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三角形的重心. 97 學年度溪口國中資訊融入教學 — 數學領域. 授課教師:郭素華. 三角形的重心. 三角形的重心及其性質. 例題 1. 例題 2. 例題 3. 重心的應用. 例題 4. 例題 5. 例題 6. 例題 7. 例題 8. 例題 9. 三角形的重心. 三中線的交點 G 為△ ABC 的重心. 面積: △ AFG =△ AEG = △ BFG = △ BDG = △ CEG = △ CDG. A. F. E. G. C. B. D. ∵ G 為三中線 AD 、 BE 、 CF 的交點, - PowerPoint PPT Presentation
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三角形的重心
授課教師:郭素華
97 學年度溪口國中資訊融入教學—數學領域
三角形的重心及其性質
三角形的重心三角形的重心三角形的重心三角形的重心
例題 7
例題 6例題 5
例題 1 例題 3
例題 4重心的應用
例題 8 例題 9
例題 2
三角形的重心
A
B C
G
三中線的交點 G 為△ ABC 的重心
面積: △ AFG =△ AEG = △ BFG =△ BDG = △ CEG = △ CDG
D
EF
如圖,△ ABC 中,三中線 AD 、 BE 、 CF 交於 G 點, AD =12 ,BE = 18 , CF = 15 ,試求 AG 、 BG 、 CG 。
A
B CD
EG
F
2 215 10
3 3CG CF
2 218 12
3 3BG BE
∵ G 為三中線 AD 、 BE 、 CF 的交點,
∴ G 為△ ABC 重心
故
如圖,△ ABC 中, AM 為中線,試證 △ ABM 和 △ ACM 的面積相等。
A
B CM D
∴△ABM =△ ACM 。
2 △ABM:△ ACM
: 1:1BM CM
1 1( ) : ( )2 2
AD BM AD CM
則 AD 亦為△ ABM 與△ ACM 的高。
1 過 A 點作△ ABC 的高 AD ,並交 BC 於 D 點,
A
B CD
EG
F
如圖,△ ABC 的三中線 AD 、 BE 、 CF 交於一點 G ,
試證 △ ABG =△ BCG =△ CAG 。
∴△ABG =△ BCG =△ CAG 。
∴△ABD =△ ACD 。
同理,△ GBD =△ GCD 。
2 △ABG=△ ABD-△ GBD=△ ACD-△ GCD=△ CAG
同理,△ BCG =△ CAG 。
1 △ABC 中, D 為 BC 中點,
如圖,△ ABC 中,∠ ABC = 90° ,兩中線 AD 、 BE 交於 G 點, AB
= 6 ,BC = 8 ,試求: AG 、 GE 。△ ABG 的面積。四邊形 CDGE 的面積。
A
B CD
E
G
1 1 55
3 3 3GE BE
1 ∵△ABC 為直角三角形,∴ 2 26 8 10AC
且 14
2BD BC 2 26 4 2 13AD
2 2 42 13 13
3 3 3AG AD
∵ E 為斜邊 AC 中點,∴ E 為△ ABC 外心。
則 EA = EB = EC = 10÷2 = 5 ,
又兩中線 AD 、 BE 交於 G 點,∴ G 為△ ABC 的重心,
如圖,△ ABC 中,∠ ABC = 90° ,兩中線 AD 、 BE 交於 G 點, AB
= 6 ,BC = 8 ,試求: AG 、 GE 。△ ABG 的面積。四邊形 CDGE 的面積。 A
B CD
E
G 則四邊形 CDGE 面積=△ CDG +△ CEG
1 1
6 61 1
( 6 8)3 28
ABC ABC
3 如圖,連接 CG ,
如圖,△ ABC 中,兩中線 BD 、 CE 交於 G 點,且 BD⊥CE ,若 BD = 9 , CE = 12 ,試求: BG 、 CG 。 △ BGC 與△ ABC 的面積。
△ABC= 3.△ BGC= 3. 24= 72
∴G 為△ ABC 重心。
故2 2
9 63 3
BG BD
2 212 8
3 3CG CE
1 ∵G 為兩中線 BD 、 CE 的交點,
如圖,平行四邊形 ABCD 中, O 為對角線 AC 、 BD 的交點,E 為 CD 中點, H 為 BC 中點,試證 BG = GF = FD 。
1 ∵平行四邊形對角線互相平分,
∴G 為重心,
故
BG GF FD
,AO CO BO DO
故 2 1,
3 3BG BO GO BO
同理 2 1,
3 3FD DO FO DO
3 BO DO1 1 2
3 3 3GF GO FO BO DO BO
2 △ABC 中, O 為 AC 中點, H 為 BC 中點,
如圖,正三角形 ABC 中, AB = 6 ,且 AM 為 BC 上中線, O 為重心,試求外接圓半徑與內切圓半徑。
如圖, O 為正三角形 ABC 的重心,同時也是外心及內心,
內切圓半徑
2 2 2 26 3 3 3AM AB BM
故外接圓半徑 2 23 3 2 3
3 3OA AM
OA 為外接圓半徑, OM 為內切圓半徑。
例 題 7
4 5AB
2 2 2CM AC AM
2 2 2BC CN BN
25100
4AB
280AB
2 2 216 36
4BC AC ……(1)
2 2 218 64
4BC AC ……(2)
2 25 5100
4 4BC AC (1)+(2) 得:
如圖,△ ABC 中,∠ C = 90° , G 為重心,若 AM = 6 , BN = 8 ,試求 AB 。
又∠ EGB =∠DGC
∴ G 為△ ABC 重心。
2 在△ EGB 與△ DGC 中,2 2
3 3BG BD CE CG
1 1
3 3EG CE BD GD
( )EGB DGC SAS
1 BD 與 CE 交於 G 點,
1 1
2 2AB AC
BE CD ( 對應邊相等 )
故 AB AC
如圖,△ ABC 中, BD 、 CE 為兩中線,且 BD = CE ,試證 AB = AC 。
範例解說結束
謝謝聆聽