如何判别一个多项式不可约，并没有一个行之有效的方法

1. 在无限数域上的不可约多项式问题复数域上的任何多项式都是可约的。实数域上任何多项式，根据复根共轭的性质，

知道实数域上只有 2 次不可约多项式。有理数域，存在任意次不可约多项式。

定理 1 ：若 n 次整系数多项式 f(x) Z[x]∈ 在有理数域 Q 上可约，则 f(x) 在整数环 Z 上一定可约。

定 理 2( 艾 森 斯 坦 (Eisenstein) 判 别 法 ) ： 设f(x)=a0+a1x+…+anxn 是整系数多项式，若能找到一个素数 p ，使得

(1)p 不能整除 an ；(2)p|a0,a1, ,a┅ n-1 ；(3)p2 不能整除 a0 ；那么， f(x) 在有理数域上不可约。

艾森斯坦判别法是充分条件，不满足定理 2的多项式，不一定就可约。

如 x2+3x+2 和 x2+1 ，都不满足定理 2 条件，前者在有理数域上可约，后者不可约。

2. 有限域上的不可约多项式有限域上的不可约多项式，最直观的就是将

域上所有 n 次多项式按次数列成表，次数小的在前面，大的在后，次数相等的按

某种规定排列先后，排在最前面的多项式就是不可约的，把它圈出来，

再把该多项式倍式的多项式从表中划去。剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就

是不可约的，重复这一过程即可，但当 n 适当大时，工作

量就很大。

设 f(x) 是 F(q=pk) 上的 n 次多项式，如果 f(0)=0, 则 f(x) 有因子 x, 故 f(x) 可约 .如果 f(0)0 ，若 f(x) 可约，则 f(x) 必有次数

n/2 的不可约因式 g(x) 。设 g(x) 次数为 m, 因为 g(x) 是有限域 F 上的

m 次不可约多项式，则根据有限域上不可约多项式根域的结论知， g(x)|xqm-1-1, 即 f(x) 与xqm-1-1 有次数大于 1 的公因子。

检验 f(x) 是否可约，只要考察下列最大公因子：

（ f(x) ， xqi-1-1 ） , 对 i=1,2, ,[n/2],┅ 如果这些最大公因子都是 1 ，则 f(x) 不可约。

常用的判断 Z2 上一个 n 次多项式是可约的方法有：

1 ）如果 f(x) 的常数项为 0 ，除非 f(x)=x ，否则一定可约。

2 ）如果 f(x) 中系数为 1 的项个数为偶数，则一定可约。

3 ）如果 (f(x),f’(x))1, 则一定可约。4 ）如果 f(x+1) 可约，则 f(x) 一定可约。5 ）如果 xnf(1/x) 可约，则 f(x) 一定可约。

对于 Z2 上一个 n 次多项式 f(x)=xn+xk+1(n,k 不同时为偶数 ) ，则有：

1 ）当 n4 时，若 n1mod3,k2mod3, 或n2mod3 而 k1mod3 时， f(x) 有因子 x2+x+1 ，即 f(x) 可约。

2 ） f(x) 满足下列 3 个条件中一个时， f(x) 可约： i)n 是偶数， k 是奇数， n2k, 而 nk/20mod4 或

1mod4 ii)n 是奇数， k 是偶数， k 不能整除 2n, 而

n3mod8 iii)n 是奇数， k 是偶数， k|2n, 而 n1mod8

一、基本概念1. 代数系统运算， SnS 的映射称为 S 上的 n 元运算代数系统：一个非空集合 S, 与一个或若干

个定义在 S 上的运算 Q1,…,Qk(k1), 就构成了一个代数系统 , 表示为 [S;Q1,…,Qk] 。

单位元，结合律，交换律，逆元，零元，分配律

同态，同构

2. 相容设“ ~” 为 S 上的等价关系，“ *” 为 S

上的二元运算。若对任意 a,b,c,dS ，当a~b， c~d时，必有 ac~bd，则称等价关系 ~ 与运算 是相容的，称 ~ 为代数系统 [S;] 的相容等价关系。

3. 半群，拟群，群有关定理4. 元素的阶和群的阶定义 , 结论

5. 子群与陪集概念 , 定理 , 陪集的实质正规子群6. 商群与群同态基本定理7. 环的基本概念环的零元 , 环的单位元 , 交换环在环中讨论元素可逆1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1)8. 特征数整环的特征数9. 子环，理想，商环主理想 , 主理想环10. 多项式环

11. 扩域与单扩域线性空间与域的关系素域12. 代数元与代数扩域极小多项式13. 根域根域的存在性与唯一性 ( 同构意义下 )14. 有限域，形式微商15. 本原元与本原多项式

二、证明及判别、计算 1. 群 群？ 元素阶与群的阶 陪集与划分 , 拉格朗日定理应用 , 特别是补充证明的一些结

论。 子群，正规子群的验证和证明 设是群 G 上的等价关系 , 并且对于 G 的任意三个元素

a,x,x‘ ，若 axax’ 则必有 x x‘ 。证明：与 G 中单位元等价的元素全体构成 G 的一个子群。

H={xG|xe} 对任意的 xH ， xe=xe=xx-1 ，因此有 ex-1 ，所以 x-1H ， 对任意的 x,yH ，有 xe ， ye ， 即 x-1xy=eye=x-1x ，因此有 xyxe ， 所以 xyH 用群同态基本定理证明群同构

2. 环环，理想 , 子环的判别设环 R 存在唯一一个右单位元，证明该环

一定存在单位元。er 为右单位元，对任意的 a R∈ ，(era-a+er) ，设法证明 (era-a+er) 也是右单位元设 A 是环 R 的理想， B 是 R 的子集，

B={b| 对任意 aA, ba=0} ，证明： B 是环R 的理想。

商环中的元素表示零因子用环同态基本定理证明环同构求多项式的逆

3. 域扩域 , 代数元求 在有理数域上的极小多项式 . 4. 根域确定根域 , 及扩张次数有限域的根域存在性 , 唯一性证明方法重根与形式微商Zp 上 n 次不可约多项式根域

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Zp 上的 n 次不可约多项式 f(x) 的根域是什么？

定理 :Zp 上的 n 次不可约多项式 f(x) 的根域是 GF(pn)=Zp()

推论 16.6:GF(pm) 中的元素恰为多项式 xpm-

xZp[x] 的 pm 个根。习题 16.16如果是 f(x) 在其根域上的根 , 则 N=Zp()该结论是针对有限域 Zp 上的多项式，对于无限

域是不成立的。例如 x3- 是 Q[x] 上的不可约多项式，为其根，

但 Q() 不是 x3- 的根域。

5. 本原元与本原多项式有关定理和结论的证明GF(pn) 的表述 , 化简求出所有本原元 , 本原多项式已知为 GF(pn) 上的本原元，怎样求出

GF(pn) 上的所有本原元？GF*(pn) 中的每个元素可表示为的幂次

形式 k 。由习题 14.19 知， k 的阶为 pn -1 当且仅当 (k, pn -1)=1 ，即 k 为本原元当且仅当 (k, pn -1)=1 。因此我们就可在 ,2,pn-1 中找出所有的本原元。

已知 Zp 上的一个 n 次本原多项式 f(x), 怎样求出所有的 n 次本原多项式 ?

1. 为本原多项式 f(x) 的根 , 则有 f(x)=(x-)(x-p)(x-p2)(x-pn-1)2. 已知 Zp 上的一个 n 次本原多项式 f(x), 求所

有 n 次本原多项式的方法是 : (1) 先求出 f(x) 的一个根 , 即本原元 , 然后求出

GF(pn) 中的所有本原元 , (2) 根据求出的本原元按结论 1 中的方法构造其他本原多项式 .

3.凡不可约多项式若有一个根是本原元 , 则它的所有根都是本原元 , 即 , 它一定是本原多项式 .

已知 x4+x+1 是 Z2 上的本原多项式 , 设是x4+x+1 的根 , (1) 求出 GF(16) 上的所有本原元，并用的幂次形式表示 .(2) 求出 Z2 上的所有四次本原多项式。

与 15互质： 1 ， 2 ， 4 ， 7 ， 8 ， 11 ， 13 ，14

， 2 ， 4 ， 7 ， 8 ， 11 ， 13 ， 14 ，(x-)(x- 2)(x- 4)(x- 8)(x-7)(x- (7)2)(x- (7)22)(x-(7)23)=(x-7)(x- 14)(x- 13)(x-11)

定理 2( 艾森斯坦 (Eisenstein) 判别法 ) ：设f(x)=a0+a1x+…+anxn 是整系数多项式，若能找到一个素数 p ，使得

(1)p 不能整除 an ；(2)p|a0,a1, ,a┅ n-1 ；(3)p2 不能整除 a0 ；那么， f(x) 在有理数域上不可约。1. 证明 2xn+9x2+6(n>2) 是有理数域上的不可

约多项式。 p=3

基本概念要清楚熟知的数集上性质注意按照定义和规则，不能想当然要有一定的灵活，善于思考

考题类型：判断说明理由；证明，说明，计算考试时间： 5 月 6 日 9:50—11:35地点： Z2108占总分 40%

作业 : 1. 证明 2xn+9x2+6(n>2) 是有理数域上的不可约多项式。

2. 求出 Z2 上所有 5 次不可约多项式和本原多项式