ที่

ตวัอยา่ง

ส�าคัญคือ น้อง ๆ จะต้องตัง้ใจอ่านให้เข้าใจและฝึกคิดตามตัวอย่างที ่มี

มาด้วย เพราะเมือ่เวลาไปเจอโจทย์จริง น้อง ๆ จะได้รู ้ว ิธีคิดและท�า

โจทย์ได ้อย่างรวดเร็วและถูกต้อง จ�าไว ้ว ่า...ความพยายามอยู ่ที ่ไหน

ความส�าเร็จอยู ่ที ่นั ่นนะคะ...

สุดท้ายนี้พี ่ยินดีรับฟังข้อคิดเห็นและข้อเสนอแนะ หรือถ้าน้อง ๆ

มีค�าถามใด ๆก็สามารถส่งอีเมลมาหาพี่แอนได้ที ่:

tawinan_ann@hotmail.comค่ะ

พี่แอนทวินันท์ อยู่สุนทร

ตวัอยา่ง

ตรีโกณมิติพื้นฐาน 16เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ 18มุมองศาและมุมเรเดียน 21การยุบมุมเมื่อมุมมีค่าไม่คุ ้นเคย 23ต�าแหน่งมุมในวงกลม 26มุม2Aและมุม3A 29มุมผลรวมและมุมผลต่าง 32ตรีโกณผลรวมและผลต่าง 34ก�าลังสองและก�าลังสาม 38กราฟฟังก์ชันตรีโกณมิติ 40การหาarc-function(1) 43การหาarc-function(2) 46กฎของ sin และ cos 51พื้นที่สามเหลี่ยม 53

บทที่ 1 ตรีโกณมิติ

ค�ำน�ำ3

15

ตวัอยา่ง

6

จุดจุดจุด:จุดกึ่งกลางจุดตัดของเส้นมัธยฐาน 58 จุดจุดจุด:จุดของรูปจด้านขนาน 61 จุดจุดจุด:จุดที่ไม่อยู่ตรงกลาง 63 เส้นตรง:ความชัน 65 เส้นตรง:สมการเส้นตรง 68 ระยะห่าง:จุดกับจุด 70 ระยะห่าง:จุดกับเส้น 71 ระยะห่าง:เส้นกับเส้น 73 โปรเจกชัน:ลงบนแกนxและy 75 โปรเจกชัน:ลงบนเส้นตรงy=x,y=-x 76 สมการเส้นแบ่งครึ่งมุม 80 มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นตัดกัน 82

อัตราการเปลี่ยนแปลง 86 อัตราการเปลี่ยนแปลงประยุกต์กับฟิสิกส์ 87 สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 90 ความชันและเส้นสัมผัสเส้นโค้ง 93 วิธีหาค่าจุดต�า่สุดและจุดสูงสุดสัมพัทธ์:วิธีที่1 94 วิธีหาค่าจุดต�่าสุดและจุดสูงสุดสัมพัทธ์:วิธีที่2 98

บทที่ 2 เรขำคณิตวิเครำะห์

บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน (Differential)

57

85 ตวัอยา่ง

7

วิธีหาค่าจุดต�่าสุดและจุดสูงสุดสัมบูรณ์ 101 ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด 103 ฟังก์ชันคอมโพสิท 105 โจทย์อนุพันธ์ 107

สูตรอินทิเกรต 112 อินทิกรัลจ�ากัดเขต 116 อินทิเกรตแยกช่วง 119 การหาพื้นที่ปิดล้อม(1) 121 การหาพื้นที่ปิดล้อม(2) 124 การหาพื้นที่ปิดล้อม(3) 126 การหาพื้นที่ปิดล้อม(4) 128 บทประยุกต์1:การคิดอินทิเกรตในฟังก์ชันคอมโพสิท 130 บทประยุกต์2:ดิฟและอินทิเกรตเป็นส่วนกลับกัน 132 บทประยุกต์3:อินทิเกรตประยุกต์กับฟิสิกส์ 134 บทประยุกต์4:อินทิเกรตประยุกต์กับตรีโกณมิติ 136

ล�าดับ 140 การสมมติพจน์ล�าดับ 143

บทที่ 4 อินทิเกรต

บทที่ 5 ล�ำดับและอนุกรม

111

139

ตวัอยา่ง

8

อนุกรม 146 คุณสมบัติ∑ 149 สูตร ∑ 151 อนุกรมเลขคณิตผสมอนุกรมเรขาคณิต 154 อนุกรมเทเลสโคปิกเศษส่วน 158 ลิมิตของล�าดับ 160

ทบทวนอสมการเชิงเส้น 168 ก�าหนดการเชิงเส้น 172 โจทย์ก�าหนดการเชิงเส้น 175

บทที่ 6 ก�ำหนดกำรเชิงเส้น

บทที่ 7 ภำคตัดกรวย

สมการวงกลม 186 สมการพาราโบลา 190 สมการวงรี 197 สมการไฮเพอร์โบลา 204

167

187ตวัอยา่ง

9

บทที่ 8 ลิมิตและควำมต่อเนื่อง

บทที่ 9 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอกำริทึม

บทที่ 10 กำรนับและควำมน่ำจะเป็น

สูตรของลิมิต 214 รูปที่ตอบได้เลยและต้องรอลุ้น 217 รูปที่ต้องรอลุ้นอาจใช้กฎL’Hospital 221 ความต่อเนื่อง 223 โจทย์ที่ต้องตรวจสอบลิมิตบวกและลบ 226 โจทย์ทั่วไปของลิมิต 229

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล(Exponentialfunction) 234 สูตรที่ควรน�าไปใช้ในโจทย์expo 238 ฟังก์ชันลดฟังก์ชันเพิ่มของexpo 240 ฟังก์ชันลอการิทึม(Logarithmfunction) 244 ฟังก์ชันลดฟังก์ชันเพิ่มของlogและค่าแปลกๆ 248 สมการlogและอสมการlog 251

กฎการนับของการคูณ 256 กฎการนับของการบวก 257

233

255

213

ตวัอยา่ง

299

10

กฎการนับของการลบ 261 ค่าแฟกทอรียล(Factorial)! 263 จัดเรียงของที่แตกต่างกันในแนวเส้นตรง 266 จัดเรียงของที่แตกต่างกันในแนววงกลม 269 จัดเรียงของที่เหมือนกันแนวเส้นตรง 272 จัดเรียงของที่เหมือนกันแนววงกลม 274 เรียงของติดกันแนวเส้นตรง 276 เรียงของติดกันแนววงกลม 278 เรียงของแยกกันแนวเส้นตรง 280 เรียงของแยกกันแนววงกลม 282 สับเปลี่ยนของkอย่างทีละเท่าๆกัน 284 หยิบของเหมือนและของต่าง 288 ความน่าจะเป็น 289 ความน่าจะเป็นกับเซต 292 ทวินาม 295

ประพจน์และตารางค่าความจริง 300 กฎของประพจน์ 302 การยุบประพจน์ 303 สัจนิรันดร์(Tautology) 308 ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ x, x 310 ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 312 x y , x y, x y , x y สมเหตุสมผลหรือไม่ 316

บทที่ 11 ตรรกศำสตร์ตวัอยา่ง

319

355

11

บทที่ 12 สถิติ ม. ปลำย

บทที่ 13 ควำมสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ทบทวนสถิติม.ต้นกันก่อนนะคะ 321 ข้อมูลแบบตารางแจกแจงความถี่แบบไม่เป็นอันตรภาคชั้น 325 ข้อมูลแบบตารางแจกแจงความถี่แบบเป็นอันตรภาคชั้น 329 การวัดการกระจายข้อมูล 338 กฎของซิกม่า 343 การแจกแจงปกติ 345 เส้นโค้งปกติ(NormalCurve) 349

ความสัมพันธ์ 356 โดเมน&เรนจ์ 361 กราฟความสัมพันธ์ 367 อินเวอร์สความสัมพันธ์ 372 กราฟอินเวอร์สของความสัมพันธ์ 373 ฟังก์ชัน 374 ฟังก์ชันอินเวอร์ส 377 ฟังก์ชันคอมโพสิท 379 การบวกลบคูณหารฟังก์ชัน 382

ตวัอยา่ง

385

411

449

12

จ�านวนเชิงซ้อนคืออะไร?? 386 การบวกลบจ�านวนเชิงซ้อน 389 การคูณหารจ�านวนเชิงซ้อน 390 คุณสมบัติโมดูลัสของ และสังยุคของ 397 การแก้สมการพหุนาม 401 การถอดรากที่สอง 404 จ�านวนเชิงขั ้ว 406 หาผลบวกและผลคูณของรากสมการ 408

ทบทวนเครื่องหมายของสมการและอสมการ 412 รูปแบบโจทย์อสมการ 414 รูปแบบโจทย์ค่าสัมบูรณ์ 426 รูปแบบโจทย์สแควรูท 440 ทฤษฎีบทเศษเหลือ 444

รูปแบบของเมทริกซ์(Matrix) 450 ทรานสโพสของเมทริกซ์(TransposeofMatrix) 452

บทที่ 14 จ�ำนวนเชิงซ้อน

บทที่ 15 จ�ำนวนจริง

บทที่ 16 เมทริกซ์และ Determinant

ตวัอยา่ง

487

13

บทที่ 17 เวกเตอร์

การบวกลบคูณเมทริกซ์ 454 สมบัติของเมทริกซ์ 457 ดีเทอร์มินันต์(Determinant) 459 สมบัติของdet 467 อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 470 สมบัติของอินเวอร์สการคูณเมทริกซ์ 474 การแก้ระบบสมการโดยใช้อินเวอร์สของเมทริกซ์ 476 การแก้ระบบสมการโดยใช้กฎคราเมอร์ 479 การแก้ระบบสมการโดยเมทริกซ์แต่งเติม 481 (AugmentedMatrix) หา A-1โดยเมทริกซ์แต่งเติม 484

เวกเตอร์2มิติเบื้องต้น 488 การบวกลบคูณเวกเตอร์ 491 เวกเตอร์หนึ่งหน่วย(UnitVector) 494 การdotเวกเตอร์ 497 การCrossเวกเตอร์ 505 เวกเตอร์3มิติ 507 การCrossเวกเตอร์ใน3มิติ 509 การหามุมแสดงทิศทางของเวกเตอร์ 514 สูตรพื้นที่และปริมาตร 516

ตวัอยา่ง

521

540

14

พื้นฐานของเซต 522 สับเซต 524 PowerSet 528 แผนภาพของเวนน์–ออยเลอร์ 531

บทที่ 18 เซต

เกี่ยวกับผู้เขียน

ตวัอยา่ง

ตรี

โกณ

มิติ

1

P’ แอน น้อง A น้อง B

ในสมัย ม.ต้น เราได้เรียนตรี โกณมิติพื้นฐานมาแล้วนะคะ ใน ม.ปลายเนื้อหาจะเข้มข้นขึ้น

ซึ่งในบทนี้จะมี 14 หัวข้อให้ศึกษากันโดยจะเริ่มจากการทบทวนตรี โกณมิติพื้นฐาน สูตรตรี โกณ ม.ปลายและกราฟตรี โกณมิติค่ะ

ตวัอยา่ง

16 รวมสูตร ติวคณิต ! พิชิต ADMISSION

µÃÕ⡳ÁÔµÔ¾× é¹°Ò¹

ส่วนทีèเหลือน้องก็สามารถหาค่าได้เลยคือ

ส่วนกลับ¢อง sinθคือ

ส่วนกลับ¢อง cosθคือ

ส่วนกลับ¢อง tanθคือ

tanθ = sinθcosθ

= ข้ำมชิด

cosecθ = 1sinθ

secθ = 1cosθ

cotθ = 1tanθ

= cosθsinθ

sinθ = ข้ำมฉำก

cosθ = ชิดฉำก ด้ำนชิดมุมที่เรำอยำกรู้

01.

ด้ำนตรงข้ำมมุมที่เรำอยำกรู้

ด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก

จ�าสูตรตรีโกณม.ต้นไม่ได้เลยจะท�ายังไงดีละเนีย่?

มีอะไรเหรอ

น้อง A ?

θ

ใจเย็นๆ ก่อนสูตรตรีโกณพื้น°านมีแค่2สูตร

ทีèต้องจําให้แม่น

แย่แล้ว !!

ตวัอยา่ง

ตรี โกณมิติ 17

sinθ = ข้ำมฉำก = 1213 จะได้cosecθ =

1sinθ = 1

1213

= 1312

cosθ = ชิดฉำก = 513 จะได้tanθ =

sinθcosθ =

1213513

= 125

จากโจทย tanθ + cosecθ = 125 + 13

12

= 12 x 12

5 x 12 +

13 x 5 12 x 5

= 14460

+ 6560

= 20960

Ans

อ้อ!แค่รู้ว่าsin,cosหายังไงก็หาค่าอื่นๆ ได้แล้วเหรอเนีย่!

มาดูวิธีใช้สูตรกัน !

θ5

1213

ให้ จงหำค่ำ

tanθ + cosecθ

ตวัอยา่ง

18 รวมสูตร ติวคณิต ! พิชิต ADMISSION

àÍกลÑกÉณ�ตรีโกณมÔตÔ02.

sin2θ + cos2θ = 1

พอเ¢้าห้องสอบใช้วÔ ¸ีทีèพีèจะสอน น้องก็จะได้เพิ่ม

เป็นอีก2สูตรเลย

เอำsin2θ หำรตลอดทั้งสมกำรsin2θ + cos2θ = 1

sin2θsin2θ

+ cos2θ

sin2θ = 1

sin2θ

จะได้1+cot2θ = cosec2θ เป็นสูตรท่ี2

เอำcos2θหำรตลอดทั้งสมกำรsin2θ + cos2θ = 1

sin2θcos2θ

+ cos2θ

cos2θ = 1

cos2θ

จะได้tan2θ + 1 = sec2θ เ»šนสูตรทีè 3

วิ¸ีที่ 1

วิ¸ีที่ 2

1sinθ = cosecθ

1cosθ = secθ

แล้วเอกลักÉณ์ตรีโกณล่ะคะมีตั้งหลายสูตรน้องควรจะจ�าสูตร

ไหนดี?

cosθsinθ = cotθ

sinθcosθ = tanθ

ตวัอยา่ง

ตวัอยา่ง