计算机图形学2007—2008

第二学期

第一章 概论

什么是计算机图形学 研究用计算机进行数据与图形之间相互转换方

法的技术。

第一章 概论

第一章 概论 计算机图形学的主要应用领域

图形学的发展历史

计算机绘图系统构成

CAD/CAM科学研究办公自动化计算机动画计算机辅助教学

准备和酝酿时期（ 50-60 ）

学科确立和进入应用（ 60 ）

蓬勃发展和广泛应用（ 70 ）

成熟化、标准化时期（ 80 ）

提高可靠性、效率和速度

第二章 图形变换和裁剪§2.1 坐标系和绘图元素一、常用坐标系 1. 笛卡儿坐标系 2. 仿射坐标系 3. 圆柱坐标系 4. 屏幕坐标系二、绘图元素 1. 点 2. 位置 3. 像素 4. 直线 5. 曲线 6. 填

充

第二章 图形变换和裁剪§2.2 图形变换基础1 向量运算 向量的模（长度） 两向量的和 两个向量的点积 两个向量的叉积

第二章 图形变换和裁剪2 矩阵运算 矩阵相等 矩阵的加法运算 数乘矩阵 矩阵的乘法运算 单位矩阵 齐次坐标

第二章 图形变换和裁剪§2.3 图形的矩阵变换2.3.1 二维图形的几何变换 ⑴ 基本变换—平移变换 ⑵ 基本变换—比例变换 ⑶ 基本变换—对称变换 ⑷ 基本变换—错切变换

Tyxyx 11

⑸ 基本变换—旋转变换

cossin

sincos

yxy

yxx

100

0cossin

0sincos

T

100

0cossin

0sincos

11

yxyx

变换矩阵中各系数在变换过程中所起到的作用

a — x 方向放大、缩小的比例； d — y 方向放大、缩小的比例； c — 沿 x 方向的错切； b — 沿 y 方向的错切； L─ 沿 x 方向的平移； m─ 沿 y 方向的平移； a 、 b 、 c 、 d— 组合完成旋转变换。 p 、 q— 透视变换； s— 全比例变换系数。

sml

qdc

pba

T

二维图形的组合变换 组合变换是将两个以上的基本变换组合在一个变换中，以

便完成更为复杂的变换。例 1 ：三角形 ABC 的坐标为 A(2,2) 、 B(12,2) 、 C(2,12) ，求其绕点 p

(15,15)

旋转 90 的变换矩阵。

具体变换过程为：①先将图形联同 p 点一起平移，使 p 点与坐标原点重合。因此，平移的距离为（ -15 ， -15 ），变换矩阵为 T1 ，变换后的结果见图。②将图形绕坐标原点旋转 90 ，变换矩阵为 T2 ，变换结果见图。③将变换后的图形联同 p 重新移回原位置，变换矩阵为 T3, 变换结果见图。

T1

T2 T3

总的变换矩阵为三个变换矩阵的乘积

11515

010

001

1T

100

001

010

2T

11515

010

001

3T

321 TTTT

1030

001

010

11515

010

001

100

001

010

11515

010

001

例 2 ：三角形 ABC 的坐标为 A(2,2) 、 B(12,2) 、 C(2,12) ，将图形 对任意直线 y=ax+b 作对称变换，写出变换矩阵。

变换过程如下：

① 将图形联同直线一起平移，使直线与 y 轴的交点移到坐标原点

② 将直线及图形一道顺时针旋转 α ，其中 tanα=a

③ 将图形作对称于 x 轴的变换

④ 过程的②逆变换

⑤ 过程的①逆变换

以上过程用矩阵表达为：

10

010

001

1

b

T

100

0cossin

0sincos

2

T

100

010

001

3T

11

12321

TTTTTT

几种典型变换矩阵的逆阵

100

010

001

T

100

010

0011T

100

0cossin

0sincos

T

100

0cossin

0sincos1

T

1

010

001

ml

T

1

010

0011

ml

T

2.3.2 三维图形的几何变换

子阵： ─ 产生沿三个坐标轴方向的平移变换；

─ 产生比例、对称、旋转、错切四种变换；

[s] ─ 全比例变换； ─透视投影变换

snml

rjih

qfed

pcba

T

nml

jih

fed

cba

Trqp

一、基本变换1 、比例变换

a— 沿 x 方向的比例变换系数； e— 沿 y 方向的比例变换系数； j— 沿 z 方向的比例变换系数；

1000

000

000

000

j

e

a

T

2 、平移变换

— 沿 x 方向的平移量 m— 沿 y 方向的平移量； n— 沿 z 方向的平移量；

1

0100

0010

0001

nml

T

l

3 、对称变换① 对称原点

② 对称于坐标轴 A 、对称于 x 轴

zz

yy

xx

1000

0100

0010

0001

11 zyxzyx

zz

yy

xx

1000

0100

0010

0001

T

B 、对称于 y 轴

C 、对称于 z 轴

zz

yy

xx

1000

0100

0010

0001

T

zz

yy

xx

1000

0100

0010

0001

T

③ 对称于坐标平面 A 、对称于 yz 平面

B 、对称于 xz 平面

C 、对称于 xy 平面

zz

yy

xx

1000

0100

0010

0001

T

zz

yy

xx

1000

0100

0010

0001

T

zz

yy

xx

1000

0100

0010

0001

T

4 、旋转变换 ① 绕 x 轴旋转

② 绕 y 轴旋转

③ 绕 z 轴旋转

1000

0cossin0

0sincos0

0001

T

1000

0cos0sin

0010

0sin0cos

T

1000

0100

00cossin

00sincos

T

5 、错切变换沿 x 方向含 y 的错切，变换结果如下图示：

zz

yy

dyxx

1000

0100

001

0001

11d

zyxzyx

沿 x 沿 y 沿 z

b — 沿 y 含 x 的 错 切； c — 沿 z 含 x 的 错 切； d — 沿 x 含 y 的 错 切； f — 沿 z 含 y 的 错 切； h — 沿 x 含 z 的 错 切； I — 沿 y 含 z 的 错 切。

z

y

x

1000

01

01

01

含含含

ih

fd

cb

二、组合变换求图形绕过任意点的直线旋转 θ 角的变换矩阵。

设直线与坐标轴 x 、 y 、 z 的夹角分别为 α 、 β 、 γ ，三个方向余弦分别为：

cos1 n cos2 n cos3 n

变换过程如下：

① 平移，使任意点与坐标原点重合； ② 绕 z 轴旋转，使直线位于坐标平面 zy 上， ③ 绕 x 轴旋转，使直线与 z 轴重合； ④ 图形绕 z 轴旋转 θ ； ⑤ 过程③逆矩阵； ⑥ 过程②逆矩阵； ⑦ 过程①逆矩阵。

1

0100

0010

0001

000

1

zyx

T

1000

0100

00cossin

00sincos

2

T

1000

0cossin0

0sincos0

0001

3

T

1000

0100

00cossin

00sincos

4

T

11

12

134321

TTTTTTTT

2.3.3 透视变换透视变换的目的：由于用来显示图形的设备是二维的，

而被输出的对象有可能是三维的。因此，在三维图形的输出过程中，就有必要将三维表示的几何形体变换成二维坐标表示的图形。这一过程就是投影变换。

投影变换中的术语 视点 投影平面 投影线 点的透视

投影分类

透视投影 当投影中心到投影平面距离有限时，通过物体不同点

的投影线彼此不平行。

平行投影 是由通过物体上各点平行的投影线和投影平面的交点

来实现的

平行投影 --- 三面投影变换1. 多面视图 投影平面垂直于某一坐标轴，那么该轴即为投影线方

向。由此可分为 6 种情况，即前（主）视图、后视图、左视图、右视图、俯视图、仰视图等。人们通常说的三视图即为正视图、俯视图和侧视图。

主视图投影线平行于 y 轴，投影平面为 XoZ 坐标平面

x’=x

y’=0

z’=z

1000

0100

0000

0001

vT

侧视图投影线平行于 x 轴，投影平面为 YoZ 坐标平面 ,

得到的图形旋转 90 度后，再沿 x 平移 -L

1000

0100

0010

0000

1T

1000

0100

0090cos90sin

0090sin90cos

2T

100

0100

0010

0001

3

n

T

100

0100

0001

0000

321

l

TTT

俯视图 这时投影线与 z 轴平行。其过程为先向 xoy 平面投

影；然后绕 x 轴顺时针旋转 90 度；为了保持与主视图有一定的距离，再沿 z 轴的负方向平移 n 。

1000

0000

0010

0001

1T

1000

0)2cos()2sin(0

0)2sin()2cos(0

0001

2

T

100

0100

0010

0001

3

n

T

100

0000

0100

0001

321

n

TTTTh

2. 轴侧投影变换 轴侧图是将形体像一个单一的投影面作平行投影得到

的图形。若投影方向垂直于投影面，得到正轴侧图；若不垂直则为斜轴侧图。

1）正轴侧投影变换 先使物体绕 Z轴旋转 ，再绕 X轴旋转 角，最后向

xoz 坐标平面投影

1000

0100

0000

0001

1000

0sincos0

0sincos0

0001

1000

0100

00cossin

00sincos

T

1000

0cos00

0sincos0sin

0sinsin0cos

轴向变形系数

1000

0cos00

0sincos0sin

0sinsin0cos

1001

A

11sinsin0sin 'aaa zyx

1000

0cos00

0sincos0sin

0sinsin0cos

1010

B

11sincos0sin 'bbb zyx

轴间角

1000

0cos00

0sincos0sin

0sinsin0cos

1100

C

11cos00 'ccc zyx

222 sinsincos

OA

AOx

222 sincossin

OB

BOy

cos

OC

COy

2 ）斜轴侧投影变换 使物体先沿 x含 y错切，再沿 z含 y错切，最后向 xo

z 坐标平面投影

1000

0100

0000

0001

1000

0100

010

0001

1000

0100

001

0001

fdT

1000

0100

00

0001

fd

透视投影坐标系：用户坐标系 观察坐标系 屏幕坐标系

点变换和坐标系变换的关系

坐标系的变换矩阵等于图形变换矩阵的逆阵

由用户坐标系变换到观察坐标系

⑴ 将用户坐标系的原点平移到观察点

⑵ 绕 Z1 轴顺时针旋转 θ 角

⑶ 绕 X2 轴逆时针旋转 γ 角

⑷ 绕 Y3Z3 平面作对称变换

⑸ 对 YOZ 平面作对称变换

1000

0100

0010

0001

5T

54321 TTTTTT

由观察坐标系变换到屏幕坐标系