www.matematiranje.com VEKTORI U RAVNI Najjednostavnije reeno, vektori su usmerene dui. Osnovne karakteristike vektora su : - pravac - smer - intenzitet - poetak i kraj vektora Pravac vektora je prava na kojoj se on nalazi ali i sve prave paralelne sa njom, to vektoru dozvoljava da skae sa jedne na drugu paralelnu pravu. Smer vektora se zadaje strelicom. Intenzitet vektora je njegova duina i najee se obeleava sa a

A je poetak a B je kraj vektora . Obeleava se AB = a Kako se vektor zadaje?

a = a1 i + a 2 j ili jednostavnije a =(a1,a2)

a

2 intenzitet je a = a12 + a 2

i i

j su jedinini vektori (ortovi) koji slue za izraavanje drugih vektora.

i =(1,0) i intenzitet ovog vektora je i =1

www.matematiranje.comj =(0,1) i takodje je j =1

Kako izraziti vektor ako su date koordinate njegovog poetka i kraja?

a =(x2-x1, y2-y1)

i njegov intenzitet je onda

a = ( x 2 x1 ) 2 + ( y 2 y1 ) 2

Sabiranje i oduzimanje vektora Za sabiranje i oduzimanje vektora imamo dva pravila: 1) Pravilo paralelograma Dva data vektora dovedemo na zajedniki poetak paralelnim pomeranjem.Nad njima kao stranicama oformimo paralelogram. Dijagonala paralelograma je njihov zbir (ona dijagonala koja polazi iz sastava ta dva vektora).

2) Pravilo poligona (nadovezivanja) Na kraj prvog vektora paralelnim pomeranjem dovedemo poetak drugog, na kraj drugog dovedemo poetak treeg vektora...... Rezultanta (njihov zbir) je vektor koji spaja poetak prvog i kraj zadnjeg vektora.

www.matematiranje.com Evo to na slici:

Na predlog je da uvek upotrebljavate pravilo nadovezivanja. Svaki vektor ima svoj suprotan vektor, koji ima isti pravac i intenzitet ali suprotan smer sa poetnim vektorom.

a

-aa+a =0ia + ( a ) = 0

Nula vektor 0 je onaj iji se poetak i kraj poklapaju. Kako oduzeti dva vektora? Recimo da su dati vektori a i b ,.Postupak je slian kao kod sabiranja vektora(pravilo nadovezivanja) samo to umesto vektora + b na kraj prvog nanosimo - b .

www.matematiranje.comb

a a - b

Primer: 1) Date su dui AC i BD. Take E i F su sredine ove dve dui. Dokazati da je : AB + CD = 2 EF Naravno da je ovde najbitnije nacrtati sliku i sa nje uraditi zadatak! C D

E

F

A

B

Sad spojimo take koje formiraju vektore. C D E F A B Ideja je da se vektor EF izrazi na obe strane pa se te jednakosti saberu!EF = EA + AB + BF EF = EC + CD + DF

+

2 EF = AB + CD jer su vektori EA i EC suprotni , pa se skrate a takoe su suprotni i vektori BF DF pa se i oni skrate.

www.matematiranje.com Raunski sabiranje i oduzimanje vektora ide vrlo lako: Ako jea = a1 i + a 2 j to jest a =(a1,a2)

i

b = b1 i + b2 j , to jest b =(b1,b2)

a + b =(a1,a2) + (b1,b2)= (a1+b1,a2+b2) a - b =(a1,a2) - (b1,b2)= (a1-b1,a2-b2)Dakle, radimo tako to saberemo (oduzmemo) koordinatu sa koordinatom.

Mnoenje vektora skalarom (brojem) Proizvod skalara k i vektora a je vektor k a (ili a k) koji ima isti pravac kao vektor a , intenzitet k a = k a i smer: - isti kao vektor a ako je k>0 - suprotan od vektora a ako je k