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Tema 1: Campo gravitatorio

1. Masa: Definicin. Conservacin. Cuantificacin.

2. Teoras geocntricas y heliocntricas

3. Las leyes de Kepler

4. Interaccin entre masas: fuerza gravitatoria La ley de la gravitacin universal de Newton. Valor de G. Experimento de Cavendish. Verificacin de las leyes de Kepler por la ley de Newton. Trabajo de la fuerza gravitatoria La fuerza gravitatoria es conservativa: energa potencial gravitatoria.

3. Campo gravitatorio: Concepto. Definicin. Representacin del campo gravitatorio. Lneas de fuerza. Campo gravitatorio producido por una masa puntual. Campo gravitatorio producido por varias masas puntuales.

4. Teorema de Gauss: Flujo del campo gravitatorio a travs de una superficie. Enunciado del teorema de Gauss. Aplicaciones: campo gravitatorio producido por cuerpos con simetra

5. Potencial gravitatorio: Concepto. Definicin. Representacin: superficies equipotenciales Relaciones entre el campo y el potencial gravitatorios. Potencial gravitatorio producido por diversos cuerpos.

6. Campo gravitatorio terrestre: Campo gravitatorio terrestre. Gravedad. Peso y masa. Variacin de "g" con la latitud. Variacin de "g" con la altura y con la profundidad.

7. Satlites y planetas rbitas circulares: velocidad lineal, energa cintica, energa potencial y energa mecnica. rbita geosincrnica. rbita geoestacionaria

Energa necesaria para ir de una rbita a otra. Velocidad de lanzamiento. Energa de lanzamiento

Velocidad de escape.

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CAMPO GRAVITATORIO: CUESTIONES Y PROBLEMAS

1. a) Con qu frecuencia angular debe girar un satlite de comunicaciones, situado en una rbita ecuatorial, para que se encuentre siempre sobre el mismo punto de la Tierra? b) A qu altura sobre la superficie terrestre se encontrar el satlite citado en el apartado anterior? Datos: g0 = 9,8 ms-2 Radio (Tierra) = 6,37106 m (Madrid septiembre 2000)

2. En el movimiento circular de un satlite en torno a la Tierra, determine: a) La expresin de la energa cintica en funcin de las masas del satlite y de la Tierra y del radio de la rbita. b) La relacin que existe entre su energa mecnica y su energa potencial. (Madrid Junio 2001)

3. Plutn describe una rbita elptica alrededor del Sol. Indique para cada una de las siguientes magnitudes si su valor es mayor, menor o igual en el afelio (punto ms alejado del Sol) comparado con el perihelio (punto ms prximo al Sol): a) momento angular respecto a la posicin del Sol; b) momento lineal; c) energa potencial; d) energa mecnica. (Madrid 2 junio 2004)

4. a) Deduzca la expresin de la energa cintica de un satlite en rbita circular alrededor de un planeta en funcin del radio de la rbita y de las masas del satlite y del planeta. b) Demuestre que la energa mecnica del satlite es la mitad de su energa potencial. (Madrid junio 2005)

5. Dos masas iguales, M = 20 kg, ocupan posiciones fijas separadas una distancia de 2 m, segn indica la figura. Una tercera masa, m' = 0,2 kg, se suelta desde el reposo en un punto A equidistante de las dos masas anteriores y a una distancia de 1 m de la lnea que las une (AB = l m). Si no actan ms que las acciones gravitatorias entre estas masas, determine: a) La fuerza ejercida (mdulo, direccin y sentido) sobre la masa m' en la posicin A. b) Las aceleraciones de la masa m' en las posiciones A y B. G = 6,6710-11 N m2 kg-2 Madrid sept 2005

6. Llamando g0 y V0 a la intensidad de campo gravitatorio y el potencial gravitatorio en la superficie terrestre respectivamente, determine en funcin del radio de la Tierra: a) La altura sobre la superficie terrestre a la cual la intensidad de campo gravitatorio es g0/2. b) La altura sobre la superficie terrestre a la cual el potencial gravitatorio es V0/2. Madrid junio 2006

7. Sabiendo que la aceleracin de la gravedad en un movimiento de cada libre en la superficie de la Luna es un sexto de la aceleracin de la gravedad en la superficie de la Tierra y que el radio de la Luna es aproximadamente 0,27 RT (siendo RT el radio terrestre), calcule: a) la relacin entre las densidades medias Luna / Tierra ; b) la relacin entre las velocidades de escape de un objeto desde sus respectivas superficies (ve) Luna / (ve) Tierra. Madrid junio 2007

8. a) Cul es la aceleracin de la gravedad en la superficie de un planeta esfrico cuyo radio es la mitad del de la Tierra y posee la misma densidad media? b) Cul sera el perodo de la rbita circular de un satlite situado a una altura de 400 km respecto a la superficie del planeta? Datos: RTierra = 6371 km. g0 = 9,8 m s-2 Madrid septiembre 2007

9. Calcule el mdulo del momento angular de un objeto de 1000 kg respecto al centro de la Tierra en los siguientes casos: a) Se lanza desde el polo norte perpendicularmente a la superficie de la Tierra con una velocidad de 10 km/s. b) Realiza un rbita circular alrededor de la Tierra en el plano ecuatorial a una distancia de 600 km de su superficie. Datos: G = 6,671011 N m2 kg-2; MTierra = 5,9810

24 kg; RTierra = 6,37106 m Madrid septiembre 2008

10. Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) El valor de la velocidad de escape de un objeto lanzado desde la superficie de la Tierra depende del valor de la masa del objeto. b) En el movimiento elptico de un planeta en torno al Sol la velocidad del planeta en el perihelio (posicin ms prxima al Sol) es mayor que la velocidad en el afelio (posicin ms alejada del Sol).Madrid septie 2009

11. a) Enuncie la segunda ley de Kepler. Explique en qu posiciones de la rbita elptica la velocidad del planeta es mxima y dnde es mnima. b) Enuncie la tercera ley de Kepler. Deduzca la expresin de la constante de esta ley en el caso de rbitas circulares. Madrid Cuestin G_Junio_2010

12. Se pone en rbita un satlite artificial de 600 kg a una altura de 1200 km sobre la superficie de la Tierra. Si el lanzamiento se ha realizado desde el nivel del mar, calcule: a) cunto ha aumentado la energa potencial gravitatoria del satlite; b) qu energa adicional hay que suministrar al satlite para que escape a la accin del campo gravitatorio terrestre desde esa rbita Datos: G = 6,6710-11 N m2 kg-2; MTierra = 5,981024 kg; RTierra = 6370 km. (Madrid junio 2000)

A

B M M

m

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13. Dos satlites artificiales de la Tierra S1 y S2 describen en un sistema de referencia geocntrico dos rbitas circulares contenidas en un mismo plano, de radios r1 = 8000 km y r2 =9034 km respectivamente. En un instante inicial dado, los satlites estn alineados con el centro de la Tierra y situados del mismo lado: a) Qu relacin existe entre las velocidades orbitales de ambos satlites? b) Qu relacin existe entre los perodos orbitales de los satlites? c) Qu posicin ocupar el satlite S2 cuando el satlite S1 haya completado seis vueltas, desde el instante inicial? (Madrid junio 2001)

14. La velocidad angular con la que un satlite describe una rbita circular en torno al planeta Venus es 1= 1,4510-4 rad/s y su momento angular respecto al centro de la rbita es L = 2,21012 kg m2 s- 1. a) Calcule el radio de la rbita del satlite y su masa. b) Qu energa sera preciso invertir para cambiar a otra rbita circular con velocidad angular 2 (10-4 rad/s)? Datos: G = 6,6710-11 N m2 kg-2; Masa de Venus MV = 4,871024 kg (Madrid junio 2002)

15. Se pretende colocar un satlite artificial de forma que gire en una rbita circular en el plano del ecuador terrestre y en el sentido de rotacin de la Tierra. Si se quiere que el satlite pase peridicamente sobre un punto del ecuador cada dos das, calcule: a) La altura sobre la superficie terrestre a la que hay que colocar el satlite. b) La relacin entre la energa que hay que comunicar a dicho satlite desde el momento de su lanzamiento en la superficie terrestre para colocarlo en esa rbita y la energa mnima de escape. Datos: MTierra = 5,981024 kg;: RTierra = 6,37106 m; G = 6,6710-11 N m2 kg-2 (Madrid sept 2002)

16. Mercurio describe una rbita elptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de 6,991010 m, y su velocidad orbital es de 3,88104 m/s, siendo su distancia en el perihelio de 4,601010 m. Calcule: a) La velocidad orbital de Mercurio en el perihelio; b) Las energas cintica, potencial y mecnica de Mercurio en el perihelio; c) El mdulo de su momento lineal y de su momento angular en el perihelio. d) De las magnitudes calculadas en los apartados anteriores, decir cuales son iguales en el afelio. Datos: MMercurio = 3,181023 kg; MSol = 1,991030 kg; G = 6,6710-11 N m2 kg-2 (Madrid junio 2002)

17. Un satlite artificial de 100 kg de masa se encuentra girando alrededor de la Tierra en una rbita circular de 7100 km de radio. Determine: a) El periodo de revolucin del satlite; b) El momento lineal y el momento angular del satlite respecto del centro de la Tierra; c) La variacin de energa potencial que ha experimentado el satlite al elevarlo desde la superficie de la Tierra hasta esa posicin; d) Las energas cintica y total del satlite. Datos: MTierra = 5,981024 kg; RTierra = 6,37106 m; G = 6,6710-11 N m2 kg-2 (Madrid sept_ 2003)

18. Un planeta esfrico tiene 3200 km de radio y la aceleracin de la gravedad en su superficie es 6,2 ms-2. Calcula: a) La densidad media del planeta y la velocidad de escape desde su superficie. b) La energa que hay que comunicar a un objeto de 50 kg de masa para lanzarlo desde la superficie del planeta y ponerlo en rbita circular alrededor del mismo, de forma que su periodo sea de 2 horas. Datos: Constante de gravitacin universal: G = 6,6710-11 N m2 kg-2 (Madrid septiembre 2004)

19. Un satlite artificial de la Tierra de 100 kg de masa describe una rbita circular a una altura de 655 km. Calcule: a) El periodo de la rbita; b) La energa mecnica del satlite; c) El mdulo del momento angular del satlite respecto al centro de la Tierra; d) El cociente entre los valores de la intensidad de campo gravitatorio terrestre en el satlite y en la superficie de la Tierra. Datos: MTierra = 5,981024 kg;: RTierra = 6,37106 m; G = 6,6710-11 N m2 kg-2 (Madrid junio 2005)

20. Desde la superficie terrestre se lanza un satlite de 400 kg de masa hasta situarlo en un rbita circular a una distancia del centro de la Tierra igual a las 7/6 partes del radio terrestre. Calcule: a) La intensidad de campo gravitatorio terrestre en los puntos de la rbita del satlite. b) La velocidad y el periodo que tendr el satlite en la rbita. c) La energa mecnica del satlite en la rbita. d) La variacin de energa potencial que ha experimentado el satlite al elevarlo desde la superficie de la Tierra hasta situarlo en rbita. Datos: MT = 5,981024 kg; RTierra = 6,37106 m; G = 6,6710-11 N m2 kg-2 (Madrid sept 2005)

21. Io, un satlite de Jpiter, tiene una masa de 8,91022 kg, un periodo orbital de 1,77 das y un radio medio orbital de 4,22108 m. Considerando que la rbita es circular con este radio, determine: a) La masa de Jpiter; b) La intensidad del campo gravitatorio, debida a Jpiter, en los puntos de la rbita de Io; c) La energa cintica de Io en su rbita; d) El mdulo del momento angular de Io respecto al centro de su rbita. Dato: G = 6,6710-11 N m2 kg2 (Madrid_Junio_2010)

22. a) Deduzca la expresin de la energa cintica de un satlite en rbita circular alrededor de un planeta en funcin del radio de la rbita y de las masas del satlite y del planeta.

b) Demuestre que la energa mecnica del satlite es la mitad de su energa potencial. Madrid Junio_2010

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23. Un satlite artificial describe una rbita circular alrededor de la Tierra. En esta rbita la energa mecnica del satlite es 4,5109 J y su velocidad es 7610 m s1. Calcule:

a) El mdulo del momento lineal del satlite y el mdulo del momento angular del satlite respecto al centro de la Tierra.

b) El periodo de la rbita y la altura a la que se encuentra el satlite. Datos: MTierra = 5,981024 kg;: RTierra = 6,37106 m; G = 6,6710-11 N m2 kg-2 Madrid junio 2006

24. a) A partir de su significado fsico, deduzca la expresin de la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie terrestre en funcin de la masa y el radio del planeta.

b) Sabiendo que la intensidad del campo gravitatorio en la Luna es 1/6 la de la Tierra, obtenga la relacin entre las velocidades de escape de ambos astros.

Datos: RT = 4RL ; RT = Radio de la Tierra, RL = Radio de la Luna (Madrid Cuestin C_Junio_2010) 25. Un satlite de 1000 kg de masa describe una rbita circular de 12103 km de radio alrededor de la

Tierra. Calcule: a) El mdulo del momento lineal el mdulo del momento angular del satlite respecto al centro de la

Tierra. Cambian la direccin de estos vectores al cambiar la posicin del satlite en su rbita? b) El periodo y la energa mecnica del satlite en la rbita.

Datos: MTierra = 5,981024 kg; G = 6,6710-11 N m2 kg2 (Madrid Problema E_Junio_2010) 26. Un planeta tiene dos satlites A y B, que describen rbitas circulares de radios 8400 km y 23500 km,

respectivamente. El satlite A, en su desplazamiento en torno al planeta, barre un rea de 8210 km2 en un segundo. Sabiendo que la fuerza que ejerce el planeta sobre el satlite A es 37 veces mayor que sobre el satlite B, determine: a) El periodo del satlite A. b) La masa del planeta. c) La relacin entre las energas mecnicas de ambos satlites. d) El momento angular del satlite A, si tiene una masa de 1,081016 kg. Dato: G = 6,6710-11 N m2 kg2 Madrid Problema_ C_Junio_2010

27. Un satlite que gira con la misma velocidad angular que la Tierra (geoestacionario) de masa m = 5103 kg, describe una rbita circular de radio r=3,6107 m. Determine: a) La velocidad areolar del satlite. b) Suponiendo que el satlite describe su rbita en el plano ecuatorial de la Tierra, determine el mdulo, la direccin y el sentido del momento angular respecto de los polos de la Tierra. Dato: Periodo de rotacin terrestre = 24 h Madrid Cuestin junio 2011.

28. Sabiendo que el periodo de revolucin lunar es de 27,32 das y que el radio de la rbita es RL = 3,84108 m, calcule: a) La constante de gravitacin universal, G (obtener su valor a partir de los datos del problema). b) La fuerza que la Luna ejerce sobre la Tierra y la de la Tierra sobre la Luna. c) El trabajo necesario para llevar un objeto de 5000 kg desde la Tierra hasta la Luna. (Despreciar los radios de la Tierra y de la Luna, en comparacin con su distancia). d) Si un satlite se sita entre la Tierra y la Luna a una distancia de la Tierra de RL/4, Cul es la relacin de fuerzas debidas a la Tierra y a la Luna?

Datos: MTierra = 5,981024 kg; MLuna = 7,351022 kg; RTierra = 6,37106 m; RLuna =1,74106 m. Madrid junio 2011

29. Un satlite de masa m gira alrededor de la Tierra describiendo una rbita circular a una altura de 2104 km sobre su superficie. a) Calcule la velocidad orbital del satlite alrededor de la Tierra. b) Suponga que la velocidad del satlite se anula repentina e instantneamente y ste empieza a caer sobre la Tierra. Calcule la velocidad con la que llegara el satlite a la superficie de la misma. Considere despreciable el rozamiento del aire. Datos:, G = 6,67 10-11 N m2 kg-2; MTierra = 5,98 1024 kg, RTierra = 6,37106 m Madrid Junio 2012

30. Una nave espacial de 3000 kg de masa describe, en ausencia de rozamiento, una rbita circular en torno a la Tierra a una distancia de 2,5104 km de su superficie. Calcule: a) El perodo de revolucin de la nave espacial alrededor de la Tierra. b) Las energas cintica y potencial de la nave en dicha rbita. Datos: G = 6,6710-11 N m2 kg-2; MTierra = 5,981024 kg, RTierra = 6,37106 Madrid Junio 2012

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AUTOEVALUACIN 1. (Madrid junio 1999) El cometa Haley se mueve en una rbita elptica alrededor del Sol. En el perihelio (posicin

ms prxima) el cometa est a 8,75107 km del Sol y en el afelio (posicin ms alejada) est a 5,26109 km del Sol. a) En cul de los dos puntos tiene el cometa mayor velocidad?; b) Y mayor aceleracin?; c) En qu punto tiene mayor energa potencial?; d) Y mayor energa mecnica? Sol.: a) perihelio; b) perihelio; c) afelio; d) igual.

2. (Madrid junio 2002) Un planeta esfrico tiene un radio de 3000 km, y la aceleracin de la gravedad en su superficie es 6 m/s2. a) Cul es su densidad media? b) Cul es la velocidad de escape para un objeto situado en la superficie de este planeta? Dato: G = 6,6710-11 N m2 kg-2. Sol.: a) 7.160 kg/m3; b) 6.000 m/s

3. (Madrid junio 2003) Suponiendo un planeta esfrico que tiene un radio la mitad del radio terrestre e igual densidad que la Tierra, calcule: a) La aceleracin de la gravedad en la superficie de dicho planeta; b) La velocidad de escape de un objeto desde la superficie del planeta, si la velocidad de escape desde la superficie terrestre es 11,2 km/s. Datos: g0 = 9,81 m s-2. Sol.: a) (1/2)9,81=4,9 m/s2; b) (1/2)11,2 = 6,1 km/s.

4. (Madrid septiembre 2004) La luz solar tarda 8,31 minutos en llegar a la Tierra y 6,01 minutos en llegar a Venus. Suponiendo que las rbitas descritas por ambos planetas son circulares, determine: a) el periodo orbital de Venus en torno al Sol sabiendo que el de la Tierra es de 365, 25 das; b) la velocidad con que se desplaza Venus en su rbita. Dato: velocidad de la luz en el vaco c = 3108 m/s. Sol.: a) 224,65 das; b) 35.019 m/s.

5. (Madrid septiembre 2006) a) Desde la superficie de la Tierra se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad v. Si se desprecia el rozamiento, calcule el valor de v necesario para que el objeto alcance una altura igual al radio de la Tierra. b) Si se lanza el objeto desde la superficie de la Tierra con una velocidad doble a la calculada en el apartado anterior, escapar o no del campo gravitatorio terrestre? Datos: G = 6,671011 N m2 kg-2; MTierra = 5,9810

24 kg; RTierra = 6,37106 m. Sol.: a) 7.913 m/s; b) si que escapara pues Et = 62.615.569m >0

6. (Madrid junio 2009) Un satlite artificial de 500 kg que describe una rbita circular alrededor de la Tierra se mueve con una velocidad de 6,5 km/s. Calcule: a) La energa mecnica del satlite. b) La altura sobre la superficie de la Tierra a la que se encuentra. G = 6,671011 Nm2kg-2; MT=5,981024 kg; RT = 6,37106 m. Sol: a) 1,061010J; b) 3,07106 m.

7. (Madrid junio 2008) Una sonda de masa 5000 kg se encuentra en una rbita circular a una altura sobre la superficie terrestre de 1,5 RT . Determine: a) el momento angular de la sonda en esa rbita respecto al centro de la Tierra; b) la energa que hay que comunicar a la sonda para que escape del campo gravitatorio terrestre desde esa rbita. Datos: G =6,671011 N m2 kg-2; MT = 5,981024 kg; RT = 6,37106 m. Sol.: a) 3,981014 kg m2/s; b) 6,31010 J

8. (Madrid Problema 1996) Un satlite artificial gira en torno a la Tierra, en una rbita circular, a una altura de 300 km sobre su superficie: a) con qu velocidad se desplaza?; b) qu aceleracin posee?; c) qu tiempo tarda en dar una vuelta?; d) Si el satlite tiene una masa de 200 kg, qu energa potencial posee en la rbita? Datos: G = 6,670-11 N m2 kg-2; MTierra = 5,981024 kg; RTierra = 6370 km. Sol.: a) 7733 m/s; b) 8,96 m/s2; c) 5419 s; d) 1,21010 J

9. (Madrid Problema 1997) Una sonda espacial se encuentra estacionada en una rbita circular terrestre a una altura sobre la superficie terrestre de 2,26 RT, donde RT es el radio de la Tierra. a) Calcular la velocidad de la sonda en la rbita de estacionamiento. b) Comprobar que la velocidad que la sonda necesita, a esa altura, para escapar de la atraccin de la Tierra es aproximadamente 6,2 km/s. Datos: g = 9,8 m s-2; Radio terrestre: RT = 6370 km. Sol.: a) 4375 m/s; b) 6188 m/s

10. (Madrid junio 1998) La nave espacial Lunar Prospector permanece en rbita circular alrededor de la Luna a una altura de 100 km sobre su superficie. Determine: a) la velocidad lineal de la nave y el periodo del movimiento. b) la velocidad de escape a la atraccin lunar desde esa rbita. Datos: G = 6,6710 -11 N.m2kg-2; MLuna = 7,361022 kg; RLuna = 1740 km. Sol.: a) 1633 m/s, 7078 s; b) 2309 m/s

11. (Madrid septiembre1999) La nave espacial Discovery, lanzada en octubre de 1998, describa en torno a la Tierra una rbita circular con una velocidad de 7,62 km/s. a) a qu altitud se encontraba? b) cul era su perodo? Cuntos amaneceres contemplaban cada 24 horas los astronautas que viajaban en el interior de la nave?. Datos: G = 6,6710-11 N m2 kg-2; MT =5,981024 kg; RT = 6370 km. Sol.: a) 499,4 km; b) 5664 s = 1,5 h; 15 amaneceres

12. (Madrid septiembre 2000) Un satlite artificial de 200 kg gira en una rbita circular a una altura h sobre la superficie de la Tierra. Sabiendo que a esa altura el valor de la aceleracin de la gravedad es la mitad del valor que tiene en la superficie terrestre, averiguar: a) la velocidad del satlite; b) su energa mecnica. Datos: g0 = 9,8 ms-2, Radio medio de la Tierra = 6,37106 m. Sol.: a) h =2.638,5 km; v= 6644 m/s; b) -4,410-9 J

13. (Madrid junio 1999) Se coloca un satlite meteorolgico de 103 kg en rbita circular, a 300 km sobre la superficie terrestre. Calcule: a) La velocidad lineal, la aceleracin radial y el perodo en la rbita; b) El trabajo que se requiere para poner en rbita el satlite. g = 9,8 m s-2; RT =6370 km. Sol.: a) 7721 m/s; 8,9 m/s2;5428 s; b) 3,261010J

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FSICA I.E.S. Juan Gris Grupo: Calificacin Alumno/a:

H1: CAMPO GRAVITATORIO Fecha de entrega:

Ejercicios para entregar

1. Fobos es un satlite de Marte que gira en una rbita circular de 9380 km de radio, respecto al centro del planeta, con un periodo de revolucin de 7,65 horas. Otro satlite de Marte, Deimos, gira en una rbita de 23460 km de radio. Determine: a) La masa de Marte. b) El perodo de revolucin del satlite Deimos. c) La energa mecnica del satlite Deimos. d) El mdulo del momento angular de Deimos respecto al centro de Marte. Datos: G = 6,6710-11 N m2 kg-2 MFobos = 1,11016 kg; Masa de Deimos = 2,41015 kg Madrid junio 2007

2. Un satlite de masa 20 kg se coloca en rbita circular sobre el ecuador terrestre de modo que su radio se ajusta para que d una vuelta a la Tierra cada 24 horas. As se consigue que siempre se encuentre sobre el mismo punto respecto a la Tierra (satlite geoestacionario). a) Cul debe ser el radio de su rbita? b) Cunta energa es necesaria para situarlo en dicha rbita? Datos: MTierra = 5,981024 kg;: RTierra = 6,37106 m; G = 6,6710-11 N m2 kg-2 Madrid septiembre 2007

3. Un satlite artificial de 100 kg se mueve en una rbita circular alrededor de la Tierra con una velocidad de 7,5 km/s. Calcule: a) El radio de la rbita. b) La energa potencial del satlite. c) La energa mecnica del satlite. d) La energa que habra que suministrar al satlite para que describa una rbita circular con radio doble

que el de la rbita anterior. Datos: MTierra = 5,981024 kg;: RTierra = 6,37106 m; G = 6,6710-11 N m2 kg-2 Madrid septiembre 2008

4. Suponiendo que los planetas Venus y la Tierra describen rbitas circulares alrededor del Sol, calcule: a) El periodo de revolucin de Venus. b) Las velocidades orbitales de Venus y de la Tierra. Datos: Distancia de la Tierra al Sol: 1,491011 m; Distancia de Venus al Sol: 1,081011 m; Periodo de revolucin de la Tierra: 365 das Madrid junio 2009

5. Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una rbita circular de radio R1 = 1108 km con un periodo de rotacin T1 = 2 aos, mientras que

el planeta 2 describe una rbita elptica cuya distancia ms prxima es R1 = 1108 km y las ms alejada es R2 =1,8108 km tal como muestra la figura. a) Obtener el periodo de rotacin del planeta 2 y la masa de

la estrella b) Calcular el cociente entre la velocidad lineal del planeta 2

en los puntos P y A. Castilla Len junio 2002

R1

1

P A R2

2