山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法

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§6 向量范数与矩阵范数 由于存在舍入误差，我们用前述的各种直接法求

解线性方程组 Ax=b 时一般地只能得到近似的计算解 xc 。为了度量 xc 与方程组准确解 x* 的接近程度以及讨论他们之间的误差估计问题，我们需要对向量与矩阵的大小引入度量，即向量范数与矩阵范数。这些范数可以看成是实数绝对值的概念的自然扩展。

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6.1 向量范数

1 2, ,

6.1

1 0, 0 0

2 ,

3 , , .

Tnn

n n

n

n

R n x x x x

R R

x x x

x R cx c x

x y R x y x y

今后， 表示所有 维实的列向量

的实线性空间。

定义 上的一个向量范数是定义在 上的某个

实值函数 ，它满足以下三个条件：

且 当且仅当 非负性 ；

对所有实数c与 齐次性 ；

对所有 三角不等式

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1 2

1 11

1 22

2 21

1

,

, 6.1

6.2

max 6.3

T nn

n

ii

n

ii

ii n

x x x x R

l x x

l x x

l x x

通常，我们主要应用下面三种基本的向量范数：对

向量的 范数：

向量的 范数 欧式范数 ：

向量的 范数：

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2 1 2

2

1

6.2 ,

1 , 6.6

2 , 6.7

3 , 6.8

nR x

x x n x

x x n x

x x n x

定理 设x 则 的三种基本范数满足以下的不等式关系：

n

1 2

n

1 2

6.9

R

c x x c x

R

1 2

一般的，对于 上两个向量范数 与 ，如果存在

只与 与 有关的常数c与c使得

，

对于所有x 成立，那么，我们便称 与 是彼此等

价的。由前一定理知道，三种基本范数 ， 与 是彼

此等价的。实际上，我们有更强的结论。

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定理 6.3 Rn 上任意两个向量范数是彼此等价的。 应用向量范数可以给出 Rn 中两个向量间的距离的概念。

6.4 , , x-yn

n

x y R x

R

定义 设向量 则称 为 与y之间的

距离，这里， 可以使 上任何一种向量范数。

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定义 6.6 设向量序列 k=1, ,)x,,x,x( T)k(n

)k(2

)k(1

)k( x

,)x,,x,x( T*n

*2

*1

* x 2,…, 向量 如果 *)(

lim iik

k

xx

则称向量序列 {x(k)} 收敛于向量 x*, 记作 *)k(*)k(

k,lim xxxx

或

易见 , n,,2,1i,xx *i

)k(i

*)k( xx

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n n

n

6.7 {x } R R

lim x

x - 0 6.11

R

k

k

k

k k

*

*

*

定理 设 是 中的一个向量，且x ，

则 x的充分与必要条件是

x

这里， 是 上任一给定的向量范数。

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6.2 矩阵的范数 定义 6.8 设‖‖是以 n 阶方阵为变量的实值函数 , 且满足条件 : (1)非负性 : ‖A‖0 , 且‖ A‖=0 当且仅当 A=0

(2)齐次性 : ‖A‖=| |‖A‖, R

(3)三角不等式 :‖A+B‖‖A‖+‖B‖

(4)三角不等式 :‖AB‖‖A‖‖B‖

则称‖ A‖ 为矩阵 A 的范数 .

矩阵的 1-范数 :‖A‖1

n

1iij

nj1amax , 也称矩阵的列范数 .

矩阵的 2-范数 :‖A‖2 )(λmax T AA , 也称为谱范数 .

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矩阵的 -范数 :‖A‖ , 也称为行范数 .

n

1jij

ni1amax

矩阵的 F-范数 :‖A‖F

n

1j,i

2ija

例 7 设矩阵

32

11A

求矩阵 A 的范数‖ A‖p ,p=1,2, ,F.

解 ‖ A‖1=4 , ‖A‖=5 , ‖A‖F 15

105

55

32

11

31

21T AA

0λ105

5λ5

令2

5515λ,

2

5515λ, 21

得

2

55152

A所以

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设‖‖是一种向量范数 , 则定义

x

AxA

0xmax

称之为由向量范数派生的矩阵算子范数 . 矩阵的算子范数满足 ‖Ax‖‖A‖‖x‖, xRn

把满足上式的矩阵范数称为与向量范数相容的矩阵范数 .

对于 p=1,2,, 矩阵范数‖ A‖p 是由向量范数‖ x‖p 派生的矩阵算子范数 , 所以‖ A‖p 是与‖ x‖p 相容的矩阵范数 . 但‖ A‖F 不是一种算子范数 , 却与‖ x‖2 是相容的 . 设‖‖是一种算子范数 , 则

1max x

ExE

0xn

FE，但

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矩阵的范数与矩阵的特征值之间也有密切的联系 . 设是矩阵A 的特征值 ,x 是对应的特征向量 , 则有

Ax= x

利用向量和矩阵范数的相容性 , 则得 ||‖x‖=‖x‖=‖Ax‖‖A‖‖x‖

于是 ||‖A‖

设 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值为 1, 2, …, n, 则称 i

ni1λmax)(ρ

A

为矩阵 A 的谱半径 . 对矩阵的任何一种相容范数都有 (A)‖A‖

另外 , >0, 一种相容范数 , 使 ‖ A‖ (A)+

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任何两种矩阵范数也具有等价性

m ‖A‖ ‖A‖ M ‖A‖ , ARnn

矩阵序列的收敛性也定义为

0limlim *)k(

k

Δ*)k(

k

AAAA nj,i1,aa *

ij)k(

ij