4.1.1. Kymmenkantainen logaritmi4.1.1. Kymmenkantainen logaritmi

Olkoon a > 0, tällöin on olemassa yksikäsitteinen x siten, että

a = 10x

luku x on luvun a kymmenkantainen logaritmi

Merkintä:

x = lga tai x = log10a

Siis

Eksponenttiyhtälön 10x = a ratkaisua sanotaan luvun a logaritmiksi

eli luvun a logaritmi on se eksponentti, johon luku 10 pitää korottaa, jotta potenssin arvoksi tulisi logaritmoitava a

E.1.

a) lg1000

= 3,

koska 103 = 1000

b) lg6

0,78

koska 100,78 6

c) Minkä luvun logaritmi on 2102 = 100

Huom logaritmoitavan on oltava positiivinen

Jokainen positiivinen luku a voidaan esittää luvun 10 potenssina

a = 10a = 10lgalga

lg10lg10bb = b = b

E.2. Montako numero luvussa

21000 =

(10lg2)1000 =

10lg21000 = 10301

302

4.1.2. Logaritmifunktio eksponenttifunktion käänteisfunktiona4.1.2. Logaritmifunktio eksponenttifunktion käänteisfunktiona

k-kantainen logaritmifunktiologka tarkoittaa sitä eksponenttia, mihin kantaluku k pitää korottaa, jotta saataisiin logaritmoitava a.

Eli olkoon k > 0, k1Positiivisen luvun a k-kantainen logaritmi logk a = b a = kb

E.3.Laske a ) log3 9 = 2, koska 32 = 9I: 3x = 9 II: log332 = 2

3x = 32 x = 2

b) log2 8 = 3, koska 23 = 8

I: 2x = 8 log223 = 3

2x = 23

x = 3

(E.4. t. 180b)(E.4. t. 180b)

102x = 0,35

2x = lg0,35

235,0lg

x

x -0,228

4.1.3. Luonnollinen logaritmi4.1.3. Luonnollinen logaritmi

LUONNOLLINEN LOGARITMI

Luonnollisen logaritmijärjestelmän kantaluku eli Neperin järjestelmän kantaluku on e.

Luonnollinen logaritmi logea = lna (a > 0):

se eksponentti, johon kantaluku e on korotettava, jotta tulokseksi saadaan logaritmoitava a.

Luonnollinen logaritmifunktio y = lnx ja eksponenttifunktio y=ex ovat toistensa käänteisfunktioita:

lna = b a = eb

elna = a ( a > 0) lnea = a (a R)

E.5. a) eln5 = b) lne2 = a) 5b) 2

E.6. Laskimella ln5 1,61

E.7. Mikä on funktion f(x) = ln (5 - x) määrittelyjoukko?5 – x > 0 x < 5

E.8. (t. 181a)

lnx = 1

x = e1

x = e

4.1.4. Logaritmifunktion ominaisuuksia4.1.4. Logaritmifunktion ominaisuuksia

Luonnollisen logaritmifunktion f(x) = lnx ominaisuuksia

1) Mf = ]0,[ Af = R 2) Funktio f on jatkuva3) Funktio f on aidosti kasvava

4) Käyrällä y = lnx on asymptoottina negatiivinen y-akseli

ks. kirja s. 68 – logaritmifunktion ominaisuuksia