Upload
sindji
View
269
Download
5
Embed Size (px)
DESCRIPTION
fgjhftghj
Citation preview
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 1
NEKI POSEBNI SLUAJEVI KRETANJA MATERIJALNE TAKE
SLOENO (RELATIVNO) KRETANJE MATERIJALNE TAKE
Prenosno kretanje je obrtanje oko ose
Prenosno kretanje je ravno
Prenosno kretanje je translatorno
Uslovi relativne ravnotee
Zakon o promeni kinetike energije take pri relativnom kretanju
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 2
x
y
s
rv
O
MNB
N
T
B m
FCin
NN
Fpin
F
B
A
FRa
z
O1
SLOENO (RELATIVNO) KRETANJE TAKE
Diferencijalna jednaina kretanja take u odnosu na nepokretni koordinatni sistem:
wa
i FFamrrr +=
),,( zyxa &&&&&&ra
na FF
rr,...,1
aRFr
- apsolutno ubrzanje take,
- aktivne sile,
- rezultanta aktivnih sila.
Kretanje take u odnosu na pokretni sistem referencije koji se kree na proizvoljan nain naziva se relativno kretanje take.
BNw NNFFrrrr ++=
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 3
Crp aaaarrrr ++=
rpC varrr = 2
wa
iCrp FFaaamrrrrr +=++ )(
Cpwa
ir amamFFamrrrrr +=
- relativno ubrzanje,
- prenosno ubrzanje (ubrzanje take M na telu nosau)
- Koriolisovo ubrzanje.C
p
r
a
aa
rrr
- prenosna ugaona brzina (to je ugaona brzina obrtanja tela nosaa, odnosno koordinatnog sistema , , u odnosu na x, y, z.
- relativna brzina taker
p
vrr
x
y
s
rv
O
MNB
N
T
B m
FCin
NN
Fpin
F
B
A
FRa
z
O1
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 4
Diferencijalna jednaina kretanja materijalne take glasi:
pin
p amFrr =
rpCin
C vmamFrrrr == 2
inC
inpw
air FFFFam
rrrrr +++=
Ako se uporede jednaine i moe se zakljuiti:Sve jednaine i zakoni mehanike za relativno kretanje take dobijaju se na isti nain kao i jednaine za apsolutno kretanje, ako aktivnim silama koje deluju na taku (kao rezultat uzajamnog dejstva izmeu take i drugih materijalnih tela) pridodamo jo i prenosnu silu i Koriolisovu silu inerciije.
wa
i FFamrrr += inCinpwair FFFFam
rrrrr +++=
inpFr
inCFr - prenosna inercijalna sila
- Koriolisova inercijalna sila
Ako su:
x
y
s
rv
O
MNB
N
T
B m
FCin
NN
Fpin
F
B
A
FRa
z
O1
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 5
Obino je u zadacima poznat oblik relativne putanje (AB na slici), i zakon kretanja take du putanje s = s(t).
inCB
inpBB
aiB
inCN
inpNN
aiN
k
inpT
aiT
FFNFB
FFNFRsmN
FFFsmT
+++=+++=
+=
0:
:
:2&
&&
Projektovanjem jednaine na pravce tangente, normale i binormale relativne putanje, dobijaju se jednaine::
inC
inpw
air FFFFam
rrrrr +++=
Rk poluprenik krivine relativne putanje
x
y
s
rv
O
MNB
N
T
B m
FCin
NN
Fpin
F
B
A
FRa
z
O1
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 6
Prva od jednaina predstavlja diferencijalnu jednainu relativnog kretanja.
22BN NNNF +==
NB NNFFF 2121 +=+=
inCB
inpBB
aiB
inCN
inpNN
aiN
k
inpT
aiT
FFNFB
FFNFRsmN
FFFsmT
+++=+++=
+=
0:
:
:2&
&&
Iz drugih dveju jednaina odrediti sile NN, NB i silu trenja prema ve datim izrazima:
Fr
Posle odreivanja zakona relativnog kretanja s = s(t), mogu se odrediti sile NN, NBu svakom poloaju take.
Ako je trenje izmeu take i nosaa zanemarljivo, tj. F = 0, onda je prva od jednaina nezavisna od ostalih i njeno integraljenje daje zakon relativnog kretanja s = s(t).
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 7
Relativno kretanje take kada je prenosno kretanje obrtanje oko ose
inC
inpw
air FFFFam
rrrrr +++=&Rvr =&&RarT =
2&RarN =
2sin
sin
ppN
ppT
Ra
Ra
== &
rpC varrr = 2
)(sin2 rprpC vvarr
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 8
Intenziteti inercijalnih sila su:
inC
inpN
inpTBNr FFFNNGam
rrrrrrr +++++=
inC
inpNB
inpNNrN
inpNrT
FFN
FNGmr
FGma
++=+==
0
sincos
cos)2
cos(
cos2
sin
sin2
&
&
pin
C
pin
pN
pin
pT
mRF
mRF
mRF
===
Projektovanjem vektorske diferencijalne jednaine
na ose pokretnog prirodnog koordinatnog sistema, dobijaju se jednaine:
srv
M
NB
N
T
B
m
FCin
NN
FpTin
R
A
FpNin
G
p
p.O
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 9
Konano je:
cos2sin0
sincos
cossinsin222
2
&&&&&
RmmRN
mRNmgmR
mRmgmR
ppB
pN
p
++=+=
=
cossin)(sin 20++= tRg
dtd
p&&
inC
inpNB
inpNNrN
inpNrT
FFN
FNGmr
FGma
++=+==
0
sincos
cos)2
cos(
cos2
sin
sin2
&
&
pin
C
pin
pN
pin
pT
mRF
mRF
mRF
===
Iz prve jednaine, integraljenjem dobija se zavisnost s = s(t).
Ako je prenosno obrtanje jednako ubrzano, tako da je , gde je 0poetna vrednost p, prva jednaina je oblika:
0 += tpp &
Poto su ovde tri promenljive: , , t - ne moe se izvriti integraljenje.&
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 10
Meutim, ako je , ( ), onda je jednaina oblika:
dRgd p
+= cossinsin 2&&
cos2sin0
sincos
cossinsin222
2
&&&&&
RmmRN
mRNmgmR
mRmgmR
ppB
pN
p
++=+=
=
constp = 0=p&
ime se promenljive i razdvojene.&
Integraljenjem )(t =
Sile NN, NB kojima telo deluje na taku odreuju se iz druge i tree jednaine
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 11
Relativno kretanje take kada je prenosno kretanje ravno
2
2
12
1 RvmRmRmamaF op
oMp
inp ====
&122 RRvmvmF orp
inC ==
inC
inpr FFNGam
rrrrr +++=
Taka mase m se kree po krunom glatkom lebu u disku koji se kotrlja bez klizanja po horizontalnoj ravni.
Brzina sredita diska je .constv =0r
Intenzitet prenosne inercijalne sile je:
Intenzitet Koriolisove inercijalne sile je:
Diferencijalna jednaina relativnog kretanja je:
T
Fpin
P
N
G
1RR
O
p
mMFC
in
v0 vr
M0
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 12
dRgd sin
1
=&&
11
2 cos21 C
Rg += &
10,0 R
vro== &( )
= cos1212
121
20
Rg
Rvr&
sin1 GmR =&&
sin1R
g=&&&&1RarT =
Projektovanjem jednaine na pravac tangente dobija se:inCin
pr FFNGamrrrrr +++=
pri emu je:
Prenosno kretanje u ovom sluaju nema uticaja na relativno kretanje, jer se u diferencijalnoj jednaini relativnog kretanja ne pojavljuje prenosna inercijalna sila.
Integraljenjem se dobija:
vr0 relativna brzina take u poloaju M0.
T
Fpin
P
N
G
1RR
O
p
mMFC
in
v0 vr
M0
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 13
inC
inp FFNGmR ++= cos21 &
&& 10220
12
1 2cos RRvm
RvmRmgmRN +++=
( ) ( )
+++
= cos12122coscos1
212
121
20
10
12
20
121
20
1 Rg
RvR
RvR
Rvg
Rg
RvRmN rr
01
=+ Rg&&
)sin()cos( 21 tCtC +=
1Rg=
1
0201 , R
vCC ro=== &
Projektovanjem jednaine na pravac normale dobija se sila meusobnog dejstva izmeu take i diska, kao funkcija ugla :
inC
inpr FFNGam
rrrrr +++=
Ako je ugao mali tako da je jednaina postaje diferencijalna jednaina malih oscilacija:
sin sin1R
g=&&
ije je reenje:
moe se odrediti N = N(t).
T
Fpin
P
N
G
1R
R
O
p
mMFC
in
v0 vr
M0
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 14
Relativno kretanje take kada je prenosno kretanje translatorno
20Rap =
inC
inpr FFFNGam
rrrrrr ++++=
Ako je prenosno kretanje translatorno, onda je p = 0 , a ubrzanja svih taaka tela su ista u datom trenutku vremena.
Krivaje OA i CB zglobnog etvorougla OABC obru se konstantnim ugaonim brzinama 0 = const.Poluga AB vri krivolinijsku translaciju, ubrzanje svake take poluge je isto i iznosi:
Neka se du poluge AB moe kretati prsten mase m i neka je koeficijent trenja izmeu prstena i poluge = const.Treba nai zakon relativnog kretanja x = x(t) i silu izmeu prstena i poluge.
Diferencijalna jednaina rela-tivnog kretanja je:
FpinN
G
0R R
A B
y
xarM
CO
Fap ap
ap
0
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 15
sin0
cosin
p
inp
FNG
FFxm
++=+=&&
Projektovanjem jednaine na ose x i y dobija se:inCin
pr FFFNGamrrrrrr ++++=
0,0 == inCp Fr
Iz jednaine (2) dobija se:
)2()1(
sin20mRmgN =
Ako se pretpostavi da je , onda je N > 0 za svako .20Rg >Sila trenja je NF =
t0 =
FpinN
G
0R R
A B
y
xarM
CO
Fap ap
ap
0
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 16
cossin 2020 mRmRmgxm ++=&&[ ])cos()sin( 0020 ttRgx ++=&&
0,0,0,0 vxxt ==== &
[ ] 1000 )sin()cos( CttRgtx +++= & 001 RvC +=[ ] 00000 )sin()cos( vRttRgtx ++++= &
Tada se jednaina moe napisati u obliku: cosinpFFxm +=&&
Poetni uslovi:
Integracijom se dobija:
[ ] 200002 )()cos()sin(21 CtvRttRgtx ++++= RC =2[ ])cos()sin(1)(
21
00002 ttRtvRgtx +++=
Ukoliko je translacija pravolinijska i konstantnom brzinom, onda je za svaki poloaj take na relativnoj putanji, a kako je zbog, , sledi da je diferencijalna jednaina relativnog kretanja upravo Njutnov II zakon, tj. tada je pokretan koordinatni sistem inercijalni.
0=inCFr
0=p0=par
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 17
Uslovi relativne ravnotee uslovi koji moraju biti zadovoljeni da bi taka bila u poloaju relativne ravnotee.
0=++ inpwaiT FFFrrr
0=++ inpTTaiT FFF
0=rvr0=rar
020 === rpinCr vmFa rrrr
Na osnovu jednaine dobija se uslov:inCin
pwa
ir FFFFamrrrrr +++=
Poto do relativnog kretanja moe doi jedino u pravcu tangente na relativnu putanju, uslov relativne ravnotee se moe izraziti skalarnom jednainom:
Potrebni i dovoljni uslovi za relativnu ravnoteu:1. da je jednaina (*) zadovoljena2. da je u trenutku kada je jednaina (*) zadovoljena, taka bila u relativnom
mirovanju, tj. vr = 0.
(*)
u toku konanog vremenskog intervala.
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 18
Zakon o promeni kinetike energije take pri relativnom kretanju
( ) dsFdsFdsFsdsm inpTaiT += &&inpw FF
ai dddsmd ++=
2
21 &
inpw FF
aikr ddddE ++=
inpT
aiT FFFsmT += &&:
sds
sddtsds &&&&& ==Uvoenjem smene u navedenu jednainu, sledi:
( )dsFFFsdsm inpTaiT += &&
Prirataj relativne kinetike energije jednak je zbiru elementarnih radova: aktivnih sila, reakcija veze i prenosne inercijalne sile, na elementarnom relativnom pomeranju.