4 Programacion de Actividades

PROGRAMACIN DE ACTIVIDADES Y CONTROL

DE PROYECTOS CPM Y PERT

Introduccin

Los proyectos en gran escala por una sola vez han existido desdetiempos antiguos; este hecho lo atestigua la construccin de laspirmides de Egipto y los acueductos de Roma. Pero slo desde hacepoco se han analizado por parte de los investigadores operacionaleslos problemas gerenciales asociados con dichos proyectos.

El problema de la administracin de proyectos surgi con el proyectode armamentos del Polaris, empezando 1958. Con tantas componentesy sub-componentes juntos producidos por diversos fabricantes, senecesitaba una nueva herramienta para programar y controlar elproyecto. El PERT (evaluacin de programa y tcnica de revisin) fuedesarrollado por cientficos de la oficina Naval de ProyectosEspeciales. Booz, Allen y Hamilton y la Divisin de Sistemas deArmamentos de la Corporacin Lockheed Aircraft.

Introduccin

La tcnica demostr tanta utilidad que ha ganado amplia aceptacin tantoen el gobierno como en el sector privado.

Casi al mismo tiempo, la Compaa DuPont, junto con la DivisinUNIVAC de la Remington Rand, desarroll el mtodo de la ruta crtica(CPM) para controlar el mantenimiento de proyectos de plantas qumicasde DuPont. El CPM es idntico al PERT en concepto y metodologa. Ladiferencia principal entre ellos es simplemente el mtodo por medio delcual se realizan estimados de tiempo para las actividades del proyecto.Con CPM, los tiempos de las actividades son determinsticos. Con PERT,los tiempos de las actividades son probabilsticos o estocsticos.

El PERT/CPM fue diseado para proporcionar diversos elementos tilesde informacin para los administradores del proyecto. Primero, elPERT/CPM expone la "ruta crtica" de un proyecto.

Introduccin

Estas son las actividades que limitan la duracin del proyecto.En otras palabras, para lograr que el proyecto se realicepronto, las actividades de la ruta crtica deben realizarsepronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta crtica seretarda, el proyecto como un todo se retarda en la mismacantidad. Las actividades que no estn en la ruta crticatienen una cierta cantidad de holgura; esto es, puedenempezarse ms tarde, y permitir que el proyecto como untodo se mantenga en programa. El PERT/CPM identificaestas actividades y la cantidad de tiempo disponible pararetardos.

Introduccin

El PERT/CPM tambin considera los recursosnecesarios para completar las actividades. Enmuchos proyectos, las limitaciones en mano de obray equipos hacen que la programacin sea difcil. ElPERT/CPM identifica los instantes del proyecto enque estas restricciones causarn problemas y deacuerdo a la flexibilidad permitida por los tiemposde holgura de las actividades no crticas, permite queel gerente manipule ciertas actividades para aliviarestos problemas.

Introduccin

Finalmente, el PERT/CPM proporciona unaherramienta para controlar y monitorear el progresodel proyecto. Cada actividad tiene su propio papel enste y su importancia en la terminacin del proyectose manifiesta inmediatamente para el director delmismo. Las actividades de la ruta crtica, permitenpor consiguiente, recibir la mayor parte de laatencin, debido a que la terminacin del proyecto,depende fuertemente de ellas. Las actividades nocrticas se manipularan y remplazaran en respuesta ala disponibilidad de recursos.

Antecedentes

Dos son los orgenes del mtodo del camino crtico: elmtodo PERT (Program Evaluation and ReviewTechnique) desarrollo por la Armada de los EstadosUnidos de Amrica, en 1957, para controlar los tiemposde ejecucin de las diversas actividades integrantes delos proyectos espaciales, por la necesidad de terminarcada una de ellas dentro de los intervalos de tiempodisponibles. Fue utilizado originalmente por el controlde tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utilizaen todo el programa espacial.

Antecedentes

El mtodo CPM (Crtical Path Method), el segundo origen delmtodo actual, fue desarrollado tambin en 1957 en losEstados Unidos de Amrica, por un centro de investigacin deoperaciones para la firma Dupont y Remington Rand,buscando el control y la optimizacin de los costos deoperacin mediante la planeacin adecuada de las actividadescomponentes del proyecto.Ambos mtodos aportaron los elementos administrativosnecesarios para formar el mtodo del camino crtico actual,utilizando el control de los tiempos de ejecucin y los costosde operacin, para buscar que el proyecto total sea ejecutadoen el menor tiempo y al menor costo posible.

Antecedentes

Definicin: El mtodo del camino crtico es un procesoadministrativo de planeacin, programacin, ejecucin ycontrol de todas y cada una de las actividadescomponentes de un proyecto que debe desarrollarsedentro de un tiempo crtico y al costo ptimo.

Usos: El campo de accin de este mtodo es muy amplio,dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquierproyecto grande o pequeo. Para obtener los mejoresresultados debe aplicarse a los proyectos que posean lassiguientes caractersticas:

Antecedentes

a) Que el proyecto sea nico, no repetitivo, en algunaspartes o en su totalidad.

b) Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el,en un tiempo mnimo, sin variaciones, es decir, entiempo crtico.

c) Que se desee el costo de operacin ms bajo posibledentro de un tiempo disponible.

Antecedentes

Dentro del mbito aplicacin, el mtodo se ha estadousando para la planeacin y control de diversasactividades, tales como construccin de presas, aperturade caminos, pavimentacin, construccin de casas yedificios, reparacin de barcos, investigacin demercados, movimientos de colonizacin, estudioseconmicos regionales, auditorias, planeacin decarreras universitarias, distribucin de tiempos de salasde operaciones, ampliaciones de fbrica, planeacin deitinerarios para cobranzas, planes de venta, censos depoblacin, etc.

Diferencias entre PERT y CPM

Como se indic antes, la principal diferencia entrePERT y CPM es la manera en que se realizan losestimados de tiempo. El PERT supone que eltiempo para realizar cada una de las actividades esuna variable aleatoria descrita por una distribucinde probabilidad. El CPM por otra parte, infiere quelos tiempos de las actividades se conocen en formadeterminsticas y se pueden variar cambiando elnivel de recursos utilizados.


La distribucin de tiempo que supone el PERT parauna actividad es una distribucin beta. La distribucinpara cualquier actividad se define por tres estimados:

1. El estimado de tiempo ms probable, m;2. El estimado de tiempo ms optimista, a;3. El estimado de tiempo ms pesimista, b.


La forma de la distribucin se muestra en lasiguiente Figura. E1 tiempo ms probable es eltiempo requerido para completar la actividadbajo condiciones normales. Los tiemposoptimistas y pesimistas proporcionan unamedida de la incertidumbre inherente en laactividad, incluyendo desperfectos en el equipo,disponibilidad de mano de obra, retardo en losmateriales y otros factores.


Con la distribucin definida, la media (esperada) yla desviacin estndar, respectivamente, deltiempo de la actividad para la actividad z puedecalcularse por medio de las frmulas deaproximacin.

6)(

64)(

abZ

bmaZTe

=

++=


El tiempo esperado de finalizacin de un proyecto es la suma detodos los tiempos esperados de las actividades sobre la rutacrtica. De modo similar, suponiendo que las distribuciones delos tiempos de las actividades son independientes(realsticamente, una suposicin fuertemente cuestionable), lavarianza del proyecto es la suma de las varianzas de lasactividades en la ruta crtica. Estas propiedades se demostrarnposteriormente. En CPM solamente se requiere un estimado detiempo. Todos los clculos se hacen con la suposicin de que lostiempos de actividad se conocen. A medida que el proyectoavanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear elprogreso. Si ocurre algn retardo en el proyecto, se hacenesfuerzos por lograr que el proyecto quede de nuevo en programacambiando la asignacin de recursos.

Mtodos CPM y PERT

Los mtodos CPM (mtodo de la ruta crtica o del caminocrtico, critical path method) y PERT (tcnica de evaluacin yrevisin de programa, program evaluation and reviewtechnique) se basan en diagramas, y tienen por objeto auxiliaren la planeacin, programacin y control de proyectos. Sedefine un proyecto como conjunto de actividadesinterrelacionadas, en la que cada actividad consume tiempo yrecursos. El objetivo del CPM y del PERT es contar con unmtodo analtico para programar las actividades. En la figurasiguiente se resumen los pasos de estas tcnicas. Primero sedefinen las actividades del proyecto, sus relaciones deprecedencia y sus necesidades de tiempo.

Mtodos CPM y PERT

Fases de aplicacin de un proyecto con CPM o PERT

Mtodos CPM y PERT

A continuacin, el proyecto se traduce en undiagrama que muestre las relaciones de precedenciaentre las actividades. El tercer paso implica clculosespecficos de diagramas, que forman la base deldesarrollo del programa del proyecto en funcin deltiempo.

Mtodos CPM y PERT

Durante la ejecucin del proyecto, podra nocumplirse el programa que estaba planeado,causando que algunas de las actividades seadelanten o se atrasen. En este caso sernecesario actualizar el programa para querefleje la realidad. Esta es la razn de incluir unbucle, lazo o ciclo de retroalimentacin entre lafase de programa y la fase de diagrama, comose ve en la figura anterior.

Mtodos CPM y PERT

Las dos tcnicas CPM y PERT, que se desarrollan enforma independiente, difieren en que el CPM sesupone duraciones determinsticas de actividad,mientras que el PERT se suponen duracionesprobabilsticas. Esta presentacin comenzara con elCPM y despus se presentaran los detalles del PERT.

Modelaje de sistemas CPM/PERT

Para aplicar el CPM/PERT a un proyecto, se requierecomprender completamente la estructura yrequisitos del mismo. El esfuerzo que se gaste paraidentificar la estructura del proyecto es de gran valorpara la compresin de este. En particular, se debencontestar cuatro preguntas para empezar elprocedimiento de modelaje:


1. Cules son las actividades que el proyecto requiere?2. Cules son los requisitos de secuenciacin o restricciones

de estas actividades?3. Qu actividades pueden realizarse simultneamente?4. Cules son los tiempos estimados para cada actividad?


El primer paso para construir la diagramaCPM/PERT consiste en hacer una lista de cadauna de las actividades y de las actividades queinmediatamente las debe preceder.

Para la pregunta 4, la duracin de los tiemposestimados (das, semanas, horas, etc.) de cadaactividad se establece de acuerdo al rendimientode la mano de obra y del nmero de obrerosasignados a cada actividad.

Diagrama de actividades tipo red

Cada actividad del proyecto se representa conun arco que apunta en la direccin de avancedel proyecto. Los nodos del diagramaestablecen las relaciones de precedencia entrelas diferentes actividades del proyecto.Regla 1: Cada actividad se representa con unarco, y uno slo.Regla 2: Cada actividad se debe identificar condos nodos diferentes.


La figura siguiente muestra como se puede usar unaactividad ficticia para representar dos actividadesconcurrentes, A y B. Por definicin, la actividadficticia, que normalmente se representa con un arcode lnea interrumpida, no consume tiempo orecursos. La insercin de una actividad ficticia enuna de las cuatro formas que se ven en la figura8.2, mantiene la concurrencia de A y B, y tambinproporciona nodos finales nicos para las dosactividades (para satisfacer la regla 2)


Uso de una actividad ficticia para tener representacin nica de las actividades concurrentes A y B

Red

1

2

3 1

2

3

3

2

13

2

1

A

B

A

B B

A

B

AA

B


Regla 3. Para mantener las relaciones de precedencia correctas,se deben contestar las siguientes preguntas cuando se agrega ala diagrama cada actividad. Qu actividades deben anteceder inmediatamente a la actividad

actual? Qu actividades deben seguir inmediatamente a la actividad

actual? Qu actividades deben efectuarse en forma concurrente o

simultanea con la actividad actual?


Para contestar estas preguntas se podrnecesitar el uso de actividades ficticias, paraasegurar las precedencias correctas entre lasactividades. Por ejemplo, considere al siguientesegmento de un proyecto.1. La actividad C comienza de inmediatodespus de haber terminado A y B.2. La actividad E se inicia despus de que solotermino la actividad B.


La 1 parte de la figura siguiente muestra larepresentacin incorrecta de esta relacin deprecedencia, porque pide que A y B terminen antesde poder iniciar E. En la 2 parte se corrige lasituacin con el uso de la actividad ficticia.


Uso de una actividad ficticia para asegurar una relacin de precedencia correcta

Ejemplo:

Las zapatas de cimentacin de un edificio se puedenterminar en cuatro secciones conectadas. Lasactividades de cada seccin comprenden:1 Excavacin2 Colocacin de acero3 Colocado del HormignNo puede comenzar la excavacin de una seccin, sinohasta haber terminado la de la seccin anterior. Estamisma restriccin se aplica a la colocacin delhormign.Formule el diagrama del proyecto.

Ejemplo (Resolucin):

Ejemplo:

Las actividades de la tabla siguiente describen laconstruccin de una casa nueva. Formule ladiagrama asociada al proyecto. Para este ejemplose tomaron valores alcanzados de la experiencia dela construccin de una casa pequea

Ejemplo:

Actividad Predecesor (es) Duracin(Das)A Instalacin de faenas 1B Llevar servicios al sitio 2C Excavar A 1D Vaciar cimientos C 2E Plomera exterior B, C 6F Muro de mampostera D 10G Instalacin elctrica F 3H Contrapiso G 1I Armar el techo F 1J Plomera interior E, H 5K Cubierta I 2

L Recubrimiento aislante exterior F, J 1

M Instalar ventanas y puertas exteriores F 2

N Poner ladrillo L, M 4O Aislar paredes y techos G, J 2P Revoque interior O 2Q Cielo raso I, P 1R Acabados interiores P 7S Acabados exteriores I, N 7

T Limpieza y retiro de escombro S 3

Ejemplo:

La figura siguiente muestra el diagrama que describelas relaciones de precedencia entre las diferentesactividades. Con las actividades ficticias (lneassegmentada), se obtienen nodos finales nicos paralas actividades de concurrentes. La numeracin delos nodos se hace en forma que indique el avance enel proyecto.

Ejemplo:

2

1

A - 1

4

B - 2

3

C -

1

5D - 2

6

F - 1

0

9

10E - 6

H -

1

11

G - 3

16M - 2

L - 1

12

O -

2

J - 5

7

I - 1

17N - 4 S- 7

18

P - 2 13

14

Q -

1

15R - 7

8K - 2

19

T - 3

Ruta crtica (CPM)

El resultado final del CPM es la formulacin oconstruccin del programa del proyecto. Paralograr este objetivo en una forma adecuada, sehacen clculos especiales con los que se obtiene lasiguiente informacin.

1. Tiempo total necesario para terminar el proyecto.2. Clasificacin de las actividades del proyecto en crticas

y no crticas.

Calculo para la ruta crtica (CPM)

Para efectuar los clculos necesarios, se define lo siguiente:j = Tiempo ms temprano de ocurrencia del evento j.j = Tiempo ms tardo de ocurrencia del evento j.Dij =Duracin de la actividad (i, j).

Las definiciones de los tiempos ms tempranoy ms tardo del evento j se especifican enrelacin con las fechas de inicio y terminacinde todo el proyecto.


Los clculos de la ruta crtica implican dospasos: Paso hacia delante, determina lostiempos ms tempranos o de ocurrencia de loseventos, y el Paso hacia atrs, calcula sustiempos ms tardos de ocurrencia.Paso hacia delante (tiempos mstempranos de ocurrencia o tiempos msprximos, de ocurrencia, ). Los clculosse inician en el nodo 1 (inicio) y avanzan enforma intuitiva hasta el nodo final n.


Paso Inicial: Poner 1(inicio) = 0, para indicar que el proyectose inicia cuando el tiempo es 0.

Paso general j: Dado que los nodos p, q, , y v estnenlazados directamente con el nodo j por las actividades deentrada (p, j), (q, j),, (v, j) y que los tiempos ms tempranosde ocurrencia de los eventos (nodos) p, q, , y v ya se hancalculado, entonces se calcula el tiempo ms temprano deocurrencia del evento j como sigue:

j = mx {p + Dpj, q + Dqj,.., v + Dvj}El paso hacia delante se termina cuando se calcula n(final) enel nodo n. Por definicin, j representa la ruta (duracin) mslarga al nodo j.


Paso hacia atrs (tiempos ms tardos de ocurrencia o tiempos ms lejanos, de ocurrencia, ). Despus de terminar el paso hacia delante, los clculos del paso hacia atrs comienzan en el nodo n y terminan en el nodo 1.


Paso Inicial: Poner n(final) = n(final), para indicar quelas ocurrencias ms temprano y ms tardo del ultimonodo en el proyecto son iguales.Paso General j: Dado que los nodos p, q, , y v estnenlazados en forma directa con el nodo j por actividadesde salida (j, p), (j, q),, (j, v) y que ya se calcularon lostiempos ms tardos de los nodos p, q, , y v, el tiempotardo del nodo j se calcula como sigue:

j = mn {p Djp, q Djq,.., v DjvEl paso hacia atrs se termina cuando se calcula 1.


Con base en los clculos anteriores, una actividad (i, j)ser crtica si satisface tres condiciones:

i = ij = j

j i = j i = DijLas tres condiciones indican que los tiempos mstempranos y ms tardos de ocurrencia de los nodos i y json iguales, y que la duracin Dij se ajusta exactamente alintervalo especificado de tiempo. Una actividad que nosatisface las tres condiciones es no crtica.


Ejemplo: Determinar la ruta crtica para eldiagrama del proyecto de la figura. Todas lasduraciones estn en das.

2

1

A - 1

4

B - 2

3

C - 1

5D - 2

6

F - 1

0

9

10E - 6

H -

1

11

G - 3

16M - 2

L - 1

12

O -

2

J - 5

7

I - 1

17N - 4 S- 7

18

P - 2 13

14Q

- 1

15R - 7

8K - 2

19

T - 3


Ejemplo: ResolucinPaso hacia delante.Nodo 1. Hacer o definir 1 = 0Nodo 2. 2 = 1 + D12 = 0 + 1 = 1Nodo 3. 3 = 2 + D23 = 1 + 1 = 2Nodo 4. 4 = mx. {1 + D14, 3 + D34}= mx. {0 +2, 2 + 0}= mx. {2, 2} = 2Nodo 5. 5 = 3 + D35 = 2 + 2 = 4


Ejemplo: Resolucin (Continuacin)Nodo 6. 6 = 5 + D56 = 4 + 10 = 14Nodo 7. 7 = 6 + D67 = 14 + 1 = 15Nodo 8. 8 = 7 + D78 = 15 + 2 = 17Nodo 9. 9 = 6 + D69 = 14 + 3 = 17Nodo 10. 10 = mx. {4 + D4-10, 9 + D9-10}= mx.{2 + 6, 17 + 1}

= mx. {8, 18} = 18


Ejemplo: Resolucin (Continuacin)Nodo 11. 11 = mx. {6 + D6-11, 9 + D9-11, 10 + D10-11}

= mx. {14 + 0, 17 + 0, 18 + 5}= mx. {14, 17, 23} = 23Nodo 12. 12 = 11 + D11-12 = 23 + 2 = 25Nodo 13. 13 = {7 + D7-13, 12 + D12-13}= mx. {15 + 0, 25 + 2}

= mx. {15, 27} = 27Nodo 14. 14 = 13 + D13-14 = 27 + 1 = 28Nodo 15. 15 = 13 + D13-15 = 27 + 7 = 34


Ejemplo: Resolucin (Continuacin)Nodo 16. 16 = mx. {6 + D6-16, 11 + D11-16}= mx. {14 + 2, 23 + 1}

= mx. {16, 24} = 24Nodo 17. 17 = mx. {7 + D7-17, 16 + D16-17}= mx. {15 + 0, 24 + 4}

= mx. {15, 28} = 28Nodo 18. 18 = 17 + D17-18 = 28 + 7 = 35Nodo 19. 19 = mx. {8 + D8-19, 14 + D14-19, 15 + D15-19, 18 + D18-19}

= mx. {17 + 0, 28 + 0, 34 + 0, 35 + 3}= mx. {17, 28, 34, 38} = 38

Los clculos indican que se puede acabar en 38 das.


Ejemplo: Resolucin (Continuacin)Paso hacia atrs.Nodo 19. Hacer o definir 19= 19 = 38Nodo 18. 18 = 19 D18-19 = 38 3 = 35Nodo 17. 17 = 18 D17-18 = 35 7 = 28Nodo 16. 16 = 17 D16-17 = 28 4 = 24Nodo 15. 15 = 19 D15-19 = 38 0 = 38Nodo 14. 14 = 19 D14-19 = 38 0 = 38


Ejemplo: Resolucin (Continuacin)Nodo 13. 13 = mn {14 D13-14, 15 D13-15} = mn {38 1, 38 7}=

mn {37, 31}= 31Nodo 12. 12 = 13 D12-13 = 31 2 = 29Nodo 11. 11 = mn {12 D11-12, 16 D11-16} = mn {29 2, 24 1}=

mn {27, 23}= 23Nodo 10. 10 = 11 D10-11 = 23 5 = 18Nodo 9. 9 = mn {10 D9-10, 11 D9-11} = mn {18 1, 23 0} = mn {17, 23} = 17


Ejemplo: Resolucin (Continuacin)Nodo 8. 8 = 19 D8-19 = 38 0 = 38Nodo 7. 7 = mn {8 D7-8, 13 D7-13, 17 D7-17}

= mn {38 2, 31 0, 28 0}= mn {36, 31, 28}= 28Nodo 6. 6 = mn {7 D6-7, 9 D6-9, 11 D6-11, 16 D6-16}

= mn {28 1, 17 3, 23 0, 24 2}= mn {27, 14,23, 22}= 14Nodo 5. 5 = 6 D5-6 = 14 10= 4Nodo 4. 4 = 10 D4-10 = 18 6= 12


Ejemplo: Resolucin (Continuacin)Nodo 3. 3 = mn {4 D3-4, 5 D3-5} = mn {12 0, 4 2}= mn {12, 2}= 2Nodo 2. 2 = 3 D2-3 = 2 1= 1Nodo 1. 1 = mn {2 D1-2, 4 D1-4} = mn {1 1,12 2}=

mn {0, 10}= 0Si los clculos fueron correctos, siempre terminarancon 1 = 0.


Ejemplo: Resolucin (Continuacin)Los clculos en los pasos hacia delante y hacia atrs seresumen en una figura. Las reglas para determinar lasactividades crticas indican que la ruta crtica es123569101116171819, queabarca la diagrama desde el inicio (nodo 1) hasta el fin(nodo 19). La suma de las duraciones de las actividadescrticas [(1,2), (2,3), (3,5), (5,6), (6,9), (9,10), (10,11),(11,16), (16,17), (17,18), (18,19)] es igual a la duracin delproyecto (= 38 das).


Ejemplo: Resolucin (Continuacin)Observe que la actividad (6,11), (6,16) y (9,11) satisfacen lasdos primeras condiciones para que la actividad sea crtica6 = 6 = 14, 11 = 11 = 23, pero j i = j i = Dij

23 14 = 23 14 = 06 = 6 = 14, 16 = 16 = 24, pero j i = j i = Dij

24 14 = 24 14 = 29 = 9 = 17, 11 = 11 = 23, pero j i = j i = Dij

23 17 = 23 17 = 0.Por consiguiente, esas actividades no son crticas.


15

14

R - 7 13

P - 2

K - 2 8

19

18S- 7

17

7

O -

2

12

L - 1

M - 2 16

11

H -

1

10

9 5 3

B - 2

A - 1

C -

1

F - 1

0

E - 6

I - 1

J - 5

N - 4

D - 2 1

2

4

6

0

Inicio del paso hacia adelante

Fin del paso hacia atrs

0 3838

Inicio del paso hacia atrs

Fin del paso hacia adelante

11

2

22

212

44

1414

1528

1738

1717

1818

2323

2925 27

31

2838

3438

2424

2828

3535

i j Ruta critica Paso hacia atrs:

Paso hacia adelante

Leyenda

Q -

1

G - 3

T - 3

Construccin del cronograma preliminar

Se indica como se puede usar la informacin obtenidacon los clculos para desarrollar el programa de tiempo,o cronograma. Se reconoce que i representa el tiempoms temprano de iniciacin de una actividad (i, j), y quej representa el tiempo ms tardo de terminacin. Estoquiere decir que (i, j) limita el intervalo mximo detiempo durante el cual se puede programar la actividad(i, j).Construccin de un cronograma preliminar. Seilustrara con un ejemplo el mtodo para construir uncronograma preliminar.


Ejemplo:Determinar el cronograma para el proyecto del ejemplo anterior.Se puede tener un cronograma preliminar para las distintas actividadesdel proyecto poniendo sus intervalos de tiempo respectivos como se veen la figura. Es necesario hacer dos observaciones.Las actividades crticas (representadas por las lneas llenas) se debenprogramar una inmediatamente despus de la otra, para asegurar queel proyecto se termine en la duracin especificada de 38 das.Las actividades no crticas (representadas por lneas segmentadas)abarcan intervalos que tienen duraciones mayores y que por tantopermiten holguras en su programacin dentro de sus intervalosasignados.


Ejemplo:

Determinacin de holguras

Son las holguras de tiempo disponibles dentro delintervalo asignado para la actividad no crtica. Lasdos ms comunes son la holgura total y laholgura libre.Interpretacin Prctica: Holgura total: Representa el nmero de unidades de tiempo de

que disponemos para retrasar el comienzo de la actividad oaumentar la duracin de la actividad sin alterar los tiemposlmite u en principio la programacin.


Holgura libre: Representa el nmero de unidades de tiempo deque disponemos para retrasar el comienzo de la actividad oaumentar la duracin de la actividad sin alterar el comienzo delas siguientes.

Holgura independiente: Refleja las unidades disponibles paraque habindose alcanzado un suceso en el tiempo lmitepasemos al tiempo lo ms pronto posible del suceso siguiente.


En la siguiente figura se ve un resumen adecuadopara calcular la holgura total (TFij) y la holgura libre(FFij) de la actividad (i, j). la holgura total es elexceso del intervalo de tiempo definido por el tiempoms temprano de ocurrencia del evento i hasta eltiempo ms tardo de ocurrencia del evento j en laduracin de (i, j); esto es:

i

= jijTF ijD

i


Calculo de las holguras totales y libres


La holgura libre es el exceso del intervalo de tiempo definido desde el tiempo ms temprano de ocurrencia del evento i hasta el tiempo ms temprano de ocurrencia del elemento j durante la duracin de (i, j); esto es: FFij = j i - Dij

Por definicin: Ffij


Regla de la bandera roja, para una actividad (i, j)no crtica:

a) Si FFij = TFij, entonces se puede programar la actividaden cualquier lugar dentro de su intervalo (i, j) sin causarconflicto con el programa.

b) Si FFij < TFij, entonces el inicio de la actividad (i, j) sepuede demorar cuando mucho hasta FFij a partir de sutiempo ms temprano de inicio (i) sin causar conflicto conel programa. Toda demora mayor que FFij (pero no mayorque TFij) se debe acompaar por una demora igual apartir de j en el tiempo de iniciacin de todas lasactividades que salen del nodo j.


La implicacin de la regla es que una actividad (i, j)no crtica tendr bandera roja si su FFij < TFij. Estabandera roja solo importa si se decide demorar elinicio de la actividad respecto a su tiempo tempranode inicio i, en cuyo caso se debe poner atencin a lostiempos de inicio de las actividades que salen delnodo j, para evitar conflictos en el programa.


Ejemplo: Calcular las holguras de las actividades nocrticas del diagrama en el ejemplo anterior (CPM), ydescribir su uso en la finalizacin de un cronogramapara el proyecto.La tabla siguiente resume los clculos de las holgurastotales y libres. Conviene ms hacer los clculos enforma directa sobre el diagrama, usando elprocedimiento grafico dado en la teora.


Ejemplo: Actividadno crtica Duracin

Holgura total (TF)

Holgura libre(FF)

B 1 4FIC 3 4I 6 7FIC 6 11M 6 16K 7 8FIC 7 13FIC 7 17FIC 8 19FIC 9 11O 11 12P 12 13Q 13 14R 13 15FIC 14 19FIC 15 19

2010220000221700

12 0 2 = 1012 2 0 = 10

28 14 1 = 1323 14 0 = 924 14 2 = 838 15 2 = 1131 15 0 = 1628 15 0 = 1338 17 0 = 2123 17 0 = 629 23 2 = 431 25 2 = 4

38 27 1 = 1038 27 7 = 4

38 28 0 = 1038 34 0 = 4

2 0 2 = 02 2 0 = 0

15 14 1 = 023 14 0 = 924 14 2 =817 15 2 = 0

27 15 0 = 1228 15 0 = 1338 17 0 = 2123 17 0 = 625 23 2 = 027 25 2 = 028 27 1 = 034 27 7 = 0

38 28 0 = 1038 34 0 = 4


Ejemplo: Los clculos ponen bandera roja en las actividades B(1,4), FIC (3,4), I (6,7), K (7,8), FIC (7,13), O (11,12), P (12,13), Q(13,14) y R (13,15), porque sus FF < TF. Las actividades restantesFIC (6,11), M (6,16), FIC (7,17), FIC (8,19), FIC (9,11), FIC (14,19)y FIC (15,19), tienen FF = TF, por lo que se pueden programar encualquier momento entre su inicio ms temprano y suterminacin ms tarda.

En cuanto a la actividad I con bandera roja, se ve que FF = 0. Esoquiere decir que cualquier demora en el inicio de I despus de sutiempo ms temprano de inicio (= 14) se debe acoplar con unademora al menos igual en el inicio de sus actividades posterioresE y F.

REDES PERT

En CPM se asume que la duracin de cada actividades conocida con certeza, claramente, en muchasocasiones este supuesto no es valido. PERT intentacorregir este error suponiendo que la duracin decada actividad es una variable aleatoria de la queconocemos su ley de distribucin (Distribucin ); seconsideran tres clases de tiempos estimados:

REDES PERT

1. Tiempo Optimista a, es el que representa eltiempo mnimo posible sin importar el costo ocuanta de elementos materiales y humanos que serequieran, donde se supone que la ejecucin vaextremadamente bien. En la mayora de los casos laprobabilidad de realizar la actividad en estetiempo es pequea.

REDES PERT

2. Tiempo ms probable m, donde se suponeque la ejecucin se hace bajo condiciones normales.Esta estimacin debe tener en cuenta lascircunstancias normales, considerando algunosretrasos debidos a imprevistos, y debe estar basadaen la mejor informacin de que pueda disponerse.

REDES PERT

3. Tiempo pesimista b, es un tiempoexcepcionalmente grande que pudiera presentarseocasionalmente como consecuencia de accidentes,falta de suministros, retardos involuntarios, causasno previstas, etc. donde se supone que la ejecucinva extremadamente mal. la probabilidad derealizar la actividad en este tiempo esgrande.

REDES PERT

En la siguiente figura se muestra la localizacinideal de estas tres estimaciones con respecto a ladistribucin de probabilidad. Se hacen dossuposiciones para convertir m, a y b enestimaciones del valor esperado Te y la varianza =2 del tiempo que requiere la actividad.

REDES PERT

Suposicin 1: la distribucin entre a y b es 6desviaciones estndar, es decir, 6 = b a. Enconsecuencia, la varianza del tiempo de unaactividad esEl razonamiento para hacer esta suposicin es quese considera que las colas de muchasdistribuciones de probabilidad (como en ladistribucin normal) estn ms o menos a 3desviaciones estndar de la media, de manera queexiste una dispersin de alrededor de 6desviaciones estndar entre las colas.

( )[ ]22 61 ab =

REDES PERT

Para obtener la estimacin del valor esperado Te, tambines necesaria una suposicin sobre la forma de ladistribucin de probabilidad.Suposicin 2: la distribucin de probabilidad de cadaactividad es (al menos aproximadamente) una distribucinbeta .Este tipo de distribucin tiene la forma que se mostr en lafigura anterior, con una sola moda (m) y dos puntosterminales (a y b), en donde se supone que 0 a b. As, seajusta bien a las definiciones de los tres tiempos estimados,y da una forma razonable para la distribucin de lostiempos de las actividades.

REDES PERT

Bajo estas suposiciones, el valor esperado deltiempo de una actividad es aproximadamente

( )

++= bamTe 2

1231

REDES PERT

Note que el medio del intervalo (a+b)/2 se encuentra ala mitad entre a y b, de manera que Te es la mediaaritmtica ponderada de la moda y la mitad delintervalo, con un peso de dos tercios para la moda.Aunque la suposicin de una distribucin beta esarbitraria, sirve para el propsito de localizar el valoresperado respecto a m, a y b de una manera razonable.Con base en los estimados (o estimaciones), el tiempopromedio de duracin , estar en el intervalo [a, b] y suvarianza , de acuerdo a la distribucin que se calculancomo sigue:

REDES PERT

Los clculos de ruta crtica (CPM) que se describieronanteriormente se puede aplicar en forma directa,sustituyendo la estimacin nica D por .Ahora es posible estimar la probabilidad de que un nodo jen la diagrama suceda en un tiempo programadoespecificado con anterioridad, Sj. Sea ej el tiempo mstemprano de ocurrencia del nodo j. como las duraciones delas actividades que van del nodo de inicio al nodo j sonvariables aleatorias, ej tambin debe ser una variablealeatoria.

64 bmaD ++=

2

6

=

abv

D

REDES PERT

Suponiendo que todas las actividades en la diagramasean estadsticamente independientes, se puededeterminar la media E{ej}, y la varianza, var{ej} comosigue, si solo hay una ruta desde el nodo de inicio hasta elnodo j, la media es la suma de las duraciones esperadas ,para todas las actividades a lo largo de esa ruta, y lavarianza es la suma de las varianza de las mismasactividades. Por otra parte, si hay ms de una ruta quellegue al nodo j, ser necesario calcular primero ladistribucin estadstica de la duracin de la ruta mslarga, antes de calcular la media y la varianza correctas.

D

REDES PERT

Este problema es bastante difcil, por que equivale adeterminar la distribucin del mximo de variasvariables aleatorias. Por consiguiente, una hiptesissimplificadora es calcular la media y la varianza, E{ej}y var{ej}, como el de la ruta al nodo j que tenga lasuma mayor de duraciones esperadas de lasactividades. Si hay dos o ms rutas que tienen lamisma media (o promedio), se selecciona la que tengala varianza mayor, por que refleja la mximaincertidumbre y en consecuencia conduce a unestimado ms conservador de las probabilidades.

REDES PERT

Una vez calculados la media y la varianza E{ej} yvar{ej} de la ruta al nodo j, la probabilidad que serealice el nodo j a un tiempo Sj preestablecido, secalcula con la siguiente formula:

En dondez = Variable aleatoria normal estndar

{ } { }{ }{ }{ } { }jj

jj

j

jjjj KzPe

eESeeEe

PSeP =

=varvar

{ }{ }j

jjj e

eESK

var

=

REDES PERT

Ejemplo:Se tiene el proyecto del ejemplo de CPM. Para evitarrepetir los clculos de ruta crtica, se seleccionaronlos valores de a, m y b en la tabla siguiente, de talmodo que Dij = Dij para toda i y j en el ejemplomencionado.

REDES PERT

Ejemplo: (Continuacin)Actividad i-j Optimista(a)

Ms probable(m)

Pesimista(b)

A 1-2 1 1 3B 1-4 1 2 4C 2-3 1 1 3D 3-5 1 2 4E 4-10 4 6 8F 5-6 8 10 12G 6-9 1 3 5H 9-10 1 1 3I 6-7 1 1 3J 10-11 3 5 8K 7-8 1 2 4L 11-16 1 1 3M 6-16 1 2 4N 16-17 2 4 6O 11-12 1 2 4P 12-13 1 2 5Q 13-14 1 1 3R 13-15 5 7 9S 17-18 5 7 10T 18-19 1 3 5

REDES PERT

Ejemplo: (Continuacin)

2

1

A - 1

4

B - 2

3

C - 1

5D - 2

6

F - 1

0

9

10E - 6

H -

1

11

G - 3

16M - 2

L - 1

12

O -

2

J - 5

7

I - 1

17N - 4 S- 7

18

P - 2 13

14

Q -

1

15R - 7

8K - 2

19

T - 3

REDES PERT


15

14

R - 7 13

P - 2

K - 2 8

19

18S- 7

17

7

O -

2

12

L - 1

M - 2 16

11

H -

1

10

9 5 3

B - 2

A - 1

C -

1

F - 1

0

E - 6

I - 1

J - 5

N - 4

D - 2 1

2

4

6

0

Inicio del paso hacia adelante

Fin del paso hacia atrs

0 3838

Inicio del paso hacia atrs

Fin del paso hacia adelante

11

2

22

212

44

1414

1528

1738

1717

1818

2323

2925 27

31

2838

3438

2424

2828

3535

i j Ruta critica Paso hacia atrs:

Paso hacia adelante

Leyenda

Q -

1

G - 3

T - 3

REDES PERT

Ejemplo: (Continuacin)La media Dij y la varianzaVij de las distanciasactividades se ve en latabla de abajo. Observeque para una actividadficticia (a, b, m) = (0, 0,0), y en consecuencia sumedia y su varianzatambin son iguales a cero.

Actividad i-j Dij VijA 1-2 1.33 0.11B 1-4 2.17 0.25C 2-3 1.33 0.11D 3-5 2.17 0.25E 4-10 6.00 0.44F 5-6 10.00 0.44G 6-9 3.00 0.44H 9-10 1.33 0.11I 6-7 1.33 0.11J 10-11 5.17 0.69K 7-8 2.17 0.25L 11-16 1.33 0.11M 6-16 2.17 0.25N 16-17 4.00 0.44O 11-12 2.17 0.25P 12-13 2.33 0.44Q 13-14 1.33 0.11R 13-15 7.00 0.44S 17-18 7.17 0.69T 18-19 3.00 0.44

ijDijV

REDES PERT


La tabla siguiente muestra la trayectoria ms largadel nodo 1 a los distintos nodos, junto con su media ysu varianza asociados.

REDES PERT


Nodo Ruta ms larga basadaen duraciones mediasMedia de

la rutaDesviacin estndar

de la ruta

2 1-2 1.33 0.6653 1-2-3 2.66 1.3304 1-4 2.17 1.0855 1-2-3-5 4.83 2.4156 1-2-3-5-6 14.83 7.4157 1-2-3-5-6-7 16.16 8.0808 1-2-3-5-6-7-8 18.33 9.1659 1-2-3-5-6-9 17.83 8.915

10 1-2-3-5-6-9-10 19.16 9.58011 1-2-3-5-6-9-10-11 24.33 12.16512 1-2-3-5-6-9-10-11-12 26.5 13.25013 1-2-3-5-6-9-10-11-12-13 28.83 14.415

141-2-3-5-6-9-10-11-12-13-14

30.16 15.080

151-2-3-5-6-9-10-11-12-13-15

35.83 17.91516 1-2-3-5-6-9-10-11-16 25.66 12.83017 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17 29.66 14.830

18 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17-1836.83 18.415

19 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17-18-1939.83 19.915

REDES PERT

Ejemplo: (Continuacin)Por ultimo, en la tabla siguiente se calcula laprobabilidad de que cada nodo se realice en untiempo Sj preestablecido, especificado por elanalista.

REDES PERT


Nodo Ruta ms larga basadaen duraciones mediasMedia de

la rutaDesviacin estndar

de la ruta Sj Kj

2 1-2 1.33 0.665 1 -0.50 0.312 1.01 0.84

3 1-2-3 2.66 1.330 2 -0.50 0.313 0.26 0.6

4 1-4 2.17 1.085 2 -0.16 0.443 0.76 0.78

5 1-2-3-5 4.83 2.415 4 -0.34 0.375 0.07 0.53

6 1-2-3-5-6 14.83 7.415 12 -0.38 0.3516 0.16 0.56

7 1-2-3-5-6-7 16.16 8.080 14 -0.27 0.3918 0.23 0.59

8 1-2-3-5-6-7-8 18.33 9.165 18 -0.04 0.4820 0.18 0.57

9 1-2-3-5-6-9 17.83 8.915 15 -0.32 0.3720 0.24 0.59

10 1-2-3-5-6-9-10 19.16 9.580 18 -0.12 0.4521 0.19 0.57

11 1-2-3-5-6-9-10-11 24.33 12.165 23 -0.11 0.4625 0.06 0.52

12 1-2-3-5-6-9-10-11-12 26.5 13.250 26 -0.04 0.4827 0.04 0.52

13 1-2-3-5-6-9-10-11-12-13 28.83 14.415 27 -0.13 0.4530 0.08 0.53

14 1-2-3-5-6-9-10-11-12-13-14 30.16 15.080 30 -0.01 0.531 0.06 0.52

15 1-2-3-5-6-9-10-11-12-13-15 35.83 17.915 33 -0.16 0.4437 0.07 0.53

16 1-2-3-5-6-9-10-11-16 25.66 12.830 25 -0.05 0.4827 0.10 0.54

17 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17 29.66 14.830 28 -0.11 0.4530 0.02 0.51

18 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17-18 36.83 18.415 34 -0.15 0.4437 0.01 0.504

19 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17-18-19 39.83 19.915 38 -0.09 0.4640 0.01 0.504

{ }jKzP =

REDES PERT

Ejemplo: (Continuacin)Como vemos en la tabla anterior en la ruta crtica 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17-18-19, su media es de 39.83das para finalizar y la probabilidad de acabar en 40das es de 50.4% y en 38 das es de 46 %

PROGRAMACIN DE ACTIVIDADES Y CONTROL DE PROYECTOS CPM Y PERTIntroduccinIntroduccinIntroduccinIntroduccinIntroduccinAntecedentesAntecedentesAntecedentesAntecedentesAntecedentesDiferencias entre PERT y CPMDiferencias entre PERT y CPMDiferencias entre PERT y CPMDiferencias entre PERT y CPMDiferencias entre PERT y CPMDiferencias entre PERT y CPMMtodos CPM y PERTMtodos CPM y PERTMtodos CPM y PERTMtodos CPM y PERTMtodos CPM y PERTModelaje de sistemas CPM/PERTModelaje de sistemas CPM/PERTModelaje de sistemas CPM/PERTDiagrama de actividades tipo redDiagrama de actividades tipo redDiagrama de actividades tipo redDiagrama de actividades tipo redDiagrama de actividades tipo redDiagrama de actividades tipo redDiagrama de actividades tipo redEjemplo:Ejemplo (Resolucin):Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Calculo para la ruta crtica (CPM)Construccin del cronograma preliminarConstruccin del cronograma preliminarConstruccin del cronograma preliminarDeterminacin de holgurasDeterminacin de holgurasDeterminacin de holgurasDeterminacin de holgurasDeterminacin de holgurasDeterminacin de holgurasDeterminacin de holgurasDeterminacin de holgurasDeterminacin de holgurasDeterminacin de holgurasREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERTREDES PERT

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4 Programacion de Actividades