4 - Trigonometria 3RO__IIB

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Trigonometría

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES

IDENTIDADES PITAGÓRICAS

sen2x= 1- cos2x1. sen2x + cos2x cos2x = 1- sen2x

sec2x – tan2x = 1

2. 1+ tg2x = sec2x sec2x – 1 = tan2x

csc2x – cot2x = 1

3. 1+ctg2x =csc2x csc2x – 1 = cot2x

IDENTIDADES RECIPROCAS

4. senx.cscx=1 cscx =

5. cosx.secx = 1 secx =

6. tgx.ctgx = 1

IDENTIDADES POR COCIENTE

7. tgx =

8. ctgx =

PRACTICA EN CLASE 1,2 Y 3

1. Al reducir: secx + cotx.cosx obtenemos

2. Simplificar secx – tanx .senx

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El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes. El primer uso de la función seno aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho.

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Colegio BRYCE – Mollendo

Trigonometría

3. Reducir:

4. ¿A qué es igual?

5. Simplificar:


7. Simplificar: sec2x + tan2x + 1

8. Reduce:

9. Reducir:

10. Al simplificar: obtenemos

11. Calcular: (senx +cosx)2 + (senx – cosx)2

12. Reducir : (1 + tan2x) (1 - sen2x)

PRACTICA DOMICILIARIA 1,2 Y 3

1. Reducir: senx+cosx.tgx - 2senx

2. Reducir:cosx+senx.ctgx-2cosx

3. Reducir:senx.cscx-(sen2x+cos2x)

4. Reducir:

tgx.ctgx+(sen2x+cos2x)-2 senx.cscx

5.

6.

7. Reducir: (senx- cscx)(cosx – secx)(tanx + cotx)

a)0 b)1 c)senx d)cosx e)senx·cosx

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Trigonometría

8. Reducir :

a)senxb)cscxc)cosxd)secxe) 1

9. Simplificar:

a) cosxb)senxc)tanxd)cotxe)cscx

a) Sec2 x b) Sen2 x c) Cos2 xd) Tag2 x e) Csc2x.

11. Al simplificar: obtenemos:

a) CtgA b) SecA c) 1 + SenA d) TagA e) 1 – SenA

12. Simplificar: R = (1 + Secx + Tagx)(1 – Cscx + Ctgx)a) Sec 53º b) Csc 30º c) Cos 60ºd) Tag 45º e) Ctg 60º

13. Al reducir resulta :

a)2secx b)cscx c)0,5cscx d)2cscx e) 0,5cosx

14. La expresión: cosx equivale a:

a)cosx b)tanx c)cotx d)1+senx e)1+cotx

15. Simplificar :

a)1 b)cscA c)senA d)cosA e)N.A.

AUTOEVALUACIÓN

PRACTICA EN CLASE

1) Reduce :

a)senx

b)tanx c)cot2x d)cotx e)N.A.

2) Reducir F=(1-senx)(1+cscx)secx

a)senx b)cosx c)cotx d) tan2x e)1

3) La expresión: es identica a:

a)senA b)cosA c) -1 d) 0 e)1


a) 0 b)1 c) 2 d) 3 e) – 1

3. Efectúa : (1+tanx)2 + (1-tanx)2.

a) 2csc2xb)2sec2xc) sec2x d) 1-tanx e) 0

4. Reduce : (1-senA)(secA+tanA)

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Trigonometría

a)senA

b)-senA

c) -cosA

d) cosA

e) 1

5. Simplificar:

N = cosx

a)-1 b) 1/5

c) 1/2

d) 1

e) 2

6. Simplifica::

a)senx b)cosx c)tanx d)secx e)cscx

PROBLEMAS POR CONDICION

01. Si : senx + cosx =pCalcular: 2senx.cosxSOLUCION:

02. Si:Tgx+ctgx=qCalcular: Tg2x+ctg2xSOLUCION:

03. Si Cos x + Sec x = p. Calcular el valor de:

E = Cos3x + Sec3x.a) p(p2 – 3) b) p(p3 – 3) c) p2 d) p(p + 3) e) p(p2 + 3)

04. Si Sen x – Cos x = 1/3. Calcular el valor de: E = Tag x + Cot xa) 9/4 b) 17/4 c) 15/4d) 4 e) 3

05. Si Tag2x + Ctg2x = 7. Hallar: Tag3x + Ctg3x.a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

06. Si: Tag x – Tag2 x = 1. Calcular el valor de: (Sec2x – Tag x)3.a) -2 b) -1c) 2d) 1e) 0

07. Si Cscx + Ctgx = 4.Calcular: A = Cscx – Ctgx.a) - 4b) 1c) -1d) 0,5e) 0,25

08.Expresar entérminos de “cosx.”

( ) (1+senx)

a)-cosx b)1+cosx c)cos2x d)cos x e)1-cosx

AUTOEVALUACION

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Trigonometría

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada proposición:I. senx + cosx = 1II. 1 – tan2x = sec2x III. 1 + cot2x = csc2x

a) FFF b) FVF c) FVV d)FFV e) VFV

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones:

I. Si: senx = cscx = 2

II. Si: cosx = secx =

III. sen2x = 1 – cos2x

a) VVV b) VVF c) VFV d)VFF e) N.N.


a) 0 b)1 c) 2 d) 3 e) – 1

4. Reducir : (1 + tan2x) (1 - sen2x)

a) 0 b)1 c) 2 d) 3 e) – 1

5. Reducir:

a)senx b)cosx c)tanx d)secx e)cscx


a)cosx b)senx c)0 d) – 1 e) 1

7. Simplificar:

a)senx b)cosx c)tanx d)cotx e)secx

8. Al reducir: secx + cotx.cosx obtenemos

a)senx b)secx c)cscx d)1 e) 0

9. Colocar la función trigonométrica que corresponda en cada caso , para verificar la identidad

Tanx ·( ) = secx

Sen2x· sec2x = ( ) – 1

Cosx = ( ) –senx ·tanx

Senx(1 + cscx) = ( )

10. Si: Tag x – Tag2 x = 1. Calcular el valor de: (Sec2x – Tag x)3.a) -2 b) -1c) 2d) 1e) 0

Se revisarán cuadernos y se aplicara la prueba mensual.

IDENTIDAD DE ÁNGULOS COMPUESTOS

DE LA SUMA

Sen(A B) = senAcosB cosAsenBCos(A B) = cosAcosB senAsenB

Tan(A B) =

PRACTICA EN CLASE 1 y 2

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Trigonometría

01.Calcular:a) sen20°.cos10°+cos20°.sen10° =b) sen40°.cos20°+cos40°.sen20° =c) cos20°.cos10°- sen10°.sen20° =d) cos80°.cos10°- sen80°.sen10° =e) cos20º.sen40º - cos40º.sen20º =

02. Simplificar:

03. Si . Calcular:

a)

b)

c)

a)

b)

c)

4. En la figura, hallar “a”

Si:

a) 2 y 3b) 1 y 3c) 2 y 4d) 1 y 4e) 2 y 6

5.En la figura(cuadrado) hallar “Tgx”

Si:

06. Si x – y = 60º, calcular el valor de: E= (Cos x + Cos y)2 + (Sen x + Sen y)2

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

7. Si Tag (m – n ) = Tag (n – s ) = ;

Calcular: Tag (m – s ).

a) 1/4 b) 1/2 c) 1/3 d) 5/6 e) 1

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Trigonometría

8. Si: , el valor de E es:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

9. La tangente de los ángulos interiores de un triángulo son tres números enteros consecutivos. Calcular la mayor tangente. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

10. Calcular: P=

a) 2 b) 1/ 2 c) -1/2 d) -2 e) 1

11. Calcular el valor de:

E=

a) 1/2 b) 1 c)

d)

e) 2

PRACTICA DOMICILIARIA 1,2 Y 3

1. Reducir:sen25°.cos5°+cos25°.sen5° =

2. Reducir: sen45°.cos15°+cos45°.sen15° =

3. Reducir:cos20°.cos10°- sen20°.sen10° =

4. Reducir: Cos50°.cos10°- sen50°.sen10° =

5. Reducir: cos20º.sen40º - cos40º.sen20º =

6. Si . Calcular:

a)

b)

c)

a)

b)

c)

7. Si: , hallar

a) 1b) 3c) 1/3d) 16/15e) 13/16

8. Siendo:

Calcular: a) 1/3b) 1/9c) 2/9d) 4/9e) 7/9

09.Calcular el valor de:

a)

b)

c) 1

d)

e) 1/2

10. Si: , calcular:

ÁNGULOS MÚLTIPLES

I. Ángulo Doble

RELACIONES FUNDAMENTALES

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RELACIONES AUXILIARESSe obtienen a partir de las razones fundamentales con ayuda de las identidades trigonométricas, así:

ANGULO DOBLE

FORMULAS FUNDAMENTALES DEL ANGULO DOBLE:

OTRAS FORMULAS DEL COSENO DEL DOBLE

De estas dos, se obtiene las formulas de degradación:

TRIANGULO DEL ANGULO DOBLE

De donde se obtienen las siguientes formulas en función de tangentes:

PRACTICA EN CLASE 5,6 y 7

1. Sabiendo que: , calcular



4. Si: cos x =

a) sen 2x

b) cos 2x

c) tg 2x

5. Simplificar:

a) b) c) d) e)

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Trigonometría


a) 5b) 6c) 7/5d) 25e) 125

7. Simplificar:

a)

b) c) d) e)

8. Simplificar la expresión:

a)

b) c) d) e)

9. Hallar: a) 1

b)

c)

d)

e)

10. Simplificar:

a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 1/3 e) 3

PRACTICA DOMICILIARIA 5, 6 Y 7



3. Si: cos x = ; hallar

a) sen 2x b) cos 2x c) tg 2x

04. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:I. sen 8x = 2sen 4x . cos 4x ( )II. cos 16x = cos28x – sen28x ( )

III. tg 12x = ( )

a) VVV b) VVF c) VFVd) VFF e) FVF

05. Aparear según corresponda:

I. sen 2x A.

II. cos 2x B. 2 sen x . cos xIII. tg 2x C. cos2x – sen2x

a) I.B: II.C: III.A b) I.A: II.B: III.Cc) I.B: II.A: III.C d) I.C: II.B: III.Ae) N.A.

06. ¿Cuál de las siguientes expresiones no representa cos 2x?I. 2 cos2x – 1II. 1 – 2 sen2xIII. cos2x – sen2x

IV.

V.

a) I b) II c) IId) IV e) V

7. Si: sen x = x III Q ; hallar:

a) sen x b) cos 2x c) tg 2x

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AUTOEVALUACION 1. Simplificar:

a)

b)

c) d) e)

2. Siendo:

Calcular: a) 1/3b) 1/9c) 2/9d) 4/9e) 7/9

3. Calcular el valor de:

E=

a) 1/2 b) 1 c) d) e) 2


a) 5b) 6c) 7/5d) 25e) 125

5. Simplificar: A = [ ( Senx + Cosx )2 – (Senx – Cosx)2].Cos2x

a) Sen x b) Cos 4x c) Cos 2xd) Sex 4x e) 2Sen 2x.

6. Simplificar:

a)

b) c) d) e)

Apunt

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