4.1.3.- Cantidad del movimiento lineal y angular para un sistema de partículas

La suma de las fuerzas externas sobre un sistema de partículas es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal total. Sea un sistema de N partículas donde m, es la masa de la i-ésima partícula y r, su vector de posición respecto al punto fijo O (Fig. 7.2). Sea fij la fuerza ejercida por la j-ésima partícula sobre la i-ésima partícula, y sea f iE la fuerza externa sobre la i-ésima partícula (es decir, la fuerza total ejercida por cuerpos

ajenos al sistema). La segunda ley de Newton establece que la fuerza total sobre la i-ésima partícula es igual al producto de su masa por la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal.

(7.1)

Donde vI = drI/dt es la velocidad de la i-ésima partícula. Escribiendo esta ecuación para cada partícula del sistema y sumando de i=1a N, obtenemos:

(7.2)

Fig 7.2 Sistema de partículas. El vector r, es el vector de posición de la i-ésima partícula.

El primer término del lado izquierdo de esta ecuación es la suma de las fuerzas internas sobre el sistema de partículas. Como consecuencia de la tercera ley de Newton (fji + fij = O), este término es igual a cero:

El segundo término del lado izquierdo de la Ec. (7.2) es la suma de las fuerzas externas sobre el sistema. Denotándolo con ƩF, concluimos que la suma de las fuerzas externas sobre el sistema es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal total:

Sea m la suma de las masas de las partículas:

La posición del centro de masa del sistema es:

Por lo que la velocidad del centro de masa es:

Usando esta expresión podemos escribir la Ec. (7~3) como:

La fuerza externa total sobre un sistema de partículas es igual a la razón de cambio del producto de su masa total por la velocidad de su centro de masa. Como cualquier cuerpo o colección de cuerpos, incluyendo un cuerpo rígido, se puede considerar como un sistema de partículas, este resultado es uno de los más generales y elegantes de la mecánica. Además, si la masa total m es constante, obtenemos:

donde a = dv/ dt es la aceleración del centro de masa. La fuerza externa total es igual al producto de la masa total por la aceleración del centro de masa

Principios del momento y momento angular

Ahora obtenemos relaciones entre la suma de los momentos debidos a las fuerzas externas sobre un sistema de partículas y la razón de cambio de su momento angular total. La posición de la i-ésima partícula del sistema respecto a O está relacionada con su posición respecto al centro de masa (Fig. 7.3) por:

Fig (7.3). El vector R, es el vector de posición de la i-ésima partícula respecto

al centro de masa.

Al multiplicar esta ecuación por mi' sumando de 1 a N, y usar la Ec. (7.4) encontramos que las posiciones delas partículas respecto alcentro de masa están relacionadas por

El momento angular total del sistema respecto a O es la suma de los momentos angulares de las partículas

donde vi = drJ/dt. El momento angular del sistema respecto a su centro de masa (es decir, el momento angular respecto al punto fijo que coincide con el centro de masa en el instante presente) es:

Usando las Ecs. (7.5) Y(7.6) se puede demostrar que:

Esto expresa el momento angular total respecto a O como la suma de los momentos angulares respecto a O debido a la velocidad v del centro de masa del sistema y el momento angular total respecto al centro de masa (Fig. 7.4).

Fig.(7.4). El momento angular respecto a O es igual a la suma del momento angular respecto al centro de masa

y el momento angular respecto a O debido a la velocidad del centro de masa

Para obtener relaciones entre el momento total ejercido sobre el sistema y su momento angular total, partimos de la segunda ley de Newton. Formamos el producto vectorial de la Ec. (7.1) con el vector de posición r, y sumamos de i = 1 a N:

El término del lado derecho de esta ecuación es la razón de cambio del momento angular total del sistema respecto a O:

(El segundo término entre corchetes desaparece porque elproducto vectorial de dos vectores paralelos es igual a cero.) El primer término del lado izquierdo de la Ec. (7.10) es la suma de los momentos respecto a O de las fuerzas internas, y desaparece silas fuerzas internas entre cada par de partículas no sólo son iguales y opuestas sino que también están dirigidas a lo largo de la recta entre las dos partículas. (Esta hipótesis es válida excepto en sistemas que implican fuerzas electromagnéticas entre partículas cargadas.) Por ejemplo, sean las partículas 1 y 2 de la Fig. 7.5. Si las fuerzas internas están dirigidas a lo largo de la recta entre las partículas, podemos escribir el momento respecto a O debido a f21 como r1 x f21, y el momento total respecto a O debido a las fuerzas que las dos partículas ejercen entre sí es:

Fig. (7.5). Partículas 1 y 2 y las fuerzas que ejercen entre sí. Si las fuerzas actúan a lo largo de la línea entre las partículas, su momento total respecto a O es cero

El segundo término del lado izquierdo de la Ec. (7.10) es la suma de los momentos respecto a O debido a las fuerzas y pares externos, que denotamos con ƩMo' Por tanto, la Ec. (7.10) establece que la suma de los momentos respecto a O de las fuerzas y pares externos es igual a la razón de cambio del momento angular del sistema respecto a O:

Usando la Ec. (7.9), también podemos escribir este resultado en función del momento angular total respecto al centro de masa,

donde a es la aceleración del centro de masa. También necesitamos determinar la relación entre la suma de los momentos respecto al centro de masa del sistema, que denotamos con ƩM, y el momento angular respecto a su centro de masa. Podemos obtener este resultado de la Ec. (7.12) haciendo que el punto fijo O coincida con el centro de masa en el instante presente. En ese caso ƩMo = ƩM y r=O, Y vemos que la suma de los momentos respecto al centro de masa es igual a la razón de cambio del momento angular respecto al centro de masa: