163

5. TÕENÄOSUSTEOORIA JA MATE-MAATILISE STATISTIKA ELEMENTE

5.1. KOMBINATOORIKA Põhikoolis oleme õppinud ja 10. klassis korranud, et sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nimetatakse selle sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu k ja kõigi võimaluste arvu n suhet, ( ) = kA

nP .

N ä i d e 1. Lapsel on 5 paberilehte, millest igal on üks numbritest 0, 1, 2, 3, 4. Ta paneb neist juhuslikult võetud kolm kõrvuti. Kui suur on tõenäosus, et nii saadi kolmekohaline arv? Lahendamiseks tuleb esmalt leida kõigi võimaluste arv n ja soodsate võimaluste arv m.

Kuidas neid aga võimalikult lihtsalt leida, selgub, kui tutvuda mõningate mõistete ja lausetega matemaatika osast, mida nimetatakse kombinatoorikaks1. Üldiselt uurib kombinatoorika2, kuidas antud elementidest moodustada teatud tingimusi täitvaid hulki (nimetatakse ka ühenditeks) ja kuidas leida selliste hulkade (ühen-dite) võimalikku arvu. Järgnevalt vaatlemegi mõningaid kombinatoorikasse kuuluvaid mõisteid ja lau-seid. Kui lapsel on antud võimalus valida 3 erineva auto ja 2 erineva nuku seast üks mänguasi, siis pole kahtlust, et erinevaid valikuvõimalusi on 3 + 2 = 5. Kombina-toorikas sõnastatakse vastav reegel nn. liitmislausena:

kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb kas objekt A või objekt B, siis kõigi erinevate võimalike valikute arv on n + m.

Toodud näite korral on objektiks A auto, objektiks B nukk ning vastavate valiku-võimaluste arvud on n = 3, m = 2. Teatud valikute arvu leidmiseks kasutatakse nn. korrutamislauset: 1 Combinatio (lad. k.) – koos esinemine, ühes esinemine; ühend. 2 Üksikud kombinatoorika-alased teadmised pärinevad juba antiikajast. Kombinatoorika esimesed mõisted ja valemid, mida kasutati tõenäosusteooria-alaste ülesannete lahendamiseks, loodi 17. sa-jandil prantsuse matemaatikute Blaise Pascal´i ja Pierre Fermat´i poolt. Kombinatoorika-alastest tulemustest tegi esimese kokkuvõtte saksa filosoof ja matemaatik Gottfried Wilhelm Leibniz 1666. a. Temalt pärineb ka nimetus kombinatoorika.

LEA LEPMANN TIIT LEPMANN KALLE VELSKER

MATEMAATIKA

164

kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi võimalike erinevate valikute arv on n · m.

Kui laps võib võtta 3 erineva auto seast ühe ja 2 erineva nuku seast ühe, on eri-nevaid valikuvõimalusi 3 · 2 = 6. Veendume selles üldjuhul. Objekti A iga valikuga kaasneb m võimalust objekti B valikuks. Et objekti A saab valida n erineval viisil, siis on nii A kui ka B valiku-võimaluste koguarv on n korda suurem kui ühe objekti korral A, seega n · m. Sõnastatud lauseid on võimalik üldistada kolme ja enama objekti juhule, lugedes eelnevalt näiteks kaks objekti juba valituks. N ä i t e 1 j ä r g. Lahendame näites 1 esitatud ülesande. Lahendus. Leiame kolmekohalise arvu tekkeks soodsate võimaluste arvu k. Kol-mekohalise arvu esimese numbri valikuks on 4 võimalust, sest arv ei saa alata nulliga. Kui esimene number on valitud, on teise numbri valikuks 4 võimalust. Kui kaks esimest numbrit on valitud, jääb kolmanda numbri valikuks 3 võima-lust. Et valik toimub põhimõttel nii esimene kui ka teine, kui ka kolmas number, siis korrutamislause põhjal k = 4 · 4 · 3 = 48. Kõiki erinevaid võimalusi viiest numbrist kolme kõrvuti asetamiseks on aga ana-loogilise mõttekäigu põhjal n = 5 · 4 · 3 = 60. Järelikult vastav tõenäosus p = k : n = 48 : 60 = 0,8.

Liitmis- ja korrutamislauset aitab eristada valikut iseloomustav väljend. Liitmis-lause korral on see kas A või B, korrutamislause korral nii A kui ka B.

N ä i d e 2. Leiame, mitu autot oleks saanud Eestis registreerida, kui numbri-märgis võinuks olla kas neli numbrit või neli suurtähte, kaasa arvatud võõrtähed, aga välja arvatud Õ, Ä, Ü, Š, Ž. Lahendus. Korrutamislause järgi oleks saanud numbritega eristada 10 · 10 · 10 · 10 = 104 autot. Analoogiliselt ainult suurtähtedega 264 autot. Et ka-sutada võis kas ainult numbreid või ainult suurtähti, siis liitmislause põhjal on vastuseks 104 + 264 = 466 976. N ä i d e 3. Lapse käes on neli kaarti tähtedega A, E, K, R. Leiame, mitmel viisil saab ta neid järjestada (mitu neljatähelist „sõna” saab ta neist moodustada) ja mil-lised need järjestused on. Lahendus. Esimest tähte saab ta valida 4 erineval viisil, teist kolmel, kolmandat kahel ja neljandat ühel viisil. Korrutamislause põhjal on erinevate „sõnade” arv 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Need on: A E K R E A K R K A E R R A E K A E R K E A R K K A R E R A K E A K E R E K A R K E R A R E K A A K R E E K R A K E A R R E A K A R E K E R A K K R A E R K E A A R K E E R K A K R E A R K A E

165

Kombinatoorika seisukohalt oleme saanud teatud liiki hulgad (ühendid), mida nimetatakse permutatsioonideks1 neljast elemendist. Üldiselt:

permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi.

Permutatsioonide arv n elemendist, mida tähistatakse sümboliga Pn, on korruta-mislause põhjal n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1. Et kõigi naturaalarvude korrutist arvust 1 kuni arvuni n nimetatakse arvu n fak-toriaaliks2 ja tähistatakse sümboliga n!, siis

Pn = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3· 2 · 1 = n!

Näiteks 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Kui soovime, et valem Pn = n! annaks ka permutatsioonide arvu ühest elemen-dist, mis on loomulikult 1, siis peame defineerima, et

1! = 1.

Nüüd P1 = 1! = 1.

A 730. Vaagnal on 8 õuna, 13 ploomi ja 6 pirni. Mitmel erineval viisil on võimalik võtta

puuvilju, kui võtta tuleb a) kas üks õun või üks ploom või üks pirn, b) nii üks õun kui ka üks ploom, kui ka üks pirn?

731. Mitu erinevat kahetähelist sõna saaks moodustada eesti tähestiku (ilma võõrtäh-tedeta) tähtedest, kui korduvaid tähti sõnas ei kasuta? Mitu kahetähelist sõna saaks moodustada siis, kui selles on üks täishäälik ja üks kaashäälik?

732. Mitmel erineval viisil saavad 5 inimest teatris kõrvuti istuda?

733. Mitu erinevat kolmekäigulist lõunat on võimalik valida, kui menüüs on 6 suppi, 8 praadi ja 7 magustoitu?

734. Eestis tohib auto numbrimärgis olla kolm tähte, kaasa arvatud võõrtähed, kuid välja arvatud nn täpitähed ning „j”, ja seejärel kolm numbrit. Mitu autot saab sel-lise süsteemi korral registreerida?

735. Mitu ühekohalist, kolmekohalist, viiekohalist ja seitsmekohalist arvu, kus numb-reid ei kordu, saab kokku moodustada numbritest 0, 1, 2, 3,4, 5, 6?

736. Moodustage kõik permutatsioonid tähtedest A, O, S. Mitmel neist on tähendus?

737. Mitmel erineval viisil saab läbi mängida ühe oktaavi noote? 1 permutatsioon – lad. k. permutatio – vahetus, muudatus 2 faktoriaal – lad. k. factor – tegija

166

738. Kirjutage välja kõik permutatsioonid elementidest A, E, K, S. Mitmel neist on tähendus?

739. Mitmel erineval viisil saab teie klassi tütarlapsi/noormehi järjestada?

740. Arvutage 1) 3! + 4!, 2) 3! · 4!, 3) 4! : 3!, 4) 4! – 3!, 5) 5! · 6, 6) 8! : 56,

7) 18!,16!

8) 1!·19!20!

, 9) 6! 9!.3! 5!⋅⋅

741. Kirjutage naturaalarvud 1, 2, 3, 4, 5 faktoriaalide abil kasutamata 1!.

742. Lihtsustage avaldis 1) (n + 1) ·n · (n – 1)!, 2) (n – 1) · n! + n · (n – 1)!,

3) ! ! ,( 1)! 2!( 2)!

n nn n

+− −

4) ( 1)! ( 1) ( 1)!.! ( 1)!

n n n nn n

− ⋅ ⋅ + ++

−

B 743. Kui n elemendi seas üks element kordub s korda ja teine element kordub t korda,

siis erinevate permutatsioonide arv on !! !n

s t. Põhjendage seda.

744. Mitu neljakohalist arvu saab moodustada numbritest 1, 2, 2, 3 (vt. ül. 743)? Kir-jutage need.

745. Kui mingis sõnas teha tähtede ümberpaigutusi ja tulemuseks on tähendusega sõ-na, öeldakse, et on saadud esialgse sõna anagramm. Näiteks sõna “soe” ana-grammid on “seo” ja “eos”. Leidke: 1) sõna “sai” anagrammid, 2) oma eesnime anagrammid. Mitu erinevat permutatsiooni saate moodustada oma perekonnani-mest?

746. Lahendage võrrand Px = 56Px – 2.

5.2. VARIATSIOONID JA KOMBINATSIOONID

Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k ≤ n) nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide erinevaid järjestusi.

N ä i d e 1. Hulgal a, b, c, d, e on kolmeelemendilisi osahulki 10. Need on: a, b, c, a, b, d, a, b, e, a, c, d, a, c, e, a, d, e, b, c, d, b, c, e, b, d, e, c, d, e. Need osahulgad erinevad üksteisest vaid elementide poolest. Kui neist i g a s osahulgas teha kõikvõimalikud elementide ümberpaigutused,

167

saamegi variatsioonid 5 elemendist 3-kaupa. Esimese osahulga elementidest saame 6 variatsiooni abc, acb, bac, bca, cab, cba. Nii iga leitud kümne osahulga korral. Kokku saame viiest antud elemendist (a, b, c, d, e) kolmekaupa variat-sioone 10 · 6 = 60. Sama tulemuse oleksime saanud ka teisiti arutledes: viiest elemendist esimese võtmise võimalusi on 5, teise võtmise võimalusi 4 ja kol-manda võtmise võimalusi 3. Et võtta tuleb nii esimene kui ka teine kui ka kolmas element, siis kombinatoorika korrutamislause põhjal on kõigi kolmeelemendiliste variatsioonide arv 5 · 4 · 3 = 60. Üldiselt tähistatakse n elemendist k-kaupa moodustatud variatsioonide arvu süm-boliga k

nV või knA . Korrutamislauset kasutades saame, et

( 1) ( 2) ... [ ( 1)]knV n n n n k= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − −

ehk ( 1) ( 2) ... ( 1)k

nV n n n n k= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + , kus tegureid on k. Korrutades ja jagades võrduse paremat poolt teguriga (n – k)! saame, et

!( 1) ( 2) ... ( 1)

( )!k

nn

V n n n n kn k

= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + =−

.

Näites 1 oli n = 5 ja k = 3 ning 35 5 4 3 60V = ⋅ ⋅ = .

Üheelemendilise hulga, näiteks hulga ∆ elementidest saab moodustada ühe-elemendilisi variatsioone vaid 1, mis on see element ise. Et sama tulemuse saak-sime valemi

!( )!

kn

nVn k

=−

abil, peab n = k = 1 korral kehtima võrdus 1!1

(1 1)!=

− ehk 11

0!= .

See on võimalik vaid siis, kui defineerida, et

0! = 1.

Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa (k ≤ n) nimetatakse n-elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki.

Kombinatsioonide arvu n elemendist k-kaupa tähistatakse sümboliga knC või ka

sümboliga ( nk ), mida loetakse n üle k.

N ä i d e 2. Kombinatsioonid hulga a, b, c, d, e elementidest 3-kaupa kui 3-elemendilised osahulgad on esitatud näites 1. Neid on 10, st. 3

5 10C = . Tehes 3-elemendilistes kombinatsioonides kõikvõimalikud elementide ümber-paigutused, moodustame iga kombinatsiooni elementidest permutatsioonid. Neid

168

saab igast vaadeldavast kombinatsioonist P3 = 6. Toimides nii saame (nagu näites 1 selgitasime) kõik variatsioonid 5 elemendist 3-kaupa. Viimaste arv on 3

5 60V = . Seega

3 35 5 3V C P= ⋅ .

Analoogilise aruteluga võime veenduda, et üldjuhul on

k kn n kV C P= ⋅ .

Siit k

k nn

k

VCP

=

ehk

!!( )!

kn

nC

k n k=

−.

Näiteks 10 elemendist saab moodustada erinevaid 6-elemendilisi kombinatsioone 610

10! 10 9 8 7 6! 210.6!4! 6! 4 3 2

C ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅

Kaks k-elemendilist kombinatsiooni on erinevad siis, kui neil on vähemalt üks erinev element; kaks k-elemendilist variatsiooni on aga erinevad siis, kui neil on vähemalt üks erinev element või kui neil on samad elemendid, kuid erinevas järjestuses. Kehtib seos

-k n kn nC C= .

mille õigsus ilmneb kohe, kui kirjutada välja knC ja n k

nC − avaldised. Näiteks 5 2

7 7 21C C= = . Variatsioone, permutatsioone ja kombinatsioone nimetatakse ühise nimetusega ühenditeks. Kombinatsioonide arvu avaldis k

nC esineb kahe arvu summa ruudu ja kuubi va-lemi üldistuses, nn. Newtoni binoomvalemis

0 1 1 2 2 2 1 1( ) ...n n n n n n n nn n n n na b C a C a b C a b C ab C b− − − −+ = + + + + + .

Selle valemi õigsust saab tõestada matemaatilise induktsiooni meetodiga. Suurusi k

nC , kus k = 0, 1, 2, …, n, nimetatakse binoomkordajateks. Teisiti: 0 1 2 1, , , ..., ,−n nn n n n nC C C C C on binoomkordajad. Kirjutades binoomkordajad välja n

erinevate väärtuste 1, 2, 3, 4, … korral ja paigutades need tabelisse alljärgneval viisil, saame nn.

169

Pascali kolmnurga:

Et k n kn nC C −= , siis Pascali kolmnurga iga rea algusest ja lõpust võrdsel kaugusel

olevad kordajad on võrdsed (vt. ka arvudes esitatud Pascali kolmnurka). Pascali kolmnurk arvudes:

Võttes Newtoni binoomvalemis a = b = 1, saame, et

0 1 2 ... 2n nn n n nC C C C+ + + + = .

Siit järeldub: n-elemendilise hulga kõigi osahulkade arv (kaasa arvatud tühihulk) on 2n. N ä i d e 3. Kirjutame välja binoomvalemi, kui 1) n = 2 ja 2) n = 5:

1) 2 0 2 1 2 2 2 22 2 2( ) 2a b C a C ab C b a ab b+ = + + = + + ,

2) 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 55 5 5 5 5 5( )a b C a C a b C a b C a b C ab C b+ = + + + + + =

5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5a a b a b a b ab b= + + + + + . Binoomkordajate summa on 1) 1 + 2 + 1 = 22 ja 2) 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 25.

Avaldise (a – b)n esitamiseks summana kirjutame vahe (a – b) kujul [a + (–b)] ning rakendame siis Newtoni binoomvalemit.

170

N ä i d e 4. Kirjutame välja (2x – x2)4. Lahendus. Võtame binoomkordajad Pascali kolmnurga neljandast reast. Saame:

(2x – x2)4 = [2x + (–x2)]4 = = (2x)4 + 4(2x)3(–x2) + 6(2x)2(–x2)2 + 4(2x)1(–x2)3 + (–x2)4 = = 16x4 – 4 · 8 · x3 · x2 + 6 · 4 · x2 · x4 – 8 · x · x6 + x8 = = 16x4 – 32x5 + 24x6 – 8x7 + x8.

Vastus. (2x – x2)4 = 16x4 – 32x5 + 24x6 – 8x7 + x8.

A 747. Arvutage

1) 29 ,V 2) 1

30 ,V 3) ( )3 2 48 7 9: ,V V V+ 4) 6 2

6 3 .V V⋅

748. Leidke avaldis 1) 4

3 ,nV + 2) 11 ,n

nV −+ 3) ( )5 4 3: ,n n nV V V+ 4) 2

5 4: .n nn nV V −+ +

749. Mis on variatsioonid n elemendist n-kaupa? Palju neid on?

750. Lahendage võrrand 3 56xV x= .

751. Mitu õppeainet teil tunniplaanis on? Mitmel erineval viisil saab nendest ainetest koostada ühe päeva tunniplaani, kui päevas on 6 erinevat tundi?

752. Mitmel erineval viisil saavad 100 koosolekust osavõtjat valida enda hulgast koosoleku juhataja ja protokollija? Palju on võimalusi siis, kui ei ole oluline, kumb juhatab koosolekut, kumb protokollib?

753. Moodustage kõikvõimalikud kaheelemendilised kombinatsioonid tähtedest k, l, m, n, p. Moodustage igast saadud kombinatsioonist kõik permutatsioonid. Kuidas nimetatakse saadud ühendeid ja palju neid on?

754. Arvutage 1) 507

509 ,C 2) 5 38 8: ,C C 3) 5 2

17 5 3: : ,V C P 4) 3 4 15 5 5: .C C V⋅

755. Tõestage, et 11.

m m mn n nC C C−

++ =

756. Iga hulga üheks osahulgaks loetakse tühi hulk. Seda näitab ka arvutus ! 1

0! !on

nCn

= = , mis annab n-elemendilise hulga 0-elemendiliste osahulkade arvu.

Mitu osahulka on kokku 6-elemendilisel hulgal? Mitu neist on 5-elemendilised osahulgad?

757. Maleturniiril mängis iga osavõtja igaühega ülejäänutest ühe partii. Üldse mängiti turniiril 45 partiid. Kui palju oli turniirist osavõtjaid?

171

758. Mitu erinevat korrutist saab leida arvudest 2, 3, 5, 7? 759. Juhan kavatses laupäeviti korraldada kokkusaamisi erineva seltskonnaga oma 6

sõbra seast. Mitu nädalavahetust selleks kulus? 760. Mitu erinevat sirget on määratud 1) 8, 2) 20, 3) n punktiga, millest ükski kolm ei

asu ühel sirgel? 761. Mitu erinevat tasandit on määratud 1) 4, 2) 15, 3) n punktiga, millest ükski neli ei

asu ühel tasandil? 762. Tasapinnal on punktid A, B, C, D, millest ükski kolm ei ole ühel sirgel. Mitu eri-

nevat sirget on nende punktidega määratud? Tehke vastav joonis ja kirjutage väl-ja need sirged. Mitu kolmnurka on nende punktidega määratud? Kirjutage need.

763. Ruut on jaotatud 81 väikeseks ruuduks. Mitmel erineval viisil saab neisse ruutu-desse paigutada 25 täiesti ühesugust nuppu (st. nuppude järjestust ei arvestata)? Mitmel erineval viisil saab neisse ruutudesse paigutada 25 erivärvilist nuppu? Märkus: vajadusel avaldage faktoriaalid ligikaudse valemi järgi ! 2 n nn n n eπ −≈ ⋅ .

764. Mitmel erineval viisil saab teie klass matemaatikatunnis istuda? 765. Mitmel erineval viisil saate te oma klassist moodustada võrkpalli segavõistkonna,

kui sellesse peab kuuluma 1) 4 poissi ja 2 tüdrukut, 2) vähemalt 2 tüdrukut? 766. Urnis on 8 sinist ja 7 kollast kuulikest. Mitu võimalust (erinevad kuulid loeme

erinevateks) on 6 kuuli korraga võtmiseks nii, et neist 2 on sinised ja 4 kollased. 767. Korvis on 8 pirni, 6 õuna ja 4 apelsini. Mitmel erineval viisil saab puuvilju võtta,

kui võtta tuleb igast liigist mitte rohkem kui kolm? 768. Kirjutage välja binoomvalemid:

1) (a + b)6, 2) (x + 1)4, 3) (2c + 3)5, 4) (a – b)5, 5) (3a2 – 2a)4.

B 769. Milliste x ja y väärtuste korral kehtib võrdus y y

x xV C= ?

770. Leidke 00C . Mida see hulkade seisukohalt näitab?

5.3. JUHUSLIK SÜNDMUS Tõenäosusteooria1 on matemaatika osa, mis uurib juhuslikke sündmusi, püüdes nende toimumises leida seaduspärasusi. Üheks vahendiks on seejuures sündmuse tõenäosuse mõiste. Meenutame, mis on juhuslik sündmus.

1 Esimesed tõenäosuslikud ülesanded pärinevad hasartmängudest ja kuuluvad 15. sajan-disse. Tõenäosuse mõisteni jõuti aga 17. sajandil prantsuse matemaatikute Blaise Pascal´i ja Pierre Fermat´i poolt. Nende koostöö algas 1654. a., mil kirglik hasartmängija de Mere esitas Pascalile lahendamiseks hasartmängudega seotud ülesande. Esimene tõenäosus-teooria-alane raamat ilmus 1657. a., autoriks hollandlane Christiaan Huygens.

172

Juhuslikuks sündmuseks nimetatakse sündmust, mis antud tingi-muste korral võib toimuda, kuid võib ka mitte toimuda.

Järelikult on tõenäosusteoorias juhusliku sündmuse jaoks vaid kaks võimalust: see kas toimub või ei toimu. Kolmandat võimalust ei ole (nn. välistatud kolman-da seadus). Reaalsuses on vahel asi keerulisem. Kui näiteks hommikul on trepp vihmapiiskadest kirju, siis pole alati selge kas ikka toimus sündmus „sadas vih-ma” või mitte. Juhuslikuks sündmuseks on näiteks võitmine loteriil, 6 silma tulek täringu vis-kamisel, laskevõistlusel märklaua tabamine kümnesse. Sündmusi tähistatakse lühema märkimise ja nimetamise huvides suurtähtedega A, B, jne. Või sümbolitega A1, A2, jne. Üks ja sama juhuslik sündmus A võib tavaliselt toimuda mitmel erineval viisil. Näiteks kahe täringu (olgu need must ja valge) korraga viskamisel võib 5 silma tulla (loeme selle sündmuseks A) neljal erineval viisil. Need on 1 + 4; 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1, kus esimene liidetav näitab tulemust mustal täringul, teine aga valgel täringul. Nimetatud üksikjuhud ehk sündmuse A jaoks soodsad juhud on võrd-võimalikud, sest pole põhjust, et mingi variant tuleks teistest sagedamini esile. Et võrdvõimalikest juhtudest 1 + 4; 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1 igat võib vaadelda omaette sündmusena, siis nimetatakse neid sündmusi ka sündmuse A jaoks soodsateks elementaarsündmuseks. Elementaarsündmusi tähistame edaspidi sümbolitega E1, E2, E3, … Sündmuse A (5 silma tulek kahe täringu korraga viskamisel) soodsad juhud kuulu-vad sündmuse A jaoks nn. kõigi võimaluste hulka. Viimaseid on 36, sest nii mustal kui ka valgel täringul on erinevaid silmade arve 6. Ka need võimalused on võrd-võimalikud. Kokkuvõtvalt: kahe täringu korraga viskamisel on kõiki elementaar-sündmusi 36 (1 + 1, 1 + 2, 1 + 3, …, 6 + 6), millest soodsaid 5 silma tulekuks on 4. Öeldakse, et elementaarsündmuste hulk E1, E2, E3, …En on täielik ehk see moodustab elementaarsündmuste ruumi, kui igal katsel, näiteks täringu viska-misel, mingi neist elementaarsündmustest ikka esile tuleb, n on lõplik arv, ükski kaks elementaarsündmust ei saa korraga (samal katsel) esile tulla ja muidugi on täidetud võrdvõimalikkuse nõue. Elementaarsündmuste ruumi tähistatakse tavali-selt tähega U:

U = E1, E2, E3, …En. Kui sündmuse Ω jaoks on soodsad kõik elementaarsündmused hulgast U = E1, E2, E3, …En, nimetatakse sündmust Ω kindlaks sündmuseks. Järelikult toimub kindel sündmus antud tingimuste korral kindlasti. Näiteks on sündmus U, mis seisneb kas 1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma tulekus täringu viskamisel, kindel sündmus. Kui sündmuse V jaoks puuduvad soodsad juhud, nimetatakse sündmust V võima-tuks sündmuseks. Tähendab, võimatu sündmus ei toimu antud tingimuste korral kindlasti. Nii on näiteks võimatuks sündmuseks see, et täringu viskamisel tuleb 7 silma. Võimatut sündmust tähistatakse tähega V või sümboliga ∅.

173

Sündmusi A ja B nimetatakse võrdseteks ning kirjutatakse A = B, kui nendel on samad soodsad juhud samast elementaarsündmuste ruumist E1, E2, E3, …En Kui näiteks A tähendab paarisarvu silmade tulekut ja B kahega jaguva silmade arvu tulekut täringu viskamisel, siis A = B. Sündmusi kujutatakse sageli geomeetriliselt. Kui iga elementaarsündmust Ei, i = 1, 2, 3, …, n, tähistab punkt tasandil (joon. 5.1), siis piirkond U, mis sisaldab kõiki elementaarsündmusi kujutavaid punkte, tähendab kindlat sündmust U. Ju-huslikku sündmust A tähistab aga piirkond, mis sisaldab osa elementaarsündmu-si. Võimatu sündmuse V saame joonisele märkida piirkonnana, mis ei haara üh-tegi elementaarsündmust tähistavat punkti.

Juhuslik sündmus A kas toimub või ei toimu. Mis toimub siis, kui sündmus A ei toimu? Sellisel juhul ei toimu ükski sündmuse A jaoks soodsatest juhtudest (elementaarsünd-musi tähistavad punktid valges piirkonnas joonisel 5.2), toimub aga mingi elementaar-sündmus, mis ei ole soodus sündmuse A jaoks (punktid värvilises piirkonnas samal joonisel). See aga tähendab ühe teise sündmuse toimumist, mille soodsaid juhte tähis-tavad värvilise piirkonna punktid. Seda sündmust nimetatakse sündmuse A vastand-sündmuseks ja tähistatakse sümboliga A (joon. 5.2). Lühemalt:

sündmuse A vastandsündmuseks nimetatakse sündmust, mis toi-mub parajasti siis, kui sündmus A ei toimu.

N ä i d e. Loeme täringu viskamisel sündmuseks A kolmega jaguva silmade arvu (3 või 6 silma) tuleku. Sündmuse A vastandsündmuseks A on kolmega mitte ja-guva silmade arvu tulek, st. 1, 2, 4 või 5 silma tulek.

Kindla sündmuse vastandsündmuseks loetakse võimatut sündmust, st. U V= ja võimatu sündmuse vastandsündmuseks kindlat sündmust, st. V U= .

A 771. Visatakse metallraha. Mis on võimalikud tulemused? Kas need moodustavad

elementaarsündmuste ruumi? Nimetage sündmuse vapp jaoks kõik võimalused ja soodsad võimalused?

772. Olgu sündmuseks kaardi tõmbamine 52-kaardisest kaardipakist. Millised on nüüd elementaarsündmused, mis moodustavad elementaarsündmuste ruumi? Mitu elementaarsündmust on?

Joon.5.1 Joon.5.2

174

773. Visatakse korraga kahte ühesugust münti. Millised on võimalikud tulemused, mis moodustavad elementaarsündmuste ruumi?

774. Urnis on 10 üheraskust, samasuurt ja pinnasileduselt samasugust nummerdatud kuuli, mis jagunevad värvuse järgi järgmiselt: 5 sinist, 3 punast, 2 valget. Katse seisneb kuuli juhuslikus võtmises. Millised sündmused moodustavad elementaar-sündmuste ruumi?

775. Loeme sündmuseks A kolmega jaguva silmade arvu tuleku täringu viskamisel. Milliseid elementaarsündmusi see sündmus sisaldab?

776. Lapsel on käes 3 kaarti tähtedega S, A, I. Laps laob neid juhuslikult üksteise kõr-vale. Sündmuseks on tähendusega sõna tekkimine. Nimetage kõik võimalikud elementaarsündmused ja nendest soodsad juhud.

777. Sündmus on punase kaardi tulek kaardi tõmbamisel kaardipakist. Mis on selle sündmuse vastandsündmus?

778. Sündmus on musta kuninga tulek kaardi tõmbamisel kaardipakist. Mis on selle sündmuse vastandsündmus?

779. Millist sündmust võiks tähendada sümbol A ?

780. Põhjendage sündmuste kõigi võimaluste ja soodsate võimaluste abil, et U V= ja V U= .

781. Olgu sündmus A kiri-kiri või vapp-vapp tulek kahe mündi korraga viskamisel. Mis on sündmus A ?

782. Visatakse korraga kahte täringut. Sündmuseks on täringutel tulnud silmade sum-ma. Mis on ühe silma tuleku kui sündmuse A vastandsündmus?

783. Mitu erinevat sündmust on võimalik defineerida elementaarsündmuste ruumi E1, E2, …, En korral. Kui suur on see arv n = 10 korral? Mitu erinevat täringu viskamisega seotud sündmust saab defineerida?

5.4. SÜNDMUSE KLASSIKALINE TÕENÄOSUS Juhuslikku, kindlat ja võimatut sündmust on võimalik järjestada nende toimumise sageduse järgi: võimatu sündmus ei toimu kunagi, juhuslikud sündmused toimu-vad vahel, kindel sündmus toimub aga alati. Samas on selge, et juhuslikest sündmustest mõni toimub sagedamini kui mõni teine. Näiteks kahega jaguv sil-made arv esineb täringu visetel sagedamini kui viiega jaguv silmade arv, sest esimesel juhul on kõigi võimaluste seas soodsaid võimalusi kolm (2, 4 või 6 sil-ma), teisel juhul aga üks (5 silma). Üldiselt määratakse sündmuse toimumise kindluse aset (sagedust) tõenäosusega. Mida suurem on sündmuse toimumise tõenäosus, seda kindlam on, et sündmus toimub. Meenutame, mis oli sündmuse (klassikaline)1 tõenäosus: 1 Sõna klassikaline viitab sellele, et see tõenäosuse arvutamise viis oli esimene, mis tea-duses kasutusele võeti. On ka teisi võimalusi tõenäosuse arvutamiseks.

175

sündmuse A tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmusele A soodsa-

te võimaluste arvu k ja kõigi võimaluste arvu n suhet kn

.

Sündmuse tõenäosust tähistatakse tähega p või sümboliga P(A). Rõhutame: selle definitsiooni korral eeldatakse kõigi elementaarsündmuste 1) arvu (n) lõplikkust, 2) välistatust (korraga saab toimuda vaid üks elementaarsündmus), 3) võrdvõimalikkust.

N ä i d e 1. Leiame 1) paarisarvu silmade tuleku (sündmus A) ja 2) viiega jaguva silmade arvu tuleku (sündmus B) tõenäosuse täringu viskamisel.

Lahendus. 1) Kõiki võimalusi on 6, neist sündmusele A soodsaid 3. Seega tõe-

näosus 3( ) 0,56

P A = = . 2) Kõiki võimalusi on ikka 6, neist sündmusele B sood-

said 1. Järelikult 1( ) 0,17.6

P B = ≈

Tõenäosuse definitsioonist tulenevad tõenäosuse omadused:

1. Tõenäosus on arv, mis rahuldab võrratusi 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Et ( ) kP An

= ja 0 ≤ k ≤ n, siis 0 1kn

≤ ≤ .

2. Kindla sündmuse tõenäosus on 1, st. P(U) = 1.

Et nüüd on k = n, siis ( ) 1nP Un

= = .

3. Võimatu sündmuse tõenäosus on 0, st. P(V) = 0.

Et nüüd on k = 0, siis 0( ) 0P Vn

= = .

4. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1, st. P(A) + P( A ) = 1.

Tõepoolest, kui ( ) kP An

= , siis ( ) n kP An−

= ja

( ) ( ) 1.k n kP A P An n

−+ = + =

176

N ä i d e 2. Eelmises näites leidsime paarisarvu silmade tuleku tõenäosuse täringu vis-kel, P(A) = 0,5. Et paaritu arvu silmade tulek täringu viskel on sündmuse A vastand-sündmus A , siis selle tõenäosus ( ) 1 ( ) 1 0,5 0,5.P A P A= − = − =

Tõenäosuste arvutamisel tuleb sageli leida sündmuse soodsate võimaluste arv ja kõikide võimaluste arv kombinatoorika valemeid või lauseid kasutades.

N ä i d e 3. Urnis on 8 valget ja 12 musta kuuli. Segame kuulid hoolega ning võta-me juhuslikult 4 kuuli. Leiame tõenäosuse, et nende seas on vähemalt 2 valget kuuli.

Lahendus. Kõiki võrdvõimalikke variante on 420 4845n C= = , sest urnis olevast 20

kuulist nelja kuuli võttes on tegemist kombinatsioonidega. Soodsad variandid on: 2 valget ja 2 musta; 3 valget ja 1 must; 4 valget kuuli. Leides iga variandi võimaluste arvu kombinatoorika korrutamislausega, tuleb kogu soodsate võimaluste arv leida

liitmislausega: 2 2 3 1 48 12 8 12 8 2590k C C C C C= ⋅ + ⋅ + = ja tõenäosus 2590 0,535

4845p = ≈ .

Et tõenäosus on üle poole, siis rohkem on oodata selle sündmuse toimumist kui mit-tetoimumist.

A 784. Visatakse täringut. Kui suur on tõenäosus, et silmade arv on algarv?

785. Kaardipakist, milles on 52 kaarti, tõmmatakse üks kaart. Kui suur on tõenäosus, et see on 1) ruutu, 2) äss, 3) pilt, 4) kas poti pilt või äss?

786. Kui suur on tõenäosus, et teie klassist juhuslikult valitud õpilane on 1) tütarlaps, 2) Eve, 3) siniste silmadega 4) olete Teie?

787. Tõenäosus näitab, millise osa moodustavad sündmuse A soodsad võimalused kõigist võimalustest. Seetõttu võib tõenäosust esitada ka protsentides. Sõnastage protsentides esitatud tõenäosuse korral omadused 1.– 4.

788. Visatakse ühte münti. Kui suur on tõenäosus, et tuleb kiri?

789. Visatakse korraga kahte münti. Kui suur on tõenäosus, et tuleb 1) mõlemal vapp, 2) ühel kiri, teisel vapp, 3) vähemalt ühel kiri?

790. Maja otsaseina ehitusplokkide ruudukujulised tahud on värvitud joonisel 5.3 näidatud viisil. Poiss viskab lumepal-liga vastu maja otsaseina. Leidke tõenäosus värvitud pinna tabamiseks eeldusel, et poiss tabab võrdse tõenäosusega igat ehitusplokki.

791. Urnis on 8 valget, 7 punast ja 5 sinist kuuli. Urnist võetak-se juhuslikult üks kuul. Kui suur on tõenäosus, et see on 1) valge, 2) punane, 3) sinine.

Joon.5.3

177

792. Eelmises ülesandes kirjeldatud urnist võetakse korraga kolm kuuli. Kui suur on tõenäosus, et need kuulid on 1) valged, 2) punased, 3) sinised, 4) mustad, 5) samavärvilised, 6) kõik erinevat värvi?

793. Visatakse täringut. Leidke kõigi elementaarsündmuste tõenäosused. Esitage tu-lemused tabelina silmade arv – tõenäosus.

794. Visatakse korraga valget ja musta täringut. Kirjutage välja võrdvõimalikud tule-mused kujul (a ,b). Kui palju (n) on selles elementaarsündmuste ruumis sündmu-si? Koostage saadud tabeli põhjal uus tabel, kuhu on kantud erinevad silmade summad ja neile kui sündmustele vastavad tõenäosused. Millise silmade summa tõenäosus on 1) suurim, 2) vähim?

795. Ühe kooli õpilastest 42% õpib saksa keelt. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud selle kooli õpilane 1) õpib saksa keelt, 2) ei õpi saksa keelt?

796. Ühes klassis õpivad kõik õpilased vähemalt ühte võõrkeelt. Inglise keele õppijaid on klassis 86% ja saksa keele õppijaid 64% Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult kohatud selle klassi õpilane õpib 1) nii inglise kui ka saksa keelt, 2) inglise keelt, kuid ei õpi saksa keelt?

797. Kui suur on ülesande 776 andmetel tõenäosus, et kaarte ladudes saab laps 1) sõna sai, 2) tähendusega sõna?

798. Ema ostetud värvilistest hernekommidest on alles 20. Neist 8 on valged ja 12 roosad. Ants ja Jüri otsustasid võtta juhuslikult 4 kommi ja kui nende seas ei ole valgeid komme või on neid paarisarv, saab Jüri võetud neli kommi endale, kui aga paaritu arv, siis saab Ants need neli kommi endale. Kui suur on tõenäosus, et need neli kommi saab endale 1) Jüri, 2) Ants. Kumma suhtes on 20 kommi jao-tamine ebaõiglane, kui ülejäänud 16 kommi pidi jaotatama võrdselt?

799. Urnis on 68 kuuli, millest valgeid on 28 ja musti 40. Võetakse juhuslikult 50 kuu-li. Kui suur on tõenäosus, et 50 kuuli seas ei ole musti ja valgeid võrdselt?

800. Kuup, mille kõik tahud on värvitud, saeti tuhandeks väikeseks kuubikeseks ja need segati hoolega. Leidke tõenäosus, et juhuslikult võetud kuubikesel on 1) kolm tahku värvitud, 2) ainult üks tahk värvitud.

801. Pimedal pööningul kuivab 6 halli ja 4 pruuni ühesugust sokki. Mitu sokki tuleb vähemalt võtta, et 1) neist saab vähemalt paari ühesuguseid sokke, 2) nende seas oleks vähemalt üks paar halle sokke. Kui suur on tõenäosus, et kahe soki juhusli-kul võtmisel saame ühesugused sokid?

802. Laual on n sedelit, igal üks eesti tähestiku täht. Kui suur on tõenäosus, et kahe sedeli järjest võtmisel saadakse tähestiku järjestikused tähed? Mitu järjestikuste tähtedega sedelit peab laual olema, et järjestikuste tähtede saamise tõenäosus oleks 1) 1, 2) vähemalt pool? Kui suur on järjestikuste tähtede saamise tõenäosus siis, kui laual on sedelid kõigi eesti tähestiku tähtedega?

178

B 803. Naturaalarvudest 1, 2, 3, …, 100 võetakse juhuslikult kolm. Leidke tõenäosus, et

need arvud on järjestikused? Milline oleks tõenäosus, kui kolm arvu võetakse juhuslikult n esimese naturaalarvu seast? Leidke tõenäosused siis, kui n esimese naturaalarvu seast võetakse juhuslikult 2 arvu, 4 arvu. Leidnud vastustes seadus-pärasused, kirjutage tõenäosuse arvutamise avaldis juhuks, kui n esimese natu-raalarvu seast tuleb võtta juhuslikult m naturaalarvu (m ≤ n).

5.5. SÜNDMUSTE KORRUTIS JA SUMMA N ä i d e 1. Visatakse täringut. Olgu sündmus A paarisarvu silmade tulek ja sündmus B vähemalt nelja silma tulek. Sündmuse A soodsad elementaarsündmu-sed on 2, 4 või 6 silma, sündmuse B korral aga 4, 5 või 6 silma. Kui täringu vis-kamisel tuleb kas 4 või 6 silma on toimunud samaaegselt nii sündmus A kui ka sündmus B. Teiselt poolt võib aga sündmuste (kas 4 või 6 silma) kaudu definee-rida kolmanda sündmuse C. Tähendab, sündmuste A ja B samaaegne toimumine on jälle sündmus.

Kahe sündmuse A ja B samaaegset toimumist võib vaadelda uue sündmusena C, mida nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks (joon. 5.4) ning kirjutatakse A∩ B = C või AB = C.

Üldiselt:

sündmust, mis seisneb nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimu-mises, nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks.

Kui sündmustel A ja B (joon. 5.5) pole ühiseid soodsaid elementaarsündmusi (näiteks sündmus A – paarisarvu silmade tulek, sündmus B – paaritu arvu silmade tulek täringu viskamisel), siis nende sündmuste korrutis on võimatu sündmus (sest sellel sündmusel puuduvad soodsad elementaarsündmused). Sümboleis: A∩ B = V.

Joon.5.4 Joon.5.5

179

N ä i d e 2. Kaardipakist, milles on 36 kaarti, võetakse juhuslikult üks kaart. Ol-gu sündmuseks A risti saamine ja sündmuseks B pildi saamine. Leiame sündmus-te A ja B korrutise tõenäosuse. Et sündmus AB tähendab ristimastist pildi saamist, siis soodsaid juhte on 3: risti-

soldat, ristiemand ja ristikuningas. Otsitav tõenäosus 3( ) 0,08.36

P AB = ≈

Kahte sündmust, mis ei saa sama katse tulemusena toimuda (st. ei saa esineda üheaegselt), nimetatakse teineteist välistavateks.

Näiteks täringu viskel ei saa üheaegselt tulla paarisarv silmi (sündmus A) ja paa-ritu arv silmi (sündmus B). Näites 2 ei ole sündmused välistavad, nad on mittevälistavad. Sündmus A ja selle vastandsündmus A on alati teineteist välistavad, .AA V= Elementaarsündmuste ruumis E1, E2, …, En on elementaarsündmused paari-kaupa välistavad. Lühemalt kirjutades EiEj = V, kui i ≠ j. Kahe sündmuse summa defineeritakse järgmiselt:

sündmust, mis seisneb kas sündmuse A või sündmuse B toimumi-ses, nimetatakse sündmuste A ja B summaks.

Sündmuste A ja B summat tähistatakse A∪ B või A + B. Sündmuste summa toimumine seisneb kas sündmuse A või sündmuse B soodsate juhtude esiletulekus. N ä i d e 3. Olgu sündmus A ühe silma tulek ja sündmus B kuue silma tulek tä-ringu viskamisel. Sündmuseks A + B on siis kas 1 või 6 silma tulek. Vastav tõe-

näosus 1( ) 2 : 63

P A B+ = = .

N ä i d e 4. Vaatleme näites 2 defineeritud sündmusi A ja B. Sündmuseks A + B on siis kas risti või pildi saamine. Kui tuleb ristiäss (ässa ei loeta pildiks) või näi-teks ärtusoldat, on sündmus A + B toimunud. See toimub aga ka siis, kui tuleb näiteks ristiemand, mis on üks soodsatest võimalustest korrutise AB toimumiseks (näide 2). Teisiti: käesoleva näite korral toimub sündmus A + B ka siis, kui toi-mub sündmus AB.

Alati, kui sündmused pole teineteist välistavad (näide 4), tähendab sündmus A + B kas ainult sündmuse A või ainult sündmuse B või nende mõlema (s.o. korrutise AB) toimumist (joon. 5.6). Välistavate sündmuste korral (näide 3) tähendab sündmus A + B kas ainult sündmuse A või ainult sündmuse B toimumist (joon. 5.7).

Joon.5.6 Joon.5.7

180

Elementaarsündmuste ruum E1, E2, …, En on paarikaupa välistavate sündmuste hulk. Seejuures tuleb iga katse kor-ral kindlasti esile mingi elementaarsündmus sellest hul-gast.

E1 + E2 + … + En = U.

Ka sündmuste A ja A korral on

A + A = U, sest liidetavad sündmused on välistavad ja üks neist iga katse korral kindlasti esi-le tuleb. Defineeritakse ka sündmuste vahe:

sündmuste A ja B vaheks A\B nimetatakse sündmust, mis seisneb sündmuse A toimumises ja sündmuse B mittetoimumises.

Sündmuse A \ B soodsateks elementaarsündmusteks on sündmuse A soodsad elementaarsündmused, mis ei ole sündmuse B soodsad elementaarsündmused (joon. 5.8). N ä i d e 5. Defineerides sündmused nii nagu näites 3, A – ristimastist kaart, B – piltkaart, on sündmuseks A \ B ristimastist mittepildi tulek kaardi juhuslikul tõmbamisel.

A 804. Visatakse täringut. Sündmused on seejuures defineeritud järgmiselt:

A – tuleb algarv silmi; B – tuleb paarisarv silmi, K – tuleb kordarv silmi, L – tuleb kolmega jaguv silmade arv, P – tuleb paaritu arv silmi. Mida tähendavad järgmised sündmused? 1) AB, 2) AP, 3) K , 4) AK , 5) KP, 6) B + P, 7) B + L, 8) L , 9) K + B, 10) K L+ , 11) A \ P, 12) A \ K, 13) B , 14) B \ K, 15) A \ B.

805. Sündmus A on kuue silma tulek täringu esimesel viskel, sündmus B on kuue sil-ma tulek täringu neljandal viskel. Mis on sündmus AB, A + B, A \ B?

806. Leidke järgmised sündmused, kui A tähendab juhuslikku sündmust: 1) AU, 2) AV, 3) A + U, 4) A + V.

807. Visatakse korraga kahte münti. Loeme sündmuseks A kiri-kiri tuleku, sündmu-seks B vapp-vapi tuleku, sündmuseks C erineva tulemuse müntidel ja sündmu-seks D sama tulemuse müntidel. Millised neist sündmustest on välistavad, milli-sed mittevälistavad? Millist tulemust tähendab sündmus A + B, B + C, C + D, AD, CD?

Joon.5.8

181

808. Leidke ülesandes 804 esinevate sündmuste tõenäosused.

809. Leidke ülesandes 807 esinevate sündmuste tõenäosused.

B 810. Põhjendage, et kehtivad järgmised seosed:

1) AB = BA, 2) (AB)C = A(BC), 3) A + B = B + A, 4) (A + B) + C = A + (B + C), 5) A(B + C) = AB + AC.

5.6. TÕENÄOSUSTE LIITMISE LAUSE Seni oskame tõenäosust P(A + B) arvutada siis, kui eelnevalt oleme kindlaks tei-nud sündmuse A + B kõigi võimaluste arvu ning soodsate võimaluste arvu. Näi-teks ülesande 804 alajuhtudel 6), 7), 9), 10). Tuletame järgnevalt valemi P (A+B) arvutamiseks. Olgu sündmused A ja B defineeritud elementaarsündmuste ruumis E1, E2, …, En. Neist elementaarsündmustest olgu soodsaid sündmuse A jaoks k ja sündmuse B jaoks m. Üldiselt on sündmustel A ja B osa soodsaid võimalusi ühised. Olgu neid r. Seda situatsiooni (sündmused A ja B on mittevälistavad) ku-jutatakse joonisel 5.9, kus punktid tähistavad elementaarsündmusi. Soodsaid võimalusi sündmuse A + B jaoks on k + m – r, sest k + m elementaarsündmuse seas on osa kahekordselt. Järelikult

( ) k m r k m rP A Bn n n n

+ −+ = = + − .

Et ( )k P An= , ( )m P B

n= ja ( )r P AB

n= , sest r elementaarsündmust on sellised,

mille esinemisel toimub nii sündmus A kui ka sündmus B, siis

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Sõnastatult:

kahe sündmuse summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõe-näosuste summaga, millest on lahutatud samade sündmuste kor-rutise tõenäosus.

Joon.5.9

182

N ä i d e 1. Kaardipakis on 52 kaarti. Võetakse juhuslikult üks kaart. Sündmu-seks A on ruutu tulek, sündmuseks B pildi tulek. Leiame sündmuse A + B tõenäo-

suse. Ilmselt on 13( )52

P A = , 12( )52

P B = . Sündmuseks AB on ruutumastist pildi

tulek kaardi juhuslikul tõmbamisel. Selleks on soodsaid võimalusi 3 ning 3( )

52P AB = . Järelikult 13 12 3 22( ) 0,423.

52 52 52 52P A B+ = + − = ≈

Välistavate sündmuste summa tõenäosus võrdub liidetavate sündmuste tõenäosuste summaga, st. P(A + B) = P(A) + P(B).

Tõepoolest, kui AB =V, siis P(AB) = 0 ja tõenäosuste liitmise lause saabki kuju P(A + B) = P(A) + P(B).

N ä i d e 2. Urnis on 6 valget, 4 musta ja 8 sinist kuuli. Võetakse juhuslikult üks kuul. Leiame tõenäosuse, et see on must (sündmus M) või sinine (sündmus S). Sündmuse M + S jaoks on soodsaid võimalusi 4 + 8 = 12. Seega on

12 2( ) .18 3

P M S+ = = Kasutades tõenäosuste liitmise lauset, saame samuti

4 8 12 2( ) ( ) ( ) .18 18 18 3

P M S P M P S+ = + = + = =

Välistavate sündmuste korral saab tõenäosuste liitmise lause üldistada n liideta-vale, vaadeldes esmalt sündmust (A + B) + C, siis sündmust (A + B + C) + D jne. Üldiselt

P(A + B + … + K) = P(A) + P(B) + … + P(K).

Elementaarsündmuste ruumi E1, E2, …, En korral on E1 + E2 + … + En = U. Rakendades tõenäosuste liitmise lauset saame, et

P(E1) + P(E2) + … + P(En) = 1.

A 811. Urnis on 7 musta, 5 punast ja 3 valget kuuli. Võetakse korraga kolm kuuli. Loe-

me sündmuseks A, et need on mustad, sündmuseks B, et need on punased, sünd-museks C, et neist on 2 punast ja üks valge. Leidke nimetatud sündmuste tõenäo-sused. Arvutage ka tõenäosused sündmustele 1) A + B, 2) A + C, 3) B + C.

812. Kaardipakist, milles on 52 kaarti, võetakse juhuslikult üks kaart. Olgu sündmus A musta kaardi tulek, B ässa tulek, C potimastist kaardi tulek, D emanda tuleku, F piltkaardi tulek, G kuninga tulek. Arvutage nende sündmuste tõenäosused. Sõ-nastage järgmised sündmused ja leidke ka nende tõenäosused. 1) A + B, 2) A + C, 3) A + F, 4) B + D, 5) C + G, 6) C + F, 7) F + G, 8) D + G.

183

5.7. SÕLTUVAD JA SÕLTUMATUD SÜNDMUSED Urnis on 12 valget ja 3 sinist kuuli. Olgu sündmus B valge kuuli tulek kuuli esi-mesel võttel ja sündmuseks A valge kuuli tulek kuuli teisel võttel. Kui vahepeal

pannakse kuul urni tagasi, siis 12( ) 0,815

P B = = ja 12( ) 0,8.15

P A = = Sündmuse A

tõenäosus ei sõltu seega sellest, kas sündmus B eelnevalt toimus või mitte. Selle kohta öeldakse, et sündmus A on sõltumatu sündmusest B. Üldiselt:

sündmusi A ja B nimetatakse sõltumatuteks, kui neist ühe toimu-mine või mittetoimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumise tõenäosust.

Vaatleme nüüd katset, kus kõik toimub endisel viisil, kuid esimesena võetud kuu-li ei panda urni tagasi. Kui esimesel katsel toimus sündmus B, siis teise katse jaoks on urnis 11 valget kuuli ja kogu kuulide arv on 14. Seega on sündmuse A

toimumise tõenäosus 1114

. Kui esimesel katsel ei toimunud sündmus B (toimus

sündmus B ), siis sündmuse A toimumise tõenäosus on 1214

. Tõenäosused on eri-

nevad. Neid tõenäosusi nimetatakse vastavalt sündmuse A tinglikuks tõenäosu-seks tingimusel, et toimus (toimub) sündmus B, sümbol P(A / B), ja sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks tingimusel, et ei toimunud (ei toimu) sündmus B, sümbol P(A / B ):

11( / ) ,14

P A B = 12( / )14

P A B = .

Et sündmuse A tõenäosus sõltub sellest, kas sündmus B toimus või ei, nimetatak-se sündmust A sõltuvaks sündmusest B. Üldiselt:

sündmusi A ja B nimetatakse sõltuvateks, kui neist ühe toimumine või mittetoimumine mõjutab teise toimumise tõenäosust.

Seejuures

sündmuse A toimumise tõenäosust, mis on arvutatud eeldusel, et sündmus B toimus, nimetatakse sündmuse A tinglikuks tõenäosu-seks sündmuse B suhtes ja tähistatakse sümboliga P(A / B).

N ä i d e 1. Kaardipakis on 36 kaarti. Olgu sündmus B punase kaardi tulek ja sündmus A ärtu- või ruutuemanda tulek kaardi juhuslikul tõmbamisel. Tõenäosus

2 1( / )18 9

P A B = = , sest sündmus A saab toimuda nende juhtude seast, kus sünd-

mus B on juba toimunud (või toimub).

184

Tuletame tõenäosuste korrutamise lause. Olgu sündmused A ja B sõltuvad. Leia-me tõenäosuse P(A / B). Olgu sündmuse B toimumiseks soodsaid võimalusi k ja sündmuse A toimumiseks soodsaid võimalusi m, millest r võimalust (joon. 5.9)

on soodsad ka sündmuse B toimumiseks (r ≤ k). Siis ( / ) rP A Bk

= ehk

( / ) :r kP A Bn n

= . Et ( )r P ABn= ja ( )k P B

n= , siis ( )( / )

( )P ABP A BP B

= .

Viimasest võrdusest järeldub seos

P(AB) = P(B) · P(A / B),

mis väljendab tõenäosuste korrutamise lauset sõltuvate sündmuste korral.

N ä i d e 2. Artikli alguses oli näide, kus urnis oli 12 valget ja 3 sinist kuuli ning sündmus B oli valge kuuli tulek kuuli esimesel võttel ja sündmus A oli valge kuu-li tulek kuuli teisel võttel. Leiame valge kuuli tuleku tõenäosuse nii esimesel kui ka teisel võttel, kui esimesena võetud kuuli urni tagasi ei panda.

12 11 22( ) ( ) ( / ) 0,63.15 14 35

P AB P B P A B= ⋅ = ⋅ = ≈

Võrduse P(AB) = P(B) · P(A / B) vasakul poolel võib A ja B vahetada, sest AB = BA. Seda võib sümmeetria kaalutlusel teha ka paremal pool. Seega:

P(AB) = P(A) · P(B / A).

Vaatleme tõenäosuste korrutamise lauset sõltumatute sündmuste A ja B korral. Olgu sündmuse A jaoks soodsaid võimalusi k ja kõiki võimalusi n, sündmuse B jaoks aga soodsaid võimalusi m ja kõiki võimalusi n. Et sündmus AB tähendab nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumist, siis kombinatoorika korrutamislause põhjal on sündmuse AB jaoks soodsaid võimalusi k · m ning kõiki võimalusi n · n.

Nüüd ( ) ( ) ( ).k m k mP AB P A P Bn n n n⋅

= = ⋅ = ⋅⋅

Tähendab, sõltumatute sündmuste korral on

P(AB) = P(A) · P(B).

N ä i d e 3. Visatakse kaks korda täringut. Olgu sündmus A kuue silma tulek esimesel viskel ja sündmus B kuue silma tulek teisel viskel. Et sündmused A ja B

on sõltumatud, siis 1 1 1( ) ( ) ( ) 0,028.6 6 36

P AB P A P B= ⋅ = ⋅ = ≈

N ä i d e 4. Münti visatakse järjest kaks korda. Leiame tõenäosuse, et vapp tuleb esile kas esimesel või teisel viskel.

185

Lahendus. Olgu sündmuseks A vapi tulek esimesel viskel ja sündmuseks B vapi tulek teisel viskel. Sündmused on teineteist mittevälistavad. Seetõttu

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Et sündmused A ja B on sõltumatud, siis P(AB) = P(A) · P(B) = 1 1 12 2 4⋅ = ja

P(A + B) = 1 1 1 32 2 4 4+ − = . Sama tulemuse oleksime saanud ka kõigi võimaluste

ja neist soodsate võimaluste loetlemise teel: vapp-vapp, vapp-kiri, kiri-vapp, kiri-kiri; n = 4, k = 3, p = 3 : 4 = 0,75.

N ä i d e 5. Laual on 6 alust kompvekkidega. Üks ettekandja on neist täitnud 4 alust, pannes igale 15 täidisega ja 15 täidiseta kompvekki, teine aga 2 alust, pannes igale 10 täidisega ja 20 täidiseta kompvekki. Leiame, kui suur on tõenäosus, et ju-huslikult aluselt juhusliku kompveki võtmisel saame täidisega kompveki.

Lahendus. Sellist ülesannet on otstarbekas lahendada mitte valmis valemite abil vaid arutelu teel, kasutades tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreeme. P (täidisega kompvek) = P (täidisega kompvek kas esimese või teise ettekandja poolt täidetud aluselt). Juba väljendist kas… või… selgub, et vastavad tõenäosu-sed tuleb liita. Et tegemist on välistavate sündmustega, siis P (täidisega komp-vek) = P (täidisega kompvek esimese ettekandja poolt täidetud aluselt) + P (täidi-sega kompvek teise ettekandja poolt täidetud aluselt). Kuna kummagi ettekandja poolt täidetud aluseid on laual mitu, siis sulgudes märgitud sündmused tähenda-vad, et enne valitakse juhuslikult alus ja siis alles sellelt kompvek. Järelikult P (täidisega kompvek) = P (esimese ettekandja poolt täidetud alus ja sellelt täidi-sega kompvek) + P (teise ettekandja poolt täidetud alus ja sellelt täidisega komp-vek). Kummagi liidetava korral on tegemist kahe sündmuse korrutisega, kusjuu-res sündmused (valitakse teatud alus ja sellelt täidisega kompvek) on sõltuvad. Seega tuleb nüüd rakendada tõenäosuste korrutamise teoreemi sõltuvate sünd-muste korral: P (täidisega kompvek) = P (esimese ettekandja alus) · P (sellelt täidisega kompvek) +

+ P (teise ettekandja alus) · P (sellelt täidisega kompvek) = 4 15 2 10 4 0,44.6 30 6 30 9⋅ + ⋅ = ≈

A 813. Korvis on lillad ja kollased ploomid. Võetakse juhuslikult üks ploom ning süüakse

ära. Seejärel võetakse teine ploom. Sündmus A on kollase ploomi tulek esimesel võt-tel ja sündmus B kollase ploomi tulek teisel võttel. Kas sündmused A ja B on sõltu-vad või sõltumatud?

814. Sündmus A on ühe silma tulek täringu esimesel viskel, sündmus B aga kuue sil-ma tulek täringu teisel viskel. Kas sündmused A ja B on sõltuvad või sõltumatud?

186

815. Leidke ülesandes 813 esitatud juhul tõenäosused P(A), P(B /A) ja P(B / A ), kui korvis on 22 kollast ja 12 lillat ploomi.

816. Leidke eelmise ülesande andmetel sündmuse A B tõenäosus.

817. Kaardipakist, milles on 36 kaarti, tõmmatakse juhuslikult üks kaart ja seejärel teine. Kui suur on tõenäosus, et esimene kaart on must pilt (sündmus A) ja teine kaart on pilt (sündmus B)?

818. Kaks laskurit, kellel märklaua tabamise tõenäosus on vastavalt 0,7 ja 0,8, lasevad samasse märklauda. Kui suur on tõenäosus, et 1) nad mõlemad tabavad märki, 2) vähemalt üks tabab märki?

819. Kui suur on tõenäosus, et abikaasadel on ühel ja samal päeval sünnipäev?

820. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult kirjutatud positiivne murd, mille lugeja ja nimetaja on kahekohalised arvud, taandub kuuega?

821. Kaardipakist, milles on 36 kaarti, tõmmatakse juhuslikult üks kaart. Kui suur on tõenäosus, et tuleb kas ristikaart (sündmus A) või üks ässadest (sündmus B)?

822. Sorteerija ees laual on juhuslikus järjekorras 10 karpi nööpe. Neist neljas karbis on igas 200 sinist ja 300 rohelist nööpi ning kuues karbis 300 sinist ja 200 rohe-list nööpi. Sorteerija võtab juhuslikust karbist juhusliku nööbi. Kui suur on tõe-näosus, et see on sinine nööp?

823. Laual on juhuslikus järjekorras kolm urni, millest ühes on 4 valget ja 6 musta kuuli, teises 10 valget ja 8 musta kuuli ning kolmandas 2 valget ja 10 musta kuu-li. Võetakse juhuslikust urnist juhuslikult kuul. Kui suur on tõenäosus, et see on valge?

824. Urnist, kus on 10 valget ja 8 musta kuuli, võetakse juhuslikult kuul, vaadatakse selle värvus ja pannakse urni tagasi. Pärast kuulide segamist korratakse katset. Kui suur on tõenäosus, et mõlemal katsel saadi must kuul? Lahendage see üles-anne ka eeldusel, et esimest kuuli urni tagasi ei panda.

825. Samu tooteid valmistavad tehases neli masinat. Esimene masin valmistab vahetu-ses 80 toodet, kusjuures praagi tõenäosus on 0,025, teisel masinal on need näita-jad 60 ja 0,01, kolmandal 60 ja 0,05 ning neljandal 90 ja 0,03. Leidke tõenäosus, et vahetuse toodangust juhuslikult valitud toode on praak.

5.8. GEOMEETRILINE TÕENÄOSUS Sündmuse klassikalise tõenäosuse defineerimisel eeldasime, et kõigi võimaluste arv (n) on lõplik. Kuidas aga leida tõenäosust siis, kui kõiki võimalusi meid huvi-tava sündmuse korral on lõpmatult palju? Tavaliselt on siis ka sündmuse toimu-miseks soodsaid võimalusi lõpmatult palju.

187

N ä i d e 1. Külma vee toru on 200 m ulatuses maa sees. Torusse tekkis auk. Võimalus augu tekkimiseks on kogu toru ulatuses sama. Kui suur on tõenäosus, et auk on tekkinud maantee all (sündmus A), mille laius on 15 m? Lahendus. Et toru pikkus on pidev suurus ja augu tekkimise võimalikke kohti (punkte torul) on lõpmatult palju (samuti on soodsaid punkte lõpmatult palju), siis klassikalist tõenäosuse definitsiooni rakendada ei saa. Arutleme piltlikult, tuginedes ettekujutlusele lõplikest suurustest: tundub loomulik olevat, et toru pikkus on võrdeline “punktide arvuga” (lõpmatus!) torul. Kui nii, siis saame ebamäärase mõiste “punktide arv” asendada toru pikkusega ning otsitav tõenäo-sus peaks olema 15 : 200 = 0,075. Nii ta tegelikult ka on, sest geomeetriline tõe-näosus defineeritakse lõpliku lõigu L (lõigu all mõtleme ka selle pikkust) korral kui sündmuse jaoks “soodsa pikkuse” l ja kogu pikkuse L jagatis.

Üldiselt defineeritakse geomeetriline tõenäosus järgmiselt:

Kui mingi geomeetrilise piirkonna D (lõik, tasandi või ruumi osa), mille mõõde (pikkus, pindala, ruumala) on S, tabamine on kindel, siis selle piirkonna osapiirkonna d, mille mõõde on s, tabamise tõenäosus on sS

.

Seejuures eeldatakse, et piirkonna D iga punkti tabamiseks on võrdsed võimalused.

N ä i d e 2. Kui suur on tõenäosus tabada joonisel kujutatud ruudukujulise märk-laua värvitud osa? Lahendus. Olgu märklaua külg a. Siis värvimata kolmnurkade kaatetid on 0,5a ning nende kolmnurkade pindalade summa on

20,5 0,542 2

a a a⋅⋅ = .

Värvitud osa pindala on a2 – 0,5a2 = 0,5a2. Otsitav tõenäosus p = 0,5a2 : a2 = 0,5.

N ä i d e 3. Poiss viskab palli diameetriga 6 cm läbi ristkülikukujulise ava mõõtmetega 20 × 15 cm. Kui suur on tõenäosus, et pall läbib ava nö. puhtalt?

Lahendus. Loeme palli puhtaks läbiminekuks avast veel seda, kui ta puudutab ava serva. Kui palli kesk-punkt (joonisel suurringi keskpunkt) on katkendliku joonega märgitud ristkülikus, mille mõõtmed on 20 – 6 = 14 cm ja 15 – 6 = 9 cm, siis pall läbib ava.

Seega 14 9 0,42.20 15

p ⋅= =

⋅

Joon.5.10

Joon.5.11

188

N ä i d e 4. Iga kahe linnaliini bussi ajaline vahe on 12 minutit. Buss, mis tuleb lõpp-peatusse, seisab seal 3 minutit ja sõidab siis liinile. Bussile mineja jõuab lõpp-peatusse juhuslikul ajal. Kui suur on tõenäosus, et ta jõuab lõpp-peatusse ajal, mil buss seal seisab? Lahendus. Aja “punktide hulki” 3 min ja 12 min saab kujutada sirgel lõikudena, näiteks 3 cm ja 12 cm. Tuginedes nüüd geomeetrilise tõenäosuse definitsioonile, saame, et p = 3 : (3 + 12) = 0,2.

A 826. Joonisel 5.12 on kujutatud kolm märklauda, millest kaks esimest on ruudukujuli-

sed. Eeldame, et märklauda tulistatakse sihtimata. Kui suur on tõenäosus, et taba-takse märklaua värvitud osa?

827. Mõõtke sekundites lähima valgusfoori tsükli erinevate osade pikkus (rohelise, kollase, punase ja kollase tule kestus) ning leidke, kui suur on tõenäosus, et ju-huslikul ajamomendil foori juurde jõudes pääsete kohe edasi.

828. Laud on kaetud valge linaga, millesse on iga 8 cm järel kootud väga peenikesed rohelised paralleelid. Kui suur on tõenäosus, et visates lauale kroonise metallra-ha, see ei lõiku joontega? Mitmel korral on keskmiselt loota, et raha ei lõika joo-ni, kui katseid teha 80?

829. Lahendage eelmine ülesanne eeldusel, et laual on ruuduline lina ruudu küljega 8 cm.

830. Maja välisukses on ridamisi ruudukujulised aknakesed külje pikkusega 8 cm. Puidust raamid akende vahel on 2 cm laiad. Margus viskab ust ümmarguse kivi-ga, mille diameeter on 3 cm. Kui suur on aknakese purunemise tõenäosus eeldu-sel, et kivi, mis läheb juba veidi vastu raami, ei purusta akent?

B 831. Mihkel ja Mirjam otsustasid kohtuda ajavahemikus 20.00 kuni 21.00 Tartu rae-

koja platsil purskkaevu juures. Tingimuseks oli, et see, kes kohale jõuab, ootab teist 20 minutit ja läheb siis ära. Leidke tõenäosus, et Mihkel ja Mirjam kohtusid.

Joon.5.12

189

5.9. STATISTILINE TÕENÄOSUS Sündmuse klassikalise tõenäosuse definitsioon eeldab sündmuse kõigi võimalus-te võrdvõimalikkust. Seda ei ole aga sageli võimalik kindlaks teha või siis kõik üksikjuhud ei olegi võrdvõimalikud. Olgu poeglapse sünd sündmus A. Kui eeldada, et sündmuse A jaoks on kõiki võimalusi kaks – sünnib kas poiss või sünnib tüdruk (tegelikult võivad sündida ka kaksikud) – pole selge, kas need võimalused on võrdvõimalikud. Järelikult ei või poeglapse sündimise tõenäosust arvutada klassikalise tõenäosuse definitsioo-ni järgi. Kuidas aga sellisel juhul sündmuse tõenäosust leida? Olgu vaatluse all sündmus A, mis iga katse korral kas toimub või ei toimu. Eel-dame, et katseid (ka vaatlus on katse) saab korrata kui tahes palju kordi järjest. Katse võimalikud erinevad tulemused ei pea olema (aga võivad olla) seejuures võrdvõimalikud. Kui sündmus A esines n katse korral (ühe katseseeria korral) m korda, siis arvu m nimetatakse sündmuse A sageduseks (nn. absoluutseks sage-duseks) ning suhet

mn

sündmuse A suhteliseks sageduseks (ka relatiivseks sageduseks). Suhtelist sage-dust väljendatakse sageli protsentides.

Sündmuse A statistiliseks tõenäosuseks nimetatakse sündmuse A

suhtelist sagedust mn

küllalt suure katsete arvu n korral.

N ä i d e 1. Inglise matemaatik K. Pearson viskas münti 12 000 korda ja vapp esines 6019 korda. Seejärel viskas ta münti veel 12 000 korda ning vapp esines nüüd 5993 korda. Esimese katseseeria korral oli vapi esinemise suhteline sagedus 0,5016, teise seeria korral aga 0,4994. Neid arve võib definitsiooni kohaselt võtta vapi esinemise statistiliseks tõenäosuseks, kuid K. Pearsoni poolt tehtud katseid võib vaadelda ka ühe katseseeriana, kus n = 24 000, ja vapi esinemise sagedus on 12 012. Nüüd on vapi tuleku (kui juhusliku sündmuse) statistiline tõenäosus 0,5005.

Näitest selgub, et sündmuse statistiline tõenäosus on sündmuse klassikalise tõenäosuse (mündi viskamisel on vapi tuleku tõenäosus 0,5) hinnanguks. Võib teha ka oletuse, et mida suurem on katsete arv, seda vähem erineb sündmuse suhteline sagedus klassikalisest tõenäosusest (12 000 katse järel oli erinevus 0,0016, 24 000 katse järel 0,0005). Selgub, et viimane väide nii reso-luutsena siiski ei kehti. Osutub, et pikkade katseseeriate puhul ei erine sünd-muse suhtelised sagedused klassikalisest tõenäosusest tõenäoliselt kuigi palju; teisiti öeldes:

190

mida rohkem tehakse katseid, seda tõenäosem on, et sündmuse

suhteline sagedus mn

erineb sündmuse tõenäosusest p järjest vähem.

Öeldu väljendab tõenäosusteoorias tuntud suurte arvude seaduse mõtet.

N ä i d e 2. Leiame statistiliste andmete põhjal poeglapse sündimise tõenäosuse. Kasutame selleks Eesti kohta käivaid andmeid aastaist 1986–1994. Nimetatud ajavahemikul sündis Eestis 187 526 last, kellest 96 477 olid poisid. Seega oli poeglaste sündimise suhteline sagedus 96 477 0,514

187 526≈ , mida võib võttagi poeg-

lapse sündimise (statistiliseks) tõenäosuseks. Nagu tulemus kinnitab, ei olegi poeg- ja tütarlapse sündimine võrdvõimalikud juhud (tõenäosused 0,514 ja 0,486). Arvutades samadel andmetel 100 vastsündinud tüdruku kohta tuleva pois-te sünnijuhtude arvu, saame 105,96 (tõenäosuse 0,514 järgi 105,76). See ühtib juba 17. sajandil fikseeritud seaduspärasusega, et iga 100 tüdruku sünni kohta tuleb 105–106 poisi sündi.

Sündmuse statistilise tõenäosuse korral kehtivad samad omadused, mis sündmuse klassikalise tõenäosuse korral:

1) 0 1,mn

≤ ≤ sest 0 ≤ m ≤ n,

2) ( ) 1nP Un

= = ,

3) 0( ) 0P Vn

= = ,

4) ( ) ( ) 1,P A P A+ = sest 1m n mn n

−+ = .

Järelikult ei ole edaspidi põhjust vahet teha kuidas tõenäosus arvutati. Tõenäo-sust, mis on korrektselt leitud, tuleb kõikjal kasutada ühtviisi.

A 832. Maa ja linna üldhariduskoolide õpilaste arvu vahekord on olnud viimase 20 aasta

jooksul Eestis võrdlemisi stabiilne. Leidke maakoolide õpilaste suhteline sage-dus, kui õpilasi oli

1992. a. maakoolides 52 283, linnakoolides 157 908, 1993. a. maakoolides 53 089, linnakoolides 155 927, 1994. a. maakoolides 53 784, linnakoolides 158 591. Leidke statistiline tõenäosus, et koolinoorte spordivõistlusel juhuslikult kõne-

tatud õpilane on 1) maakoolist, 2) linnakoolist? 833. Idanemisprooviks võeti 250 seemet. Nendest idanes 230. Kui suur on seemnete

idanemisprotsent? Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult võetud seeme idaneb? Mitu taime on loota saada külvatud 374 seemnest?

191

834. Tõenäosus, et elektripirne tootva tehase juhuslikult võetud pirn ei põle, on 0,025. Mitu elektripirni on kvaliteetsed toodetud 25 400 pirni seas?

835. Urnis on 60 ühesuurust ja üheraskust, kuid merinevat värvi kuuli. Kuulid segati ja võeti neist juhuslikult üks, vaadati selle värv ning kuul pandi tagasi urni. Nii

toimiti palju kordi ja leiti, et rohelise kuuli saamise statistiline tõenäosus on 112

,

valge kuuli korral 14

, sinise korral 720

, punase korral 215

ja musta korral 16

. Mi-

tu rohelist, valget, sinist, punast ja musta kuuli oli tõenäoliselt urnis? Mitut erine-vat värvi kuule oli arvatavasti üldse urnis?

836. Lugege ära mõne eestikeelse teksti kahe rea tähtede arv ja tähe a, s, k või i esi-nemise arv. Arvutage selle tähe esinemise suhteline sagedus. Leidke valitud tähe esinemise suhteline sagedus mõnes võõrkeelses tekstis. Võrrelge tulemusi.

837. Ettevõttes on 98% toodangust kvaliteetne. Igast sajast kvaliteetsest tootest on eri-ti vastupidavad 60. Leidke tõenäosus selleks, et selles ettevõttes parajasti valmiv toode on eriti vastupidav.

838. Detaili valmistamisel tuleb sooritada kolm operatsiooni. Praagi tekkimise tõenäo-sus esimese operatsiooni juures on 0,03, teise juures 0,01 ja kolmanda juures 0,025. Kui suur on tõenäosus, et valmiv detail on standardne? Mitu standardset detaili on keskmiselt 1000 valmistatud detaili seas?

5.10. STATISTILINE ANDMESTIK Üsna sageli tahetakse uurida inimeste, olendite, esemete või nähtuste kogumit (hulka) kui tervikut mingi omaduse või tunnuse seisukohalt. Nii näiteks võidakse tunda huvi, milline on Eestis elavate 17-aastaste noormeeste keskmine pikkus, kummas paralleelklassis läks matemaatika eksamitöö paremini, kuidas jaotuvad ettevõtete juhid Eestis palga suuruse järgi, milline on lilla sireli õite jaotus õieleh-tede arvu järgi. Kuidas koguda vastavaid andmeid, neid esitada, uurida ja järeldu-si teha – sellega tegeleb matemaatika osa, mille nimetuseks on matemaatiline statistika1. Matemaatiline statistika tugineb seejuures suuresti tõenäosus-teooriale. Uuritavat kogumit, mille kui terviku kohta tahetakse järeldusi teha, nimetatakse statistiliseks kogumiks. Seda ei uurita tavaliselt kõikvõimalikest aspektidest vaid mingi phe (või mõne) tunnuse (omaduse) seisukohalt. Tunnuseks võivad olla näiteks inimeste pikkus, õpilaste hinne matemaatika eksamil, töötajate palk, rahvus, terade arv viljapeas. 1 Esimesed matemaatilise statistika alased tulemused pärinevad prantsuse matemaatikult P. S. Laplace´ilt (1749–1827) ja saksa matemaatikult C. F. Gaussilt (1777–1855). Oma-ette uurimissuunaks kujunes matemaatiline statistika aga 20. sajandi algul.

192

Tunnused liigituvad arvulisteks ja mittearvulisteks. Arvuline tunnus ehk arv-tunnus on tunnus, mille väärtusteks on arvud. Näiteks inimese pikkus, terade arv viljapeas, palga suurus. Mittearvuline tunnus on tunnus, mille väärtusteks ei ole arvud. Näiteks rahvus, silmade värv. Arvulised tunnused jaotatakse omakorda kaheks: pidevateks ja diskreetseteks. Pidevaks tunnuseks nimetatakse tunnust, mis võib saada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast. Sellised tunnused on näiteks pikkus, kehakaal, tem-peratuur. Diskreetseks tunnuseks nimetatakse tunnust, mis võib saada vaid ük-sikuid eraldiseisvaid (tavaliselt täisarvulisi) väärtusi. Sellised tunnused on näiteks seemnete arv viljapeas, tähtede arv sõnas, lehekülgede arv raamatus. Diskreetse ja pideva tunnuse eristamine on mõneti tinglik, sest pidevat tunnust (näiteks vanus) käsitletakse sageli diskreetsena (üldiselt vanust mõõdetakse täis-aastates). Tunnust, mille järgi vaadeldavat kogumit uuritakse, tähistatakse suurtähega, tava-liselt X, Y, Z. Tunnuse suvalist väärtust (ka mittearvulise tunnuse korral) aga vas-tava väiketähega x, y, z. Konkreetse väärtuse märkimiseks lisatakse väiketähele indeks: x1, x2, … . Uuritava kogumi objektide mõõtmisel saadakse vaadeldava tunnuse väärtuste rida, nn. statistiline rida:

a1, a2, a3, …, aN.

Igat arvu (väärtust) selles reas nimetatakse statistilise rea liikmeks. Tunnuse väärtuste arvu N nimetatakse kogumi mahuks või statistilise rea mahuks. Et statistiline rida ei ole (andmed esinevad reas mõõtmise järjekorras), siis on ots-tarbekas seda korrastada. Selleks kirjutatakse rea liikmed kas kasvavas või kaha-nevas järjekorras, kusjuures võrdsed liikmed kirjutatakse järjest. Tulemusena saadakse nn. variatsioonrida.

N ä i d e 1. Ühe klassi kontrolltöö hinnete variatsioonrida oli järgmine:

2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.

Siit on küll kerge leida hinnete vähimat väärtust (amin = 2) ja suurimat väärtust (amax = 5), kuid vähegi mahukama kogumi korral on andmete selline esitus ikka kohmakas.

Veelgi otstarbekam on esitada andmed sagedustabelina, kus igale hindele vastab tema esinemise arv (vt. näide 1):

Hinne (x) 2 3 4 5 Sagedus (f) 3 7 10 8

Sellest saab parema ülevaate hinnete jaotusest ning lihtne on leida, et kõige sage-damini esineb hinne 4. Ka kogumi mahtu N on kerge leida: N = 3 + 7 + + 10 + 8 = 28.

193

Sagedustabel esitatakse kas horisontaalsena või vertikaalsena.

x x1 x2 x3 … xn f f1 f2 f3 … fn

Kogumi maht

N = f1 + f2 + f3 + … + fn.

Parema üldpildi saamiseks andmete muutumisest kujutatakse need geomeetrili-selt sirglõikdiagrammina, mida nimetatakse sagedushulknurgaks (ka sagedus-murdjooneks). Joonisel 5.13 on esitatud näite 1 andmetele vastav sagedushulk-nurk.

Kahe kogumi võrdlemiseks mingi tunnuse järgi võrreldakse vastavaid sagedusta-beleid või sagedushulknurki. Seda on aga tülikas teha ja see ei anna ka kiirelt õigeid järeldusi, kui kogumite mahud on erinevad.

N ä i d e 2. Järgnevas tabelis on esitatud sama kontrolltöö tulemused nii klas-sis A (näite 1 andmed) kui ka klassis B. Kummas klassis tehti töö paremini?

Hinne (x) 2 3 4 5 Tööde arv (f) A klassis 3 7 10 8 Tööde arv (f) B klassis 2 5 9 6

Andmeid on raske võrrelda, sest vastavad diagrammid (joon. 5.14) on küll sarnase kujuga, kuid ühel juhul oli kontrolltöö tegijaid 28, teisel juhul aga 22. Seega ei ole selge, kuivõrd ühe või teise hinnete arvu vähenemine mõjutas üldist tulemust, ehk teisiti, milline on ühe või teise hinde osakaal vastava klassi kõigi hinnete seas.

x f x1

x2 x3

xn

f1 f2 f3

fn

Joon.5.13 Joon.5.14

194

Erineva mahuga kogumite võrdlemiseks on otstarbekas kasutada sageduste ase-

mel suhtelisi sagedusi. Suhteline sagedus antakse kas arvuna = ii

fwN

või prot-

sendina (%) 100%,= ⋅ii

fwN

mis näitab, milline on tunnuse väärtuse xi osakaal

kõigi väärtuste seas.

Tabelit, kus tunnuse väärtustele on seatud vastavusse nende esi-nemise suhteline sagedus, nimetatakse jaotustabeliks.

Üldtähistuses on jaotustabel järgmine:

x x1 x2 x3 … xn

w w1 w2 w3 … wn

Seejuures on w1 + w2 + w3 + … + wn = 1, kui ii

fwN

= , ja

w1 + w2 + w3 + … + wn = 100%, kui 100%.ii

fwN

= ⋅

Jaotustabelile vastavat sirglõikdiagrammi nimetatakse jaotushulknurgaks (ka jaotuspolügooniks).

N ä i d e 3. Siin esitatud tabelis on näite 2 andmetele vastavad hinnete jaotusta-belid. Joonisel 5.15 on vastavad jaotushulknurgad.

x 2 3 4 5 wA 11% 25% 36% 28%wB 9% 23% 41% 27%

Nii tabeli kui ka joonise põhjal selgub, et B klassis on kontrolltöö tehtud mõ-nevõrra paremini: hinnete “2” ja “3” osakaal on vähenenud, veidi on vähe-nenud küll ka hinde “5” osakaal, kuid hinde “4” osakaal on oluliselt tõusnud. Öeldut kinnitab hinnete “4” ja “5” suh-teliste sageduste summaarne võrdlemi-ne: 64% ja 68%.

Kui kogumi tunnus on pidev või diskreetse tunnuse väärtusi on väga palju, ei esi-tata andmete tabelis tunnuse üksikuid väärtusi, vaid väärtuste vahemikud ehk klassid. Vahemike otspunkte nimetatakse siis klassipiirideks. Selline tabel (Eesti ja Tartu elanike jaotus vanuse järgi) on esitatud ülesandes 845. Kui vahemike

Joon.5.15

195

otspunktid on tabelis esitatud nii, et kõigi vahemike esimesed otspunktid on võrdsed eelmise vahemiku (nn madalama vahemiku) teise otspunktiga, loetakse kahe vahemiku piiril olev arv madalamasse vahemikku kuuluvaks. Niisugune (ühe klassi õpilaste pikkuste) tabel on esitatud näites 4. Tunnuse väärtuse vahemike arv sõltub uuritavast nähtusest ja uurimiseesmärgist. Üks „jäme” reegel on järgmine: kui kogumi maht N pole väga suur, on sobiv va-hemike arv umbes N .

N ä i d e 4. Ühe klassi õpilaste pikkuste variatsioonrida on järgmine: 156, 158, 159, 160, 160, 162, 163, 163, 163, 165, 165, 165, 166, 166, 167, 167, 167, 167, 168, 168, 168, 169, 170, 171, 171, 172, 173, 173, 173, 174, 174, 176, 184. Koostame vastava sagedustabeli ja jaotustabeli, kus tunnuse väärtused on esitatud vahemikes. Et N = 33 ja 33 5,7≈ , siis sobiv vahemike arv on 6 või 5. Kuna ulatus xmax –xmin = 181 – 56 = 28 ei jagu vahemike arvuga 5 või 6 ja vahemike otspunk-tideks eelistatakse täisarve, võtame ulatuseks 30, mis annab vahemike arvu 6 kor-ral vahemike pikkuseks 5 ühikut. Pikendanud ulatust 2 ühiku võrra, võtame esi-mese vahemiku alumiseks piiriks 155 ja viimase vahemiku ülemiseks piiriks 185. Nii saame järgmise tabeli:

Vahemikud (cm) f w(%)155 < x ≤ 160 160 < x ≤ 165 165 < x ≤ 170 170 < x ≤ 175 175 < x ≤ 180 180 < x ≤ 185

5 7

11 8 1 1

15 21 34 24 3 3

33 100

Vahemikke võib märkida võrratusena nagu näites 4 antud jaotustabelis, kujul 155…160, 160…165, jne. või kujul 155 – 160, 160 – 165 jne. Kui sagedus- või jaotustabelis on tunnuse väärtused esitatud vahemikena, kujuta-takse neid andmeid geomeetriliselt tulpdiagrammina, mida nimetatakse histogrammiks. Näite 4 jaotustabelile vastav histogramm on joonisel 5.16.

Joon.5.16

196

Otsmised vahemikud võivad olla ka lahtised, s.t. esimese vahemiku alumine piir ja viimase vahemiku ülemine piir jäävad fikseerimata. Näite 4 puhul oleks esi-mene vahemik x ≤ 160 ja viimane vahemik 180 < x. Histogrammil jääb sel juhul esimene ja viimane vertikaallõik lõiguna joonestamata. Histogrammiga esitatakse tunnuse jaotus ka siis, kui tunnus on mittearvuline. Samuti sobib sel juhul hästi ka sektordiagramm. Näiteks joonisel 5.17 on esitatud 1990. a. Tartus sündinud laste sagedushistogramm ja sektordiagramm.

A 839. Milline järgmistest tunnustest on arvuline, mittearvuline, pidev, diskreetne: nimi,

sugu, sünniaasta, haridus, kasv, vanus, kinga number, töötasu, töökoht? 840. Meeste kingakaupluses müüdi ühe tunni jooksul 20 paari kingi numbritega 39,

41, 40, 41, 44, 40, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 38, 42, 41, 43, 41, 39, 40. Mis tüüpi on vaadeldava kogumi tunnus? Koostage vastav sagedustabel ja joonestage dia-gramm. Milliseid kingi müüdi poes selle tunni jooksul kõige enam, milliseid kõi-ge vähem?

841. Koostage oma klassi tütarlaste ja noormeeste kinganumbrite sagedus- ning jao-tustabel. Konstrueerige samasse teljestikku nii tütarlaste kui ka noormeeste kin-ganumbrite jaotushulknurk. Milline on tütarlaste ja milline noormeeste kõige sa-gedamini esinev kinganumber? Millistes piirides muutub teie klassi tütarlaste ja millistes piirides noormeeste kinganumber?

842. Koostage oma klassi kolme viimase matemaatika kontrolltöö hinnete jaotustabel ja jaotushulknurk. Kas on märgata mingit seaduspärasust?

843. Koostage näite 4 andmetel tunnuse sagedustabel, jaotustabel ja sellele vastav histogramm, kui klasse on 5.

844. Koostage eraldi oma klassi tütarlaste ja noormeeste pikkuste jaotustabel. Tunnuse vahemikud võtke samad. Joonestage samasse teljestikku vastavad histogrammid. Millistes piirides muutub tütarlaste ja millistes noormeeste kasv? Milline on kõi-ge sagedamini esinevate pikkuste vahemik tütarlastel, milline noormeestel?

Joon.5.17

197

845. Järgnevas on esitatud Eesti ja Tartu elanike vanuse sagedustabel 1989. a. kohta. Koostage vastavad jaotustabelid. Millised on suuremad erinevused jaotustes? Millest need erinevused võiksid olla tingitud? Joonestage samasse teljestikku mõlemad histogrammid.

Vanus Eesti Tartu 0–9

10–19 20–29 30–39 40–49 50–59 60–69

70 ja üle

237 920 225 251 225 119 236 032 190 967 192 956 143 514 121 080

15 851 17 802 19 518 15 028 13 454 13 056 10 003

8 708 Kokku 1 572 839 113 420

846. Koostage oma klassi õpilaste jaotustabel sünnikuu järgi. Joonestage vastav histogramm.

847. Loendage mõne eestikeelse raamatu kahes juhuslikus reas olev täishäälikute ja kaashäälikute arv. Koostage vastav sagedustabel ja jaotustabel. Liitke kõigi õpi-laste tulemused. Koostage vastav jaotustabel eestikeelse teksti kohta. Võrrelge eestikeelse teksti põhjal saadud jaotust saksa-, inglis- ja prantsuskeelse teksti põhjal saadud jaotustega järgnevas tabelis. Koostage vastavad sektordiagrammid.

Täishäälikud Kaashäälikud Saksakeelne tekst 38,4% 61,6% Ingliskeelne tekst 37,2% 62,8% Prantsuskeelne tekst 44,5% 55,5%

848. Järgnev tabel esitab Eesti rahvusliku koosseisu (tuhandetes inimestes) erinevatel aastatel. Arvutage rahvuste esinemise suhtelised sagedused ning kujutage kolm jaotust sobivalt valitud diagrammidena. Otstarbekas on seda teha arvuti abil.

Rahvus 1934. a. 1989. a. 2000. a. Eestlased 995,0 963,3 930,2 Venelased 91,9 474,8 351,2 Ukrainlased 0,1 48,3 29,0 Valgevenelased 27,7 17,2 Soomlased 1,1 16,6 11,8 Tatarlased 0,2 4,1 2,6

198

Lätlased 5,4 3,1 2,3 Juudid 4,4 4,6 2,1 Poolakad 1,6 3,0 2,2 Leedulased 0,2 2,6 2,1 Sakslased 16,2 3,5 1,9 Rootslased 7,6 0,3 0,3 Muud 2,7 13,8 17,2 Kokku 1126,4 1565,7 1370,1

5.11. ARITMEETILINE KESKMINE, MEDIAAN, MOOD Statistiliste andmete kogumisele järgneb andmete töötlemine ehk andmeana-lüüs. Selle käigus leitakse arvulised suurused, nn. karakteristikud, mis iseloo-mustavad tunnuse väärtuste jaotust kui tervikut mingist seisukohast. Põhilised karakteristikud jagunevad kahte rühma: 1) paiknemise karakteristikud ehk kesk-mised ja 2) hajuvuse karakteristikud. Paiknemise karakteristikud annavad informatsiooni tunnuse väärtuste paikne-mise kohta arvteljel ja iseloomustavad tunnust keskmise väärtuse seisukohalt. Hajuvuse karakteristikud näitavad mil määral erinevad tunnuse väärtused üks-teisest, hajuvad keskmise ümber. Vaatleme järgnevalt paiknemise karakteristikuid. Need on aritmeetiline keskmi-ne, mediaan ja mood.

Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse tunnuse kõigi väärtuste summa ja kogumi mahu (objektide arvu) jagatist.

Statistilise rea a1, a2, a3, …, aN, korral on

Na + a + a + ... + ax =

N1 2 3 ehk ∑

N

ii=

x = aN 1

1.

Kui andmestik on esitatud sagedustabelina

x x1 x2 x3 … xn

f f1 f2 f3 … fn

on aritmeetiline keskmine

n nx f + x f + ... + x fx =

N1 1 2 2 ehk ∑

n

i ii=

x = x fN 1

1.

199

Kui andmestik on esitatud jaotustabelina

x x1 x2 x3 … xn

w w1 w2 w3 … wn

on ii

fw =

N korral aritmeetiline keskmine

n nx = x w + x w + ... + x w1 1 2 2 ehk ∑n

i ii=

x = x w1

ja ii

fw =

N · 100% korral

n nx w + x w + ... + x wx = 1 1 2 2

100 ehk ∑

n

i ii=

x = x w1

1100

.

Tõepoolest, wi = fi : N korral on

1 1 2 2 1 21 2

... ...n n nn

x f x f x f ff fx x x xN N N N

+ + += = + + + =

1 1 2 2 ... n nx w x w x w= + + + ; analoogiliselt saame juhul w(%).

N ä i d e 1. Art. 5.10. näite 1 või näite 2 juhu A andmetel on kontrolltöö hinnete aritmeetiline keskmine

2 3 3 7 4 10 5 8 107 3,82 3,828 28

x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = ≈ ≈ .

Sama töö hinnete aritmeetilise keskmise saame ka näite 3 esimese jaotustabeli andmetest (klass A):

2 11 3 25 4 36 5 28 381 3,828 100

x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = ≈ .

Kui statistiline andmestik on antud sagedus- või jaotustabeliga, kus tunnuse väär-tused on esitatud vahemikena, leitakse iga vahemiku esindaja, tavaliselt vahemi-ku xi < x ≤ xi + 1 keskmine väärtus

11 ( )2 i ix x ++ ,

millega arvutatakse edasi nagu tunnuse üksikute väärtuste korral.

N ä i d e 2. Leiame art. 5.10 näites 4 saadud tabeli andmetel õpilaste pikkuste aritmeetilise keskmise. Arvutused vormistame tabelina, mida on eriti otstarbekas teha (tasku)arvuti puudumisel.

200

Pikkus X fi Vahemiku esindaja xi fi xi

155 < x ≤ 160 160 < x ≤ 165 165 < x ≤ 170 170 < x ≤ 175 175 < x ≤ 180 180 < x ≤ 185

5 7

11 8 1 1

157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 182,5

787,5 1137,5 1842,5 1380,0 177,5 182,5

Kokku 33 5507,5

5507,5 166,933

x = ≈

Vaadeldava klassi õpilaste keskmine pikkus on 166,9 cm.

Mediaaniks nimetatakse tunnuse väärtust, millest suuremaid (või võrdseid) ja väiksemaid (või võrdseid) liikmeid on variatsioonreas ühepalju.

Mediaani tähistatakse sümboliga Me või me. Kui variatsioonreas on paaritu arv liikmeid (N on paaritu arv), on mediaaniks variatsioonrea keskmine liige. Kui aga variatsioonreas on paarisarv liikmeid, on mediaaniks kahe keskmise liikme arit-meetiline keskmine. Lühemalt:

Me = xi , kus i = 12

(N + 1), kui N on paaritu arv,

Me = 12

(xi + xi + 1), kus i = N2

, kui N on paarisarv.

N ä i d e 3. Ühe klassi noormeeste kinganumbrite variatsioonrida on 39, 39, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, tütarlastel aga 35, 35, 35, 35, 36, 39. Leiame vastavad me-diaanid. Et esimesel juhul on N = 9, siis Me = x5 = 40, sest keskmise liikme indeks

1 (9 1) 52

i = ⋅ + = . Tütarlaste kinganumbrite variatsioonreas on paarisarv liikmeid

(N = 6), seega 3 41 1( ) (35 35) 35.2 2

Me x x= + = + =

N ä i d e 4. Järgnevas tabelis on esitatud kontrolltöö hinded. Leiame hinnete me-diaani.

x 2 3 4 5 f 3 7 10 8 w 11% 25% 36% 28%

201

Et hindeid on paarisarv ja N = 28, siis 14 151 ( ).2

Me x x= + Liites järjest sagedusi,

saame, et x14 = x15 = 4. Järelikult Me = 4. Suhteliste sageduste korral liidame jär-jest protsente ja vaatame, millise hinde korral saab summa suuremaks kui 50%: 11 + 25 = 36, kuid 11 + 25 + 36 > 50. Seega sai neljade lisamisel sageduste summa suuremaks kui 50% ja järelikult Me = 4.

Vahemikes esitatud sagedus- või jaotustabeli korral toimitakse nii nagu näites 4, aga tulemuseks saadakse nn. mediaanvahemik. Näite 2 andmete korral on sel-leks vahemik 165 < x ≤ 170. Kui opereerida intervalli esindajaga, saame mediaa-niks 167,5. Vastavast variatsioonreast (näide 4 art. 5.10) leiame, et Me = 167. Kuigi aritmeetiline keskmine on keskmistest enamkasutatav, on juhtumeid, kus mediaan on sobivam. Nii on just siis, kui variatsioonireas on üksikuid ebaharili-kult suuri või väikseid väärtusi ja kogumi maht on väike. Nüüd nihkub aritmeeti-line keskmine arvteljel kohta, kus tunnuse väärtusi tegelikult pole või on väga vähe. Mõningal määral ilmneb see ka näite 3 korral, kus tütarlaste keskmine kin-ganumber x = 35,8 ≈ 36, samal ajal kui enamik andmeid on 35-st 36-ni. Mediaan on aga 35, mis on keskmisena siin loomulikum. Mediaani saab kergesti leida ja samas on ta hea aritmeetilise keskmise ligikaud-seks hindamiseks. Mida sümmeetrilisem on tunnuse jaotus, seda paremini ise-loomustab mediaan keskmist. Näiteks noormeeste kinganumbrite mediaan näites 3 on 40, aritmeetiline keskmine aga 40,1. Mediaani saab sageli leida ka ühe või kahe mõõtmise teel. Leides näiteks õpilaste pikkuse mediaani, rivistame õpilased pikkuse järgi ja seejärel mõõdame rea keskel asuva ühe või kahe õpilase pikkuse.

Moodiks nimetatakse tunnuse kõige sagedamini esinevat väär-tust.

Moodi tähistatakse sümboliga Mo või mo. Kontrolltöö hinnete mood on näite 4 korral 4, sest sellele vastav sagedus on kõige suurem (f = 10 või w = 36%). Kui andmed on esitatud vahemikes, antakse kõige suurema sagedusega vahemik. Näi-te 2 korral on selleks vahemik 165 < x ≤ 170. Tunnusel võib moode olla ka rohkem kui üks või tal võib ka mood puududa (kõi-gi väärtuste esinemise sagedus on sama). Kui moode on kaks, öeldakse, et tunnus (vaadeldav jaotus) on bimodaalne. Kui jaotus on täiesti sümmeetriline ja sellel on üks mood, on .x Me Mo= = Moodi kasutatakse majanduses, kaubanduses, tarbija vajaduste uurimisel jne. Mõningatel juhtudel võib moodi vaadelda kui normi. Näiteks meeste soengu mood kui normaalne soeng, esmaabiellujate vanuse mood kui normaalne abiel-lumisaeg.

202

A 849. Algaja laskuri tulemused treeningul on esitatud tabelina. Leidke keskmine silma-

de arv ühe lasuga.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f 1 1 0 2 5 9 7 9 8 8

850. Näites 3 (art. 5.10) leidsime, et paralleelklassis tehti kontrolltöö mõnevõrra pa-remini. Kas seda kinnitab ka keskmine hinne?

851. Leidke oma klassi tütarlaste ja noormeeste keskmine pikkus (ül. 844).

852. Koostage art. 5.10 näites 4 saadud tabeli põhjal uus sagedustabel, kus klasse on vaid kolm. Arvutage nüüd õpilaste pikkuste aritmeetiline keskmine ja võrrelge seda käesoleva artikli näite 2 tulemusega.

853. Leidke ülesande 840 andmetel müüdud meestekingade numbrite mediaan.

854. Leidke oma klassi tütarlaste ja noormeeste jalatsinumbrite mediaan (ül. 841).

855. Milline on Eesti ja Tartu elanike vanuse mediaanvahemik ja kõige sagedamini esinev vahemik ülesande 845 tabeli andmetel.

856. Leidke oma klassi õpilaste sünnikuu mood (vt. ül. 846).

857. Leidke ülesande 849 andmetel laskmisel saadud silmade arvu mediaan ja mood. Võrrelge neid aritmeetilise keskmisega.

858. Leidke ülesandes 847 esinevate jaotuste mood.

859. Leidke ülesandes 848 esinevate jaotuste mood. Mida arvate nende jaotuste me-diaanist?

860. Tartus 1991. a. sündinud poiste (P) ja tüdrukute (T) arvud kuude kaupa on järg-nevas tabelis. Koostage kõigi vastsündinute sagedustabel kuude kaupa ja vastav histogramm. Leidke keskmine vastsündinute arv kuus ja märkige see horisontaal-se sirgega joonisele. Millisel kuul sündis üle keskmise arvu lapsi, millisel alla keskmise? Leidke vastsündinute protsentuaalne jaotustabel kuude järgi. Milline on nendel andmetel sünnikuu mood Tartus. Koostage laste sündivuse jaotus Tar-tus aastaaegade järgi. Leidke oma klassi andmetel (ül. 846) sünniaja jaotus aasta-aegade järgi, võrrelge seda siinsaaduga.

Kuu P T Kuu P T Kuu P T jaanuar veebruar märts aprill

120 104 112 136

100 93

103 105

mai juuni juuli august

110 98

110 104

104 134 106 79

septemberoktoober novemberdetsember

100 91 83 75

91 68 77 82

203

861. Täiskasvanud india elevantide kaalumisel saadi järgmised tulemused (kg): 5070, 5375, 5508, 5563, 5650, 5733, 5841, 5894, 5911, 5927, 5955, 5982, 6006, 6013, 6031, 6042, 6104, 6132, 6240, 6323, 6364, 6395, 6428, 6505, 6628. Arvutage india elevantide keskmine kaal.

862. Koostage eelmise ülesande andmetel india elevantide sagedus- ja jaotustabel kaa-lu järgi, esitades kaalu viie vahemikuna piirides 5000 kuni 6700 kg. Leidke nüüd elevantide kaalu mediaanvahemik, kõige suurema sagedusega vahemik ja elevan-tide kaalu aritmeetiline keskmine. Võrrelge seda eelmise ülesande tulemusega.

863. Ühes klassis oli kontrolltöö keskmine hinne 4,25. Selles klassis oli 24 õpilast. Teises klassis oli sama töö keskmine hinne 4,10 ja klassis oli 30 õpilast. Milline on vaadeldava töö keskmine hinne kahe klassi peale kokku?

5.12. HAJUVUSE KARAKTERISTIKUD Kahe statistilise kogumi sagedustabelid on järgmised:

x 7 8 9 10 11 12 13 I kogumi f 1 3 5 10 5 3 1 II kogumi f 8 2 1 4 1 8 4

Mõlema kogumi korral on N = 28, 10,x = Me = 10. Esimesel juhul on tunnuse väärtused koondunud aritmeetilise keskmise ümber tihedamalt, teisel juhul hõre-damalt. Selle kohta öeldakse, et esimesel juhul on tunnuse väärtuste hajuvus väiksem, teisel juhul suurem. Seni vaadeldud karakteristikud seda aga ei näita. Seame eesmärgiks leida karakteristikud, mis iseloomustavad tunnuse hajuvust. Mingil määral iseloomustab hajuvust tunnuse muutumispiirkond (või selle pikkus – variatsioonrea ulatus), st. piirkond minimaalsest väärtusest maksi-maalse väärtuseni. Praeguse näite korral on need mõlema kogumi puhul samad, xmin = 7, xmax = 13. Tähendab, ka see näitaja ei ütle alati kummal juhul on hajuvus suurem. Et üks või mõni ebaharilikult suur või väike tunnuse väärtus võib tunnuse muu-tumispiirkonda oluliselt pikendada, jäetakse variatsioonrea/sagedustabeli algusest ja lõpust osa liikmeid välja sel teel, et hajuvuse hindamiseks kasutatakse nn. kvartiile1.

Alumiseks kvartiiliks nimetatakse tunnuse väärtust, millest väik-semaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonireas 25%. Ülemiseks kvartiiliks nimetatakse tunnuse väärtust, millest suu-remaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonireas 25%.

1 kvartiil – lad. k. quārta pars – neljandik

204

Tunnuse väärtuste hajuvust iseloomustab nüüd piirkonna pikkus alumisest kvart-iilist ülemise kvartiilini (s.o. kvartiilide erinevus). Kvartiilidega määratud piir-kond sisaldab 50% tunnuse väärtusest. Alumist kvartiili tähistame sümboliga Q ,

ülemist sümboliga Q . Suurusi Q , Me, Q nimetatakse ka 25%-punktiks, 50%-punktiks ja 75%-punktiks, sest just niipalju tunnuse väärtusi on neist suurustest väiksemad (või võrdsed). Meie näite korral on esimese kogumi kvartiilid 9 ja 11 (erinevus 2), teise kogumi kvartiilid aga 7 ja 12 (erinevus 5), sest 28 : 4 = 7 vähimat ja ka 7 suurimat liiget peame ära jätma. Oleme saanud esimese näitaja (karakteristiku), mis on vaadel-davate kogumite korral erinev, ja millest järeldub, et teise kogumi korral on tun-nus hajuvam kui esimese kogumi korral. Kui sagedustabelis on sageduste f asemel suhtelised sagedused w, leitakse tabeli mõlemast otsast suhteliste sageduste summale 0,25 või 25% vastavad tunnuse väärtused, mis ongi kvartiilid. Nii saame artikli 5.11 näites 4 olevast tabelist, et alates tabeli algusest vastab suhteliste sageduste summale 25% tunnuse väärtus 3, mis on Q . Tabeli lõpust vastab suhtelisele sagedusele 25% tunnuse väärtus 5,

seega Q = 5. Arvutanud kogumi tunnuse väärtuste aritmeetilise keskmise x , tuntakse tavali-selt ka huvi, milline on tunnuse väärtuste hajuvus (või andmete kuhjumine) just aritmeetilise keskmise suhtes (ümber). Nüüd jääb kvartiilidest väheseks, sest need ei arvesta aritmeetilise keskmise suurust. Leida tuleb dispersioon või stan-dardhälve. Kuidas see toimub, selgitame järgnevalt. Tunnuse üksiku väärtuse xi kõrvalekallet (erinevust) keskmisest x näitab hästi tunnuse väärtuse ja aritmeetilise keskmise vahe xi – x , mida nimetatakse väärtu-se xi hälbeks (aritmeetilisest keskmisest). Suurus ix x− näitab, kui suur on xi erinevus aritmeetilisest keskmisest, ja vahe xi – x märk („+” või „–“) näitab, kas

ix x> või ix x< . Kogu variatsioonrea (andmestiku) kui terviku hajuvust x suhtes iseloomustab aga kõigi hälvete kogu, seega järgneva tabeli andmed.

Hälbed xi – x 1x x− 2x x− … nx x−

Sagedused fi f1 f2 … fn

Et saadud tabeli põhjal on vahetult raske midagi otsustada tunnuse hajuvuse üle, oleks tarvis vastavat koondnäitajat, karakteristikut. Võib tunduda, et selleks sobib keskmine hälve (hälvete aritmeetiline keskmine). Kuid see on alati null, sest juba

aritmeetilise keskmise suhtes arvutatud hälvete summa on null, st.

(x1 – x )f1 + (x2 – x )f2 + …+(xn – x )fn = 0.

205

Tõepoolest: (x1 – x )f1 + (x2 – x )f2 + …+(xn – x )fn = = x1f1 + x2f2 + … + xnfn – x (f1 + f2 + … + fn) =

= x1f1 + x2f2 + … + xnfn – 1 1 2 2 ... n nx f x f x fN

+ + + · N = 0.

Et vältida hälvete vastastikust koondumist nulliks, kasutatakse hajuvust iseloo-mustava suurusena hälvete ruutude aritmeetilist keskmist, mida nimetatakse dis-persiooniks ja tähistatakse sümboliga σ 2. Seega on

2n nx – x f + x – x f + ... + x – x f

σ =Ν

2 22 1 1 2 2( ) ( ) ( )

.

Mida suurem on σ 2, seda suurem on tunnuse väärtuste hajuvus. Saadud karakteristikul on hajuvuse iseloomustajana üks puudus – tema ühikuks on tunnuse ruutühik. Et sellest ebakõlast vabaneda, kasutatakse hajuvuse karakte-ristikuna standardhälvet σ.

n nx – x f + x – x f + ... + x – x fσ = σ =

Ν

2 2 22 1 1 2 2( ) ( ) ( )

.

Enamiku tunnuste korral erineb üle poole andmetest aritmeetilisest keskmisest vähem kui standardhälbe σ võrra. Teisiti öeldes paikneb tavaliselt enamik tunnu-se väärtustest piirkonnas [ ];x xσ σ− + .

N ä i d e 1. Leiame käesoleva artikli alguses esitatud statistiliste andmete korral standardhälbed. Arvutused vormistame arvutuste lihtsustamise ja arusaa-davuse huvides tabelina. Mõlemal juhul oli x = 10.

x I kogum II kogum f ix x− 2( )ix x− 2( )i ix x f− f ix x− 2( )ix x− 2( )i ix x f−

7 8 9

10 11 12 13

1 3 5

10 5 3 1

–3 –2 –1

0 1 2 3

9 4 1 0 1 4 9

9 12

5 0 5

12 9

8 2 1 4 1 8 4

–3 –2 –1

0 1 2 3

9 4 1 0 1 4 9

72 8 1 0 1

32 36

28 52 28 150

I kogumi korral on 52 1,36;28

σ = ≈ II kogumi korral on 150 2,31.28

σ = ≈ Tu-

lemus kinnitab veel kord, et teise kogumi tunnuse väärtused hajuvad enam kui

206

esimese kogumi tunnuse väärtused. Seejuures asub esimese kogumi korral piir-konnas [ ];x xσ σ− + ehk [8,6; 11,4] 20 objekti (s.o. 71%), teise kogumi korral piirkonnas [7,6; 12,4] 16 objekti (s.o. 57%).

Dispersiooni σ 2 arvutamiseks saab antud valemist tuletada praktilisema valemi

σ = x – x2 2 2 ,

kus 2x on aritmeetilise keskmise ruut, 2x aga tunnuse väärtuste ruutude aritmee-tiline keskmine, st.

( )2 2 2 21 1 2 2

1 ... .n nx x f x f x fN

= + + +

Kasutades dispersiooni või standardhälbe valemit, võib leida hajuvuse mitte ainult aritmeetilise keskmise, vaid ka mõne teise arvu suhtes.

N ä i d e 2. Näites 1 vaadeldud II kogumi korral on tunnuse väärtuste hajuvus väärtuse 12 kui ühe moodi suhtes

2 2 2 2 2 2 2( 5) 8 ( 4) 2 ( 3) 1 ( 2) 4 ( 1) 1 0 8 1 427

− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅=

262 3,1227

≈ .

Aritmeetilise keskmise suhtes oli see 2,36.

Osutub, et tunnuse väärtute hajuvus aritmeetilise keskmise suhtes on alati väik-sem kui mis tahes teise arvu suhtes, ehk teisiti,

tunnuse väärtused koonduvad kõige tihedamini aritmeetilise keskmise ümber.

Kahe kogumi võrdlemine hajuvuse seisukohalt taandub vastavate karakteristikute võrdlemisele. Nii tehakse näiteks ülesande 866 lahendamisel ja see on õigustatud, sest vastavad keskmised ei ole eriti erinevad. Kui see aga on nii, näiteks tahetak-se võrrelda algkooli poiste ja täiskasvanud meeste pikkuse hajuvust, ei ole selli-selt õige toimida. Põhjuseks on liiga erinev pikkuste tase, mis avaldub ka arit-meetiliste keskmiste erinevuses. Niisugusel juhul on sobivam leida suhteline ha-juvus, võrreldes keskmisega. See on

σv =

x,

mida nimetatakse variatsioonikordajaks, ja nagu ikka suhtearvu, võib selle esita-da ka protsentides. Variatsioonikordajal on mõte vaid siis, kui tunnuse väärtused on positiivsed.

207

Analoogiline situatsioon on erinevates ühikutes (näiteks sentimeetrites ja kilo-grammides) mõõdetud tunnuste hajuvuse võrdlemisel. Seega, uurides kas ühe ja sama klassi noormeeste pikkus või kehakaal hajub vastava keskmise suhtes roh-kem, tuleb kasutada variatsioonikordajat.

A 864. Leidke ülesande 849 andmetel alumine ja ülemine kvartiil. Milline on nende eri-

nevus?

865. Üks ja sama kontrolltöö tehti kahes paralleelklassis. Tulemused on esitatud juu-resolevas tabelis (art. 5.10 näite 2 andmed).

Hinne x 2 3 4 5 Sagedus f A klassis 3 7 10 8 Sagedus f B klassis 2 5 9 6

Leidke hinnete alumised ja ülemised kvartiilid. Mida need ütlevad hinnete haju-vuse kohta kummaski klassis? Leidke hinnete aritmeetiline keskmine (vt. ül. 850 ja standardhälve ning hinnake, kummas klassis tehti kontrolltöö paremini. Kui palju hindeid paikneb kummalgi juhul piirkonnas [ ];x xσ σ− + ?

866. Leidke oma klassi tütarlaste ja noormeeste pikkuse hajuvus (vt. ül. 844 ja 851). Kummal juhul on hajuvus suurem?

867. Teatud pikkust mõõdeti kolme isiku A, B ja C poolt. Igaüks tegi 10 mõõtmist. Mõõtmistulemused on A: 10,8; 10,8; 10,6; 10,7; 10,9; 10,8; 10,7; 11,0; 10,9; 10,6; B: 10,5; 10,9; 10,8; 10,9; 10,9; 10,7; 10,8; 10,9; 10,7; 10,7; C: 10,7; 10,7; 10,7; 10,9; 10,8; 11,1; 10,8; 10,6; 10,9; 10,7. Milline tulemus võtta mõõdetava suuruse pikkuseks? Kes kolmest mõõtjast mõõ-tis kõige paremini?

868. Leidke oma klassi tütarlaste ja noormeeste keskmine kehakaal ja selle hajuvus. Võrrelge tulemusi tütarlaste ja noormeeste vahel. Võrrelge eraldi tütarlaste ja noormeeste kehakaalu ja pikkuse (ül. 866) hajuvust.

B

869. Tõestage, et 2 2 2.x xσ = −

870. Valem 2 2 2

1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n na

x a f x a f x a fN

σ − + − + + −=

208

annab tunnuse väärtuste hajuvuse arvu a suhtes. Tõestage, et hajuvus on kõige väiksem a x= korral. Näpunäide. Suurus aσ on minimaalne juhul, kui juuritav on minimaalne; aga see on minimaalne, kui lugeja on minimaalne (sest nimetaja on konstantne). Järeli-kult tuleb lahendada ekstreemumülesanne: leida suurus a nii, et lugeja oleks mi-nimaalne.

5.13.* MITTEARVULINE TUNNUS Mittearvulised tunnused, nagu teame, ei avaldu otseselt arvudes. Näiteks silmade värvus, automark, hinnang ilu kohta, sugu, teadmiste tase. Osa mittearvulisi tunnuseid on sellised, mille väärtusi järjestada ei saa. Näiteks silmade värvus, mille väärtusteks võivad olla: sinised, pruunid, rohelised, … Või näiteks automargid. Selliseid tunnuseid nimetatakse nominaalseteks. Mõningate mittearvuliste tunnuste väärtusi saab järjestada. Selliseid tunnuseid nimetatakse järjestatud tunnusteks. Näiteks ilu hindamisel esinevaid väärtusi vä-ga ilus, ilus, ei oska öelda, inetu, väga inetu saab järjestada esitatud või vastupi-dises järjestuses. Nii esitatud andmete töötlemiseks tuleb need väljendada kokku-leppeliselt arvudes, näiteks 2, 1, 0, –1, –2 või 5, 4, 3, 2, 1 või 1, 2, 3, 4, 5 jne. Tunnuse esialgsetele väärtustele (väga ilus, ilus jne.) mingite uute väärtuste (2, 1 jne.) vastavusse seadmist nimetatakse kodeerimiseks ja uusi väärtusi koo-dideks. Tunnus teadmiste tase või kontrolltöö hinne on samuti järjestatud tunnus, mille väärtusteks on väga hea, hea, rahuldav, puudulik, nõrk ning nende koodideks hinded 5, 4, 3, 2, 1. Kokkuvõte tunnuste liigitamisest on esitatud joonisel 5.18. Selgitame järgnevalt, mida võib andmeanalüüsi käigus teha ühe või teise tunnuse korral. Arvulise tunnuse korral võib leida kõiki varem vaadeldud suurusi: xmin, xmax, x , Me, Mo, Q , Q , 2σ ,σ . Mittearvulise tunnuse korral on järgnevas tabelis märgitud sümboliga + suurused, mida võib andmeanalüüsis kasutada, sümboliga (+) suurused, mille kasutamine on võimalik piiratud juhtudel, ja sümboliga – suurused, millel ei ole mõtet ja mida kindlasti ei tohi andmete analüüsimisel kasutada. Märkimata suurusi võib soovi korral leida.

Joon.5.18

209

Tunnus xmin xmax x Me Mo Q Q 2σ σ

Järjestatud (+) + + + + (+) (+)

Nominaalne – – – – + – – – –

Eespool esitatud näidete ja ülesannete korral on öeldut arvestatud. Järjestustun-nuse teadmiste tase (või hinne) korral on loomulik keskmise hinde ja hinnete ha-juvuse leidmine. Kui aga küsida õpilaste rühmalt hinnangut Valgjärve televisioo-nimasti kõrguse kohta skaala järgi väga kõrge, kõrge, keskmine, madal, väga madal ja rühma keskmine hinnang tuleb näiteks kuhugi kõrge ja keskmise vahe-le, iseloomustab see küsitluse tulemusi halvasti ja ebaloomulikult. Sisukam ja ilmekam on anda mood ning skaala piirkond, kuhu kuulub vastanutest enamiku arvamus. Nominaalse tunnuse väärtusi võib küll kodeerida (näiteks isikukood), kuid nen-dega ei või opereerida nagu arvtunnuse väärtustega. Näiteks kodeerides Eestis elavaid rahvusi kujul eestlane – 1, lätlane – 2, türklane – 3, venelane – 4, … võib arvutuste tulemusena saada Eestis “keskmiseks rahvuseks” türklase.

A 871. Koostage oma klassi õpilaste sagedus- ja jaotustabel õdede-vendade arvu järgi.

Leidke lubatud karakteristikud.

872. Leidke eraldi oma klassi tütarlaste ja noormeeste keskmine kaal (ül. 868). Hinna-ke tütarlaste ja noormeeste kaalude hajuvust minimaalse ja maksimaalse väärtuse abil, kvartiilide abil ning standardhälbe abil. Milline on järeldus? Mitu protsenti tütarlastest ja mitu protsenti noormeestest langeb kaalu järgi vastavasse piirkonda [ ];x xσ σ− + ?

873. Tartu elanike sooline sagedustabel 1. jaanuari 1995 seisuga oli järgmine:

Sugu Mees Naine Arv 48 230 56 677

Koostage vastav jaotustabel. Leidke kõik lubatud karakteristikud.

874. Tartu elanike jaotus rahvuse järgi oli 1. jaanuaril 1995 järgmine:

Rahvus Eesti Vene Muu w(%) 74,6 20,2 5,2

Koostage vastav sagedustabel (vt. eelmist ülesannet). Milline oli nimetatud ajal rahvuse mood ja mediaan Tartus?

875. Mis on tunnus ja tunnuse väärtused, kui elanikkonna uurimisel küsiti “Kas te suitsetate?” Milliseid karakteristikuid võib vastavate andmete analüüsimisel ka-sutada?

210

5.14.* KORRELATSIOONIVÄLI Seni vaatlesime kogumi uurimist ühe tunnuse seisukohalt. Üsna sageli on seda tarvis teha kahe tunnuse järgi. Kui tunnuste vahel ei ole mingit seost, näiteks ühe klassi õpilaste kinganumber ja nädalas saadav taskuraha suurus, võib kumbagi tunnust uurida eraldi eespool kirjeldatud viisil. Kui tunnused on või võivad olla omavahel seotud (mida tahetakse ka selgitada), tuleb teha andmeanalüüs korraga kahe tunnuse korral. Vaatleme seda. Olgu vaatluse all uuritava kogumi objektide tunnused X ja Y. Kogumi iga objekti korral saame määrata nende tunnuste väärtused x ja y, st. igale objektile vastab arvupaar (x; y). Kui kogumi objektid nummerdada, vastab objektile i arvupaar (xi; yi). Nii saadud andmeid on otstarbekas esitada tabelina ning kujutada koordi-naatteljestikus punktidena. Vastavat punktihulka nimetatakse korrelatsiooniväl-jaks1 (joon. 5.19–5.21).

N ä i d e. Järgnevas tabelis on esitatud viieteiskümne täiskasvanud mehe pikkus X (cm) ja kehakaal Y (kg). Tähtedega on tähistatud meeste nimed. Joonisel 5.19 on vastav korrelatsiooniväli.

Mehed A B C D E F G H X (cm) 163 167 169 170 172 172 174 175 Y (kg) 69 74 78 74 78 83 80 82

Mehed I K L M N O P X (cm) 178 178 180 181 184 187 190 Y (kg) 80 88 84 92 90 92 100

1 korrelatsioon – lad. k. correlātio – vastastikune seos

Joon.5.19

211

Korrelatsioonivälju võib olla väga mitmesuguse kujuga (näit. joon. 5.19–5.21). Joonisel 5.19 on korrelatsiooniväli, kus suurematele tunnuse X väärtustele vasta-vad üldiselt ka suuremad tunnuse Y väärtused, joonisel 5.20 korral vastavad suu-rematele X väärtustele aga üldiselt väiksemad Y väärtused. Joonisel 5.21 kujuta-tud korrelatsioonivälja korral on olukord keerulisem.

A 876. Koostage oma klassi õpilaste tunnuste pikkus ja kaal tabel ning korrelatsioonivä-

li. Võrrelge saadud korrelatsioonivälja kuju joonistel esitatutega.

877. Koostage oma klassi õpilaste tunnuste jalanumber ja pikkus tabel ning korrelat-siooniväli. Võrrelge saadud korrelatsioonivälja kuju joonistel esitatutega.

878. Järgnevas tabelis on isade ja nende täiskasvanud poegade pikkused X ja Y senti-meetrites. Esitage need andmed korrelatsiooniväljana.

X 158 160 163 169 170 172 172 174 Y 166 166 168 173 175 174 180 177

X 178 178 181 184 184 187 190 Y 181 185 184 182 189 188 191

5.15.* KORRELATSIOONITABEL Vaatleme eelmise artikli näitele vastavat korrelatsioonivälja, mis on esitatud joo-nisel 5.19. Paneme sellele väljale (joon. 5.22) võrgustiku (ruudustiku). Sisuliselt jaotame tunnuste X ja Y väärtused klassideks. Loeme, mitu punkti satub igasse ruutu, arvestades, et vahemikeks jaotamise korral loetakse kahe vahemiku piiril olev väärtus madalamasse vahemikku kuuluvaks. Loendamise tulemusi märgivad joonise 5.22 ruutudes olevad arvud. Kandes need koos tunnuste väärtuste vahe-mikega või vahemike esindajatega (kui andmetega jätkatakse arvutusi) tabelisse, saame nn. korrelatsioonitabeli.

Joon.5.20 Joon.5.21

212

x

y 162 166 170 174 178 182 186 190 v vy y2v

98 1 1 98 9604 94 0 0 0 90 2 1 3 270 24 302 86 1 1 86 7396 82 1 1 1 3 246 20 172 78 2 1 1 4 312 24 336 74 1 1 2 148 10 952 70 1 1 70 4900 u 1 1 4 2 3 2 1 1 15 1230 101 660 ux 162 166 680 348 534 364 186 190 2630 x2u 26 244 27 556 115 600 60 552 95 052 66 248 34 596 36 100 461 948

Korrelatsioonitabel koostatakse tavaliselt korrelatsioonivälja kasutamata. Selleks jaotame X ja Y muutumispiirkonna sobivalt vahemikeks, kirjutame need või va-hemike esindajad tabeli esimesse ritta ja esimesse veergu (või vastupidi) ning märgime tekkinud ruudustikku kriipsukesena iga konkreetse arvupaari. Hiljem loeme kriipsukesed igas kastis kokku ja kirjutame sinna saadud sageduse. Edasiste arvutuste hõlbustamiseks on otstarbekas lisada korrelatsioonitabelile üks rida (u) ja üks veerg (v), kuhu kirjutatakse vastavalt veergudes ja ridades olevate sageduste summad. Nüüd moodustab esimene veerg koos veeruga v kogumi jao-tuse tunnuse Y järgi ning esimene rida koos reaga u kogumi jaotuse tunnuse X järgi. Kui korrelatsioonitabelis asendada arvupaaride esinemise sagedused suhteliste sagedustega, saadakse uuritava kogumi jaotus kahe tunnuse järgi. Üldiselt esitatakse korrelatsioonitabeliga statistilisi andmeid siis, kui erinevaid arvupaare (xi ; yi) on väga palju ja tunnuste väärtusi on otstarbekas jaotada vahe-mikeks või kui täpselt ühesuguseid arvupaare on palju. Meie näite puhul pole te-gemist kummagi juhuga ja esitatut tuleb vaadelda kui illustratsiooni öeldu kohta.

Joon.5.22

213

N ä i d e. Leiame saadud korrelatsioonitabeli andmetel tunnuste X ja Y väärtuste aritmeetilise keskmise ( x ja y ) ning standardhälbe ( xσ ja yσ ). Kui arvutusi teha kirjalikult, on otstarbekas lisada korrelatsioonitabelile veel ridu ja veerge; meie näite korral on lisatud ux ja x2u väärtuste rida ning vy ja y2v väär-tuste veerg, kuhu on kantud ka vastavad summad.

Nüüd:

2630 175,315

x = ≈ (cm), 1230 82,015

y = ≈ (kg),

2 2 2 2461948 175,33 55,924 7,4815x xx xσ σ= − = − ≈ ⇒ ≈ cm,

2 2 2 2101660 82 53,333 7,3015y yy xσ σ= − = − ≈ ⇒ ≈ kg.

Korrelatsiooniväli ja korrelatsioonitabel, näiteks joonisel 5.19 esitatud korrelat-siooniväli ja sellele vastav tabel lk. 210, esitavad tunnuste X ja Y väärtuste x ja y vahelist seost. See seos ei ole aga funktsionaalne seos, sest ühe muutuja igale võimalikule väärtusele ei vasta mitte üks, vaid sageli mitu teise muutuja väärtust. Ja mis veel oluline on: ühe muutuja fikseeritud väärtusele vastab teise suuruse üks või mitu erinevat juhusest sõltuvat väärtust. Nii näiteks vastab meie näite korral mehe pikkusele 163 cm vaid kehakaal 69 kg, kuid pikkusele 172 cm keha-kaalud 78 kg ja 83 kg. Et kehakaalu väärtused just sellised on, on juhus. Kirjelda-tud sõltuvust tunnuste X ja Y väärtuste x ja y vahel nimetatakse statistiliseks ehk stohhastiliseks sõltuvuseks. Lühemalt:

statistiliseks sõltuvuseks kahe juhusliku muutuja (suuruse) vahel nimetatakse vastavust, kus ühe muutuja igale võimalikule väärtu-sele vastab teise muutuja võimalik jaotus.

A 879. Koostage ülesande 876 andmetel korrelatsioonitabel suhteliste sageduste järgi.

880. Koostage oma klassi esimese poolaasta (viimase kursuse) matemaatika ja füüsika hinnete põhjal korrelatsioonitabel ja -väli. Arvutage mõlema tunnuse korral arit-meetiline keskmine ja standardhälve.

214

5.16.* LINEAARNE KORRELATSIOONIKORDAJA Kahe juhusliku muutuja x ja y vaheline statistiline sõltuvus võib olla mingile funktsionaalsele seosele, näiteks lineaarsele seosele (graafikuks on teatavasti sir-ge), lähemal või erineda sellest rohkem. Näiteks joonisel 5.23 kuhjuvad statisti-list seost esitavad värvilised punktid tihedamini lineaarset sõltuvust väljendava sirge ümber kui joonisel 5.24. Seda mõtet väljendatakse ka sõnadega, et joonise 5.23 korral on juhuslike suuruste X ja Y vaheline seos (korrelatsioon) tugevam kui joonise 5.24 korral. Kuidas saab seda geomeetriliselt kirjeldatud situatsiooni esitada arvudes?

Osutub, et seda näitab nn. lineaarne korre-latsioonikordaja, mida tähistatakse tähega r ja arvutatakse valemiga

x y

xy x yr

σ σ− ⋅=⋅

,

kus

1 1 11 1 2 12 1 1 2 1 21... ...+ + + + + += m m n m nmx y f x y f x y f x y f x y fxy

N.

Viimase murru lugejas on sisuliselt summa kõigi punktide (x; y) koordinaatide korrutistest selle punkti esinemise sagedusega.

Näide. Leiame lk. 212 oleva korrelatsioonitabeli andmetel korrelatsioonikor-daja r.

Kuna 190 98 1 186 90 1 182 90 2 ... 162 70 1 14427,4715

xy ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅= = ja

eelmises artiklis leidsime, et 175,3,x = 82,0,y = 7,48,xσ = 7,3,yσ = siis

Joon.5.23

Joon.5.24

215

14427,47 175,3 82 0,977,48 7,3

r − ⋅= =

⋅.

Selleks, et leitud r meile midagi ütleks, vaatleme korrelatsioonikordaja omadusi:

1. Korrelatsioonikordaja –1 ≤ r ≤ 1 ehk r ≤ 1. 2. Mida lähemal on r arvule 1, seda tugevam on seos (korrelat-

sioon) tunnuste vahel.

Esitatud näite korral on r = 0,97, mis ütleb, et seos vaadeldud täiskasvanud mees-te pikkuse ja kehakaalu vahel on väga tugev.

3. Kui r = 1, valitseb suuruste X ja Y vahel funktsionaalne seos.

Selline on näiteks seos kindla hinnaga (a) ostetud kauba koguse (x) ja kauba maksumuse (y) vahel, alati y = ax ja r = 1.

4. Mida lähemal on r arvule 0, seda nõrgem on seos tunnuste vahel.

5. Kui tunnused on sõltumatud, on r = 0. 6. Kui r > 0, vastavad üldiselt tunnuse X suurematele väärtustele

tunnuse Y suuremad väärtused; kui r < 0, vastavad tunnuse X suurematele väärtustele tunnuse Y väiksemad väärtused.

Joonisel 5.19 esitatud korrelatsioonivälja korral on r = 0,97 > 0, joonise 5.20 kor-ral on aga r < 0.

A 881. Leidke oma klassi õpilaste pikkuse ja kehakaalu korrelatsioonikordaja (ül. 876).

882. Leidke oma klassi õpilaste jalanumbrite ja pikkuse korrelatsioonikordaja (ül. 877).

883. Leidke ülesande 878 andmetel isa pikkuse ja poja pikkuse korrelatsioonikordaja.

5.17. JUHUSLIK SUURUS Vaatleme katset, mida saab korrata kui tahes palju kordi, kusjuures iga katse tu-lemuseks on mingi arv (n erineva võimaliku arvu seast). Näiteks täringu viskami-sel on võimalikeks tulemusteks silmade arvud. Katsetulemusi saame vaadelda ka ühe muutuja X võimalike väärtustena x1, x2, …, xn. Et juhus määrab, milline väär-tus parajasti esile tuleb, nimetatakse muutujat X juhuslikuks suuruseks. Juhusliku suuruse iga võimalik väärtus on vaadeldav juhusliku sündmusena. Ju-huslikuks sündmuseks võivad aga olla ka juhusliku suuruse X väärtuste esiletule-kud, mis rahuldavad tingimust a < X < b, tingimust X < c jne.

216

N ä i d e 1. Olgu katseks täringuvise. Katse võimalikeks tulemusteks on 1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma. Need on juhusliku suuruse X (täringul tulnud silmade arv) väär-tused: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6, millest igat võib vaadelda juhus-liku sündmusena. Olgu sündmus E1 ühe silma tulek, E2 kahe silma tulek jne., sündmuseks A aga silmade arvu X tulek, mis rahuldab tingimust X ≤ 4.

Näide 2. Olgu juhuslikuks suuruseks X kahe täringu korraga viskamisel tulev silma-de summa. Suuruse X võimalikud väärtused on arvud 2, 3, 4, …, 12.

Juhusliku suuruse X iga väärtuse xi korral on võimalik leida selle esinemise tõe-näosus pi, sest väärtuse xi tulek on teatud juhuslik sündmus. Tulemused võime esitada arvupaaridena (xi; pi), tabelina, graafikuna ja ka valemina. Need on aga funktsiooni võimalikud esitusviisid. Seetõttu öeldaksegi, et vastavuse juhusliku suuruse X võimalike väärtuste ja tõenäosuste vahel korraldab tõenäosusfunkt-sioon. Definitsioonina:

juhusliku suuruse X tõenäosusfunktsiooniks nimetatakse eeskirja, mis seab juhusliku suuruse X igale võimalikule väärtusele xi vasta-vusse selle väärtuse tõenäosuse pi (ehk P(xi)).

Kui juhusliku suuruse tõenäosusfunktsioon on leitud, öeldakse ka, et leitud on juhusliku suuruse jaotus.

Järgmise kahe tabeli esimese ja teise reaga (lk. 217) on esitatud näidetes 1 ja 2 esinevate juhuslike suuruste jaotused. Vastavad graafilised esitused on joo-nistel 5.25 ja 5.26.

Joon.5.25

Joon.5.26

217

Silmade arv täringul X 1 2 3 4 5 6 Tõenäosus P(X) 1

6 1

6 1

6 1

6 1

6 1

6

Tõenäosus P(X ≤ x) 16

26

36

46

56

1

Kahe täringu silmade summa X

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Tõenäosus P(X) 136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

Tõenäosus P(X ≤ x)

136

336

636

1036

1536

2136

2636

3036

3336

3536

1

Kui on antud juhusliku suuruse jaotus, st. arvupaarid (xi; pi), kus i = 1, 2, .., n, siis kehtib tõenäo-susfunktsiooni põhiomadus

p1 + p2 + … + pn = 1, sest igal katsel mingi väärtus xi kõikvõimalike väärtuste x1, x2, …, xn seast ikka esile tuleb (vastavate sündmuste summa on kindel sündmus).

Joon.5.28

Joon.5.27

218

Juhusliku suuruse X jaotus esitatakse sageli ka funktsiooniga P(X ≤ x), mida ni-metatakse tõenäosuse jaotusfunktsiooniks. See funktsioon seab suuruse X igale väärtusele xi vastavusse tõenäosuse P(X ≤ xi), st. tõenäosuse, et juhusliku suuruse X väärtus ei ole suurem kui xi. Näidetele 1 ja 2 vastavad jaotusfunktsioonid on esitatud eelmiste tabelite (lk. 217) esimese ja kolmanda reaga. Vastavad graafilised esitused on joonistel 5.27 ja 5.28. Koostanud tõenäosusfunktsioonid ja jaotusfunktsioonid täringuvisete kohta, la-hendame mõned ülesanded.

N ä i d e 3. Leiame tõenäosuse, et täringu viskamisel tuleb kas 1, 4 või 6 silma:

P (kas 1 või 4 või 6) = P(1) + P(4) + P(6) = 1 1 1 3 16 6 6 6 2+ + = = .

N ä i d e 4. Leiame tõenäosuse, et visates korraga kaht täringut tuleb 1) mitte rohkem kui 5 silma, 2) mitte vähem kui 5 silma, kuid mitte rohkem kui 8 silma. Lahendus. 1) Jaotustabeli põhjal

1 2 3 4( 5) (kas 2, 3, 4 või 5) (2) (3) (4) (5)36 36 36 36

P X P P P P P≤ = = + + + = + + + =

10 5 0,2736 18

= = ≈ , otse jaotusfunktsiooni P(X ≤ x) tabelist 10( 5) 0,2736

P X ≤ = ≈ .

2) 4 5 6 5 20 5(5 8) (5) (6) (7) (8) 0,5636 36 36 36 36 9

P X P P P P≤ ≤ = + + + = + + + = = ≈

või 26 6 20(5 8) (4 8) ( 8) ( 4) 0,5636 36 36

P X P X P X P X≤ ≤ = < ≤ = ≤ − ≤ = − = ≈ .

Käesoleva peatüki artiklites 5.10–5.12 vaatlesime statistilise kogumi uurimist mingi arvtunnuse seisukohalt. Seal esinenud arvtunnus on sisuliselt juhuslik suu-rus, mis on määratud jaotustabeliga, kus iga väärtuse tõenäosuseks on tema suh-teline sagedus. Tunnuse (kui juhusliku suuruse) jaotus saadi katsete ja vaatluste teel, st. empiiriliselt1; käesolevas artiklis vaadeldud juhuslike suuruste jaotuse saime teoreetilise kaalutluse abil. Juhuslikke suurusi (ja nende jaotusi) võib defi-neerida ka teoreetiliselt ning vaadelda neid siis kui mudeleid teatud empiirilistele jaotustele. Nii võib näidete 1 ja 2 andmetel esitatud juhuslike suuruste jaotusi vaadelda kui teoreetilisi mudeleid vastavatele täringuvisete tegelikele katsetele.

A 884. Täringuks on regulaarne dodekaeeder, mille tahkudel on silmade arvud 1, 2 jne.

Koostage silmade arvu kui juhusliku suuruse X jaotus.

885. Kui suur on dodekaeedrit veeretades (vt. eelmist ülesannet) tõenäosus, et tuleb 1) paarisarv silmi, 2) algarv silmi, 3) 7 kuni 10 silma, 4) vähem kui 9 silma?

1 empiiriline– kr. k. empeiros – kogemuslik, kogemustel põhinev, katsel põhinev.

219

886. Kahe paralleelklassi ühisel peol otsustati korraldada loterii, milles 125 piletit ei võida, 75 piletit võidab 1 krooni, 25 piletit 2 krooni, 18 piletit 5 krooni, 5 piletit 10 krooni ja 2 piletit 25 krooni. Koostage võidu suuruse kui juhusliku suuruse jaotus. Kui suur on tõenäosus võita? Leidke tõenäosus võita rohkem kui 2 krooni (pileti hind)?

887. Visake 120 korda täringut, registreerige tulemused ja koostage empiiriline jaotus. Võrrelge seda vastava teoreetilise jaotusega. Summeerige andmed üle klassi, koostage uus empiiriline jaotus ja võrrelge seda teoreetilise jaotusega.

888. Siimul ja Toomal oli kogutud juba varem raha ja nüüd said nad ema käest veel 20 krooni. Selle otsustasid nad jagada kulli-kirja mängides. Mängu reeglid kehtestati järgmised: kui Siim viskab vapi, saab ta ema antud rahast krooni endale, kui aga kirja, paneb ta ema antud rahale krooni juurde; Toomas pidi vapi tulekul panema ema antud rahale krooni juurde ja kirja tulekul saama sellest krooni. Leidke Sii-mu võimalikud võidusummad mündi ühel viskel ja neile vastavad tõenäosused. Leidke sama Toomase jaoks. Kas raha jaotamise mäng on õiglane?

5.18. JUHUSLIKU SUURUSE KARAKTERISTIKUD Juhusliku suuruse X jaotust, mis on esitatud näiteks tabelina

X x1 x2 … xn

p p1 p2… … pn

iseloomustatakse mitmete arvkarakteristikutega, millest vaatleme vaid kolme. Need on juhusliku suuruse väärtuste paiknemist arvteljel iseloomustav keskmine väärtus, mida nimetatakse keskväärtuseks ja väärtuste hajuvust iseloomustavad näitajad dispersioon ning standardhälve. Juhusliku suuruse X keskväärtuseks nimetatakse arvu

EX = p1x1 + p2x2 + … + pnxn.

N ä i d e 1. Täringu viskamisel tuleva silmade arvu X keskväärtus on (vt. ta-

bel lk. 217) 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 21: 6 3,56 6 6 6 6 6

EX = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = . Tähendab,

täringu viskamisel tuleb ühe viskega keskmiselt 3,5 silma, kümne viskega järeli-kult keskmiselt 35 silma.

Juhusliku suuruse X dispersiooniks nimetatakse keskväärtuse suh-tes arvutatud hälvete ruutude keskväärtust DX = E(X – EX)2

220

Seega

DX = p1(x1 – EX)2 + p2(x2 – EX)2 + … + pn(xn – EX)2.

N ä i d e 2. Täringu viskamisel tuleva silmade arvu X dispersioon 2 2 2 21 1 1 1(1 3,5) (2 3,5) (3 3,5) (4 3,5)

6 6 6 6DX = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − +

2 21 1(5 3,5) (6 3,5) 17,5 : 6 2,917.6 6

+ ⋅ − + ⋅ − = ≈

Juhusliku suuruse X standardhälbeks nimetatakse ruutjuurt dis-persioonist,

DXσ= .

N ä i d e 3. Täringu viskamisel (näide 2) tuleva silmade arvu X standardhälve 2,917 1,708.DXσ = = ≈

Tuletame dispersiooni arvutamiseks ka teistsuguse valemi. Et keskväärtus EX = p1x1 + p2x2 + … + pnxn, siis avaldis 2 2 2

1 1 2 2 ... n np x p x p x+ + + annab juhusliku suuruse X 2 keskväärtuse EX 2. Nüüd

2 2 21 1 2 2( ) ( ) ... ( )n nDX p x EX p x EX p x EX= − + − + + − =

( ) ( )2 2 2 21 1 1 2 2 22 ( ) 2 ( ) ...p x x EX EX p x x EX EX= − + + − + + +

( )2 2 2 2 21 1 2 22 ( ) ...n n n n np x x EX EX p x p x p x+ − + = + + + −

21 1 2 2 1 22 ( ... ) ( ) ( ... )n n nEX p x p x p x EX p p p− + + + + + + + =

2 2 2 22 ( ) ( )EX EX EX EX EX EX= − ⋅ ⋅ + = − . Tähendab,

DX = EX2 – (EX)2

ja

2 2( )EX EXσ= − .

A 889. Leidke kahe täringu korraga viskamisel tuleva silmade summa X keskväärtus ja

standardhälve (vt. tabel lk. 217).

890. Leidke dodekaeedri veeretamisel tuleva silmade arvu keskväärtus ja standardhäl-ve (vt. ül. 884).

221

891. Kui suur oli keskmine võidu suurus ühe loteriipiletiga ülesande 886 andmetel? Leidke standardhälve. Kas loterii töötas kasumiga või kahjumiga?

892. Leidke ülesande 888 andmetel Siimu ja Toomase keskmine võidusumma ühel mündiviskel. Leidke vastavad standardhälbed. Millise järelduse teete emalt saa-dud raha sellise jaotamise kohta?

5.19. ÜHTLANE JA BERNOULLI JAOTUS Juhuslike suuruste teoreetilised jaotused defineerivad alati teatava jaotuste tüübi, mis sisaldavad ühte või enamat parameetrit (näiteks mõnda karakteristikut). Fik-seerides parameetri(d), saadakse konkreetne jaotus, mis on omakorda teoreetili-seks mudeliks teatud empiirilisele jaotusele. Vaatleme järgnevalt mõnda teoreeti-lise jaotuse tüüpi. 1. Ühtlane jaotus. Diskreetne ühtlane jaotus defineeritakse tõenäosusfunktsioo-niga

1( = ) =P X i

n, kui i = 1, 2, …, n.

See tähendab, et juhusliku suuruse X võimalikele väärtustele 1, 2, …, n vastavad

tõenäosused on võrdsed ja võrduvad arvuga 1n

:

1( 1) ( 2) ... ( )P X P X P X nn

= = = = = = = .

N ä i d e. Silmade arvu X jaotus täringu viskel on ühtlane jaotus (n = 6): 1( )6

P X i= = , kui i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Leiame ühtlase jaotuse keskväärtuse ja dispersiooni: 1 1 1 1 11 2 ... (1 2 ... )

2nEX n n

n n n n+

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = + + + = .

2 22 21 1 1 ( 1)(2 1) ( 1)(1 2 ... )

2 6 4n n n n nDX n

n n+ + + +⎛ ⎞= + + + − = ⋅ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

21 2 1 1 12 3 2 12

n n n n+ + + −⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Seega 1

2nEX +

= , 2 112

nDX −= , 21 3( 1)

6nσ = − .

N ä i d e. Täringuviske korral n = 6 ja EX = 3,5, DX = 2,917, σ = 1,708.

222

2. Bernoulli1 jaotus*. Olgu sündmuse A tõenäosus P(A) = p. Bernoulli jaotuse-ga juhuslik suurus on niisugune suurus X, mille väärtus on 1, kui sündmus A toimub, ja väärtus on 0, kui sündmus A ei toimu (toimub A ). Seega on Bernoulli jaotusega juhuslikul suurusel kaks võimalikku väärtust: 1 ja 0, millele vastavad tõenäosused on p ja 1 – p, st.

P(X = 1) = p ja P(X = 0) = 1 – p.

Arvkarakteristikud:

EX = p · 1 + (1 – p) · 0 = p, DX = p(1 – p)2 + (1 – p)(0 – p)2 = p(1 – p), (1 )p pσ = − .

N ä i d e. Olgu sündmus A täringu viskel 5 või 6 silma saamine. Tähistades

sündmuse A toimumise 1-ga ja mittetoimumise 0-ga, saame: 2 1( 1) ,6 3

P X = = =

4 2( 0)6 3

P X = = = ja 0,3333,EX ≈ 1 2 2 0,2222,3 3 9

DX = ⋅ = ≈ 0,4714.σ ≈

A 893. Kontrollige, kas ühtlase jaotuse korral kehtib tõenäosusfunktsiooni põhiomadus. 894. Veeretatakse regulaarset dodekaeedrit, mille tahkudele on märgitud silmade ar-

vud 1, 2, …, 12. Esitage tabelina ja valemina silmade arvu X kui juhusliku suu-ruse tõenäosusfunktsioon. Leidke keskväärtus ja standardhälve.

895. Veeretatakse regulaarset ikosaeedrit, mille tahkudele on märgitud silmade arvud 1, 2, … . Kirjutage silmade arvu X kui juhusliku suuruse tõenäosusfunktsioon. Leidke keskväärtus ja standardhälve.

896. Kontrollige tõenäosusfunktsiooni põhiomaduse kehtivust Bernoulli jaotuse korral. 897. Juhuslik suurus X on Bernoulli jaotusega. Leidke juhusliku suuruse X keskväär-

tus ja standardhälve, kui 1) sündmuseks A on paarisarvu silmade tulek täringu viskamisel, 2) sündmuseks A on 4 silma tulek täringu viskamisel.

898. Siim ja Toomas otsustasid emalt saadud raha jaotada ülesandes 888 kirjeldatud viisil. Sellest ei tulnud aga midagi välja. Miks (vt. ül. 892)? Nüüd kehtestasid nad uue reeg-li: kui mündi viskel tuleb kiri, saab münti visanud poiss ema antud rahast krooni, kui tuleb vapp, ei saa midagi. Milline on mündi viskamisel Siimu poolt saadava raha-summa (kui juhusliku suuruse) jaotus? Leidke keskväärtus ja standardhälve. Kas sel-line jaotamisviis on õiglane? Kas ema antud raha saab nüüd jaotatud? Kui ei, siis miks? Kui jah, siis mitu rahaviset selleks keskmiselt kulub? 1 Jakob Bernoulli (1655–1705) – šveitsi matemaatik, Baseli ülikooli professor, koolima-temaatikaga seotud valdkondadest tegeles kombinatoorika ja tõenäosusteooriaga, uuris jadasid, võttis trigonomeetrias kasutusele tähise cos jne. Oli üks kaheksast Bernoullide suguvõssa kuuluvast matemaatikust.

223

5.20. BINOOMJAOTUS Olgu katseks täringuvise. On ilmne, et see katse on korratav samadel tingimustel ja samade võimalike tulemustega, st. vaadeldavad katsed on sõltumatud. Vaatleme n sõltumatust katsest koosnevat katseseeriat, kusjuures meid huvitava sündmuse A tõenäosus igal katsel on p.

N ä i d e 1. Sündmuseks A on kolmega jaguva silmade arvu tulek täringu viskel.

Vastav tõenäosus igal viskel (igal katsel) on 2 16 3

p = = . Vaatleme täringuvisete

(katsete) seeriat, mis koosneb n = 10 viskest. Sündmuse A esinemiste arv 10-st viskest koosneva seeria korral on juhuslik suurus X, mille võimalikud väärtused on 0, 1, 2, …, 10. Nii defineeritud juhuslik suurus X on nn. binoomjaotusega.

Üldiselt:

binoomjaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X jaotust, kui ju-huslikuks suuruseks on sündmuse A esinemiste arv n sõltumatust katsest koosnevas katseseerias.

Juhusliku suuruse X võimalikud väärtused on 0, 1, 2, …, n. Leiame neile vasta-vad tõenäosused. Selleks tuletame* tõenäosusfunktsiooni, mis võimaldab arvuta-da tõenäosust, et sündmus A toimub n katse korral k korda. Vastav sümbol on Pn(X = k) või Pn, k(A). Kui P(A) = p, siis ( ) 1P A p q= − = . Oletame, et n katse korral esineb sündmus A k korda järjest ja ülejäänud n – k katsetel, toimub sündmus A (joon. 5.29). Seega toi-mub sündmus ... ...A A A A A A⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , mille tõenäosus ( ... ... )⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =P A A A A A A

( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ,−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅k n kP A P A P A P A P A P A p q sest katsed on sõltumatud. Samasugune oleks otsitav tõenäosus ka siis, kui sündmused A ja A toimuvad teises järjekorras, kuid sündmus A esineb n katse korral ikka k korda. Sündmus A saab k korda paikneda n-katselises katseseerias k

nC erineval viisil, kusjuures iga konkreetse juhu esinemise tõenäosus on pk · qn – k. Seega on otsitav tõenäosus k

nC korda suurem kui joonisel 5.29 kujutatud juhul ja tõenäosusfunktsioon

( ) k k n kn nP X k C p q −= = ⋅ ⋅ .

Kontrollime tõenäosusfunktsiooni põhiomaduse kehtivust: Pn(X = 0) + Pn(X = 1) + Pn(X = 2) + … + Pn(X = n – 1) + Pn(X = n) =

0 1 1 2 2 2 1 1... ( ) 1 1n n n n n n n n nn n n n nC q C pq C p q C p q C p q p− − − −= + + + + + = + = = . Siin

kasutasime Newtoni binoomvalemit ja seda, et p + q = 1.

Joon.5.29

224

N ä i d e 2. Näite 1 korral oli n = 10 ja 13

p = . Järelikult 213

q p= − = ning tõe-

näosusfunktsioon 10

10 101 2( )3 3

k kkP X k C

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, kus k = 0, 1, 2, …, 10.

N ä i d e 3. Leiame näites 2 saadud tõenäosusfunktsiooni abil tõenäosuse kolme-ga jaguva silmade arvu (sündmus A) tulekuks täringu 10 viske korral 1) 3 korda, 2) 4 korda.

Lahendus.

1) Et X = 3, siis 3 7 7

310 10 10

1 2 10! 2( 3) 0,26013 3 3! 7! 3

P X C ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ = ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

2) 4 6 6

410 10 10

1 2 10! 2( 4) 0,22763 3 4! 6! 3

P X C ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ = ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Seega on tõenäosem, et täringu 10 viskest toimub sündmus A kolmel korral, kui neljal korral. Teisiti: tehes palju 10-seerialisi täringuviskeid, on 26% seeriate kor-ral oodata sündmuse A esinemist 3 korda ja 23% seeriate korral 4 korda.

Vaatleme binoomjaotuse arvkarakteristikuid. Iga üksiku katse korral on sündmuse A toimumine Bernoulli jaotusega (väärtus 1, kui sündmus A toimub, väärtus 0, kui sündmus A ei toimu, st. toimub A ). Vastav keskväärtus oli p. Binoomjaotusega juhuslik suurus tekib n Bernoulli jaotuse summana. See tähendab: kui n katse korral esineb k korda sündmus A ja n – k korda sündmus A , siis binoomjaotusega juhusliku suuruse väärtus k saadakse järgmisel viisil: k · 1 + (n – k) · 0 = k. Järelikult peab binoomjaotuse keskväärtus olema n korda suurem kui Bernoulli jaotuse keskväärtus, mis oli p, st.

EX = np.

Osutub, et ka Bernoulli jaotuse dispersioon pq suureneb n korda ja binoomjaotu-se dispersioon

DX = npq ning npqσ= .

N ä i d e 4. Visatakse täringut 10 korda. Sündmus A on kolmega jaguva sil-

made arvu tulek ühel katsel ja 1( )3

=p A . Juhuslik suurus X on sündmuse A toi-

mumiste arv täringu 10 viske korral. Leiame keskväärtuse, dispersiooni ja stan-dardhälbe.

225

Lahendus. Et juhuslik suurus on binoomjaotusega, n = 10, 13

p = ja 23

q = , siis

110 3,3333

EX = ⋅ ≈ , 1 210 0,2223 3

DX = ⋅ ⋅ ≈ ja 1,491DXσ = ≈ .

Kui sündmuse A tõenäosus üksikkatsel on p, siis kõige tõenäosem sündmuse A toimumiste arv m rahuldab n katse korral võrratusi

np – q ≤ m ≤ np + p.

Kõige tõenäosem sündmuse A toimumiste arv m on ainus naturaalarv ühikupik-kuselt lõigult [np – q; np + p]. Suuruse m väärtusi on kaks, kui np – q on täisarv.

N ä i d e 5. Vaatleme näites 4 kirjeldatud juhuslikku suurust X. Et katsete arv

n = 10, 13

p = ja 23

q = , siis tõenäoseima sündmuse A esinemisel arvu (suuruse X

tõenäoseima väärtuse) m leiame võrratusest 1 2 1 110 103 3 3 3

m⋅ − ≤ ≤ ⋅ + ehk 2 22 33 3

m≤ ≤ .

Ilmselt m = 3. Näites 3 saime, et P10(X = 3) = 0,2601.

N ä i d e 6. Leiame, kumb on tõenäosem, kas see, et 6-lapselises perekonnas on enamik lastest poisid, või see, et enamik lastest on tüdrukud. Poeglapse sündimi-se tõenäosus on 0,514 ja tütarlapse sündimise tõenäosus 0,486. Leida tulevad tõenäosused P6 (kas 4, 5 või 6 poissi) ja P6 (kas 4, 5 või 6 tüdru-kut). Rakendame tõenäosuste liitmise lauset:

P6 (4 poissi) + P6 (5 poissi) + P6 (6 poissi) = 4 4 2 5 5 1 6 66 6 60,514 0,486 0,514 0,486 0,514C C C= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =

= 0,2473 + 0,1046 + 0,0184 = 0,3703, P6 (4 tüdrukut) + P6 (5 tüdrukut) + P6 (6 tüdrukut) =

4 4 2 5 5 6 66 6 60,486 0,514 0,486 0,514 0,486C C C= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =

= 0,2211 + 0,0836 + 0,0132 = 0,3179.

Tõenäosem on et pere kuue lapse seas on poisse rohkem kui tüdrukuid. Kuue-lapseliste perede seas on 37% sellised pered, kus poisse on tüdrukutest roh-kem ja 32% peresid, kus tüdrukuid on rohkem. Peresid, kus 6 lapse seas on poisse ja tüdrukuid sama palju, on 100% – (37% + 32%) = 31%.

226

A 899. Täringut visatakse 12 korda. Kui suur on tõenäosus, et 1) 6 silma tuleb 2 korda, 4

korda, 2) paarisarv silmi tuleb 5 korda, 1 kord? 900. Täringut on visatud 7 korda ja igal viskel tuli 3 silma. Kui suur on tõenäosus, et

ka kaheksandal viskel tuleb 3 silma? Leidke tõenäosus, et kaheksa viske korral tuleb 3 silma kaheksa korda?

901. Münti visatakse 9 korda. Leidke tõenäosus, et vapp tuleb 1) neljal, 2) viiel, 3) seitsmel korral?

902. Maarjal oli peos seitse 20-sendilist. Need kukkusid tal maha. Leidke tõenäosus, et viiel rahal seitsmest on vapp pealpool?

903. Täringut visatakse 18 korda. Sündmus A on 6 silma tulek ühel viskel. Juhuslik suurus X on 6 silma esiletulekute arv 18 täringuviske korral. Leidke, mitu korda tuleb 6 silma keskmiselt 18 viske korral. Arvutage juhusliku suuruse dispersioon ja standardhälve.

904. Münti visatakse viis korda. Sündmus A on kirja tulek. Juhuslik suurus X on kirja tulekute arv viie viske korral. Koostage vastav jaotustabel ja jaotushulknurk. Leidke juhusliku suuruse keskväärtus, dispersioon ja standardhälve. Milline kirja tulekute arv on kõige tõenäosem mündi viie viske korral?

905. Kumb on tõenäosem, kas see, et seitsmelapselises peres on kolm tütart, või see, et seitsmelapselises peres on neli poega? Milline on kõige tõenäosem 1) tütarde arv ja 2) poegade arv seitsmelapselises peres?

906. Täringut visatakse 8 korda. Leidke tõenäosus, et vähemalt ühel viskel tuleb 1) algarv silmi, 2) kas 1 või 6 silma.

907. Kurgiseemne idanemise tõenäosus on 0,8. Kui suur on tõenäosus, et üheksast seemnest idaneb vähemalt 2? Kurgiseemned pakiti 9-kaupa. Mitmes pakikeses 100 000-st on oodata, et ei idane ükski seeme või idaneb vaid 1 seeme?

908. Siim ja Kaupo olid isalt saanud 10 ühekroonist münti. Poisid otsustasid raha jaotada omavahel nii, et viskavad saadud kümmet raha korraga ja need rahad, millele tuleb peale kiri, saab Siim endale, millele aga vapp peale tuleb, saab Kaupo endale. Kui suur on tõenäosus, et Siim (Kaupo) saab rohkem raha kui Kaupo (Siim)?

909. Mis on tõenäosem, kas võita võrdse vastasega malet mängides 3 partiid 5-st või 5 partiid 10-st?

910. Visatakse korraga kahte täringut. Kui pikk peab olema visete seeria, et kahe silma tulekut võib oodata keskmiselt viiel korral?

911. Tehase päevatoodangust osutub 2% praagiks. Tehniline kontroll võtab iga päev juhuslikud 5 toodet kontrolliks. Kui suur on tõenäosus, et nende seas on vähemalt üks praaktoode? Kui sageli võib oodata praaktoodete olemasolu võetud proovi-partii seas?

227

ENESEKONTROLLIKS 912. Mis on statistiline kogum?

913. Kuidas liigitatakse arvulisi tunnuseid, kuidas mittearvulisi tunnuseid?

914. Mille poolest erineb variatsioonrida statistilisest reast?

915. Millal on otstarbekas esitada statistilisi andmeid sagedus- või jaotustabelis vahe-mikena?

916. Millised on statistiliste andmete graafilised esitusviisid?

917. Nimetage ja defineerige keskmised kui statistilise rea karakteristikud.

918. Nimetage ja defineerige hajuvuse karakteristikud.

919. Ainetesti, mida hinnati 10 punkti süsteemis, tulemused on järgmised: 8, 9, 5, 5, 8, 7, 7, 8, 10, 6, 7, 4, 8, 2, 10, 9, 10, 3, 5, 4, 6, 8, 5, 10, 10, 7, 9, 1, 7, 6. Leidke statistilise rea mood, mediaan, aritmeetiline keskmine ja standardhälve.

920. Ainetesti, mida hinnati 50 punkti süsteemis, tulemused on järgnevas tabelis:

x 1–10 11–20 21–30 31–40 41–50 f 5 9 8 12 6

Leidke xmin ja xmax, moodvahemik, vahemik, kuhu kuulub mediaan, aritmeetiline keskmine ja standardhälve.

921. Kumma kahes eelnevas ülesandes antud testi tulemused hajuvad rohkem?

922. Kaheksandate klasside kaugushüppe võistluste tulemused klasside kaupa (ümar-datult, sentimeetrites) olid järgmised: 8a: 430, 410, 430, 440, 430, 400, 410, 470, 440, 420, 410, 430, 420, 450, 430,

420, 430, 410, 420, 410, 430. 8b: 410, 420, 440, 430, 450, 450, 400, 420, 410, 400, 440, 430, 450, 430, 410,

420, 450, 400, 410, 420, 440, 430. 8c: 410, 450, 460, 420, 420, 440, 410, 460, 400, 420, 410, 450, 410, 420, 400,

410, 460, 450, 410, 400, 410, 450, 450, 400. 8d: 430, 420, 420, 430, 440, 430, 430, 420, 420, 430, 420, 430, 430, 410, 430,

420, 430, 430, 420, 430, 420, 420, 430.

Koostage iga klassi kohta sagedustabel. Leidke xmin ja xmax ning ulatus, mood, mediaan ja kvartiilid. Arvutage aritmeetiline keskmine ja standardhälve. Mitu protsenti õpilastest mahub igas klassis oma tulemustega piirkonda [ ];x xσ σ− + . Milline klass vääriks teie arvates võistluste peaauhinda ja miks? Milline klass on tulemuste poolest kõige ühtlasem ja milline kõige ebaühtlasem? Millises klassis on kõige säravamad tipud?

228

923. Järgnev tabel esitab ühe klassi matemaatika kontrolltöö tulemuste jaotuse. Leidke mood, mediaan, kvartiilid, aritmeetiline keskmine

Hinne x 1 2 3 4 5 Sagedus w (%) 4 7 32 36 21

ja standardhälve. Mitu protsenti hindeid on piirkonnas [ ];x xσ σ− + ?

924. Tabelis on 15-aastaste õpilaste tulemused 75-meetri jooksus ja kaugushüppes. Leidke keskmine 75-meetri jooksu aeg, mood, mediaan ja standardhälve. Leidke samad näitajad kaugushüppe korral. Kas võistlejad olid kokkuvõttes ühtlasemad 75-meetri jooksus või kaugushüppes? Kes olid kõige kiiremad jooksjad, kes hüppasid kõige kaugemale? Kas võib väita, et need, kes jooksid kõige kiiremini, hüppasid ka kõige kaugemale?

Õpilane A B C D E F G Aeg (sek.) 11,7 12,1 12,3 12,1 11,5 12,6 12,4 Kaugus (m) 3,90 3,50 3,55 3,75 3,80 3,55 4,00

H I K L M N O P

12,0 12,5 12,4 12,4 11,8 12,4 11,8 12,5 3,50 3,85 3,75 3,55 3,55 3,60 4,80 3,55

925. * Mis on korrelatsioonitabel?

926. *Mis on lineaarne korrelatsioonikordaja? Mida see näitab? Kas selle abil saab otsustada, milline tunnus on teise põhjuseks?

927. Sõnastage kombinatoorikas tuntud liitmislause ja korrutamislause.

928. Mis on permutatsioonid ja kuidas leitakse nende arvu?

929. Mis on variatsioonid ja kuidas leitakse nende arvu?

930. Mis on kombinatsioonid ja kuidas leitakse nende arvu?

931. Valitav komisjon on kolmeliikmeline. Mitmel erineval viisil saab valida komis-joni koosseisu 27 inimese seast? Mitmel erineval viisil saavad valitud inimesed jaotada omavahel ameteid? Mitmel erineval viisil saab valida seda komisjoni, kui valida tuleb komisjoni esimees, sekretär ja lihtliige?

932. Mis on juhuslik sündmus?

933. Defineerige sündmuse klassikaline tõenäosus.

934. Millal võib rakendada sündmuse klassikalise tõenäosuse definitsiooni?

935. Loetlege tõenäosuse omadusi.

229

936. Täringu tahkudele on kirjutatud tähed a, a, s, s, s, i. Loetlege elementaarsündmu-sed selle täringu viskamisel. Kui suur on tõenäosus, et täringul tuleb 1) täht i, 2) täht a, 3) täht s? Kui suur on tõenäosus, et täringut kolm korda visates tuleb sõna sai?

937. Milliseid sündmusi nimetatakse välistavateks? Defineerige sündmuste summa, korrutis, vahe.

938. Sõnastage tõenäosuste liitmise lause(d).

939. Millised sündmused on sõltuvad, millised sõltumatud?

940. Mis on sündmuse tinglik tõenäosus?

941. Sõnastage tõenäosuste korrrutamise lause(d).

942. Mis on statistiline tõenäosus, mis on geomeetriline tõenäosus?

943. Mis on juhuslik suurus?

944. Mis on tõenäosusfunktsioon? Selle põhiomadus? Mis on jaotusfunktsioon?

945. Kuidas on defineeritud juhusliku suuruse keskväärtus ja dispersioon?

946. Milline on juhusliku suuruse ühtlane jaotus?

947. Milline on juhusliku suuruse binoomjaotus?

948. Ema küpsetas saiakesi. Ta jaotas taigna neljaks võrdseks osaks. Ühest osast tegi ta saiapätsi, teisest osast kaks väikest kringlit, kolmandast osast 10 pirukat ja neljandast osast 12 väikest kuklit. Oliver oli salaja poetanud taignasse pähkli. Kui saiad olid küpsetatud, haaras Oliver esimese ettejuhtuva piruka, lootes sealt leida pähklit. Kui suur on tõenäosus, et ta ka leidis sellest pähkli? Kui suur on tõenäo-sus, et pähkel oli juhuslikult võetud 1) kringlis, 2) kuklis? Kui suur on tõenäosus, et pähkel oli pirukates või kuklites?

949. Liikluse vaatlustulemused näitasid, et igast 12-st autost, mis läbisid punkti A (joon. 5.30 ) pöörasid 7 punkti B ja 5 punkti C suunas. Igast seitsmest autost, mis jõudsid punkti B, pöördus kolm punkti D ja neli punkti E suu-nas. Kui suur on tõenäosus, et 1) auto sõidab punktist A punkti C suunas, 2) auto sõidab punktist B punkti E suunas, 3) auto, mis läheneb punktile A sõidab mars-ruudil A-B-D?

950. Kui suur on tõenäosus, et täringu üheksa viske korral tuleb 4 silma 1) 9 korda, 2) 5 korda? Milline on 4 silma tõenäoseim esinemiste arv kummalgi juhul? Arvutage kummalgi juhul nelja silma võimalike tulekute arvu kui juhusliku suuruse keskväärtus ja dispersioon.

Joon.5.30

276

730. a) 27; b) 624. 731. 702; 324. 732. 120. 733. 336. 734. 19683000. 735. 6667. 737. 7! = 5040 või 12! = 479001600. 740. 1) 30; 2) 144; 3) 4; 4) 18; 5) 720; 6) 720; 7) 306; 8) 0,05; 9) 362880. 742. 1) (n + 1)!; 2) n · n!; 3) 0,5n(n + 1); 4) (n + 1) . 2 744. 12. 746. 8. 747. 1) 72; 2) 30; 3) 0,125; 4) 4320; 748. 1) (n + 3)(n + 2)(n + 1)n; 2) 0,5(n + 1)!; 3) (n – 3)2 4) 6(n + 5).749. Pn = n!. 750. 9.

752. 9900; 4950 754. 1) 129286; 2) 1; 3) 210315

4) 10. 756. 64; 6. 757. 10. 758. 11.

759. 63. 760. 1) 28; 2) 190; 3) 0,5n(n – 1). 761. 1) 4; 2) 455; 3) 1 ( 1)( 2)6

n n n− − .

762. 6; 4. 763. 5,256520039 · 1020; 8,153498643 · 1045. 765. 1) 4 2p tC C⋅ ;

2) 2 4 3 3 4 2 5 1 6t p t p p p t p tC C C C C C C C C⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + . 766. 980.

767. 1 2 3 1 2 3 1 2 38 8 8 6 6 6 4 4 4( )( )( ) 52808C C C C C C C C C+ + + + + + = . 768. 1) a6 + 6a5 + 15a4 + 20a3 +

+ 15a2 + 6a + 1; 2) x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1; 3) 32c5 + 240c4 + 720c3 + 1080c2 + 810c + 243; 4) a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5. 769. x = y. 771. U = ”vapp”, “kiri”. 772. 52 ele- mentaarsündmust. 773. U = ”kiri-kiri”, “kiri-vapp”, “vapp-kiri”, “vapp-vapp”. 775. Kolme silma tulek, kuue silma tulek. 776. SAI, SIA, AIS, ASI, ISA, IAS. 777. Musta kaardi tulek. 778. Musta kuninga mittetulek ehk kõigi ülejäänud võimaluste tulek. 779. Sündmus A. 781. Vapp-kiri või kiri-vapp tulek. 782. Kindel sündmus U, st. kas 2, 3, 4, …, 11 või 12 silma tulek. 783. 2n, 210 = 1024; 26 = 64. 784. 0,5. 785. 1) 0,25;

2) 113

; 3) Kui äss on pilt, siis 413

, kui ei, siis 313

; 4) 752

või 113

(lause kaheti mõistetav).

788. 0,5. 789. 1) 0,25; 2) 0,5; 3) 0,75. 790. 2984

. 791. 1) 0,4; 2) 0,35; 3) 0,25. 792. 1) 0,049;

2) 0,031; 3) 0,017; 4) 0; 5) 0,097; 6) 0,245. 794. Vt. tabel lk. 218. 795. 1) 0,42; 2) 0,58.

796. 1) 0,5; 2) 0,36. 797. 1) 16

; 2) 23

. 798. Jüril 0,498, Antsul 0,502. 799. 0,9897.

800. 1) 0,008; 2) 0,384. 801. 1) 3; 2) 6; 0,47. 802. 2n

; 1) n = 2; 2) 2 ≤ n ≤ 4; 0,074.

803. 0,000606; 3

2

n

nC− või 3

3!( 2)

n

nV− ; 2

n; 4!

( 1)( 2)n n n− −; 1

mn

n mC+ − või !( 1 )

mn

m n mV+ − .

804. 1) 2 silma; 2) 3 või 5 silma; 3) 1, 2, 3 või 5 silma; 4) AK = A; 5) sündmus V; 6) B + P = U; 7) 2, 3, 4 või 6 silma; 8) 1, 2, 4 või 5 silma; 9) K + B = B; 10) 1, 2, 3, 4 või 5 silma; 11) 2 silma (sündmus AB); 12) 2, 3 või 5 silma (sündmus A); 13) 1, 3 või 5 silma; 14) 2 silma (sündmus AB); 15) 1 silm. 805. 6 silma esimesel ja neljandal viskel; 6 silma kas esimesel või neljandal viskel; 6 silma esimesel kuid mitte neljandal viskel. 806. 1) A; 2) V; 3) U; 4) A. 807. Välistavad: A ja B; A ja C; B ja C; C ja D; A + B: sama

tulemus mõlemal rahal; B + C: mitte “kiri-kiri”; C + D = U; AD = A; CD = V. 808. 1) 16

;

Valik vastuseid

277

2) 13

; 3) 23

; 4) 12

; 5) 0; 6) 1; 7) 23

; 8) 23

; 9) 13

; 10) 56

; 11) 16

; 12) 13

; 13) 12

; 14) 16

;

15) 16

. 809. P(A) = P(B) = 0,25; P(C) = P(D) = 0,5; P(A + B) = 0,5; P(B + C) = 0,75;

P(C + D) = 1; P(AD) = 0,25; P(CD) = 0. 811. 1( )13

P A = ; 2( )91

P B = ; 6( )91

P C = ;

1) 9( )91

P A B+ = ; 2) 1( )7

P A C+ = ; 3) 8( )91

P B C+ = . 812. 1) 713

; 2) 12

; 3) 813

või 1726

(kas äss loetakse pildiks või ei); 4) 213

; 5) 413

; 6) 2152

või 2552

(vt. juhtu 3); 7) 313

või

413

(vt. juhtu 3); 8) 213

. 813. Sõltuvad. 814. Sõltumatud. 815. 11( )17

P A = ; 2( / )3

P B A = .

816. 717

. 817. 11210

. 818. 1) 0,56; 2) 0,94. 819. 1365

. 820. 136

. 821. 13

. 822. 1325

.

823. 101270

. 824. 16 0,198;81

≈ 28 0,183153

≈ . 825. 0,023. 826. 0,5; 0,25π ≈ 0,79; 0,75.

828. 0,7125; 57. 829. 0,508. 830. 0,25. 831. 0,56. 832. 1) 0,252; 2) 0,748. 833. 92%; 0,92; 244. 834. 24765. 835. Arvatavasti 6. 837. 0,588; 838. 0,9363; 936. 840. 41; 38 ja 44. 843.

x 155–161 161–167 167–173 173–179 179–185 f 5 13 11 3 1

w(%) 15 40 33 9 3 845. Arvestades joonistamise täpsust, on protsendid vaid ühe kümnendkohaga.

Vanus 0–9 10–19 20–29 30–39 40–49 50–59 60–69 70 ja üle Eesti (%) 15,1 14,3 14,3 15,0 12,2 12,3 9,1 7,7 Tartu (%) 14,0 15,7 17,2 13,2 11,9 11,5 8,8 7,7

848. Rahvus w(%) 1934 w(%) 1989 w(%) 2000 eestlased 88,33 61,53 67,89 venelased 8,16 30,33 25,63 ukrainlased 0,01 3,08 2,12 valgevenelased 1,77 1,26 soomlased 0,1 1,06 0,86 tatarlased 0,02 0,26 0,19 lätlased 0,48 0,20 0,17 juudid 0,39 0,29 0,15 poolakad 0,14 0,19 0,16 leedulased 0,02 0,17 0,15

278

sakslased 1,44 0,22 0,14 rootslased 0,67 0,02 0,02 muud 0,24 0,88 1,26 Kokku 100 100 100

849. 7,26. 850. 3,81; 3,86. 852. 167,0 Klassid 155 < x ≤ 165 165 < x ≤ 175 175 < x ≤ 185

Sagedused 12 19 2 853. 41. 855. Mediaanvahemik 30…39; suurima sagedusega Eestis 0…9, Tartus 20…29. 857. 7,5; 6 ja 8. 858. Kaashäälikud. 859. Eestlased. 860. Keskmiselt kuus 199 last; mood – aprill; 26,5%, 28,8%, 24,7%, 20,0%. 861. 5984,8. 862. Mediaanvahemik ja suurima sagedusega vahemik: 5680…6020; 5985,0. 863. 4,17. 864. 6 ja 9. 865. A: 3;Q = 5Q = ;

3,8x = ; σ = 0,97; 61%; B: 3;Q = 5Q = ; 3,9x = ; σ = 0,92; 64%. 867. A: 10,78;x =

σ = 0,125; B: 10,78;x = σ = 0,125; C: 10,79;x = σ = 0,137. 874. eesti; mediaani ei

eksisteeri. 883. 0,965. 884. X väärtused on 1, 2, …, 12; vastavad tõenäosused on 112

.

885. 1) 0,5; 2) 512

; 3) 13

; 4) 23

. 886. 0,5; 0,1. 888. Mäng on õiglane, mõlema poisi jaoks

on võidu (1 kr.) tõenäosus ja kaotuse (võit – 1 krooni) tõenäosus 0,5. 889. 7; 2,4.

890. 6,5; 3,45. 891. 1,26; 2,81. 892. EX = 0; σ = 1. 894. 1( )12

P X i= = , i = 1, 2, …, 12;

6,5; 3,45. 895. P(X = i) = 0,05, i = 1, 2, …, 12; 10,5; 5,77. 897. 1) EX = 0,25; σ = 0,5;

2) 5 0,139;36

EX = ≈ σ = 0,373. 898. Mäng on õiglane, mõlema poisi jaoks on 1 kr. saamise

tõenäosus 0,5 ja mittevõidu (0 kr.) tõenäosus 0,5; EX = 0,5; kokku 40 viset; σ = 0,5. 899. 1) 0,296; 0,089; 2) 0,193; 0,003. 900. 0,17; 0,0000006. 901. 1) 0,246; 2) 0,246; 3) 0,070. 902. 0,164. 903. 3; 2,5; 1,58. 904. 2,5; 1,75; 2 ja 3.

k 0 1 2 3 4 5

P(X = k) 0,03125 0,15625 0,3125 0,3125 0,15625 0,03125 905. Võrdsed. Võttes poisslapse sündimise tõenäosuseks 0,514 on 1) 3 ja 2) 4. 906. 1) 0,996; 2) 0,96 l. 907. 0,99998 l; kahes pakis. 908. 0,377. 909. 0,31; 0,25. 910. 180. 911. 0,0961; ligikaudu üks kord 10 päeva jooksul. 919. 7; 7; 6,8; 2,4. 920. 31…40; 21…30; 26,75; 12,69. 921. Teise. 922.

Tulemus 400 410 420 430 440 450 460 470

8a kl. 1 5 4 7 2 1 1

8b kl. 3 4 4 4 3 4

8c kl. 5 6 4 1 5 3

8d kl. 1 9 12 1

xmin xmax Ulatus Mo Me Q Q x σ %

8a kl. 400 470 70 430 430 410 430 425,7 15,6 62

8b kl. 400 450 50 425 410 440 425,5 16,7 68

8c kl. 400 460 60 410 420 415 450 425,4 22,0 46

8d kl. 410 440 30 430 430 420 430 425,7 6,5 91

923. 4; 4; 3; 4; 3,63; 1,02; 68%. 924. 75-meetri jaoks: 12,17; 12,4; 12,3; 0,33; Kaugushü-

pe: 3,75; 3,55; 3,6; 0,32; variatsioonikordaja v = 2,7%; vk = 8,6%. 936. 1) 16

; 2) 13

;

3) 136

. 948. 1 0,02540

= ; 1 0,1258= ; 1 0,021

48≈ ; 0,5. 949. 1) 5 0, 417

12≈ ;

2) 4 0,5717≈ ; 3) 0,25. 950. 1) 9,92 · 10–8; 2) 0,00781; 1; 1,5; 1,25.

5. TÕENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILISE STATISTIKA ELEMENTE 163

5.1 Kombinatoorika 163 5.2 Variatsioonid ja kombinatsioonid 166 5.3 Juhuslik sündmus 171 5.4 Sündmuste klassikaline tõenäosus 174 5.5 Sündmuste korrutis ja summa 178 5.6 Tõenäosuste liitmise lause 181 5.7 Sõltuvad ja sõltumatud sündmused 183 5.8 Geomeetriline tõenäosus 186 5.9 Statistiline tõenäosus 189 5.10 Statistiline andmestik 191 5.11 Aritmeetiline keskmine, mediaan, mood 198 5.12 Hajuvuse karakteristikud 203 5.13* Mittearvuline tunnus 208 5.14* Korrelatsiooniväli 210 5.15* Korrelatsioonitabel 211 5.16* Lineaarne korrelatsioonikordaja 214 5.17 Juhuslik suurus 215 5.18 Juhusliku suuruse karakteristikuid 219 5.19 Ühtlane ja Bernoulli jaotus 221 5.20 Binoomjaotus 223 Enesekontrolliks 227

Valik vastuseid 276

© Kirjastus Koolibri, 2012

Kõik õigused on kaitstud. Ilma autoriõiguse omaniku eelneva

kirjaliku loata pole lubatud ühtki selle raamatu osa paljundada

ei elektroonilisel, mehaanilisel ega muul viisil.