Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Κεφάλαιο 4
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-µατα
Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησηςf(x), x ∈ [a, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει την ισότητα
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].
Είναι ϕανερό ότι αν µία συνάρτηση F (x) είναι αρχική της f(x), τότε ϑαείναι αρχική και η F (x) + c για κάθε σταθερά c, αφού
(F (x) + c)′ = F ′(x) = f(x).
Επίσης, αν G(x) µία άλλη αντιπαράγωγος της f(x) στο [a, b], τότε από τιςισότητες F ′(x) = f(x) και G′(x) = f(x) έχουµε
F ′(x) = G′(x),
για κάθε x ∈ [a, b] και άρα ∃c ∈ R τέτοιο ώστε
G(x) = F (x) + c, ∀x ∈ [a, b].
΄Ετσι, το σύνολο όλων των αρχικών της f(x) συναρτήσεων είναι το
F (x) + c, c ∈ R.
43
44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
Ορισµός 4.1.2. Αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f(x), λέγεται καισυµβολίζεται µε ∫
f(x)dx,
το σύνολο όλων των αρχικών της f συναρτήσεων. Είναι δηλαδή
∫f(x)dx = F (x) + c, (4.1)
όπου F (x) είναι µία αρχική της f και c µία αυθαίρετη σταθερά.
Η διαδικασία υπολογισµού του αόριστου ολοκληρώµατος, δηλαδή η δι-αδικασία εύρεσης µιας συνάρτησης F (x) για την οποία F ′(x) = f(x), λέγεταιολοκλήρωση της συνάρτησης f(x). Στο συµβολισµό, το διαφορικό dx δηλώνειτην ανεξάρτητη µεταβλητή ως προς την οποία γίνεται η ολοκλήρωση.
Παρατήρηση: Αν στο πρώτο µέλος της ισότητας (4.1) ϑέσουµε όπου f(x)τη συνάρτηση F ′(x) έχουµε
∫F ′(x)dx = F (x) + c,
ή ∫dF (x) = F (x) + c.
Βασικά ολοκληρώµατα
1.∫
xndx =xn+1
n + 1+ c, n 6= −1
2.∫ 1
xdx = ln |x|+ c
3.∫
sin xdx = − cos x + c
4.∫
cos xdx = sin x + c
5.∫ 1
cos2 xdx = tan x + c
6.∫ 1
sin2 xdx = − cot x + c
4.2. ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 45
7.∫
exdx = ex + c
8.∫ 1
1 + x2dx = arctan x + c
9.∫ 1√
1− x2dx = arcsin x + c
Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα
i)∫
dx ii)∫ 1
x2dx iii)
∫ 1
x10dx
iv)∫ √
xdx v)∫
x 3√
xdx.
4.2 Κανόνες ολοκλήρωσης
Οπώς είδαµε στο κεφάλαιο των παραγώγων, αν k είναι ένα σταθερό στοιχείοτου R, τότε έχουµε
[kf(x)]′ = kf ′(x),
δηλαδη οι σταθεροί παράγοντες ϐγαίνουν έξω από το σύµβολο της παραγώγισης.Επειδή η ολοκλήρωση είναι διαδικασία αντίστροφη της παραγώγισης, η παρα-πάνω ιδιότητα µεταβιβάζεται και στην ολοκλήρωση. Εποµένως ισχύει
∫kf(x)dx = k
∫f(x)dx,
για κάθε συνάρτηση f(x) και k ∈ R.Επίσης, όπως γνωρίζουµε, η παράγωγος του αθροίσµατος κάποιων συναρτή-
σεων ισούται µε το άθροισµα των παραγώγων τους, δηλαδή
[f1(x) + f2(x) + . . . + fn(x)]′ = f ′1(x) + f ′2(x) + . . . + f ′n(x).
Η ιδιότητα αυτή µεταβιβάζεται και στην ολοκλήρωση. ∆ηλαδή ισχύει∫
[f1(x)+f2(x)+ . . .+fn(x)]dx =
∫f1(x)dx+
∫f2(x)dx+ . . .+
∫fn(x)dx.
Συνδυάζοντας τους δύο παραπάνω τύπους προκύπτει ότι∫
[k1f1(x) + k2f2(x) + . . . + knfn(x)]dx = k1
∫f1(x)dx + k2
∫f2(x)dx +
+ . . . + kn
∫fn(x)dx
46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
για όλα τα ki ∈ R και όλες τις συναρτήσεις fi(x), i = 1, 2, . . . , n.Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα
i)∫ ax3 + bx + c
x7dx ii)
∫(1− x3)2dx iii)
∫(2 sin x− 3 cos x)dx
iv)∫
(2
1 + x2− 3√
1− x2)dx v)
∫(3ex − 7
x+
4
1 + x2− 1
cos2 x)dx.
4.3 Ολοκλήρωση µε αντικατάσταση - Αλλαγή µεταβλ-ητής
Ας είναι ∫f(x)dx,
το αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f(x) το οποίο ϑέλουµε να υπ-ολογίσουµε. Υποθέτουµε ότι η µεταβλητή x είναι παραγωγίσιµη συνάρτησηµιας άλλης µεταβλητής t, δηλαδή
x = g(t).
Τότε επειδήdx = d[g(t)] = g′(t)dt,
το αρχικό ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται στο ολοκλήρωµα∫
f [g(t)]g′(t)dt.
΄Εστω ότι το ολοκλήρωµα αυτό είναι γνωστό, δηλαδή∫
f [g(t)]g′(t)dt = G(t) + c.
Αν υποθέσουµε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιµη και η αντιστροφή τηςείναι η
t = g−1(x),
τότε ϑα ισχύει∫
f(x)dx =
∫f [g(t)]g′(t)dt = G(g−1(x)) + c.
4.4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ 47
Η µέθοδος υπολογισµού του αόριστου ολοκληρώµατος που περιγράψαµεπαραπάνω λέγεται ολοκλήρωση µε αλλαγή µεταβλητής ή µε αντικατάσ-ταση. Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται όταν το προς υπολογισµό ολοκλήρωµαανάγεται µε την αλλαγή µεταβλητής σε κάποιο από τα ϐασικά ολοκληρώµαταή τουλάχιστον σε ολοκλήρωµα του οποίου ο υπολογισµός είναι ευκολότεροςαπό τον υπολογισµού του αρχικού.
Σε ολοκληρώµατα της µορφής∫
f [g(x)]g′(x)dx,
η αλλαγή µεταβλητής g(x) = t είναι συχνά η κατάλληλη. Με την αντικατάσ-ταση αυτή το ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται στο
∫f(t)dt.
Παράδειγµα: Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωµα
I =
∫f ′(x)
f(x)dx.
Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα
i) I =∫
(2x + 3)10dx ii) I =∫ 1
(3u + 1)11du iii) I =
∫ 13√
1− 3ydy
iv) I =∫
e5x+2dx v) I =∫
sin(3x + 2)dx vi) I =∫
tan xdx
vii) I =∫ 1
x ln xdx viii) I =
∫ 1
(1 + x2) arctan xdx ix) I =
∫ 1√4− x2
dx
x) I =∫ 1√
1− 16x2dx xi) I =
∫ 1
9 + x2dx. xii) I =
∫ 1
x2 − 2x + 2dx
4.4 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες
΄Εστω f(x) και g(x) δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Είναι γνωστό ότι
[f(x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).
48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
΄Αρα η συνάρτηση f(x)g(x) είναι αρχική για τη συνάρτηση που εµφανίζεταιστο δεύτερο µέλος της παραπάνω εξίσωσης. Εποµένως ϑα έχουµε
∫[f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)]dx = f(x)g(x) + c,
ή ∫f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)−
∫f(x)g′(x)dx.
Η τελευταία σχέση εκφράζει ένα ολοκλήρωµα µ΄ ένα άλλο, γι΄ αυτό και δεχρειάζεται η σταθερά στο δεύτερο µέλος. Αν σ΄ αυτή τη σχέση το ολοκλήρωµατου δεύτερου µέλους είναι γνωστό ή πιο απλό απ΄ αυτό του πρώτου µέλους,τότε έχουµε κάνει ένα ϐήµα για τον υπολογισµού του ολοκληρώµατος τουπρώτου µέλους. Αυτή η µέθοδος ολοκλήρωσης είναι γνωστή σαν ολοκλήρω-ση κατά παράγοντες.
Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα
i) I =∫
ln xdx ii) I =∫
ln(x2 + 1)dx iii) I =∫
xexdx
iv) I =∫
x sin xdx v) I =∫
x cos(2x)dx vi) I =∫
x2e−xdx
vii) I =∫
sin2 xdx viii) I =∫
ex sin xdx ix) I =∫
(x2 − 3x + 1)e2xdx
x) I =∫
x ln(1 +1
x)dx
4.5 Ολοκλήρωση ϱητών συναρτήσεων
Μία συνάρτηση της µορφήςp(x)
q(x),
όπου p(x) και q(x) είναι πολυώνυµα του x µε ϐαθµός q(x) ≥ 1, λέγεται ϱητήσυνάρτηση του x.
Για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος µιας ϱητής συνάρτησης, δηλαδήενός ολοκληρώµατος της µορφής
∫p(x)
q(x)dx
4.5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 49
αναλύουµε τη συνάρτηση σε αθροίσµα απλών κλασµάτων και εφαρµόζουµετον κανόνα της ολοκλήρωσης αθροίσµατος. Για τη διαδικασία αυτή διακρί-νουµε δύο περιπτώσεις :
Περίπτωση Ι. Αν ο ϐαθµός του αριθµητή είναι µεγαλύτερος ή ίσος απότο ϐαθµό του παρονοµαστή (ϐαθµός p(x) ≥ϐαθµός q(x)) τότε εκτελούµε τηδιαίρεση p(x) : q(x). Σύµφωνα µε τον αλγόριθµο διαίρεσης πολυωνύµων,υπάρχουν δύο πολυώνυµα π(x) (πηλίκο) και u(x) (υπόλοιπο) τέτοιο ώστε ναείναι p(x) = π(x)q(x) + u(x) και ϐαθµός u(x) <ϐαθµός q(x).
Τότε, έχουµε
p(x)
q(x)=
π(x)q(x) + u(x)
q(x)= π(x) +
u(x)
q(x)
και ∫p(x)
q(x)dx =
∫π(x)dx +
∫u(x)
q(x)dx.
Η συνάρτηση π(x) είναι πολυωνυµική και το ολοκλήρωµά της υπολογίζεταικατά τα γνωστά. Για τον υπολογισµό του δεύτερου ολοκληρώµατος ακολου-ϑούµε τα ϐήµατα που παρουσιάζονται στην περίπτωση ΙΙ.
Περίπτωση ΙΙ. Αν ο ϐαθµός του αριθµητή είναι µικρότερος από το ϐα-ϑµό του παρονοµαστή (ϐαθµός p(x) <ϐαθµός q(x)) τότε το κλάσµα p(x)/q(x)επιδέχεται ανάλυση σε άθροισµα απλών κλασµάτων, η οποία ανάλυση εξαρτάταιαπό τις ϱίζες του παρονοµαστή q(x).
1. Αν το q(x) έχει k απλές ϱίζες a1, a2, . . . , ak, τότε
q(x) = (x− a1)(x− a2) . . . (x− ak)
και το το κλάσµα p(x)/q(x) αναλύεται
p(x)
q(x)=
A1
x− a1
+A2
x− a2
+ . . . +Ak
x− ak
,
όπου A1, A2, . . . , Ak σταθερές που µπορούν να προσδιοριστούν. ΄Ετσιγια το ολοκλήρωµα της ϱητής συνάρτησης ϑα έχουµε
∫p(x)
q(x)dx =
∫A1
x− a1
dx +
∫A2
x− a2
dx + . . . +
∫Ak
x− ak
dx.
50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
2. Αν το q(x) έχει k ϱίζες a1, a2, . . . , ak µε πολλαπλότητα r1, r2, . . . , rk αν-τίστοιχα, τότε
q(x) = (x− a1)r1(x− a2)
r2 . . . (x− ak)rk
και το το κλάσµα p(x)/q(x) αναλύεται
p(x)
q(x)=
A1
x− a1
+A2
(x− a1)2+ . . . +
Ar1
(x− a1)r1+
+B1
x− a2
+B2
(x− a2)2+ . . . +
Br2
(x− a2)r2+
+ . . . +K1
x− ak
+K2
(x− ak)2+ . . . +
Krk
(x− ak)rk,
όπου A1, A2, . . . , Ar1 , B1, B2, . . . , Br2 , . . . , K1, K2, . . . , Krkσταθερές που
µπορούν να προσδιοριστούν.
3. Αν το q(x) έχει µιγαδικές ϱίζες, τότε σε κάθε Ϲεύγος απλών συζυγώνµιγαδικών ϱιζών x1,2 = λ± iµ του q(x) αντιστοιχούµε ένα απλό κλάσµατης µορφής
Bx + Γ
(x− λ)2 + µ2,
ενώ σε κάθε Ϲεύγος πολλαπλών συζυγών µιγαδικών ϱιζών x1,2 = λ± iµτου q(x) πολλαπλότητας r αντιστοιχούµε ένα άθροισµα απλών κλασ-µάτων της µορφής
B1x + Γ1
(x− λ)2 + µ2+
B2x + Γ2
[(x− λ)2 + µ2]2+ . . . +
Brx + Γr
[(x− λ)2 + µ2]r.
Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα
i) I =∫ x2 − x + 5
x− 1dx ii) I =
∫ x
x− 2dx
Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα
i) I =∫ 1
x2 − 1dx ii) I =
∫ 7x + 4
2x2 − 3x− 2dx iii) I =
∫ 4x2 − 3x + 5
(x + 2)(x− 1)2dx
iv) I =∫ x + 1
x3 + x2 − 6xdx v) I =
∫ 1
x3 + x2dx.
4.6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 51
4.6 Ολοκλήρωση των τριγωνοµετρικών συναρτή-σεων
Υπενθυµίζουµε ότι γνωστά ολοκληρώµατα τριγωνοµετρικών συναρτήσεων εί-ναι τα
1.∫
sin xdx = − cos x + c
2.∫
cos xdx = sin x + c
3.∫ 1
cos2 xdx = tan x + c
4.∫ 1
sin2 xdx = − cot x + c
Ολοκληρώµατα της µορφής
i)∫
sin(ax + b)dx ii)∫
cos(ax + b)dx
iii)∫ 1
cos2(ax + b)dx iv)
∫ 1
sin2(ax + b)dx
ανάγονται στα παραπάνω ϐασικά ολοκληρώµατα µε την αλλαγή µεταβλητήςax + b = t.
Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα
i) I =∫
sin(2x + 5)dx ii) I =∫ 1
cos2(3x− 2)dx
Ολοκληρώµατα της µορφής∫
sin(ax) sin(bx)dx,
∫sin(ax) cos(bx)dx,
∫cos(ax) cos(bx)dx,
όπου a, b ∈ R, a 6= b, υπολογίζονται αφού πρώτα µετατραπεί η ολοκληρωτέασυνάρτηση σε άθροισµα ή διαφορά ηµιτόνων ή συνιµητόνων σύµφωνα µε τουςτύπους :
1. sin(ax) sin(bx) =1
2[cos(ax− bx)− cos(ax + bx)],
52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
2. sin(ax) cos(bx) =1
2[sin(ax− bx) + sin(ax + bx)],
3. cos(ax) cos(bx) =1
2[cos(ax− bx) + cos(ax + bx)].
Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα
i) I =∫
sin(x) cos(7x)dx ii) I =∫
sin(x) sin(4x)dx
iii) I =∫
cos(2x) cos(3x)dx iv) I =∫ 1
sin xdx v) I =
∫ 1
cos xdx.
΄Οταν η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι ϱητή συνάρτηση των sin x και cos xκαι το ολοκλήρωµα δεν µπορεί να υπολογιστεί µε κάποια από τις µεθόδουςπου αναφέραµε µέχρι τώρα, τότε κάνουµε την αλλαγή µεταβλητής
tan(x
2) = t.
Με την αντικατάσταση αυτή έχουµε
x = 2 arctan t, dx =2
1 + t2dt
sin x =2 tan(x
2)
1 + tan2(x2)
=2t
1 + t2, cos x =
1− tan2(x2)
1 + tan2(x2)
=1− t2
1 + t2
και το ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται σε ολοκλήρωµα ϱητής συνάρτησης τουt, το οποίο υπολογίζεται κατά τα γνωστά.
Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα
i) I =∫ 1
1 + sin xdx ii) I =
∫ 1
sin x + cos x + 1dx
4.7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα
΄Εστω η συνάρτηση y = f(x) ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [a, b]. ∆ι-αµερίζουµε (χωρίζουµε) το [a, b] σε n υποδιαστήµατα µε τα σηµεία διαίρεσηςx0, x1, x2, . . . , xn όπου
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b.
4.7. ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 53
Παίρνουµε τυχαία κάποιο σηµείο ξk σε κάθε υποδιάστηµα [xk−1, xk] και υπ-ολογίζουµε στη συνέχεια το εµβαδό του ορθογωνίου µε ϐάση το υποδιάστηµααυτό και ύψος την τιµή της συνάρτησης στο ξk (σχήµα 4.1). Σχηµατίζουµε τοάθροισµα
Sn =n∑
k=1
f(ξk)(xk − xk−1), (4.2)
το οποίο εκφράζει το συνολικό εµβαδό των n ορθογωνίων που σχηµατίζονται.
Σχήµα 4.1:
΄Εστω τώρα ότι το πλήθος των υποδιαιρέσεων n αυξάνει απεριόριστα έτσιώστε η µεγαλύτερη από τις διαφορές ∆xk = xk − xk−1 να τείνει στο µηδέν.Τότε το άθροισµα (4.2) τείνει σ΄ ένα όριο, που είναι ανεξάρτητο από τον τρόποτης υποδιαίρεσης και το συµβολίζουµε µε
∫ b
a
f(x)dx,
ονοµάζεται δε, ορισµένο ολοκλήρωµα της f(x) από a εώς b. Τα όρια aκαι b ονοµάζονται όρια ολοκλήρωσης, κάτω και άνω αντίστοιχα.
54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
΄Ετσι γράφουµε
lim∆xk→0
n∑
k=1
f(ξk)(∆xk) =
∫ b
a
f(x)dx.
Το όριο αυτό υπάρχει όταν η f(x) είναι συνεχής ή τµηµατικά συνεχής στο[a, b]. ΄Οταν το όριο αυτό υπάρχει, λέµε ότι η f(x) είναι ολοκληρώσιµη στο[a, b].
Η τιµή του ολοκληρώµατος εκφράζει γεωµετρικά, το εµβαδό του χωρίουπου περιορίζεται από τη καµπύλη y = f(x), τον άξονα x και τις κάθετεςευθείες x = a και x = b.
Από τον ορισµό του ορισµένου ολοκληρώµατος προκύπτουν οι επόµενεςιδιότητες.
1.∫ b
akf(x)dx = k
∫ b
af(x)dx, ∀k ∈ R
2.∫ b
a[f(x)± g(x)]dx =
∫ b
af(x)dx± ∫ b
ag(x)dx
3. Αν a < b < c ⇒ ∫ c
af(x)dx =
∫ b
af(x)dx +
∫ c
bf(x)dx
4. Αν b < a ⇒ ∫ b
af(x)dx = − ∫ a
bf(x)dx
5.∫ a
af(x)dx = 0
6. Αν f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] ⇒ ∫ b
af(x)dx ≤ ∫ b
ag(x)dx
Θεώρηµα 4.7.1. (Θεµελιώδες ϑεώρηµα του ολοκληρωτικού λογισµού). Αν ησυνάρτηση y = f(x) είναι ολοκληρώσιµη στο [a, b], και η συνάρτηση F (x) είναιµία αρχική της f στο διάστηµα αυτό, δηλαδή είναι F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b],τότε ισχύει ∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a).
Συµβολικά γράφουµε∫ b
a
f(x)dx = [F (x)]ba = F (b)− F (a).
Εποµένως, για να υπολογίσουµε το ορισµένο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησηςσ΄ ένα διάστηµα στο οποίο η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιµη, αρκεί να είναι
4.8. ΕΜΒΑ∆Α ΕΠΙΠΕ∆ΩΝ ΧΩΡΙΩΝ 55
γνωστό το αόριστο ολοκλήρωµα της ολοκληρωτέας συνάρτησης.
Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα:
i) I =∫ 4
1
√xdx ii) I =
∫ 1
−11
1+y2 dy iii) I =∫ 0
−1e1−5xdx
Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα:
i) I =∫ 3
01
x2+3dx ii) I =
∫ 4
11√
8+2x−x2 dx iii) I =∫ 1
01√
3−2xdx
Παράδειγµα: Να δειχθεί ότι ισχύει η ισότητα∫ 1
0
xµ(1− x)νdx =
∫ 1
0
(1− x)µxνdx.
4.8 Εµβαδά επίπεδων χωρίων
Με τη ϐοήθεια του ορισµένου ολοκληρώµατος µπορούµε να υπολογίσουµεεµβαδά επίπεδων χωρίων. Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιούµε τις παρακάτωπροτάσεις.
Πρόταση 4.8.1. Αν y = f(x) είναι µία συνάρτηση ολοκληρώσιµη και µηαρνητική (f(x) ≥ 0) στο διάστηµα [a, b] (σχήµα 4.2), τότε το εµβαδόν E(D) τουεπίπεδου χωρίου D, το οποίο περικλείεται από την καµπύλη c : y = f(x), τονάξονα x και τις κατακόρυφες ευθείες x = a και x = b ισούται µε το ορισµένοολοκλήρωµα της f(x) στο [a, b], δηλαδή ισχύει
E(D) =
∫ b
a
f(x)dx.
Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται από την καµπύλη c : y = x3, τον άξονα x και τις ευθείες x = 1 καιx = 2.
Αν στον υπολογισµό ενός εµβαδού επίπεδου χωρίου D, έχουµε µία ολοκληρώσιµησυνάρτηση µε αρνητικές τιµές, δηλαδή f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a, b] (σχήµα 4.2), τότε
E(D) =
∫ b
a
[−f(x)]dx = −∫ b
a
[f(x)]dx.
56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
Σχήµα 4.2:
Σχήµα 4.3:
Γενικά, αν έχουµε µία ολοκληρώσιµη συνάρτηση y = f(x) για την οποίαυπάρχει c ∈ [a, b], τέτοιο ώστε f(x) < 0, ∀x ∈ [a, c] και f(x) > 0, ∀x ∈ [c, b](σχήµα 4.3), τότε
E(D) =
∫ b
a
|f(x)|dx =
∫ c
a
[−f(x)]dx +
∫ b
c
[f(x)]dx.
4.8. ΕΜΒΑ∆Α ΕΠΙΠΕ∆ΩΝ ΧΩΡΙΩΝ 57
Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται από την καµπύλη c : y = x3 − 4x2 + 3x και τον άξονα x.
Παρατήρηση: Στην παραπάνω πρόταση, µε αναλλαγή των ϱόλων των xκαι y (η καµπύλη είναι c : x = g(y), ορισµένη στο [c, d]), ϑα έχουµε
E(D) =
∫ d
c
g(y)dy.
Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται από την καµπύλη c : y2 = 2x, τον άξονα y και την ευθεία y = 2.
Σχήµα 4.4:
Πρόταση 4.8.2. Αν έχουµε δύο συναρτήσεις y = f(x), y = g(x) ολοκληρώσιµεςστο [a, b] µε f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] (σχήµα 4.4), τότε το εµβαδόν E(D) τουεπίπεδου χωρίου D, το οποίο περικλείεται από τις καµπύλες c1 : y = f(x) καιc2 : y = g(x) και τις ευθείες x = a, x = b δίνεται από τον τύπο
E(D) =
∫ b
a
[f(x)− g(x)]dx.
Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται από τις καµπύλες c1 : y2 = 4x και c2 : x2 = 4y.
58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
4.9 Ασκήσεις
΄Ασκηση 4.1. Να ϐρεθούν οι συναρτήσεις g(y) και h(s) για τις οποίες γνωρί-Ϲουµε ότι
i) g′(y) =2
y− 6y, g(1) = 2
ii) h′(s) = 3s2 − 1
s2, h(−1) = 2.
΄Ασκηση 4.2. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα
i) I =∫ 1
x ln2(3x)dx ii) I =
∫ 2x + 1
x2 + x− 1dx iii) I =
∫ cos x + sin x
cos x− sin xdx
iv) I =∫ x3
√1− x8
dx v) I =∫
xe1−x2dx.
΄Ασκηση 4.3. Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα
i) I =∫ 3
−3
1
x2 + 9dx ii) I =
∫ 5
2
1
6 + 3xdx iii) I =
∫ π/4
0
sin x√cos x
dx
iv) I =∫ π/2
0sin x cos2 xdx v) I =
∫ π/4
−π/4x sin xdx.
΄Ασκηση 4.4. Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα
i) I =∫ 5
3
1
x2 − 3x + 2dx ii) I =
∫ 1
0xe−2xdx
iii) I =∫ π/2
0(3 sin(2x) + 5 cos(3x))dx iv) I =
∫ π/2
0ex sin xdx
v) I =∫ π/2
0cos2 xdx.
΄Ασκηση 4.5. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται µεταξύ της καµπύλης c : y = x2 − 7x + 10 και τον άξονα x.
΄Ασκηση 4.6. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται µεταξύ των καµπυλών c1 : y = x2 − 1 και c2 : 2x + y = 2.
΄Ασκηση 4.7. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται από την παραβολή y2 = x και την ευθεία y = x− 6.
4.9. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 59
΄Ασκηση 4.8. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται απόα) την καµπύλη c : y = x2, την ευθεία x = 3 και τον άξονα x,ϐ) την καµπύλη c : y = x2 και την ευθεία y = x.