5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI: KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN ELEŞTİRİSİ

11 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]

5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI: KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN

ELEŞTİRİSİ

Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi

Elektronik ve Haberleşme Bölümü


5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI: KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN ELEŞTİRİSİ

Bu bölümde, geri bildirim bir sistemde oluşan istenmeyen etkileri azaltma veya ortadan kaldırmada ne kadar etkili olduğu, gerekli argümanlar kullanılarak ispatlanmaya ve Matlab’ta yapılan benzetim sonuçlarıyla da bunların doğruluğu gösterilmeye çalışılacaktır. İstediğimiz çıkış değeriyle gerçek çıkış arasındaki hata, sistemin içinde çoğunlukla ısınmalar, aşınmalar gibi istenmeyen durumlar yüzünden meydana parametre değişimlerine karşı duyarlılık yani bunlardan etkilenme, yine dışarıdan istemimiz dışında gelen bozucu etkiler, bu etkilerden bir kaçıdır.


5.1. Geri Bildirimin Hatayı Azaltma Etkisi ( E(s): sistem hatası )

Hata, yani istenilen çıkış değeri ile gerçek çıkış değeri arasındaki fark;E(s)=Yistenen –Ygerçek = Yi(s)-G(s)R(s) olacaktır.

G(s)

Şekil 5.1 Açık Çevrim Bir Sistem

Y(s)=R(s) G(s)

R(s)


Bu hatayı azaltmak mümkün mü? Geri bildirimli bir sistemde, R(s) istenen çıkış değeri (Yistenen ) , Y(s) ise gerçek çıkış değeridir (Yg(s) ).

Hata ; E(s)=R(s)-Y(s) olur.

G(s)

Y(s)=T(s)*R(s)

R(s)

H(s)

+ E(s) -

T(s)

Şekil 5.2 Geri bildirimli Sistem


H(s)=1 ise olduğu için

Kapalı çevrimde hata G(s)’ten 1+G(s) kat daha az etkilenecektir. Özellikle G(s)>>1 olduğu durumlarda paydadaki 1’i ihmal edebiliriz.

Geri bildirimli sistemde zaten Yi(s)=R(s) olduğundan hata sıfıra çok yakın çıkacaktır ve G(s)’teki değişimlerden hemen hemen hiç etkilenmeyecektir.

)s(R.)s(G1

)s(G)s(T).s(R)s(Y

E(s)= Yistenen –Ygerçek = )()(1

)()( sR

sG

sGsYi

E(s)= Yistenen –Ygerçek

=

)s(R)s(G1

)s(G)s(Yi )s(R)s(Yi


Eğer geribildirim elemanının da H(s) gibi bir transfer fonksiyonu varsa;

5.2. Kontrol Sisteminin Parametre Değişimlerine Duyarlılığı ve Geribildirimin Duyarlılık Üzerindeki Etkisi

ise )(.)()(1

)()( sR

sHsG

sGsY

1)s(H)s(G

)s(R)s(H

1)s(R.

)s(H)s(G

)s(G)s(Y


Açık çevrim sistemlerde sistemin transfer fonksiyonunda

)s(G gibi bir değişiklik olursa;

kadar değişir. (Açık çevrim sistemde)

Kapalı çevrim sistemde;

)s(R).s(G)s(Y

)s(Y)s(Y)s(Y)s(Y

s(Y)s(Y)s(Y

)s(G1

)s(R).s(G

)s(G)s(G1

)s(R.)s(G)s(G

)s(R

)s(G1

)s(G)s(R

)s(G1)s(G)s(G1

)s(G).s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(Y

2

22


Sistemin duyarlılık (Sensitivity) tanımı: : Tüm sistem içindeki açık çevrim bir sürecin transfer fonksiyonunda meydana gelen bir değişimin tüm sistemin transfer fonksiyonunda meydana getirdiği değişmeye etkisini yüzde olarak gösteren orandır.

(Genel formül)

(Duyarlılık formülü)

T

G

G

T

GG

TT

GG

TTST

G

Gln

Tln

GG

TT


5.2.1. Açık çevrim sistemde duyarlılık T(s)=G(s)’tir.

Sistem duyarlılığı %100 oranında etkilenir.

5.2.2. Kapalı çevrim sistemde duyarlılık

Duyarlılık (1+G(s)) kat küçülür.

1T

G

G

TST

G

)(1

)()(

sG

sGsT

22 )s(G1

1

)s(G1

)s(G)s(G1T

G

T

)s(G1

1))s(G1(*

)s(G1

1S

2TG

G1

G1

GG

T

G


Eğer geribildirim transfer fonksiyonu varsa (H(s));

G(s)H(s)>>1 ise geri bildirimde meydana gelen değişim tüm sistemi %100 etkiler.

T

H

H

T

H

T

HH

TT

HH

TTS T

H

ln

ln

100%)()(1

)()(

)()(1)(

)(

)()(1

)()(02

sHsG

sHsG

sHsGsG

sH

sHsG

sGsG

H

T


Eğer değişim G(s)’te değil de G(s)’in içinde bir α parametresinde ise bunun tüm sisteme etkisi, zincirleme olarak, α’nın G(s)’te meydana getirdiği değişimin T(s)’e etkisi olarak yorumlanabilir.

Şekil 5.3 G(s)’ i bir α parametresiyle değişen geribildirimli sistem

G(s)

α

Y(s)

R(s)

H(s)

+ -


T(s) bir α ya bağlıysa denklem şu hale gelir.

Pay ve payda eşitse duyarlılık sıfır olur.

GTG

T SSS

)(

)(

)()(1

)()(

spayda

spay

sHsG

sGsT

),(

),(

)()(1

)(),(

spayda

spay

sHsG

sGsT

ln

)),(ln(

ln

)),(ln(

ln

),(),(ln

)()(1

)(

spaydaspayspaydaspay

sHsG

sGS T

paydapayT SSS


Örnek 5.1: Çıkışla giriş arasındaki gerilim bağıntısı V0 =-Ka.Vin olan geribildirimsiz sistemde transfer fonksiyonu doğrudan T=Ka ‘dır. Aynı sistemi kazancı dışardan potla (Toplam değeri R1+R2= 500K’lık pot) değiştirilebilen bir geribildirimli yükselteç haline dönüştürürsek;

Kazanç - K a

+ V i -

+ V o -

Şekil.5.4. Açık Çevrim Sistem

Kazanç - K a

+ V i -

Pot =500K R 1

+ V o -

R 2

Şekil.5.4. (devam) Kapalı Çevrim Sistem

G(s)

Y(s)

R(s)

β

+ +



Potansiyometrenin geri bildirim kazancı

,

Bu durumda

Kapalı çevrim sistemin Ka’daki değişimlere duyarlılığı;

Ka’yı büyük seçersek ona karşılık duyarlılık düşük olacaktır. β=0.1’e ayarlayalım. Eğer Ka kazancını da 10000 seçersek ;

21

2

RR

R

.K1

K)s(T

a

a

aaa

a2

a

aaa

a

TK K1

1

K1K

K

K1

)K(K1

T

K

K

TS

a

3

4TK 10

1.0101

1S

a

G(s)

Y(s)

R(s)

β

+ +



5.3. Geribildirimin geçici ve kalıcı durum yanıtları üzerindeki etkisi

Açık çevrim bir sistemde istenilen sonuç alınamıyorsa ya bu sistem değiştirilir, ya önüne bir denetleyici konulup parametreleriyle oynanır ya da geri beslemeli hale getirilir.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

zaman(sn)

tekerinhiz

i(ra

d/s

)

Geçici durum yanıtı

Kalıcı durum yanıtı

Şekil 5.5. Kontrol Sistemlerinin Kalıcı ve Geçici Durum Yanıtı

Şekil 5.6. Açık Çevrim sistemde yapılabilecek iyileştirmeler

+

-

sGD R(s) sG Y(s); istenen değeri vermiyorsa

sH

1. Sistem değiştirilebilir

2. Önüne denetleyici konulabilir

3. Son çare: Geri bildirim


Örnek.5.2. Endüvi (armatür) denetimli bir motorun çıkışında hızının zamana göre değişimini açık ve kapalı kontrol sistemleri açısından incelemek istiyoruz.

Çözüm: a) Öncelikle açık çevrim sistemin girişinin Laplace

dönüşümü bulunur. Va(s)= basamak girişidir. Bu gerilim

motora girmektedir. 3. bölümde sistemin blok şemasını ve giriş gerilimiyle çıkış hızı arasındaki yaklaşık transfer fonksiyonunu bulmuştuk.

Yük J=Eylemsizlik b=sürtünme

w ,

ia Armatür Akımı

Va=k2E

Ra

K2

E

Vb

+

- Va

Şekil 5.7. Açık çevrim hız kontrol sistemi

s

Ek 2


Şekil 5.8. Açık çevrim endüvi denetimli motorun blok diyagramı ile gösterimi

ve

motorun transfer fonksiyonu

Giriş Çıkış

Va(s)

aa RsL

Km

Armatür Tm(s) =TL(s)

bJs

1

Yük Hız w(s)

s

1 Konum

(s)

bK

+ -

G1(s)= sV

(s)

a

= 1s

K1

1

s

K1

=

bR KK

JR

abm

a

K1= bR KK

K

abm

m

=


Bu durumda Va(s)= basamak girişi uygulandığında

w(s) çıkış yanıtımız :

kısmi kesirlere ayrılırsa

bulunur.

s

Ek 2

)s(w G(s)Va(s)

1

s

/K1

s

Ek 2=

1

s

/K1

s

Ek 2

s

B1

s

A

=

A= (

1

s )* w(s)

1s

= (1

s )

1

s

/K1

s

Ek 2

1s

A= EkKEk/K 2121


Sonuç olarak

Sistemin basamak yanıtı: t=0’da değeri 1-1=0 olan, t sonsuza gittikçe değeri 1-0=1’e yaklaşan bir davranış gösterecektir.

)s(w EkK 21

1

s

1

s

1

w(t)= EkK 21 ( 1 - e /t)

B= (s) w(s)0s = (s)

1

s

/K1

s

Ek 20s EkK 21=


b) Devreyi takometre ile kapalı çevrim hale getirdikten sonra yine basamak yanıtına bakalım.

Kapalı çevrimde:

Şekil 5.9. Kapalı çevrim hale getirilmiş endüvi denetimli motorun blok diyagramı

R(s)=K2.E/s

Ka

Güç yükselteci

G(s)

Motor Hız(w(s))

Kt

+ -

Takometre

ps

KK

KKK1s

KK

K1s

KK1

1s

KK

K)s(GK1

)s(GK)s(T

)s(R

)s(w 11a

p

1

t1a

1

11a

t1

11a

1

11a

ta

a


( Yükseltecin kazancı Ka ve motora ait K1 katsayıları >>1)

1

t1a KKK1p

1

t1a KKK

ps

B

s

A

s

EK

ps

KK)s(R)s(T)s(w 211a

t

22

1

1ta1

11a2

11a211a

0s K

EKEK

KKK

KKEK

p

KK

s

EK

p0

KKs|)s(swA

t

22

1

1ta

11a211a

ps K

EKEK

KKKKK

p

EK

ps

KKps|)s(wpsB


0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

w(t) : Kapalı çevrim

Şekil.5.10. Sistemin Açık ve Kapalı Çevrim Zaman Yanıtı

w(t) : Açık çevrim

Açık çevrim ve Kapalı çevrim basamak yanıtını MATLAB’ta çizdirelim.Şekilden de görüldüğü gibi, takometre eklenerek sistemde bir geri bildirimin oluşturulması, geçici durum yanıtında bir iyileşmeye neden olmuş, sistemin istenen çıkışa çabukulaşmasında ve istenen değerle gerçek değer

arasındaki hatayı azaltmasında etkin rol oynamıştır.

ps

1

s

1

K

EK)s(w

t

2

1

1

1)( 2 t

KKK

t

ta

eK

EKtw


Kalıcı durum yanıtı ve kalıcı durum hatasına etkisi: Kalıcı durum hatası, sistemin geçici durum yanıtı yatıştıktan sonra sürekli durum boyunca gözlenen sabit hatadır. Kapalı çevrim bir sistemde E(s)= R(s)-Y(s) olduğuna göre,

Birim g.b. sistemlerde H(s)=1

olduğundan hata R(s) girişinin ne olduğuna göre değişir.

)s(R))s(H)s(G1

)s(G1()s(R))s(T1()s(R)s(T)s(R

)s(R)s(H)s(G1

)s(G)s(H)s(G1)s(R)

)s(H)s(G1

)s(G1(

E(s)= )()(1

1sR

sG

bulunur.

Son değer teoremine göre e() = telimt

sEslim0s

=


Örnek5.3. Transfer fonksiyonu, olan bir su seviyesi

kontrol sürecini ele alalım. Sistemin basamak girişine yanıtında meydana gelecek kalıcı durum hatası;

Örneğin K=100’e ayarlanmış ise sistemin kalıcı durum

) = 101

1

hatası e(

Diyelim ki K, Mars yüzeyinde çalışan bir robotun sürücü devresindeki bir pot ve değeri gece gündüz ısı farklılıklarından etkilenerek ayarlandığı değerden

(K

K= %10) kayarak 90 ohm oldu .

1s

K)s(G

e() = )0(G1

1

K1

1

10*

K1

1

=


Kazançtaki bu değişim açık çevrim sistemde doğrudan aynı oranda çıkışa yansıyacaktır.Açık çevrim sisteminin hatasındaki değişim e =0.1

Kapalı çevrimde ise kalıcı durum hatası e( ) = 91

1

olacaktır.

olacaktır.

Hatadaki değişim ise e101

1

91

1= - =0.0011

5.4. Geribildirimin Bozucu İşaretler Üzerindeki Etkisi

yani %0.11

Bir transistorün veya yükseltecin ürettiği gürültü, radar antenlerinin maruz kaldığı sert rüzgarlar, sistem üzerinde bozucu etki yaratırlar. Geri bildirimin en büyük avantajlarından biri bozucu işaretlerin sistem üzerindeki etkilerini azaltmasıdır.


Bir eskisine göre bir zorlanma göze çarpar. Açık ve kapalı çevrim kontrol sistemlerinin bozucu girişe yanıtını bulunuz.

Örnek.5.4. Çelik üretim sürecindeki motorlar, normal seyirlerinde dönerken (boşta çalışırken), çelik levha millerin arasına girdiğinde bir anda ani bir bozucu etkiyle karşılaşırlar. Motorlara ek bir eylemsizlik yükü binmiş gibi, dönüş hızında bir anlık bir yavaşlama, dönüşte az da olsa

Şekil.5.12. Armatür denetimli motor

( Kaynak: Dorf ve Bishop, 2005)

Taşıma Hattı

Çelik levha

Dönen Miller

Şekil.5.11. Haddehanedeki çelik levha üretim süreci

Giriş

TL(s) Va(s)

aa RsL

1

Armatür

Km

Motor Sabiti Ia(s) Tm(s) -

+

Td(s) ( Bozucu etki )

bJs

1

Yük Hız w(s)

0

bK

+ -

zıt emk


Çözüm: a) Td(s) basamak girişinin w(s) çıkış hızı üzerindeki azaltıcı etkisini (ya da bozucu etkinin neden olduğu hatayı ) görebilmek için diğer aralarındaki transfer fonksiyonunu bulmak gerekir.

Sistemin transfer fonksiyonu Mason kazanç formülünden;

Giriş

a

b m R

K K

T d (s) b Js

1

Yük Hız w(s)

-

-

+

Şekil.5.13 Bozucu Giriş-Çıkış Yanıtı İlişkisi (Açık Çevrim)

bJs

RKKbJs

bJs1

bJs

RKK

1

bJs1-

)s(T

)s(w

a

bm

a

bmd

abm R/KKbJs

1

=


basamak bozucu girişine sistemin yanıtı

E(s)=0-w(s)

Sürekli durumda bozucu etkiden kaynaklanan kalıcı durum hatası;

R(s)=0 iken eğer hala bir w(s) oluşuyorsa bu bozucu etkidendir.

s

B)s(Td

abm R/KKbJs

1

w(s)=s

B

E(s)= -w(s) = - abm R/KKbJs

1

s

B

e()= sEslim0s

slim0s s

B

R/KKbJs

1

abm

= abm R/KKb

B

=


b)

Şekil. 5.14. Geri bildirimli motor kontrol sistemi

Benzer şekilde geri bildirimli kontrol sistemini R(s)=wR(s)=0 için yeniden düzenleyelim:

a

m

R

K

Hız wY(s)

+ -

Denetleyici

Ka

Takometre Kt

wR(t)

+ -

Kb

Td(s)

bJ

1

s

Tm(s)

a

m R

K

Hız w Y (s)

- -

K t K a

K b

T d (s) b J

1

s

- +

Şekil. 5.15. Bozucu girişi ile çıkış arasındaki ilişki (R(s)=0)


Sistemin transfer fonksiyonu;

basamak bozucu girişine sistemin yanıtı;

‘dir.

atba

md KKKR

K

bJs

11

bJs1

)s(T

)s(w

atmbm

a

a

atmbm

a

atmbmKKKKKbJs

R-

RbJs

KKKKKbJs

bJs1-

RbJs

KKKKK1

bJs1-

s

B)s(Td

w(s)=atmbm

a

KKKKKbJs

R-

s

B


E(s)=0-w(s) E(s)= -w(s) =

Sürekli durumda bozucu etkiden kaynaklanan kalıcı durum hatası

Bu haliyle sonuçlara bakıldığında geribildirimin bozucu etkinin yarattığı hatayı azaltıp azaltmadığı anlaşılamayabilir.

atmbm

a

KKKKKbJs

R

s

B

e( )= sEslim0s

= slim0s

atmbm

a

KKKKKbJs

R

s

B

= atmbm

a

KKKKKb

BR


0 10 20 30 40 50 60-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Şekil.5.16. Bozucu giriş karşısında açık ve kapalı sistem hatalarının

zamana göre değişimi

Zamana göre her iki sistemin basamak yanıtları yandaki gibidir. Küçük olan kapalı çevrim hatasıdır. Açık çevrim ve kapalı çevrim sistemlerin hatalarını oranlar ve parametre değerlerini nicel olarak göz önüne alırsak

atmbm

a

abm

kapali

acik

KKKKKb

BRR/KKb

B

)(e

)(e

bma

atmbm

KKbR

KKKKKb

=


Tasarım Örneği: Manş Tünelinde Kullanılan Tünel Açma Makineleri Tünel açma makinesinin konum açısı kontrol modeli şekilde verilmiştir. Y(s) gerçek ilerleme yönü açısı, R(s) ise istenen açıdır. Karşılaşılan kaya kütleleri gibi yüklerin etkileri D(s) bozucu etkisi ile temsil edilmiştir. Tasarım hedefimiz, denetleyiciye ait uygun bir K kazancı seçmektir.

+ -

R(s) istenen açı

K+11s

Y (s)

gerçek açı Denetleyici

- +

s(s+1) 1

Makine

Bozucu etki D(s)

Şekil 5.17. Tünel Açma Makinesi Kontrol Sistemi


Çözüm: Bu iki girişe sistemin yanıtı Y(s) = T(s) R(s) + Td(s) D(s) ‘dir.

‘dir.

T(s)= 0)s(D)s(R

)s(Y =

1ss

1)s11K(1

1ss

1)s11K(

ss

s11Kssss

s11K

2

2

2

=

T(s)=Ks12s

s11K2

Td(s)= 0)s(R)s(D

)s(Y

1ss

1)s11K(1

1ss

1

= =

ss

s11Kssss

1

2

2

2

Ks12s

12

Td(s)= ‘dir.


Böylece

i) Bozucu D(s) girişinin çıkış üzerindeki etkisini azaltmak için K’yı büyük seçmeliyiz ( R(s)=0 ).

Sistemin r(t) birim basamak girişine yanıtı K kazancının büyük olmasından dolayı biraz salınımlı olacaktır.

( D(s) - işaretli bir engelleyici giriş)

Y(s) = Ks12s

s11K2

R(s) + Ks12s

12

D(s)

ii) D(s)=0 iken, K=100 için T(s)= 0)s(D)s(R

)s(Y =

100s12s

s111002


İki yanıtı da Matlab’ta görelim.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Şekil.5.18. K=100 için , basamak giriş ve basamak bozucu giriş yanıtları


Bozucunun makinenin yönü üzerinde yol açtığı hata gerçekten fazlasıyla küçük, ama istenen açıya ulaşırken meydana gelen salınımı biraz azaltmalıyız. K’yı 20 seçersek aşma oldukça azalacak, hata da %10’ların altında (%4) yani 0.04 civarında kalacaktır.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Şekil.5.19. K=20 için , basamak giriş ve basamak bozucu giriş yanıtları


Kapalı çevrim kontrol sisteminin ( T(s) ) makinedeki ve kontrolördeki (ileri yol G(s) ) değişimlere duyarlılığını ele alalım.

idi.

Buradan

Bir mekanik sistemdeki salınımlar gibi düşük frekanslar için s<1 ,

duyarlılık K 20 için TGS

K

s

çıkar. K arttıkça da sistemin duyarlılığı

azalır. Bu nedenle K=20 seçmek tüm ölçütler açısından ortak bir uygun değer olacaktır.

G(s)= 1ss

s11K

ss

s11K2

=

TGS =

T

G

G

T

)s(G1

1

)s(G)s(G1

)s(G*

)s(G1

1S

2TG

TGS =

ss

s11K1

1

2Ks12s

ss

s11Kss

ss2

2

2

2

=


Kaynaklar: 1) Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 20052) Özdaş, M. N., Dinibütün, A. T., Kuzucu, A., Otomatik Kontrol Temelleri, Birsen Yayınevi, 19953)http://www.stanford.edu/~boyd/ee102/2nd_order.pdf4)ÇAPRAZ,S.,KOÜ. Müh .Fak. Elo ve Hab. Blm,Otomatik Kontrol Dersi Ödevi


Ek5.1. Çözümlü SorularÇS5.1. Ardışıl Tasarım Örneği: Disk Sürücüsü Okuma Sistemi (Dorf ve Bishop,2005)Hard disk sürücüsü, her türlü harekette, notbook’a ani şekilde bir şeyin çarpması gibi fiziksel şoklarda veya üzerinde bir parça değişimi yapıldıktan sonra bile hatasını tolore edip okuyucunun konumunu sağlıklı bir şekilde korumak ve okuma yapmak zorundadır. Tasarım sürecinin bu bölümle ilgili kısmı buna göre şekillenecektir. (Km=5, Lf = 1*10-3, J=1, b=20, Ka:10-1000, Rf=1, idi)

R(s) istenen kafakonumu

Hata

Ka

Yükselteç

ff

m

RsL

K

Sargılar V(s)

-

+

Tb(s)

bJss

1

Yük

Gerçek konum (s)

+

-

H(s)=1

Algılayıcı

Şekil.E5.1. Disk sürücüsü okuma sisteminin blok şema gösterimi (Dorf ve Bishop,2005)


Bozucu etki D(s) = 0 iken sistemin R(s)=0.1/s basamak girişine yanıtını inceleyelim. Sistemin transfer fonksiyonu;

maff2

f3

f

ma

KKbsRLJsRJsL

KK

=

T(s)=

bsJs

1

RsL

KK1

bsJs

1

RsL

KK

)s(R

)s(Y

2ff

ma

2ff

ma

ma2

ff

ma

KKbsJsRsL

KK

maf2

ff3

f

ma

KKbsRJsRbsLJsL

KK

)s(R

)s(Y


Ka’yı şimdilik 80 seçelim.

Program Sonuçları:

Transfer function:

400-------------------------------0.001 s^3 + s^2 + 20.02 s + 400

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12Step Response

Zaman (sn.) (sec)

y(t)

(ra

d.)


E(s)= R(s)-Y(s) = R(s) ( 1-T(s) ) = R(s)

maff

2f

3f

ma

KKbsRLJsRJsL

KK1= R(s)

maff2

f3

f

ff2

f3

f

KKbsRLJsRJsL

bsRLJsRJsL=s

1.0

e() = telimt

sEslim0s=

= slim0s

maff2

f3

f

ff2

f3

f

KKbsRLJsRJsL

bsRLJsRJsL

s

1.0

ma KK

0=0. =


Giriş, R(s)= 0 iken, D(s) = 0.1/s basamak bozucu girişine sistemin yanıtını inceleyelim. Sistemin transfer fonksiyonu

maff2

f3

f

ff

KKbsRLJsRJsL

RsL

)s(D

)s(Y

Td(s)=

bsJs

1

RsL

KK1

bsJs

1

)s(D

)s(Y

2ff

ma

2

bsJsRsL

KKbsJsRsLbsJs

1

2ff

ma2

ff

2


Ka=80 için

Program sonuçları: Transfer function: 0.001 s + 1-------------------------------0.001 s^3 + s^2 + 20.02 s + 400

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

1

2

x 10-4 Step Response

Zaman (sn.) (sec)

y(t)

(ra

d.)


Çıkış grafiğine bakarsak (skala x10-4’tür) bozucu girişten kaynaklanan kalıcı durum hatası 3 x10-4 civarında olduğu görülür.

Daha küçük Ka değerleri için R(s) basamak girişine yanıtta aşma azalacaktır ama ikinci denklemde paydada olduğu için bozucu etkiden kaynaklanan hatanın da artmasına neden olacaktır.

maff2

f3

f

ff

KKbsRLJsRJsL

RsL

)s(D

)s(Y

e() telimt

)s(Tslim d0s

= =

slim0s

= maff2

f3

f

ff

KKbsRLJsRJsL

RsL

s

1.0

1.0KK

R

ma

f

5*80

1.0= =

=2.5 x10-4 bulunur.


ÇS.5.2. Şekildeki makine kontrol sisteminde ;

TbS

duyarlılığını bulun b)

c) Bozucu etkileri ve

TbS

duyarlılığını aynı501 K aralığında seçin

anda en aza indirecek en

a)T(s)=Y(s)/R(s) transfer fonksiyonunu bulun

uygun K değerini

+ -

R(s) girişi

K

Y (s) Denetleyici

K 1 =1

Duyarga

- +

1 s b

Makine

Bozucu etki D(s)

Şekil.E5.2


Çözüm:

a) 0sDsR

sYsT

= Kb1s

Kb

1s

bK1

1s

bK

G

b

b

G*

T

G

G

Tb/b

G/G*

G/G

T/TS*SS G

bTG

Tb

b)

22

22

2 KG1

K

KG1

GKGKK

KG1

KGKKG1K

GKG1

KG

G

T

bK1s

1s

1s

bK1

1

KG1

1

KG1

KGG

*KG1

K

T

G*

G

TS

2TG


i) D(s) bozucu girişine karşı Y(s) yanıtının küçük olması için K’nın büyük olması gerekir. ii) Yine

TbS

’nin küçük olması için K’nın büyük olması gerekir. Bu nedenle

K=50 seçilmelidir..

1s

1

b

1s

b

b

G

1

1s

bb

1s

1

G

b

b

GSG

b

,

bK1s

1s1*

bK1s

1sS*SS G

bTG

Tb

,

0sYsD

sYsTD

Kb1s

b

1s

bK1

1s

b

=c)

)s(D*Kb1s

b)s(D*)s(T)s(Y D

,


ÇS.5.3)Elektronik kalp pilleri, kalbin atış hızını düzenleyen cihazlardır.

Birim basamak şeklindeki bozucu girişe karşılık yanıtta oluşabilecek kalıcı durum hatası 0.02’den küçük olmalıdır.

+

-

R(s) istenen kalp at ış hızı

1

12

1 s

K

Y (s)

Gerçek kalp atış hızı

Kalp pili

Km=1

Nabız ö lçüm duyargası

+ +

s

1

Kalp

D(s) Bozucu etki

Şekil.E5.3.

a) Çıkışın R(s) ve D(s)’e bağlı genel denklemini yazın.

( Y(s)=T11 R(s) + T12 D(s) )

b) K için uygun bir değer veya değer aralığı bulun.c) Şayet K’nın ortalama değeri K=10 olsaydı, sistemin K parametresinde oluşabilecek küçük değişimlere duyarlılığı ne olacaktı?


Çözüm:

12s

K12

1s12

1K

*12

12

1s12

1K

a)

Açık çevrim transfer fonksiyonu; s12s

K12

s

1*

12s

K12)s(G

2

K12s12s

K12

s12s

K121

s12s

K12

)s(G1

)s(G

)s(R

)s(Y)s(T

2

2

2

11

K12s12s

12s

s12s

K12s12ss

1

s

1*

12s

K121

s

1

)s(D

)s(Y)s(T

2

2

212

i)

ii)


b) tasarım koşulu bozucu girişten kaynaklanan kalıcı durum hatasının büyüklüğünün 0.02’den küçük olmasıdır.

R(s)=0 iken bulunmuştu. Çıkış 0 olması

s

1)s(D bozucu girişi nedeniyle istenmeyen bir Y(s)

çıkışıs(D)s(T)s(Y 12 )

gerekirken

oluşur :

dir ve kalıcı durum hatası

K12s12s

12s

)s(D

)s(Y)s(T

212

)s(Y0)s(E s

1

K12s12s

12s2

=

s

1

K12s12s

12s)s(E

2

02.0K12

12

s

1

K12s12s

12sssEslime

20sss

02.0K

1 K

02.0

1 50K


G

K

K

G*

T

G

G

T

K/K

G/G*

G/G

T/TS*SS G

KTG

TK

c)

22 G1

1

G1

GG1

GG1

G

G

T

K12s12s

s12s

s12s

K121

1

G1

1

G1

GG

*G1

1

T

G*

G

TS

2

2

2

2TG

s12s

12

Ks12s

K12

K

G2

2

G

K*

K

GSG

K

s12s

K12K

*s12s

12

2

2

K12s12s

s12s1*

K12s12s

s12sS

2

2

2

2TK

10Kort 120s12s

s12s

10*12s12s

s12sS

2

2

2

2TK

için


Ek.5.2. Bu Bölümle İlgili Matlab Kodları:

Şekil.5.10’a ait kodlar


Şekil.5.16’ya ait kodlar

ans = -1.8157


Derste göreceğimiz tünel açma makinesine ait kodlar

Documents

5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI: KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN ELEŞTİRİSİ