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第二章 矩阵运算及其应用
2.1 矩阵的加减乘法
2.2 矩阵的逆
2.3 矩阵的分块
2.4 初等矩阵
2.5 应用实例
2.6 习题
2.1 矩阵的加减乘法
2.1.1 矩阵的加法
定义2.1 设有两个同型的 矩阵
, ,矩阵A与矩阵B的和记作 ,
规定为:
nm× ( )ij m na
×=A
( )ij m nb
×=B A +B
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m m m mn mn
a b a b a ba b a b a b
a b a b a b
+ + +⎡ ⎤⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦
A+B
L
L
M M M
L
若 ,把 记作 ,称为
A的负矩阵。显然有:
由此可定义矩阵的减法为:
( )ij m na
×=A ( )
nmija×
− −A( ) =A+ -A O
( )A-B = A+ -B
2.1.2 矩阵的数乘
定义2.2 数 与矩阵 的乘积,简
称数乘,记作 或 ,规定为
λ ( )ij m na
×=A
λA λA
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a aa a a
a a a
λ λ λλ λ λ
λ λ
λ λ λ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A A
L
L
M M M
L
矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算,
矩阵的线性运算满足下列运算规律(A、B、C是同型矩阵, 、 是数)
(1)加法交换律
(2)加法结合律
(3)(4)
λ μA+B=B+A( ) ( )A+B +C = A+ B+C
A+O = A( )A+ -A =O
(5)
(6)
(7)
(8)数乘分配律
( )λ μ λ μ+ = +A A A
( )λ λ λ= +A+B A B
1⋅A = A
( ) ( ) ( )λμ λ μ μ λ= =A A A
2.1.3 矩阵的乘法
定义2.3 设A是矩阵,B是矩阵,那么矩阵A和矩阵B的乘积是一个矩阵C,其中
记作 C=AB
sjisjiji
s
kkjikij babababac +++== ∑
=
L22111
njmi ,,2,1;,,2,1 LL ==
由定义知,只有当第一个矩阵的列数和第二
个矩阵的行数相等,即它们的内阶数相等
时,两个矩阵才能相乘。
乘积矩阵的第 元素等于前一个矩阵的第
行各元素与后一个矩阵的第 列相应元素乘
积之和,即:
( )ji,
ij
定义2.4 对于变量 ,若它们都能由
变量线性表示,即有:
(2-1)
则称此关系式为变量 到变量
的线性变换。
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+++=
+++=+++=
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxayxaxaxay
L
LL
L
L
2211
22221212
12121111
myyy L,, 21
nxxx L,, 21
nxxx ,,, 21 L myyy ,,, 21 L
可以写成输出向量Y等于系数矩阵A左乘输入
向量X:1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
n
n
m m m mn n
y a a a xy a a a x
y a a a x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Y = AX
L
L
M M M M M
L
例2.4 式(2-2)给出变量 到变量
的线性变换;式(2-3)给出变量 到变
量 的线性变换。请写出变量 到变
量 的线性变换。
(2-2)
(2-3)
321 ,, xxx 21, yy
21 , tt
321 ,, xxx 21 , tt
21, yy
⎩⎨⎧
++=++=
3232221212
3132121111
xaxaxayxaxaxay
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=+=
2321313
2221212
2121111
tbtbxtbtbxtbtbx
解:方法一,代换法。
将式(2-3)代入式(2-2),得:
(2-4)
方法二,矩阵运算法。
根据矩阵乘法的定义,可以把式(2-2)和式(2-3)分别写为式(2-5)和式(2-6)的矩阵等式:
( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
+++++=+++++=
232232222122113123212211212
232132212121113113211211111
tbababatbababaytbababatbababay
(2-5)
(2-6)
把式(2-6)代入式(2-5)中,得:
111 12 131
221 22 232
3
xa a ay
xa a ay
x
⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
1 11 121
2 21 222
3 31 32
x b bt
x b bt
x b b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 131
21 22 232
a a aya a ay⎡ ⎤⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 121
21 222
31 32
b bt
b bt
b b
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
(2-7)
式(2-7)和式(2-4)等价。
通过这个例子,可以看出矩阵乘法在线性变
换中的运用。
11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 321 1
21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 322 2
a b a b a b a b a b a by ta b a b a b a b a b a by t
+ + + +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
有了矩阵乘法的定义后,可以把一般的线性
方程组(1-3)写为矩阵形式:
(2-8)
若用A表示系数矩阵,X表示未知量构成的向
量,b表示常数项所构成的向量,
则式(2-8)可以化简为: AX=b
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
m m mn n m
a a a x ba a a x b
a a a x b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
L
L
M M M M M
L
例2.5 已知 , ,
求 AB,BA解:根据矩阵乘法定义,有:
1 2 13 4 02 5 6
−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
A10 2010 305 8
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
B
AB =1 2 13 4 02 5 6
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
10 2010 305 8
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
1 10 2 ( 10) ( 1) ( 5) 1 20 2 30 ( 1) 83 10 4 ( 10) 0 ( 5) 3 20 4 30 0 8
( 2) 10 5 ( 10) 6 ( 5) ( 2) 20 5 30 6 8
× + × − + − × − × + × + − ×⎡ ⎤⎢ ⎥= × + × − + × − × + × + ×⎢ ⎥⎢ ⎥− × + × − + × − − × + × + ×⎣ ⎦
由于矩阵有2列,矩阵有3行,所以B不能左
乘A。由矩阵乘法定义和前面的例题可以看出:
(1)矩阵乘法不满足交换律,即在一般情况
下
(2)不能由 ,推出 或
5 7210 180100 158
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
≠AB BA
AB =O A =O B =O
(3)不能由 , ,推出
在一般情况下有:
矩阵乘法满足下列运算规律:
(1)(2)
AC = AB ≠A O B = C
≠≠
2 2 2
2 2
(A + B) A + 2AB +B
(A + B)(A - B) A - B
( ) ( )AB C = A BC
( )A B +C = AB + AC( )A+B C = AC+BC
(3) , 为数
(4)
(5) , ,其中 为正
整数, 必须为方阵。
( ) ( ) ( )λ λ λ= =AB A B A B λ
m n n m m n m n× × ×= =A I I A A
k l k l+=A A A ( )lk k l=A A lk ,A
2.1.4 矩阵的转置
定义2.5 设是 一个 矩阵,将矩
阵 中的行换成同序数的列得到的一个
矩阵,称为矩阵 的转置矩阵,记作 ,
或 。
例如, , 则
( )ija=A nm×
A mn×A TA
′A
1 5 32 9 4⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
A1 25 93 4
T
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A
矩阵转置满足以下运算规律
(1)
(2)
(3)
(4)
( )TT =A A
( )T T T= +A +B A B
( )T Tλ λ=A A
( )T T T=AB B A
在此只证明(4)证明:设 , ,记, ,据矩阵乘法定义及矩阵
转置定义知:
而 的第 行就是 的第 列,为:
, 的第 列就是 的第 行,为:
,因而有
( )ij m sa
×=A ( )ij s n
b×
=B ( )ij m nc
×=AB =C
( )T Tij n m
d×
= =B A D
∑=
=s
kkjikij bac
1TB j B j
sjjj bbb L,, 21
TA i A i isii aaa L,, 21
即得 ,亦即 。
定义2.6 如果n阶方阵 满足 ,则称为
对称矩阵。如果n阶方阵 满足 ,则称
为反对称矩阵。
显然反对称阵的主对角线上元素都是零。
issjijijji abababd +++= L2211
sjisjiji bababa +++= L2211
ijc= ( )njmi ,,2,1;,,2,1 LL ==
TC = D ( )T T TAB = B ATA = AA
A −TA = A
2.2 矩阵的逆
2.2.1 逆矩阵的定义
定义2.7 设 为n阶方阵,若存在n阶方阵
,使得 ,其中 为n阶单位矩
阵,则称 为可逆矩阵或 是可逆的,并称
为 的逆矩阵。
如果 的逆矩阵为 ,记 ,显然,则
的逆矩阵为 ,记 ,我们也称矩阵
和矩阵 互逆。
A BnAB = BA = I nI
A AAB
AA
A
BB
B -1A = B-1B = A
例2.7 设 , ,
,分析矩阵 和矩阵 、矩阵
和矩阵 的关系。
解:
1 21 3⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
A3 21 1
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
B3
69
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
C
1/31/6
1/9
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
D A B C
D1 21 3⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
AB1 21 3⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
1 00 1⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
=BA3 2 1 21 1 1 3
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 00 1⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
所以,矩阵 和矩阵 互为逆矩阵。
矩阵 和矩阵 也互为逆矩阵。
B3
69
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
CD1/ 3
1/ 61/ 9
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11
1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11
1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
C D
A
1 / 3 31 / 6 6
1 / 9 9
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
DC =
2.2.2 逆矩阵的性质
性质1 如果矩阵 可逆,则 的逆矩阵唯一
性质2 若 和 为同阶方阵,且满足
则 ,即矩阵 和矩阵 互逆。
性质3 若 可逆,则 也可逆,且
性质4 若 可逆,数 ,则 可逆,
且
性质5 若 、 均为 阶可逆方阵,则 也可
逆,且
A AB AB = I
BA = I A BA -1A ( )-1-1A = A
A 0≠λ λA
( ) 1 1λλ
− = -1A A
A B n AB( )-1 -1 -1AB = B A
A
性质6 若 可逆,则 也可逆,且
例2.8 设方阵 满足 ,试证
可逆,并求 。
解:根据已知条件,可以得到:
则有:
所以矩阵 可逆,且 。
A TA ( ) ( )1 1 TT − −=A AA 2A + 2A - 5I = O A
-1A( )A A+2I = 5I
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠A+ 2IA = I5
A 25
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
-1 A + IA =
2.3 矩阵的分块在矩阵运算中,特别是针对高阶矩阵,常常
采用矩阵分块的方法将其简化为较低阶的矩
阵运算。
用若干条纵线和横线将矩阵分为若干个小矩
阵,每一个小矩阵称为的子块,以子块为元
素的矩阵,称为分块矩阵。
比如将4×3矩阵 分为
, , ,
它们可分别表示为:
A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12
21 22
A AA A
[ ]1 2 3A A A⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12
21 22
31 32
A AA AA A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 13
21 22 23
A A AA A A
分块矩阵的运算与普通矩阵类似,
1.加法运算
设 ,都是 矩阵,且将 , 按完全相同
的方法分块:
A AB Bnm×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 r s
A A AA A A
A
A A A
L
L
L L L
L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 rs
B B BB B B
B
B B B
L
L
L L L
L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 11 12 12 1s 1s
21 21 22 22 2s 2s
r1 r1 r2 r2 rs rs
A +B A +B A +BA +B A +B A +B
A+B
A +B A +B A +B
L
L
L L L
L
2.数乘运算
设 ,有:
3.乘法运算
设 为 矩阵, 为 矩阵,将它们分别分
块成
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 rs
A A AA A A
A
A A A
L
L
L L L
L
λ λ λλ λ λ
λ
λ λ λ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 rs
A A AA A A
A
A A A
L
L
L L L
L
A lm× B nl ×⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 rs
A A AA A A
A
A A A
L
L
L L L
L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 rs
B B BB B B
B
B B B
L
L
L L L
L
其中 的列数分别等于
的行数 ,即 可以左乘
。
则有:
其中
i1 i2 i tA ,A , ,AL 1j 2j t jB ,B , ,BL
( ;,2,1 ri L= )sj ,,2,1 L=i kA
k jB ( )1,2, ; 1,2, , ; 1,2, ,i r j s k t= = =L L L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 rs
C C CC C C
AB
C C C
L
L
L L L
L
1
t
k== ∑i j i1 1j i2 2j i t t j ik k jC = A B + A B + + A B A BL
4.转置运算
设 有:
注意分块矩阵的转置,不仅要把每个子块内
的元素位置转置,而且要要把子块本身的位
置转置。
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 rs
A A AA A A
A
A A A
L
L
L L L
L 2
T T T
T T TT
T T T
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 21 s1
12 22 s2
1r r sr
A A AA A A
A
A A A
L
L
L L L
L
5.分块对角矩阵
如果将方阵 分块后,有以下形式:
其中主对角线上的子块 均是方
阵,而其余子块全是零矩阵,则称 为分块
对角矩阵,记为 。
A⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1
2
r
AA
A
AO
iA ( )ri ,,2,1 L=
A( ),diag= 1 2 rA A ,A , AL
设有两个同型且分块方法相同的对角矩阵
则有
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
r
2
1
A
AA
AO
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
r
2
1
B
BB
BO
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
rr
22
11
BA
BABA
ABO
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
kr
k2
k1
k
A
AA
AO
对于上面的分块矩阵 ,若对角线上的所有
子块 都可逆,则有:
例2.9 利用分块矩阵的概念,把下列线性方程
组写成向量等式。
A
1 2 rA ,A , ,AL
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−
−
−
−
1
1
1
1
r
2
1
A
AA
AO
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=++−−=++−−=+−
344324222622
4321
4321
421
xxxxxxxxxxx
解:线性方程组的矩阵表示为:
把系数矩阵按列分成4块:
与常数矩阵 分别用向量 和向量
来表示,则有:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
322
441342126022
4
3
2
1
xxxx
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
446
,420
,112
,322
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
322
1 2 3 4α ,α ,α ,α b
进而得到向量等式:
( )
1
2
3
4
xxxx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 3 4α ,α ,α ,α b
1 2 3 4x x x x+ + +1 2 3 4α α α α = b
2.4 初等矩阵
定义2.8 单位矩阵 经过一次初等变换所得到
的矩阵称为初等矩阵或初等方阵。
前面介绍了三种初等变换,每一种初等变
换,都有一个相对应的初等矩阵
(1)交换单位矩阵 的 , 两行(或 , 两列),得到的初等矩阵记为 ,即:
I
I i j ji( ),i jE
(2-12)( )
1
10 1
1,
11 0
1
1
i
i j
j
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
E
O
L
M O M
L
O
行
行
(2)用一个非零数 乘单位矩阵 的第 行
(或第 列),得到的初等矩阵记为 ,
即:
(2-13)
k I ii ( )( )i kE
( )( )
1
1
1
1
i k k i
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
E
O
O
行
(3)将单位矩阵 第 行的 倍加到第 行上
(或将单位矩阵第 列的 倍加到第 列上)
得到的初等矩阵记为 ,即:
(2-14)
I j
j
k
ki
i( )( ),i j kE
( )( )
1
1,
1
1
k ii j k
j
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
E
O
L
O M
O
行
行
例2.10 设
求:E1*A,E2*A,E3*A。
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a a
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A 0 1 0 1 0 0 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
E1
1 0 0 0 4 0 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
E21 0 00 1 04 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
E3
解:
11 12 13 21 22 23
21 22 23 11 12 13
31 32 33 31 32 33
0 1 0 a a a a a a 1 0 0 a a a a a a 0 0 1 a a a a a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A1 = E1* A
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
1 0 0 a a a a a a 0 4 0 a a a 4a 4a 4a 0 0 1 a a a a a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A2 = E2* A
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 11 32 12 33 13
1 0 0 a a a a a a 0 1 0 a a a a a a 4 0 1 a a a a +4a a +4a a +4a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A3=E3*A
定理2.1 设 是一个 矩阵,对 施行一
次初等行变换,其结果等于在 的左边乘以
相应的 阶初等矩阵;对 施行一次初等列变
换,其结果等于在 的右边乘以相应的 阶初
等矩阵。
A
A
A
AA
nm×
mn
定理2.2 设 为 阶方阵,那么下面各命题
等价:
(1) 是可逆矩阵;
(2)线性方程组 只有零解;
(3) 可以经过有限次初等行变换化为单位
矩阵 ;
(4) 可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
A
A
A
A
n
Ax =O
nI
例2.11 设
判断 、 是否可逆,如果可逆,请求之。
解:
1 3 23 6 5
1 1 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
A3 6 22 4 11 2 1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
B
A B
[ ]IAM1 3 -2 1 0 0-3 -6 5 0 1 01 1 -1 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
13
12 3
rr
rr
−
+1 3 2 1 0 00 3 1 3 1 00 2 1 1 0 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
22
321
rr
r
↔
− 1 3 2 1 0 00 1 0.5 0.5 0 0.50 3 1 3 1 0
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
23
21
3
3
rr
rr
−
−1 0 0.5 0.5 0 1.50 1 0.5 0.5 0 0.50 0 0.5 1.5 1 1.5
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
则矩阵 可逆,且其逆为:
32r 1 0 0.5 0.5 0 1.50 1 0.5 0.5 0 0.50 0 1 3 2 3
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
32
31
5.0
5.0
rr
rr
+
+ 1 0 0 1 1 30 1 0 2 1 10 0 1 3 2 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1 32 1 13 2 3
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
-1AA
[ ]B IM3 6 2 1 0 02 4 1 0 1 01 2 1 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
31 rr ↔ 1 2 1 0 0 12 4 1 0 1 03 6 2 1 0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
显然矩阵 通过初等行变换不能化为单位矩
阵,则矩阵 不可逆。 是降秩的。它通过初
等行变换,可以化出一个零行,则其秩为2。故当A不可逆时,(2-15)式应改为:
其中是 秩为r的n×n方阵,r<n。即它有r个非零行和n-r个零行。
13
12
3
2
rr
rr
−
− 1 2 1 0 0 10 0 1 0 1 20 0 1 1 0 3
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
( ) 2
23
1 r
rr
−
− 1 2 1 0 0 10 0 1 0 1 20 0 0 1 1 1
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
BB B
=s 2 1 rE E E A U0L
rU0
2.5 应用实例
2.5.1 成本核算问题
例2.12 某厂生产三种产品,每件产品的成本
及每季度生产件数如表2.6及表2.7所示。试提
供该厂每季度的总成本分类表。表2.6 每件产品分类成本
成本(元) 产品A 产品B 产品C 原材料 0.10 0.30 0.15劳动 0.30 0.40 0.25
企业管理费 0.10 0.20 0.15
表2.7 每季度产品分类件数
解:用矩阵来描述此问题,设产品分类成本
矩阵为 ,季度产量矩阵为 ,则有:
产品 夏 秋 冬 春
A 4000 4500 4500 4000B 2000 2800 2400 2200C 5800 6200 6000 6000
M P0.10 0.30 0.150.30 0.40 0.25 ,0.10 0.20 0.15
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M4000 4500 4500 40002000 2800 2400 22005800 6200 6000 6000
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
P
令 ,则 的第一行第一列元素为:(1,1)=0.1×4000+0.3×2000+0.15×5800=1870
不难看出,它表示了夏季消耗的原材料总成
本。
在Matlab环境下,键入:>>M=[0.1,0.3,0.15;0.3,0.4,0.25;0.1,0.2,0.15];>>P=[4000,4500,4500,4000;2000,2800,2400,2200;5800,
6200,6000,6000];
>>Q=M*PQ = 1870 2220 2070 1960
3450 4020 3810 35801670 1940 1830 1740
Q = M P QQ
为了进一步计算矩阵Q的每一行和每一列的
和,可以继续键入:>>Q*ones(4,1)ans = 8120
148607180
>>ones(1,3)*Qans = 6990 8180 7710 7280
并可以继续算出全年的总成本:>>ans*ones(4,1)
ans =30160
根据以上计算结果,可以完成每季度总成本
分类表,如表2.8所示。
表2.8 每季度总成本分类表
成本(元) 夏 秋 冬 春 全年
原材料 1870 2220 2070 1960 8120劳动 3450 4020 3810 3580 14860
企业管理费 1670 1940 1830 1740 7180总成本(元) 6990 8180 7710 7280 30160
2.5.2 特殊矩阵的生成
例2.13 在Matlab环境下生成矩阵X:
矩阵X有相同的10行,每一行都是公差为1的等差数列。
解:令
则 ,就实现了矩阵赋值。
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−−
=×
1090910
10909101090910
2110
LL
LLLLLLL
LL
LL
X
1T2 vvX =
10
[ 10, 9, ,9,10], [1,1, ,1,1]= − − =1 2v vL L14243
键入MATLAB语句:>> v1= -10:10; v2=ones(1,10)>> X=v2'*v1
例2.14 在Matlab环境下生成范德蒙矩阵。
解:这里用了Matlab的符号运算功能。键
入:>>syms x1 x2 x3 x4 real % 令x1 x2 x3 x4为实数符号变量
>>x=[x1,x2,x3,x4]; y=0:3;>>A= x'*ones(1,4)>>B=(ones(4,1)*y
>>V=A.^B % 两个方阵的元素群求幂
程序的运行结果为:
Matlab内置的范德蒙矩阵生成函数vander.m是不能用符号表示的,只能产生数值矩阵。
x1, x1, x1, x1 0 1 2 3 1 x1 x1^2 x1^3 x2, x2, x2, x2 0 1 2 3 1 x2 x
A= , B= , V= x3, x3, x3, x3 0 1 2 3 x4, x4, x4, x4 0 1 2 3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2^2 x2^3 1 x3 x3^2 x3^3 1 x4 x4^2 x4^3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2.5.3 逆矩阵的求解
例2.15 设 试求其逆阵
解:当矩阵的阶数较高时,利用Matlab辅助
计算就尤显重要。用Matlab来求矩阵的逆,
其方法很多。首先在Matlab环境下键入:
>>A=[3,0,3,-6;5, -1,1, -5; -3,1,4, -9;1, -3,4, -4];
3 0 3 65 1 1 53 1 4 91 3 4 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥
− −⎣ ⎦
A
方法1, A^-1,
方法2, inv(A),
方法3, A\eye(4),
方法4, U=rref([A,eye(4)]); U(:,5:8)
运行结果都为:ans = 0.2323 -0.0101 -0.1313 -0.0404
0.5354 -0.3131 -0.0707 -0.25250.5859 -0.4747 -0.1717 0.10100.2424 -0.2424 -0.1515 0.0303
例2.16 求矩阵 的逆。
解:矩阵求逆命令inv也可以用符号变量。在
Matlab环境下,键入:>>syms a b c d, A=[a,b;c,d], V=inv(A)
结果为:V = [ d/(a*d-b*c), -b/(a*d-b*c)]
[ -c/(a*d-b*c), a/(a*d-b*c)]
a bc d⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
A
2.5.4 图及其矩阵表述
例如,图2.1为1,2,3,4四个城市之间的空
运航线的有向图。
图2.1 航线图
它可以用下列航路矩阵表示: 0 0 1 11 0 0 00 1 0 01 0 1 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A1
2.5.5 网络的矩阵分割和连接
在电路设计中,经常要把复杂的电路分割为
局部电路,每一个电路都用一个网络“黑盒子”来表示。“黑盒子”的输入为u1,i1,输出为
u2,i2,其输入输出关系用矩阵A来表示(如
图2.2所示):
图2.2 单个子网络模型
2 1
2 1
u uA
i i⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
以图2.3为例,把两个电阻组成的分压电路分
成两个串接的子网络。第一个子网络包含电
阻R1,第二个子网络包含电阻R2,列出第一
个子网络的电路方程为:
图2.3 两个子网络串联模型
2 1 2 1 1 1,i i u u i R= = −
写成矩阵方程为:
同样可列出第二个子网络的电路方程,
写成矩阵方程为:
2 1 1 11
2 1 1
10 1
u R u uA
i i i−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3 2 2 2 3 2/ ,i i u R u u= − =
3 2 22
3 2 2 2
1 01/ 1
u u uA
i R i i⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
从上分别得到两个子网络的传输矩阵
整个电路的传输矩阵为两者的乘积
11 2
2
1 1 0,
0 1 1/ 1R
A AR
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 11 2
2 2 1 2
1 1 0 10 1 1/ 1 1/ 1 /
R RA A A
R R R R− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2.5.6 弹性梁的柔度矩阵
设简支梁如图2.4所示,在梁的三个位置分别
施加力f1,f2和f3后,在该处产生的综合变形
(通常称为挠度)为图示的y1,y2和y3。
图2.4 简支梁在三个点的力和变形(挠度)
根据虎克定律,在材料未失去弹性的范围内,
三个力与它引起的三个变形都呈线性关系,可
以写成矩阵形式:
用向量和矩阵符号表示为:y=DfD中的各元素为挠度元素,这些元素的值越大
表明这个梁愈柔软,所以矩阵D被称作柔度矩
阵。
柔度矩阵D的逆就是刚度矩阵K。
1 11 12 13 1
2 21 22 23 2
3 31 32 33 3
y d d d fy d d d fy d d d f
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦