Upload
diefer
View
118
Download
12
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Functii si logaritmiTema la matematica pentru clasa 10 umanista
Citation preview
MATEMATICA
Muzica ratiunii
1 2
345
6
7 8 9
FUNCTII
Funcția este o relație care asociază fiecărui element dintr-
o mulțime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil
din aceeași) mulțime (codomeniul). Noțiunea de funcție
este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și
în toate științele exacte. Deci, prin functie se intelege tripletul
ordonat (A,B,f), unde A,B sint multimi nevide, iar f este o corespondenta
(lege), care asociaza fiecarui element x apartine lui A un singur element y
apartine lui B. In alti termeni functia este o aplicatie de la A la B.
O funcție f:A→B se numește „injectivă” sau
„injecție” dacă asociază fiecărui element din
domeniu un element diferit din codomeniu.
O funcție f:A→B se numește „surjectivă” sau
„surjecție” dacă asociază fiecărui element din
codomeniu un element din domeniu.
O funcție f:A→B se numește „bijectivă” sau
„bijecție” dacă este și injectivă și surjectivă.
PROPRIETATI
Singura funcție care este și pară și impară este funcția constantă egală cu
zero.
Suma și diferența a două funcții de aceeași paritate mențin acea paritate.
Orice multiplu al unei funcții are aceeași paritate ca funcția originală.
Produsul a două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
Produsul unei funcții pare cu o funcție impară este o funcție impară.
Raportul dintre două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
Raportul dintre o funcție pară cu o funcție impară este o funcție impară.
Functie paraf(x)=x2
Functie imparaf(x)=x³
MONOTONIA
Dată fiind o mulțime ordonată A, o funcție monotonă cu domeniul A este o funcție
care păstrează sau inversează ordinea elementelor din mulțimea A.
O funcție f : A → B se numește funcție crescătoare pe o submulțime M a lui A dacă
pentru oricare două elemente x1,x2∈M cu proprietatea că x1≤x2 are loc f(x1)≤f(x2).
O funcție f : A → B se numește funcție descrescătoare pe o submulțime M a lui A
dacă pentru oricare două elemente x1,x2∈M cu proprietatea că x1≤x2 are loc
f(x1)≥f(x2).
O funcție se numește funcție crescătoare dacă este crescătoare pe tot domeniul. O
funcție se numește funcție descrescătoare dacă este descrescătoare pe tot domeniul.
O funcție se numește funcție monotonă dacă este crescătoare sau descrescătoare.
De exemplu, funcția modul a numerelor reale,
definită prin relația
este o funcție descrescătoare pe intervalul (-∞,0), dar crescătoare pe intervalul (0,+∞). Într-adevăr, dacă x1,x2<0 sunt două numere negative astfel încât x1≤x2, atunci
deci funcția este descrescătoare mulțimea numerelor reale negative.
În mod analog, pentru două numere reale pozitive
x1,x2>0 cu x1≤x2, atunci
deci funcția este crescătoare mulțimea numerelor reale
pozitive. Fiind descrescătoare pe o parte a domeniului și
crescătoare pe cealaltă, funcția modul nu este monotonă.
GRAFICUL UNEI FUNCTII CRESCATOARE
GRAFICUL UNEI FUNCȚI I DESCRESCĂTOARE
GRAFICUL FUNCȚIEI MODUL
FUNCȚIE CONTINUĂ
În analiza matematică, o funcție se numește continuă într-un punct dacă o
variație mică a argumentului în jurul punctului dat produce o variație mică a
valorii funcției și, mai mult, putem limita oricât de mult variația valorii funcției
prin limitarea variației argumentului. O funcție care este continuă în fiecare
punct al domeniului de definiție se numește simplu funcție continuă.
Păstrând limbajul intuitiv, o funcție este continuă dacă graficul acesteia nu are
întreruperi sau "rupturi". Dacă o modificare mică a argumentului poate
produce un salt (o ruptură) în graficul funcției, sau dacă graficul funcției
oscilează,se zice că funcția este discontinuă, sau că are una sau mai multe
discontinuități.
DEFINIŢIE.
Fie a > 0, a ≠ 1. Funcţia ƒ : R → (0,∞), ƒ(x) = aª, se numeşte
funcţia exponenţială de bază a.
OBSERVAŢII:
1. Baza a este diferită de 1 pentru că în caz contrar ƒ(x) = 1x= 1
este consideratăconstantă şi nu este considerată ca o funcţie
exponenţială.
2. A nu se confunda funcţia exponenţiala ƒ(x) = ax, a>0, a ≠ 1 cu
functia g(x) = xa, ∀x∈ R.
Pentru prima funcţie a este baza puterii axcare este constanta, in
timp ce pentru a douafuncţie a este exponentul puterii axa care este
constant.
GRAFICUL FUNCŢIEI EXPONENŢIALE
Graficul funcţiei exopnenţiale se trasează în două
cazuri:
1.Baza a ∈ (0, 1) (spunem că Baza este subunitară). În
acest cazgraficul funcţiei este situat deasupra axei Ox şi
intersectează axa Oy în (0, 1). Graficul funcţiei
exponenţiale cu bază subunitară este din ce înce mai
apropiat de axele coordonate, cu cât baza este mai mică.
2) Baza a > 1 (spunem că baza este supraunitară ).
În acest cazgraficul funcţiei este situat deasupra axei
Ox şi intersectează axa Oy în(0, 1).
Graficul funcţiei exponenţiale cu bază subunitară
este din ce înce mai apropiat de axele coordonate, cu
cât baza este mai mare.
PARABOLA
O parabolă este o curbă plană, din familia conicelor, ce
poate fi definită, în mod echivalent, ca:
locul geometric al punctelor dintr-un plan situate la egală
distanță de un punct fix, numit focar, și de o dreaptă fixă;
mulțimea punctelor din plan ale căror coordonate
sunt soluțiile unei ecuații de forma
satisfăcând proprietățile:
cel puțin unul dintre coeficienții a și c este nenul
ecuația admite cel puțin două soluții distincte;
intersecția dintre un con și un plan, dacă una singură
dintre generatoarele conului este paralelă cu planul, iar
celelalte îl intersectează.
Orice parabolă are o axă de simetrie, numită axa
parabolei. Intersecția axei de simetrie cu parabola se
numește vârful parabolei.
LOGARITMII
Logaritmul unui număr real pozitiv este exponentul puterii la care trebuie
ridicat un alt număr fix (numit bază) pentru a se obține numărul dat.
Logaritmii au fost introduși de John Napier la începutul secolului al XVII-lea cu
scopul de a simplifica modul de lucru în calculele matematice. Au fost repede
adoptați de către navigatori, oameni de știință, ingineri și alți specialiști
interesați în a face calcule matematice mai ușor cu ajutorul tabelelor de
logaritmi și a riglelor de calcul. Astfel, operațiile lungi și obositoare de
înmulțire a numerelor cu multe zecimale puteau fi înlocuite cu căutarea în
tabelele de logaritmi și o simplă adunare (datorită proprietății fundamentale a
logaritmilor: logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor factorilor
acelui produs)
DEFINITIE
Fie numărul real x > 0 . Logaritmul lui x în baza
,
, notat ,este numărul , astfel încât .
Proprietatea fundamentală a logaritmilor este:
, ,unde , , .
Exemple: ; , , .
PROPRIETĂȚI DE BAZĂ
Pentru , , :
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Logaritmii în baza b = 10 sunt numiți logaritmi
zecimali. Logaritmii naturali sunt logaritmii în
baza e (≈ 2,718).Logaritmii binari sunt logaritmii în
baza b = 2. Logaritmii au numeroase aplicații în
științele exacte și în tehnică (inginerie). Logarimii
binari sunt folosiți în informatică.
GRAFICUL FUNCŢIEI LOGARITMICE CU BAZA 2 .
Trecerea unui logaritm dintr-o bază la alta se face
cu ajutorul formulei:
În mod uzual, logaritmii zecimali (în baza 10) se
notează cu lg, iar logaritmii naturali (în baza e) se
notează cu ln. În particular, pentru trecerea de la
logaritmii zecimali la logaritmii naturali și invers, se
utilizează formulele: , respectiv
unde constanta
Formulele din tehnică provin din fizică, unde
practic întotdeauna logaritmii provin din inversa
funcției exponențiale, deci sunt naturali. Conversia
utilă este lg → ln, folosindu-se raportul
. O trunchiere la 2,3 conduce la
o eroare de 1‰, uzual acceptabilă în tehnică.
Datorită calculatoarelor, actual formulele conținând
logaritmi zecimali au devenit neuzuale.
MOTIVAȚIA DEFINIRI I LOGARITMULUI CA O INTEGRALĂ
Logaritmul este un exemplu de concept matematic care poate fi definit
prin diferite metode.Când se dorește definirea unui concept, se începe de
la proprietățile dorite care să fie înglobate în ea. În urma inspecției
proprietăților se propune o formulă sau un proces care poate servi drept
definiție, în urma căreia toate proprietățile pot fi deduse.Una din
proprietățile care sunt de dorit la definirea logaritmului este ca suma
logaritmilor a două argumente să fie egală cu logaritmul produsului
acestor argumente. Dacă logaritmul este considerat ca o funcție, atunci
se poate scrie: , unde x și y aparțin unui domeniu.
Astfel de formulare se numeșteecuație funcțională.