Embed Size (px)
Citation preview
Mehanika Statika – Glava 4
9
4. VEKTORI I OPERACII SO VEKTORI
4.1. Poim za vektor
Pove}eto od fizi~kite golemini vo mehanikata mo`e matemati~ki da se izrazat so skalari i vektori, dve golemini koi me|usebno bitno se razlikuvaat.
(a) Skalari se golemini koi se definirani samo so svoite brojni vrednosti. Skalarite mo`at da bidat pozitivni ili negativni, no ima i skalari koi sekoga{ se pozitivni. Kako primer na skalarni golemini se: masata, temperaturata, gustinata, povr{inata na geometriskite figuri, volumenot na geometriskite tela. Povr{inata i volumenot se sekoga{ definirani kako pozitivni skalari, a temperaturata kako pozitiven ili negativen skalar. Bidej}i skalarite se algebarski golemini so niv mo`e da se izveduvaat site algebarski operacii.
(b) Vektorite se takvi golemini koi se potpolno definirani duri toga{ koga pokraj brojnata vrednost se poznati u{te pravecot i nasokata na dejstvoto, zna~i vkupno tri podatoci. Takvi vektorski golemini se na primer: sila, moment, brzina, zabrzuvawe i t.n. So vektorite, isto taka, mo`e da se definira i polo`bata na edna to~ka vo prostorot vo odnos na druga.
Pod vektor se podrazbira del od prava so to~no opredelena dol`ina, opredelen pravec i nasoka (Sl.4.1).
Nezavisno od nivnoto fizi~ko zna~ewe, vektorite geometriski se pretstavuvaat so orientirana otse~ka na edna prava linija.
Sl. 4.1 Vektor AB
Na Sl.4.1 vektorot e pretstaven so slednite podatoci:
• Dol`inata AV nacrtana vo soodvetna razmera ja pretstavuva brojnata vrednost ili goleminata, odnosno intenzitetot ili u{te t.n. modul na vektorot.
• Pravecot r-r ja odreduva polo`bata-orientacijata na vektorot vo prostorot ili vo ramnina i e ednozna~no opredelen so agolot pome|u
Mehanika Statika – Glava 4
10
linijata na dejstvoto i referentnata oska (x, ili y-oska vo ramnina, ili x, y i z oska vo prostor).
• Nasokata na vektorot e definirana so strelkata.
• Krajot na naso~enata otse~ka na koj nema strelka se vika po~etok ili napadna to~ka na vektorot.
Voobi~aeno e vektorite da se obele`uvaat na sleden na~in:
(1) So dve golemi latinski bukvi so koi e ozna~en negoviot po~etok i kraj i
strelka nad niv. Primerno: AB , MN , OH .
(2) So edna golema ili mala latinska bukva i strelki nad niv. Primer: r r rA B F, , ..., ili
r r r ra b c f, , , ...
Brojnata vrednost, intenzitetot odnosno modulot na eden vektor se ozna~uva so istite bukvi kako i vektorot, no bez strelki A, B, F ili a, b, c, f ili AB, MN, OH ili pak na sledniot na~in so zagradi:
ABAB ⇒ ili AB
BBrr
⇒ ili B
bbrr
⇒ ili b
Vo zavisnost od napadnata to~ka na vektorite istite se delat na tri razli~ni vida:
(1) Slobodni vektori ili prosti vektori, toa se vektori koi mo`e da se pomeruvaat vo ramnina ili vo prostor, ostanuvaj}i paralelni na sami-te sebe i zadr`uvaj}i go istiot intenzitet i nasoka, a pri toa da ne se poremeti to~nosta na fizi~kata golemina {to ja pretstavuvaat. Takov vektor e vektorot na translacija. Dva slobodni vektora se ekviva-lentni ako imaat isti intenzitet, pravec i nasoka nezavisno od polo`-bata na nosa~ot na vektorot i polo`bata na napadnata to~ka.
Primeri na slobodni vektori:
cba rrr==
CDAB =
BDAC =
Sl. 4.2 Grafi~ka prezentacija na slobodni vektori
Mehanika Statika – Glava 4
11
(2) Vektor vrzan za prava (lizga~ki vektor, rotor) mo`e da se pomeruva po linijata na dejstvuvaweto zadr`uvaj}i go istiot pravec i nasoka. Primer za takov vektor e silata koja dejstvuva na nekoe cvrsto telo, vektor na rotacionata brzina na telata okolu oska. Dva vektora vrzani za prava se ednakvi ako le`at na isti nosa~ i imaat ednakvi intenziteti i nasoka.
Primer za vektor vrzan za prava:
cbcaba
rr
rr
rr
≠
≠=
Sl. 4.3 Vektor vrzan za prava
(3) Vektor vrzan za to~ka: Osven so intenzitetot, pravecot i nasokata vektorot vrzan za to~ka ednozna~no e opredelen i so svojata napadna to~ka. Toj se menuva bilo da se pomesti po svojot pravec ili paralelno na nego. Takov e slu~ajot so vektorot na brzinata ili zabrzuvaweto na materijalnata to~ka, so vektorot na te`inata na nekoj elementaren del ili so vektorot na momentot na nekoja sila vo odnos na dadena to~ka. Vakvite vektori se ednakvi ako imaat isti intenzitet i nasoka, ako le`at na ist nosa~ i ako imaat isti po~etni, odnosno napadni to~ki.
cbcaba
rr
rr
rr
≠
≠≠
Sl. 4.4 Vektor vrzan za to~ka
Vektorite koi imaat ista napadna linija, odnosno ist pravec, se nare~uvaat kolinearni vektori. Vektorite pak, {to le`at vo ista ramnina se
Mehanika Statika – Glava 4
12
komplanarni vektori, dodeka onie ~ii {to pravci se se~at vo edna zaedni~ka to~ka se pretstavuvaat kako konkurentni vektori.
Vektorite rA i
rB se ednakvi (
r rA B= ) ako imaat ista golemina, odnosno
intenzitet, pravec i nasoka, a pri toa ne e potrebno da se kolinearni.
Dva paralelni ili kolinearni vektori koi imaat ist intenzitet, a sprotivni nasoki se vikaat sprotivni vektori.
Sl. 4.5 Kolinearni i sprotivni vektori
Ako na eden vektor mu se promeni nasokata, toga{ toj e sprotiven na prvobitniot vektor.
Sl. 4.6 Sprotivni vektori
4.2. Sobirawe i odzemawe na vektori
4.2.1. Sobirawe na vektori
Sobiraweto na vektorite rA i
rB vo rezultanten vektor
rC mo`e da se
izvr{i so koristewe na zakonot na paralelogram. Za taa cel, vektorite rA i
rB vo
soodvetna razmera se nanesuvaat od edna zaedni~ka to~ka - jazol koj se poklopuva so nivnite napadni to~ki (Sl. 4.7b).
A B C= = r rA B= − - sprotivni vektori r rA C= − -sprotivni vektori r rB C= - ednakvi vektori r rA Bi - kolinearni vektori
BAAB =
BAAB −= - sprotiven na prvobitniot
Mehanika Statika – Glava 4
13
Sl. 4.7 Sobirawe na vektori
So paralelno pomestuvawe na vektorite rA i
rB , t.e. so povlekuvawe na
isprekinatite linii na Sl. 4.7b se formiraat i ostanatite dve strani na paralelogramot 1,2,3,4.
Zbirot rC na dvata vektora
rA i
rB pretstavuva dijagonala na
paralelogramot formiran od zadadenite vektori kako strani.
Vektorot rC , t.n. rezultantniot vektor ili rezultanta e taka orientiran
{to ima po~etok vo zaedni~kiot jazol na silite, a kraj vo presekot na paralelite od zadadenite vektori i se ~ita vo istata razmera vo koja se nacrtani sobirocite. Vaka dobienata rezultanta pretstavuva geometriski zbir na dvata vektori i se definira so slednata vektorska ravenka:
r r rC A B= + (1)
i se ~ita: "vektorot rC e ednakov na geometriskiot zbir na vektorot
rA i r
B"
Zbirot na dvata vektori rA i
rB mo`e da se dobie i so koristewe na
konstrukcijata na triagolnik. Toa e specijalen slu~aj na zakonot na paralelogram, i e poznat kako zakon na triagolnik, kade vektorite
rA i
rB se
nanesuvaat posledovatelno, t.e. po~etokot na vektorot rB e vo krajot na prethodno
naneseniot vektor rA (Sl. 4.7v). Rezultantata
rC na dvata vektori e taka
orientirana {to ima po~etok vo po~etokot na vektorot rA i kraj vo krajot na
vektorot rB , i pretstavuva zavr{na strana na zatvoreniot triagolnik 1,2,3 (Sl.
4.7v i 4.7g).
Na sli~en na~in, rezultantniot vektor rC mo`e da se dobie so dodavawe na
vektorot rA na vektorot
rB (Sl. 4.7g).
r r rC B A= + (2)
Mehanika Statika – Glava 4
14
So sporeduvawe na vektorskite ravenki (1) i (2) se konstatira deka za sobiraweto na vektorite va`i komutativniot zakon spored koj vektorskiot zbir na dva vektori ne zavisi od redot na sobiraweto.
r r r r rC A B B A= + = + (3)
Asocijativniot zakon, spored koj zbirot na vektorite ne se menuva ako sobirocite se grupiraat na proizvolen na~in:
r r r r r r rC A B D A B D= + + = + +( ) ( )
Analiti~kiot izraz za goleminata, t.e. intenzitetot na rezultantniot vektor
rC se dobiva trigonometriski so koristewe na podatoci od formiraniot
triagolnik.
r r r r rC A B A B= + +
2 22 cosα (4)
kade {to α e agolot {to go zafa}aat dvata vektori me|u sebe.
Zbirot na kone~en broj od n-slobodni vektori r rA An1... pretstavuva eden
vektor rR , so po~etok vo napadnata to~ka na vektorot
rA1 i kraj vo krajnata to~ka
na vektorot rAn , pod uslov site vektori da se nadovrzani posledovatelno eden na
drug (Sl. 4.8). Na ovoj na~in se formira poligon na vektori. Vektorskata ravenka na zbirot ima oblik:
∑=
=+++=n
iin AAAAR
121 ......
rrrrr (5)
Sl. 4.8 Geometrisko sobirawe na vektori - poligon na vektori
Ako dva ili pove}e vektori se kolinearni, t.e. imaat ista linija na dejstvo, toga{ zakonot za paralelogram za sobirawe na ovie vektori se sveduva na algebarsko ili skalarno sobirawe, R=A+B kako {to e poka`ano na Sl. 4.9.
-
Sl. 4.9 Sobirawe na kolinearni vektori
Mehanika Statika – Glava 4
15
4.2.2. Odzemawe na vektori
Rezultantata na razlikata pome|u dvata vektora rA i
rB go zadovoluva
uslovot (Sl. 4.10).
r r r r rR A B A B= − = + −( ) (6)
{to zna~i deka odzemaweto na vektorite e definirano kako specijalen slu~aj na sobiraweto i za nego va`at istite zakoni {to va`at i za sobiraweto na vektorite.
(v
Sl. 4.10 Odzemawe na vektori
4.3. Razlo`uvawe na vektori
So koristewe na zakonot na paralelogram vozmo`no e bilo koj vektor da se razlo`i na komponenti za koi se poznati pravcite na dejstvuvawe. Primerno, vektorot
rR na Sl.4.11(a) treba da se razlo`i na komponenti ~ij {to pravec na
dejstvuvawe se poklopuva so liniite (a) i (b).
Sl. 4.11 Razlo`uvawe na vektor na komponenti
Za taa cel, vo soodvetna razmera, od proizvolno izbrana to~ka (1) se nanesuva zadadeniot vektor
rR (Sl. 4.11b). Potoa vo napadnata to~ka na vektorot
se povlekuvaat pravcite - pravite po koi treba da se razlo`i istiot. Komponentata na vektorot
rR po pravecot (a) pretstavuva vektorot
rA koj ima
po~etok vo zaedni~kiot jazol 1, a kraj vo prese~nata to~ka na pravata (a) so paralelnata prava so pravata (b) povle~ena od krajot na vektorot
rR . Na
soodveten na~in se dobiva i komponentata na vektorot rR po pravata (b).
Mehanika Statika – Glava 4
16
4.4. Mno`ewe i delewe na vektor so skalar
Proizvodot na skalarot m i vektorot rA pretstavuva vektor
r rB m A= ⋅ koj
ima intenzitet m-pati pogolem otkolku vektorot rA, paralelen e so nego, so ista
ili sprotivna nasoka vo zavisnost od toa dali skalarot m e pozitiven ili negativen, odnosno dali 0≠m .
Sl. 4.12 Mno`ewe na vektor so skalar Sl. 4.13 Sprotiven ili negativen vektor
Na Sl. 4.12 prika`ano e grafi~ki mno`eweto na vektorot rA so skalarot
m=1, m=2, m=-1,5 i m=1/2.
Soodvetno na ova, sprotiven vektor ili negativen vektor se dobiva ako zadadeniot vektor se pomno`i so skalarot (-1) (Sl. 4.13).
Deleweto na vektor so skalar mo`e da bide definirano so koristewe na zakonite na mno`ewe, bidej}i:
rrA
m mA=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
1 ; m ≠ 0 (7)
Grafi~ki operacijata na delewe prika`ana e na Sl. 4.12(g).
Edine~en vektor - ort
Ako vektorot rA se pomno`i so skalarot m
A=
1; kade A e intenzitetot na
vektorot, se dobiva eden nov vektor koj e definiran so izrazot:
r rr
BA
AAA
= =1
(8)
Bidej}i A >0, vektorot rB ima ist pravec i nasoka kako i vektorot
rA i ima
modul koj {to e A pati pomal, t.e. modulot na novodobieniot vektor }e bide ramen na edinica.
;1==AAB
A A A A Ax y z= = + +
r2 2 2
(9)
Mehanika Statika – Glava 4
17
Edini~niot vektor na vektorot rA se bele`i so
rA0 ili naj~esto vo
literaturata so re i indeks vo koj e sodr`ana bukvata so koja e obele`an
vektorot, primerno reA
Obele`uvawe na edini~ni vektori
Vektor: AB Edine~en vektor: oAB , reAB
ra Ort:
ra0 , rea
Sekoj vektor mo`e da bide pretstaven kako proizvod od negoviot modul i edine~niot vektor so istiot pravec i nasoka:
r r r rA A A Ae AeA A= ⋅ ≡ =0 (10)
I obratno edine~niot vektor ili ort na eden vektor se dobiva ako samiot vektor se podeli so negoviot modul, odnosno so intenzitetot
rr
eAAA =
(11)
Edine~niot vektor ili ortot e bezdimenzionalna golemina.
Ravenkata (10) mo`e da se napi{e vo mnogu po generalna forma kako:
r rA A A= ± ⋅ 0 (12)
Ovaa vrska poka`uva deka trite karakteristi~ni golemini, intenzitetot, orientacijata i nasokata na vektorot mo`e da bidat izrazeni posebno.
Skalarot A (ili A ) go definira modulot ili intenzitetot na vektorot rA,
bezdimenzionalniot edine~en vektor rA0 (ili
reA ) ja definira negovata orientacija vo prostorot, dodeka znakot ± ja definira nasokata na vektorot. Znakot plus poka`uva deka vektorot
rA ja ima istata nasoka kako i edine~niot
vektor rA0 , dodeka znakot minus poka`uva deka toj ima sprotivna nasoka.
Nulti vektor
Ako vektorot rA se pomno`i so skalarot m=0 se dobiva t.n. nulti vektor
r0
r r r r0 0 0= = ⋅ =mA A (13)
Nultiot vektor po definicija ima intenzitet 0 i nedefiniran pravec. Voobi~aeno e da se misli deka nultiot vektor gi ima site vozmo`ni pravci, taka {to toj e paralelen ili normalen na bilo koj drug vektor.
Mehanika Statika – Glava 4
18
4.5. Proekcija i koordinati na vektori
Proekcijata na vektorot AB po zadadenata prava r e vektor pAB koj se
dobiva so ortogonalna proekcija na po~etnata i krajnata to~ka na vektorot na samata prava (Sl. 4.14).
Sl. 4.14 Proekcija na vektor na prava
Neka e dadena edna prava linija x koja ima opredelena nasoka. Takvata orientirana prava se vika u{te i oska i se karakterizira so edine~niot vektor ili ort
rex (Sl. 4.15).
Proekcijata na vektorot ABF = na oskata rx e dol`inata ''BAFx = koja se
dobiva so ortogonalno proektirawe na po~etnata i krajnata to~ka A i V na oskata rx . Ako so α se obele`i agolot {to go zafa}a vektorot so paralelnata prava na zadadenata oska povle~ena niz negoviot po~etok A, toga{
F F Fx = = ⋅cos cosα α (14)
t.e. proekcijata na nekoj vektor na zadadenata oska e skalar, ednakov na proizvodot na intenzitetot na vektorot i kosinusot na agolot {to istiot go zafa}a so oskata (Sl. 4.15).
=Fcosα
Sl. 4.15 Proekcija na vektor na oska Sl. 4.16 Proekcija na zbir na vektori na oska
Mehanika Statika – Glava 4
19
Proekcijata na zbirot na vektorite na edna orientirana oska e ramna na algebarskiot zbir na proekciite na site sobiroci (Sl. 4.16). Dokazot na ova najednostavno se izveduva ako e daden zbirot samo na dva vektora.
r r rC A B= +
C A B A Ba a a a= + = +( )r r
(15)
Koordinati na vektori
Sekoj vektor vo prostorot e pretstaven so pomo{ na koordinaten sistem. Vo statikata naj~esto se koristi Dekartoviot pravoagolen koordinaten sistem koj {to e obrazuvan od tri me|usebno normalni oski, koi minuvaat niz edna to~no utvrdena to~ka O, t.n. koordinaten po~etok. Trite oski se vikaat koordinatni oski i se ednozna~no definirani so tri nekomplanarni edine~ni vektori
r ri j, i
rk .
Ramninite koi minuvaat niz dve oski na Dekartoviot pravoagolen koordinaten sistem se vikaat koordinatni ramnini i so niv prostorot e podelen na osum oktanti.
Vo praksata se koristat dva pravoagolni koordinatni sistemi i toa: desen i lev, ~ii {to oski odgovaraat na prstite od desnata i levata raka, soodvetno.
Sl. 4.17 Lev i desen koordinaten sistem
Pravoagolniot koordinaten sistem se narekuva DESEN samo ako to~kite na palecot na desnata raka se poklopuvaat so pravecot na z-oskata, a prstite od desnata raka se zavrtuvaat okolu oskata i se naso~uvaat od pozitivnata h-oska kon pozitivnata u-oska. Site izveduvawa vo ponatamo{noto prezentirawe na materijata }e bidat napraveni za pravoagolen sistem so desna dispozicija.
Proizvolen vektor rF vrzan za to~ka ednozna~no e definiran vo
koordinatniot sistem ako se poznati: koordinatite x, y i z na po~etnata ili napadnata to~ka A, intenzitetot F i aglite α, β i γ {to gi zafa}a pravecot na vektorot so koordinatnite oski (Sl. 4.18a).
Mehanika Statika – Glava 4
20
Slobodniot vektor rA, bidej}i so pomestuvawe mo`e da se dovede vo
koordinatniot po~etok O, opredelen e so intenzitetot A i aglite α, β i γ {to pravecot na vektorot gi zafa}a so koordinatnite oski (Sl. 4.18b).
Sl. 4.18 Definirawe na vektor vo pravoagolen koordinaten sistem
(a) vektor vrzan za to~ka, (b) sloboden vektor, (v) intenzitet na vektorot rA
Ako vektorot rF, odnosno
rA se proektira ortogonalno na koordinatnite
oski se dobivaat negovite tri proekcii Ax, Ay i Az koi se vikaat pravoagolni koordinati na vektorot
rA . Bidej}i komponentite na vektorot se poklopuvaat so
pozitivnite pravci na edine~nite vektori r ri j, i
rk od Sl. 4.18(b) mo`e da se dobie
slednata vektorska ravenka
r r r rA = A xi A j A ky z+ + (16)
Intenzitet na vektorot
Vekorot rA mo`no e sekoga{ da se izrazi vo funkcija od negovite
pravoagolni koordinati. Primerno, kako {to e poka`ano na Sl. 4.18(v) od pravoagolniot triagolnik formiran od komponentite Ax i Ay se dobiva i
intenzitetot A A Ax y' = +2 2 . Sli~no od triagolnikot formiran od A' i Az se dobiva
A A Az= +' 2 2. So kombinacija na ovie dva izrazi definiran e intenzitetot na
vektorot A:
A A A A Ax y z= = + +r
2 2 2 (17)
Zna~i: Intenzitetot na vektorot A e ednakov na kvadratniot koren od sumata na kvadratite na negovite komponenti.
Pravec na vektorot
Pravecot na vektorot rA vo dekartoviot koordinaten sistem e definiran so
aglite α, β i γ {to nosa~ot na vektorot rA gi zafa}a so pozitivnite koordinatni
oski x, y i z, soodvetno. Nezavisno od toa kako vektorot e naso~en vo koordinatniot sistem, sekoj od ovie agli ima golemina me|u 0o i 180o (Sl. 4.18b).
Mehanika Statika – Glava 4
21
Za odreduvawe na aglite α, β i γ potrebno e da se znaat proekciite na vektorot
rA na trite oski, Sl. 4.19. Koristej}i gi karakteristi~nite relacii vo
pravoagolnite triagolnici na sekoja, od Sl. 4.19 (a), (b) i (v) se dobiva
cosα =AA
x cosβ =AA
y cos γ =AA
z (18)
cos cos( , )α =r rA i cos cos( , )β =
r rA j cos cos( , )γ =
r rA k
Ovie skalarni golemini se poznati kako kosinusi na pravecot na vektorot rA .
Sl. 4.19 Opredeluvawe na kosinusite na pravecot na vektorot rA :
(a) agol α; (b) agol β; (v) agol γ
Ako se poznati aglite α, β i γ i intenzitetot na vektorot rA toga{ od
relaciite (18) mo`no e da se definiraat proekciite Ax, Ay i Az:
Ax = Acosα Ay = Acosβ Az = Acosγ (19)
Polesen na~in za dobivawe na kosinusite na pravecot na rA e da se
formira edine~niot vektor reA na pravecot na
rA .
r rr
e A AAA = =0
rA - vektorot definiran vo dekartoviot koordinaten sistem
A - intenzitet na vektorot rA
r r r rA A i A j A kx y z= + + ; A A A Ax y z= + +2 2 2
Mehanika Statika – Glava 4
22
r r
r r r r
e A AA
A i A j A kAA
x y z= = =+ +
0 ili
r r
rr r r
e A AA
AA
iAA
j AA
kAx y z= = = + +0 (20)
So sporedba na ovaa ravenka so ravenkite (18) se gleda deka: komponentite na vektorot
reA po
r ri j, i
rk oskite gi pretstavuva kosinusite na pravecot na
vektorot rA , t.e.
r r r re A i j kA = = + +0 cos cos cosα β γ (21)
Bidej}i intenzitetot na bilo koj vektor e ednakov na kvadratniot koren od zbirot na koordinatite na intenzitetite na negovite komponenti i znaej}i deka vektorot
reA ima intenzitet 1, od rav.(21) mo`e da se formulira poznatata vrska
me|u kosinusite na pravecot.
eA = = + +1 2 2 2cos cos cosα β γ
cos cos cos2 2 2 1α β γ+ + = (22)
Ovaa ravenka se koristi za odreduvawe na eden od aglite na pravecot ako se poznati drugite dva.
Kone~no, ako se poznati intenzitetot A i aglite na pravecot na vektorot rA ,
toga{ istiot mo`e da se izrazi vo vektorski oblik kako:
( ) kAjAiAkjiAeAA A γβαγβα coscoscoscoscoscos ++=++=⋅=
kAjAiAA zyxrrr
++= (23)
Vektor na polo`ba
Vektorot na polo`ba rr e definiran kako fiksen vektor koj ja odreduva
polo`bata na nekoja to~ka vo prostorot vo odnos na druga to~ka. Na primer, vektorot na polo`ba na to~kata M so koordinati x, y i z [M(x,y,z)] vo odnos na koordinatniot po~etok O, pretstaven na Sl. 4.20(a), definiran e so slednata relacija vo vektorska forma:
r r r rr xi yj zk= + + (24)
x r r i= cos( , )r r
y r r j= cos( , )r r
z r r k= cos( , )r r
x r= cosα y r= cosβ z r= cos γ (25)
Mehanika Statika – Glava 4
23
Sl. 4.20 Definirawe na vektorot na polo`ba r na to~ka M vo odnos na koordinatniot po~etok
Vo najop{t slu~aj, vektorot na polo`ba na to~kata B(xB,yB,zB) vo odnos na to~kata A(xA,yA,zA) vo prostor, spored zakonot na triagolnik, definiran na sleden na~in (Sl. 4.21a):
r r rr r rA B+ =
r r r rr x i y j z kA A A A= + + (26)
r r r rr x i y j z kB B B B= + +
Presmetuvaj}i go rr vo funkcija na
rrA i
rrB vo vektorski oblik se dobiva:
r r r r r r r r rr r r x i y j z k x i y j z kB A B B B A A A= − = + + − + +( ) ( )
ili:
r r r rr x x i y y j z z kB A B A B A= − + − + −( ) ( ) ( ) (27)
Sl. 4.21 Vektor na polo`ba za najop{t slu~aj
Zna~i, komponentite na vektorot na polo`bata rr po trite koordinatni oski r r
i j, i rk (rx, ry, rz, soodvetno) se dobivaat kako razlika na soodvetnite koordinati
na krajot na vektorot B(xB,yB,zB), i soodvetnite koordinati na po~etokot, A(xA,yA,zA).
Na Sl. 4.20(b) i Sl. 4.21(b) prika`ano e grafi~ki, kako se dobiva vektorot na polo`ba
rr so posledovatelno dodavawe na trite komponenti pojduvaj}i od
Mehanika Statika – Glava 4
24
po~etnata to~ka (O ili A) kon M ili B, i toa najprvo vo +x - pravec, potoa vo +y -pravec i kone~no vo +z -pravecot.
4.6. Skalaren produkt
Povremeno, vo statikata potrebno e da se najde komponentata na nekoja sila dol` nekoja linija (prava), ili da se najde agolot me|u dve sili, odnosno dve linii. Pri re{avawe na dvodimenzionalen problem naj~esto se koristi trigonometrijata, bidej}i geometrijata na problemot e lesno da se pretstavi, odnosno da se zamisli. Me|utoa, za problemite vo prostor toa e mnogu te{ko da se napravi, i vo toj slu~aj za dobivawe na re{enieto se koristat vektorskite metodi.
Ima dva na~ina na mno`ewe na vektori, skalaren produkt i vektorski produkt. Skalarniot produkt definira poseben metod za mno`ewe na dva vektora i ~esto se koristi za re{avawe na gorespomenatite problemi.
Pod skalaren ili vnatre{en produkt na dva vektora rA i
rB se
podrazbira skalarot koj e ramen na proizvodot od modulite na ovie vektori i kosinusot na agolot {to go zafa}aat me|u sebe.
( ) cosr rA B A B⋅ = ⋅ θ (28)
Sl. 4.22 Skalaren produkt
Agolot me|u dvata vektori e 0°≤θ≤180°.
Interpretiraj}i go fizi~koto zna~ewe na delovite od ravenkata (28) se konstatira deka goleminata Vsoyθ e proekcija na vektorot
rB po oskata na
vektorot rA (Sl. 4.22) {to mo`e da se napi{e kako
B BA = cosθ
Sli~no, proizvodot Asoyθ pretstavuva proekcija na vektorot rA po oskata na
vektorot rB , ili
A AB = cosθ
Sledej}i go ova, skalarniot produkt mo`e da se formulira i na sledniot na~in:
Mehanika Statika – Glava 4
25
Skalarniot produkt na dva vektora e skalar koj e ednakov na proizvodot na edniot vektor i proekcijata na drugiot vektor po oskata na prviot.
( )r rA B A BA⋅ = ⋅ ili ( )
r rA B A BB⋅ = ⋅ (29)
Skalarniot produkt mo`e da ima pozitivna ili negativna vrednost ili pak mo`e da bide ednakov na nula, odnosno
− ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅A B A B A Bcos ( ) cosθ θr r
(1) ( ) cos cosr rA B A B⋅ = ⋅ > ⇔ > ⇒ <θ θ θ π0 0 2 , ostar agol
(2) ( ) cos cosr rA B A B⋅ = ⋅ < ⇔ < ⇒ >θ θ θ π0 0 2 , tap agol
(3) ( ) cos cosr rA B A B A B⋅ = ⋅ = ⇔ = = = ⇒ =θ θ θ π0 0 0 0 2ili ili
Skalarniot produkt mo`e da bide ramen na nula ako modulite na dvata vektora se ednakvi na nula, ako modulot na edniot vektor e nula ili ako kosinusot na agolot me|u vektorite e nula.
Skalarniot produkt na dva vektora {to ne se ramni na nula e nula ako zadadenite vektori me|u sebe se upravni.
Primer za skalaren proizvod na dva vektora se: rabotata, `ivata sila i dr.
Za skalarno mno`ewe na dva vektora va`at zakonite za operacijata mno`ewe:
(1) Komutativen zakon
( ) ( ) cos( ) cosr r r r r rA B B A A B AB A B⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ θ
(2) Asocijativen zakon: Skalarniot proizvod ima osobina na asocijativnost vo odnos na eden skalaren mno`itel.
m A B mA B A mB A B m( ) ( ) ( ) ( )r r r r r r r r
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅
(3) Distributiven zakon
r r r r r r rA B C A B A C⋅ + = ⋅ + ⋅( ) ( ) ( )
Skalarniot produkt na edine~nite vektori, odnosno ortovite r r ri j k, , na
pravoagolniot koordinaten sistem, zaradi uslovite na ortogonalnost i kolinearnost iznesuva:
Primerno: ( , )r ri i = (1)(1)cos0° = 1 - uslov na kolinearnost: A≠0; B≠0; θ=0
( , )r ri j = (1)(1)cos90° = 0 - uslov na ortogonalnost:A≠0; B≠0; θ=90o
Mehanika Statika – Glava 4
26
Na sli~en na~in se dobiva:
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
r r r r r r
r r r r r r
r r r r r r
i i i j i k
j i j j j k
k i k j k k
= = =
= = =
= = =
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Skalarniot produkt na dva vektora rA i
rB koi se definirani vo prostoren
koordinaten sistem go ima sledniot oblik:
r r r r r r r r
r r r r r rA A i A j A k B B i B j B k
A A i A A j A A kx y z x y z
x y z
= + + = + +
= ⋅ = ⋅ = ⋅
;
( ) ; ( ) ; ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
r r r r r r r r
r r r r r r
r r r r r r
r r r r r r
A B A i A j A k B i B j B k
A B i i A B i j A B i k
A B j i A B j j A B j k
A B k i A B k j A B k k
x y z x y z
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
⋅ = + + ⋅ + + =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ +
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ +
+ ⋅ + ⋅ + ⋅
kone~no: ( )r rA B A B A B A Bx x y y z z⋅ = + + (30)
4.7. Vektorski produkt
Vektorski ili nadvore{en proizvod na dva vektora rA i
rB e vektor
rC ~ija {to
vrednost e (Sl. 4.23 i Sl. 4.24b)
[ ]ABCrrr
⋅=+)( [ ]BACrrr
⋅=
[ ]BACrrr
⋅=−)(
Br
Ar
Br
Br
Br
Ar _
Sl. 4.23 Vektorski produkt
0 0
0
0 0
0
Mehanika Statika – Glava 4
27
[ ]r rC A B AB= ⋅ = sin θ (31)
r r r rC A B AB ec= × = ( sin )θ (32)
Vektorot rC gi ima slednite karakteristiki:
Intenzitet - definiran kako proizvod na modulite na dvata vektora rA i
rB
i sinusot na agolot me|u niv, odnosno ednakov e na povr{inata na paralelogramot konstruiran nad dadenite vektori kako strani (Sl. 4.23)
Pravecot na vektorot se poklopuva so pravecot na normalata na ramninata obrazuvana od dvata vektora.
Nasokata na vektorot rC e vo nasoka na pozitivnata normala ako
posmatranata, nabquduvanata rotacija na vektorot rA kon drugiot
rB odi vo nasoka
obratna od nasokata na dvi`ewe na strelkata na ~asovnikot (Sl. 4.23 i Sl. 4.24a), ili so praviloto na desnata raka: pravecot na vektorot
rC se poka`uva so
palecot od desnata raka ako zgr~uvaweto na prstite odi od vektorot rA kon
vektorot rB , vo nasoka obratna od nasokata na ~asovata strelka.
rB
rB
rA
rA
[ ]r r r r rC A B A B= ⋅ = ×
rC
reC
C AB= sin θ
Sl. 4.24 Grafi~ka prezentacija na vektorskiot produkt na dva vektora
Modulot na vektorskiot produkt (C=ABsinθ) ima najgolema vrednost ako vektorite se me|usebno upravni.
Ako [ ]r r r rA B A B AB AB⊥ = ° ⇒ ⋅ = °=toga{ θ 90 90sin
Vektorskiot produkt na dva vektora }e bide ramen na nula ako dvata modula se nula, ako edniot modul e nula ili ako agolot me|u dvata vektora e nula.
Ako [ ]<r r r r
( , )A B A B= = ° ⇒ ⋅ =θ 0 0 zaradi toa {to sinθ=0, A=B≠0
Uslov za kolinearnost ili paralelnost na dva vektora e nivniot vektorski produkt da e ednakov na nula.
Specijalno, sekoj vektor rA e kolinearen sam na sebe, odnosno so
rA, i za
nego va`i:
[ ]r rA A⋅ = 0
Mehanika Statika – Glava 4
28
Za vektorsko mno`ewe na dva vektora mo`e da se konstatira deka:
(1) Komutativniot zakon ne va`i, t.e.
[ ] [ ]r r r rA B B A⋅ ≠ ⋅
odnosno,
[ ] [ ]r r r r rA B B A C⋅ = − ⋅ = −
(2) Distributivniot zakon pri vektorskoto mno`ewe va`i
[ ] [ ] [ ]r r r r r r rA B D A B A D⋅ + ≠ ⋅ + ⋅( )
(3) Asocijativniot zakon vo odnos na skalaren mno`itel va`i
[ ] [ ] [ ]m A B mA B A mBr r r r r r
⋅ = ⋅ = ⋅
Vektorskiot produkt na par od ortovite na koordinatniot sistem se opredeluva koristej}i ja ravenkata (32). Na primer, vektorskiot produkt [ ]r r
i j⋅ ima
magnituda:
[ ]r r r ri j i j⋅ = ⋅ ⋅ °= ⋅ ⋅ =sin 90 1 1 1 1 (33)
dodeka pravecot e definiran so praviloto na desnata raka. Kako {to e poka`ano na Sl. 4.25a, rezultantniot vektor e naso~en vo +
rk pravecot, taka da
[ ]r r ri j k⋅ = ( )1 .
ri
rj
rk
ri
rj r
k
Sl. 4.25 Vektorski produkt na ortovite na koordinatniot sistem; (a) so definirawe na pravecot so praviloto na desnata raka
Na sli~en na~in se dobiva:
[ ]r r ri j k⋅ = [ ]r r r
i k j⋅ = − [ ]r ri i⋅ = 0 [ ] ( ) ( )⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ °= ⋅ ⋅ =
r r r ri i i i sin0 1 1 0 0
[ ]r r rj k i⋅ = [ ]r r r
j i k⋅ = − [ ]r rj j⋅ = 0
[ ]r r rk i j⋅ = [ ]r r r
k j i⋅ = − [ ]r rk k⋅ = 0
Mehanika Statika – Glava 4
29
Kako pomo{ pri definiraweto na pravecot i nasokata na vektorskiot produkt mo`e da poslu`i {emata na Sl. 4.24b. Ako krugot se konstruira so posledovatelno ni`ewe na trite edine~ni vektori na na~in kako {to e poka`ano, toga{ vektorskiot produkt na dva edine~ni vektori koi se naredeni obratno od nasokata na strelkata na ~asovnikot e tretiot pozitiven edine~en vektor, t.e. [ ]r r r
k i j⋅ = . Vektorskoto mno`ewe vo nasoka na ~asovata strelka go dava
posledovatelniot negativen edine~en vektor, t.e. [ ]r r ri k j⋅ = − .
Vektorski produkt na dva vektora definirani so svoite komponenti vo Dekartoviot pravoagolen koordinaten sistem e vektorot
rC prezentiran na
sleden na~in:
[ ] ( ) ( )[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
r r r r r r r r r
r r r r r r
r r r r r r
r r r r r r
C A B A i A j A k B i B j B k
A B i i A B i j A B i k
A B j i A B j j A B j k
A B k i A B k j A B k k
x y z x y z
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
= ⋅ = + + ⋅ + + =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ +
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ +
+ ⋅ + ⋅ + ⋅
Mno`ej}i gi dvata trinoma, pri {to se vodi smetka za vrednosta na produktite na edine~nite vektori, se dobiva slednata relacija:
[ ] ( ) ( ) ( )r r r r r rC A B A B A B i A B A B j A B A B ky z z y z x x z x y y x= ⋅ = − + − + − (34)
Izrazite vo zagradite gi pretstavuvaat komponentite, odnosno koordinatite na vektorot
rC po trite koordinatni oski.
Relacijata (34) mo`e da bide pretstavena vo mnogu pokompaktna forma so pomo{ na determinanta od tret red:
[ ]zyx
zyx
BBB
AAAkji
BA
rrr
rr=⋅ (35)
Zna~i: Za presmetuvawe na vektorskiot proizvod na dva vektora rA i
rB vo
najop{t oblik, potrebno e da se razvie determinantata vo koja prviot red se sostoi od edine~nite vektori, t.e. od ortovite
r r ri j k, , , dodeka pak vtoriot i
tretiot red gi pretstavuvaat koordinatite po trite koordinatni oski, x, y i z na vektorite
rA i
rB , soodvetno.
Subdeterminantite na ovaa determinanta gi davaat vrednostite na koordinatite na vektorot
rC (*).
(*) Determinanta od tret red mo`e da bide razviena so upotreba na trite minori, taka da sekoj od minorite se mno`i so soodvetniot ~len od prviot red, po slednata {ema:
za elementot ( )r
r r r
ri
i j kA A AB B B
i A B A Bx y z
x y z
y z z y: = −
0
0
0
Mehanika Statika – Glava 4
30
za elementot
( )r
r r r
rji j kA A AB B B
i A B A Bx y z
x y z
x z z x: = −
za elementot ( )r
r r r
rk
i j kA A AB B B
k A B A Bx y z
x y z
x y y x: = −
So superpozicija na rezultatite od ova mno`ewe, pri {to mora da se vklu~i i znakot minus pred elementot
rj , se dobiva razvieniot oblik na
vektorskiot produkt [ ]r rA B⋅ , koj be{e prezentiran so relacijata (34).
![[12] Nizovi i Vektori (19)](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/55cf9de5550346d033afbb32/12-nizovi-i-vektori-19.jpg)
