Teorija naprezanjaTeorija naprezanjaTeorijanaprezanjaTeorijanaprezanja

S d j d jSadrajpredavanja

Naponskostanjeutaki,tenzornapona Razlaganjetenzoranapona Grafikainterpretacijanaponskogstanja (Mohrovkrugnapona) Ravninskonaponskostanje Ravninskodeformacionostanje

lVrstesila

Podjelasilakodoptereenogtijela:

Vanjskesile:KoncentrisaneKoncentrisane

PovrinskeZ i k i l k j t i tij l j jZapreminske proporcionalnesuusvakojtacitijelanjenojmasi(inercijalne,silamagnetnogpolja,)

Unutranjesile

Normalna i tengencijalna komponenta naponaNormalnaitengencijalnakomponentanapona

Normalna i tengencijalna komponenta naponaNormalnaitengencijalnakomponentanapona

Vektor ukupnog N l i naponaNormalni

napon

Tangencijalni napon

R l j k kRazlaganjevektoraukupnognapona

Normalni napon

Vektor ukupnog napona

p

Tangencijalni napon

R l j kt kRazlaganjevektoraukupnognapona

i j k

n xn yn znp p i p j p k

C h i k t i l iCauchyevikonturniuslovi

1 x yx zxp i j k

2

y

xy y zyp i j k

3 zx zy zp i j k

kTenzornaponaza3D naponskostanje

Komponente tenzora napona u pravouglom koordinatnom

sistemu:

x xy xz

T

yx y yz

zx zy z

T

zx zy z

Uk 6 tihUkupno 6 nepoznatih komponenti napona

Rastavljanjetenzoranapona

R t lj j tRastavljanjetenzoranapona

vrstoa materijala ne zavisi samo od veliine komponenata vrstoamaterijalanezavisisamoodveliinekomponenatatenzoranapona,negoiodkaraktera(vida)naponskogstanja

Izdvojiti one komponente deformacije koje djeluju na Izdvojitionekomponentedeformacijekojedjelujunapromjenuzapremine

Razdvojitikomponentetenzoranaprezanjaa d oj t o po e te te o a ap e a ja Sferni tenzorDevijator naprezanjaSferni tenzor

naprezanjanaprezanja

R t lj j tRastavljanjetenzoranapona

sT T D

x m xy xz

D

0 00 0m

T

yx y m yz

zx zy z m

D

0 00 0

s m

m

T

Sferni tenzor naprezanja Devijator naprezanja

D ij t tDevijator tenzoranapona

'x xy xzx m xy xz

'

'

y

yx y m yz yx y yzD

'zx zy z m zx zy z

R t lj j tRastavljanjetenzoranapona

'0 0 x xy xz

'0 0

0 0

ym

s m yx y yzT T D

'0 0 m zx zy z

Sferni tenzor naprezanja Devijator naprezanja

R t lj j tRastavljanjetenzoranapona

Sferini tenzornapona osobine:

Svestranoistezanjeilisvestranipritisak Ne izaziva promjenu oblika Neizazivapromjenuoblika Kodelastinedeformacijeizazivapromjenuzapremine

Devijator tenzoranapona: Izazivapromjenuoblika

T l ih jTenzorglavnihnaprezanja

Tangencijalne komponente naprezanja su jednake nuli

1 0 00 0T

2

3

0 00 0

gT

Grafikainterpretacijanapona

Gl i ij l i iGlavnitangencijalninaponi

Komponentni naponi naelementarnom volumenu

Glavni normalninaponi1, 3 glavne ose

Glavni tangencijalni naponiSa, Sb glavne ose

g

Mohrov krug napona (2D)Mohrovkrugnapona(2D)

Elementarni volumen

istosmicanje Mohrovkrug

Elementarni volumen

Gl i ij l i iGlavnitangencijalni naponi

Glavni tengencijalni naponi:

Normalni naponi u ravnima glavnih tangencijalnih napona:

1 2 1 2

12 1 2

12

2 3

2

12

2 3

2

2 3

23 2

2 3

23 2

1 3

13 2

1 3

13 2

Gl i l i iGlavninormalninaponi

Glavni normalni naponi izraeni preko komponentnih napona:

2 21 4x z

1

2 2

42 2

1 4

x z xz

x z

2 211 4

2 2x z

x z xz

K i iKomponentninaponi

Komponentni naponi izraeni preko glavnih napona:

1 3 1 3 cos22 2x

1 3 1 3 cos22 2z

1 3

2 2

sin 2xz

2xz

Nekikarakteristini sluajevinaponskogstanja

k kNekanaponskastanja

3D Osnosimetrino Ravnomjerno i t jistezanje

( ) l kOpti(3D)sluaj naponskastanja

Mohrov krug napona

kOsnosimetrinonaponskostanje

M h kMohrov krug napona

D di i l k jDvodimenzionalnanaponskastanja

a) Ravninsko naponsko stanjeb) Ravninsko deformaciono stanjeb) Ravninsko deformaciono stanjec) Osnosimetrino stanje naprezanja

Ravninsko naponsko stanjeRavninskonaponskostanje

0ijy

0xy yx zy yz

y

0

0y

0y

Ravninsko naponsko stanje

Ra ninsko naponsko stanjeRavninskonaponskostanje

0

Komponente tenzora napona: Komponente tenzora deformacije:

00 0 0x xz

T

102x xz

0zx z

20 0yT

x xzT

1 02 zx z

zx z

Ukupno 3 nepoznate komponentenapona

R i k k t jRavninskonaponskostanje

Raznoimeno naponsko stanje Istoimeno naponsko stanjeRaznoimeno naponsko stanje Istoimeno naponsko stanje

R i k d f i jRavninskodeformacionostanje

0ij

y

0xy yx zy yz

x z

20

y

y

y

Ra ninsko deformaciono stanjeRavninskodeformacionostanje

Komponentetenzoranapona: Komponentetenzoradeformacije:

0x xz

102x xz

0 02

x yT

0 0 0

1T

0zx z

1 02 zx z

Ukupno 3 nepoznate komponente napona

Ra ninsko deformaciono stanjeRavninskodeformacionostanje

Mohrov krug napona