Стереометрия

СтереометрияСтереометрия ТЕМА: 2.3 ТЕТРАЭДР. СЕЧЕНИЕ ТЕТРАЭДРА.

АК ВГУЭС

Преподаватель

БОЙКО ВЕРА ИВАНОВНА

специальности:

08011051 «Банковское дело» 10110151 «Гостиничный сервис»

080110151 «Сервис домашнего и коммунального хозяйства»

10080151 «Товароведение и экспертиза качества потребительскихтоваров»

Требования к знаниям, умениям и навыкам

3

В результате изучения лекции студент должен знать: * Представление о правильных многогранниках. * Определение тетраэдра и его изображение . * Элементы тетраэдра. * Как построить сечения тетраэдра. В результате изучения лекции студент должен уметь:

■ Изображать тетраэдр.■ Решать задачи на построение сечений тетраэдра.

Содержание:Содержание:

1. Понятие многогранника. 2. Определение тетраэдра и его

элементов. 3. Изображение тетраэдра. 4. Сечения тетраэдра.

Многогранник Поверхность, составленную из

многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранником.

Многие многогранники изобрел не человек, а создала природа.

Тетраэдр – Тетраэдр – поверхность, поверхность,

составленная из составленная из четырех четырех

треугольниковтреугольников

Определение

Тетраэдр. Тетраэдр. Слово составлено из греческих «четыре» и - «основание».

Буквальное значение – «четырехгранник».По-видимому, термин впервые употреблен Евклидом. После Платона чаще встречается «пирамида»

, /

СА В

SS

Тетраэдр имеетТетраэдр имеет

4 грани:DAC, DBC, DAB, ABC.

6 рёбер:DA, DB, DC, AB, AC, BC.

4 вершины (в каждой сходятся три ребра):D, A, B, C.

D

A

BC

Противоположные ребра:

A

BC

DDA и ВС,

DB и АС,

DС и АВ.

Основание: АВС

Боковые грани: DАВ, DВС, DАС.

Изображение тетраэдраИзображение тетраэдраПусть Пусть AA00BB00CC00DD00 – – произвольный тетраэдр, произвольный тетраэдр, AA,, BB,, C C и и D D – параллельные – параллельные проекции его вершин на проекции его вершин на плоскость изображений (π). плоскость изображений (π). Отрезки Отрезки ABAB, , BCBC, , CACA, , ADAD, , BDBD,, CDCD служат сторонами и служат сторонами и диагоналями диагоналями четырёхугольника четырёхугольника ABCDABCD. . Фигура, образованная из Фигура, образованная из этих отрезков (или любая этих отрезков (или любая другая фигура, подобная ей), другая фигура, подобная ей), является изображением является изображением тетраэдра тетраэдра AA00BB00CC00DD00 . .

Фигура, состоящая из сторон и диагоналей любого Фигура, состоящая из сторон и диагоналей любого (выпуклого или невыпуклого) четырёхугольника, (выпуклого или невыпуклого) четырёхугольника, является изображением тетраэдра при является изображением тетраэдра при соответствующем выборе плоскости соответствующем выборе плоскости изображений и направления проектирования.изображений и направления проектирования.

На этих рисунках невидимые рёбра На этих рисунках невидимые рёбра изображены штриховыми линиями.изображены штриховыми линиями.

А

D

В

С

М

N

Точки М и N – середины ребер АВ и АС тетраэдра АВСD. Докажите, что прямая МN параллельна плоскости ВСD.

Какие многоугольники могут получиться в сечении ?

Тетраэдр имеет 4 грани

В сечениях могут получиться:

ЧетырехугольникиТреугольники

А

B

D

CN

M K

Объясните, как построить сечение Объясните, как построить сечение тетраэдра тетраэдра DABCDABC плоскостью, плоскостью,

проходящей через точкипроходящей через точки M,N,K M,N,K

Найдите периметр сечения, если M, N, K – середины ребер и каждое ребро тетраэдра равно а.

А

B

D

CN

M

K




А

B

D

CNM

K




E

А

B

D

CNM

K



E

MN ║ AC

ТетраэдрТетраэдр

Постройте сечение тетраэдра

плоскостью, проходящей через

точку М параллельно (АВС).

ССАА

ВВ

DD

ММ

КК

РР

Постройте сечение тетраэдра Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через плоскостью, проходящей через

точки Т, Р , Оточки Т, Р , О

АВ

С

Д

О

Х

Р

ТМ

Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SАВС проведена плоскость параллельно ребру SВ. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SАВ и SВС по параллельным прямым.

S

СА

В

М N

ЕКДано: SАВС –тетраэдр, МА=МВ, ВN=NC,

.||:

.

,,||,,

ЕNКMДоказать

ЕNBCS

КMABSВSNМ

Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC, и BC отметьте соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения прямой КN и плоскости ABD.

D

СА

ВK

NM• •

•

M1•

.

,,.3

.,

.,

||,||,.2

.,.1

:

.:

.:

.,

,,:

1

1

1

МАВDNKтогда

DBNKАВDDB

DBNKЗначит

условиюитпротиворечэтоапризнакупо

АВDNKтогдаDBNKДопустим

DBCDBDBCNK

Решение

АВDKNМУсловие

МточкуПостроить

BCKDCN

DВМтетраэдрDABCДано

• Задача1. На рёбрах AB, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M,N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Решение.

Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения ещё одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке Е, которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC.

Вариант 1Вариант 1

Задача № 1

Постройте точку пересечения прямой АВ с плоскостью MNK.

А

B

D

K

N

M

Вариант 1Вариант 1ответответ

Задача № 1

Постройте точку пересечения прямой АВ с плоскостью MNK.

B

N

А

D

KM

Х

Вариант 1Вариант 1

• Задача № 2

• Постройте сечение тетраэдра

плоскостью, проходящей через точки А, В и С;

С Є MND. А

B

D

K

N

M

С

Вариант 1Вариант 1ответответ

• Задача № 2

• Постройте сечение тетраэдра

плоскостью, проходящей через точки А, В и С;

С Є MND. А

B

D

K

N

M

С

Вариант Вариант 22

ответответЗадача № 1

Постройте точку пересечения прямой АВ с плоскостью

MDK.

А

B

D

K

N

M

Х

Вариант Вариант 22Задача № 2

Постройте сечение

тетраэдра плоскостью, проходящей через точки

А, В и С; В Є NDK.

А

B

D

K

N

M

C

Вариант Вариант 22ответответ

Задача № 2

Постройте сечение

тетраэдра плоскостью, проходящей через точки

А, В и С; В Є NDK.

А

B

D

K

N

M

C

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи

Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.

Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.

Тетраэдры в микромиреТетраэдры в микромиреВода, Лёд, Н2ОМолекула метана СН4Молекула аммиака NH3Алмаз C - тетраэдр с ребром равным

2,5220 ангстремФлюорит CaF2, тетраэдр с ребром равным

3, 8626 ангстремСфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром

равным 3,823 ангстремКомплексные ионы [BF4] -, [ZnCl4]2-,

[Hg(CN)4]2-, [Zn(NH3)4]2+.

Вопросы для самопроверки

- Что такое многогранник, его поверхность?- Назвать основные элементы тетраэдра.- Сколько граней, ребер и вершин в тетраэдре?- Как многоугольники могут получится в сечении тетраэдра?- Как строить сечения тетраэдра?- Где в жизни встречается тетраэдр?

Используемая литература:1. Геометрия: Учебник для средней школы. 10–11 классы./ Под ред. Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. – М.: Просвещение, 2010.

2. Геометрия. 10 класс. Поурочные планы / Авт.-сост. Г.И. Ковалева – Волгоград: Учитель, 2011

3. Геометрия.10-11 классы. И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Москва: Мнемозина, 2003

Documents

Стереометрия