l b d h5.4 Sampling Distributions and the Central Limit TheoremCentral Limit Theorem

Sampling DistributionsSampling Distributions

• A sampling distribution is the probability of aA sampling distribution is the probability of a sample statistic that is formed when samples of size n are repeatedly taken from aof size n are repeatedly taken from a population.

Properties of Sampling Distributions of lSample Means

• The mean of the sample means is equal to the p qpopulations mean

• The standard deviation of the sample means is equal to the population standard deviation divided by the square root of n.divided by the square root of n.

• The standard deviation of the sampling p gdistribution of the sample means is called the standard error of the mean

A Sampling Distribution of Sample Means

You write the population values (1 3 5 7) on slips of paper and put them in a boxYou write the population values (1,3,5,7) on slips of paper and put them in a box.  Then you randomly choose two slips of paper, with replacement.  List all possible samples of size n = 2 and calculate the mean of each.  Find the mean , variance, and standard deviation of the sample means.  

Sample Sample Mean

1 1 1

Sample Sample Mean

5 1 31,1 1

1,3 2

1,5 3

5,1 3

5,3 4

5,5 5

1,7 4

3,1 2

3,3 3

5,7 6

7,1 4

7,3 5

3,5 4

3,7 5

7,5 6

7,7 7

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

1 11 1

2 2

3 3

4 4

5 3

6 2

7 1

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

1 1 0 06251 1 0.0625

2 2 0.1250

3 3 0.1875

4 4 0.2500

5 3 0.1875

6 2 0.1250

7 1 0.0625

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

1 1 0 0625 0 06251 1 0.0625 0.0625

2 2 0.1250 0.2500

3 3 0.1875 0.5625

4 4 0.2500 1.0000

5 3 0.1875 0.9375

6 2 0.1250 0.7500

7 1 0.0625 0.4375

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

1 1 0 0625 0 06251 1 0.0625 0.0625

2 2 0.1250 0.2500

3 3 0.1875 0.5625

4 4 0.2500 1.0000

5 3 0.1875 0.9375

6 2 0.1250 0.7500

7 1 0.0625 0.4375

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

1 1 0 0625 0 0625 31 1 0.0625 0.0625 ‐3

2 2 0.1250 0.2500 ‐2

3 3 0.1875 0.5625 ‐1

4 4 0.2500 1.0000 0

5 3 0.1875 0.9375 1

6 2 0.1250 0.7500 2

7 1 0.0625 0.4375 3

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

1 1 0 0625 0 0625 3 91 1 0.0625 0.0625 ‐3 9

2 2 0.1250 0.2500 ‐2 4

3 3 0.1875 0.5625 ‐1 1

4 4 0.2500 1.0000 0 0

5 3 0.1875 0.9375 1 1

6 2 0.1250 0.7500 2 4

7 1 0.0625 0.4375 3 9

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

1 1 0 0625 0 0625 3 9 0 56251 1 0.0625 0.0625 ‐3 9 0.5625

2 2 0.1250 0.2500 ‐2 4 0.5000

3 3 0.1875 0.5625 ‐1 1 0.1875

4 4 0.2500 1.0000 0 0 0

5 3 0.1875 0.9375 1 1 0.1875

6 2 0.1250 0.7500 2 4 0.5000

7 1 0.0625 0.4375 3 9 0.5625

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

1 1 0 0625 0 0625 3 9 0 56251 1 0.0625 0.0625 ‐3 9 0.5625

2 2 0.1250 0.2500 ‐2 4 0.5000

3 3 0.1875 0.5625 ‐1 1 0.1875

4 4 0.2500 1.0000 0 0 0

5 3 0.1875 0.9375 1 1 0.1875

6 2 0.1250 0.7500 2 4 0.5000

7 1 0.0625 0.4375 3 9 0.5625

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

1 1 0 0625 0 0625 3 9 0 56251 1 0.0625 0.0625 ‐3 9 0.5625

2 2 0.1250 0.2500 ‐2 4 0.5000

3 3 0.1875 0.5625 ‐1 1 0.1875

4 4 0.2500 1.0000 0 0 0

5 3 0.1875 0.9375 1 1 0.1875

6 2 0.1250 0.7500 2 4 0.5000

7 1 0.0625 0.4375 3 9 0.5625

A Sampling Distribution of Sample Means

You write the population values (2 6 10 14) on slips of paper and put them in aYou write the population values (2 ,6, 10, 14) on slips of paper and put them in a box.  Then you randomly choose two slips of paper, with replacement.  List all possible samples of size n = 2 and calculate the mean of each.  Find the mean , variance, and standard deviation of the sample means.  

Sample Sample Mean

2 2 2

Sample Sample Mean

10 2 62,2 2

2,6 4

2,10 6

10,2 6

10,6 8

10,10 10

2,14 8

6,2 4

6,6 6

10,12 12

12,2 8

12,6 10

6,10 8

6,14 10

12,10 12

12,12 14

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

2 12 1

4 2

6 3

8 4

10 3

12 2

14 1

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

2 1 0 06252 1 0.0625

4 2 0.1250

6 3 0.1875

8 4 0.2500

10 3 0.1875

12 2 0.1250

14 1 0.0625

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

2 1 0 0625 0 1252 1 0.0625 0.125

4 2 0.1250 0.500

6 3 0.1875 1.125

8 4 0.2500 2

10 3 0.1875 1.875

12 2 0.1250 1.500

14 1 0.0625 .875

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

2 1 0 0625 0 1252 1 0.0625 0.125

4 2 0.1250 0.500

6 3 0.1875 1.125

8 4 0.2500 2

10 3 0.1875 1.875

12 2 0.1250 1.500

14 1 0.0625 .875

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

2 1 0 0625 0 125 62 1 0.0625 0.125 ‐6

4 2 0.1250 0.500 ‐4

6 3 0.1875 1.125 ‐2

8 4 0.2500 2 0

10 3 0.1875 1.875 2

12 2 0.1250 1.500 4

14 1 0.0625 .875 6

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

2 1 0 0625 0 125 6 362 1 0.0625 0.125 ‐6 36

4 2 0.1250 0.500 ‐4 16

6 3 0.1875 1.125 ‐2 4

8 4 0.2500 2 0 0

10 3 0.1875 1.875 2 4

12 2 0.1250 1.500 4 16

14 1 0.0625 .875 6 36

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

2 1 0 0625 0 125 6 36 2 252 1 0.0625 0.125 ‐6 36 2.25

4 2 0.1250 0.500 ‐4 16 2

6 3 0.1875 1.125 ‐2 4 0.75

8 4 0.2500 2 0 0 0

10 3 0.1875 1.875 2 4 0.75

12 2 0.1250 1.500 4 16 2

14 1 0.0625 .875 6 36 2.25

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

2 1 0 0625 0 125 6 36 2 252 1 0.0625 0.125 ‐6 36 2.25

4 2 0.1250 0.500 ‐4 16 2

6 3 0.1875 1.125 ‐2 4 0.75

8 4 0.2500 2 0 0 0

10 3 0.1875 1.875 2 4 0.75

12 2 0.1250 1.500 4 16 2

14 1 0.0625 .875 6 36 2.25

Find the Mean, Variance, and Standard D i tiDeviation

2 1 0 0625 0 125 6 36 2 252 1 0.0625 0.125 ‐6 36 2.25

4 2 0.1250 0.500 ‐4 16 2

6 3 0.1875 1.125 ‐2 4 0.75

8 4 0.2500 2 0 0 0

10 3 0.1875 1.875 2 4 0.75

12 2 0.1250 1.500 4 16 2

14 1 0.0625 .875 6 36 2.25

The Central Limit Theorem

The Central Limit TheoremThe Central Limit Theorem

• You can use the central limit theorem if the nYou can use the central limit theorem if the nis greater than or equal to 30

• Or if the population itself is normallyOr if the population itself is normally distributed.

• The standard deviation of the sampling• The standard deviation of the sampling distribution of the sample means is also called the standard error of the mean.the standard error of the mean.

Interpreting the Central Limit TheoremInterpreting the Central Limit Theorem

Phone bills for residents of a city have a mean of $64 and a standard deviation of $9.  Random samples of 36 phone bills are drawn from this population and the mean ofRandom samples of 36 phone bills are drawn from this population, and the mean of each sample is determined.   Find the mean and the standard error of the mean of the sampling distribution.

You can use the Central Limit Theorem because n is greater than 30.  The mean of the sampling distribution is equal to the mean of the population, and the standard error of the mean is equal to the population standard deviation divided by the square root of n.

Interpreting the Central Limit TheoremInterpreting the Central Limit TheoremSuppose a random sample of 100 are drawn from the population in the previous example. Find the mean and standard error of the mean of the samplingexample.  Find the mean and standard error of the mean of the sampling distribution.

Interpreting the Central Limit TheoremInterpreting the Central Limit TheoremThe heights of fully grown white oak trees are normally distributed, with a mean of 90 feet high and a standard deviation of 3.5 feet.  Random samples of 4 trees are drawn from this population, and the mean of each sample is determined.  Find the mean and standard error of the mean of the sampling distribution.

You can use the Central Limit Theorem because the population is normally distributed.

Probability and the Central Limit hTheorem

Z‐score with a sample mean

Finding Probabilities for Sampling bDistributions

The average time spent driving each day for drivers of ages 15 – 19 is 25 minutes g p g y gwith a standard deviation of 1.5 minutes.  You randomly select 50 drivers ages 15 –19.  What is the probability that the mean time they spend driving each day is between 24.7 and 25.5 minutes?

Find the z‐scores than use the table to determine the probability

About 91.23% of the samples of 50 will have a mean driving time between 24.7 and 25.5 minutes.

Finding Probabilities for Sampling bDistributions

The mean room and board expense per year at a four‐year college is $5850.  You p p y y g $randomly select 9 four‐year colleges.  What is the probability that the mean room and board is less than $6180?  Assume that the room and board expenses are normally distributed, with a standard deviation of $1125.

You can use the Central Limit Theorem because the population is normally distributed.

81.06% of samples of 9 will have a mean less than $618081.06% of samples of 9 will have a mean less than $6180

Finding Probabilities for a Random bl d lVariable and a Sample Mean 

A bank auditor claims that credit card balances are normally distributed, with a mean 0f $2870 and a standard deviation of $900.1) What is the probability that a randomly selected credit card holder has a credit card balance less than $2500?2) You randomly select 25 credit card holders. What is the probability that their mean2) You randomly select 25 credit card holders.  What is the probability that their mean credit card balance is less than $2500?3) Compare the two results and interpret the auditor’s claim

For 1 you figure out a z‐score for a random variable and use the chart for the probability.

Finding Probabilities for a Random bl d lVariable and a Sample Mean 

A bank auditor claims that credit card balances are normally distributed, with a mean 0f $2870 and a standard deviation of $900.1) What is the probability that a randomly selected credit card holder has a credit card balance less than $2500?2) You randomly select 25 credit card holders. What is the probability that their mean2) You randomly select 25 credit card holders.  What is the probability that their mean credit card balance is less than $2500?3) Compare the two results and interpret the auditor’s claim

For 2 you figure out a z‐score for a sample mean and use the chart for the probability.

Finding Probabilities for a Random bl d lVariable and a Sample Mean 

A bank auditor claims that credit card balances are normally distributed, with a mean 0f $2870 and a standard deviation of $900.1) What is the probability that a randomly selected credit card holder has a credit card balance less than $2500?2) You randomly select 25 credit card holders. What is the probability that their mean2) You randomly select 25 credit card holders.  What is the probability that their mean credit card balance is less than $2500?3) Compare the two results and interpret the auditor’s claim

There is a 34 % chance that an individual will have a balance less than $2500, and there is less that a 2% chance that a sample of 25 credit card holders will have a balance less than $2500.  So either the sample is unusual or the auditor’s claim that the mean is $2870 is incorrect.