6 Detailide tugevus paindeldata.vk.edu.ee/RDER/RDER31/Tugevusopetus_I/LOENGUD...88 Tugevusanalüüsi alused ⎯ 6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL Priit Põdra, 2004 • varras deformeerub

83Tugevusanalüüsi alused ⎯ 6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL

Priit Põdra, 2004

6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL6.1. Varda arvutusskeem paindel

Paindeülesannetes käsitletakse koormustena varrast otseselt või teiste detailide kaudupainutavaid pöördemomente, põikkoormusi või muude koormuste põikkomponente(Joon. 6.1).

Varda paindumine = varda telje kõverdumine koormuse toimel

Arvutusskeemi koostamine paindel

Tegelik konstruktsioon Lihtsustatud mehaaniline süsteem Ideaalne mehaaniline süsteem

Arvutusskeem

• Võll on painduv (aga ei väändu); • Alus on absoluutselt jäik; • Laagrid on absoluutselt jäigad.

Ei arvesta tühise mõjuga parameetreid

(Saint Venant’i printsiip)

Tegelik konstruktsioon Arvutusskeem paindel

F1

F2

Rihmaratas

Radiaal-tugilaager

Radiaal-laager

Võll

y

z

x

zy FFF 222

rrr+=

yz ⎯ kesk-peateljestik

Rihmaratas

l

x

y

F1 F2y

l1 l2

xy - tasand

l

x

z

F2z

l1 l2

zx - tasand

Joonis 6.1

Painde arvutusskeemis ei näidata ülesandes tühiseks loetud mõjureid, siin näiteks:• varda vääne (väänet analüüsitakse väändeülesandena ja hiljem tulemused

ühendatakse või on ülekantav võimsus rihmade pingutusjõududega võrreldes väike);• kõik vibratsioonid (võlli pöörlemisest või masina töörezhiimist tingitud);• võlli pöörlemise dünaamilised koormused (tsentrifugaaljõud jms.);• hõõrdumine laagrites;• varda, rihmarataste ja teiste detailide omakaalud.

Paindeülesande arvutusskeemtuleb tavaliselt koostada mõlemas

peatasandis

Peatasand = ristlõike kesk-peatelje javarda teljega määratud tasand (Joon. 6.2)


Priit Põdra, 2004

Varraste peatasandid

x

y

z

Peatasandid

Kesk-peateljed

xy-tasand

zx-tasandx

y

z

Peatasandid

Kesk-peateljed

xy-tasandzx-tasand

Joonis 6.2

Tasapinnaline paindeülesanne =varras paindub vaid ühes peatasandis ehk

painutavad koormused või nendekomponendid mõjuvad varda ühespeatasandis (xy-tasand või zx-tasand)

Ruumiline paindeülesanne =varras paindub mõlemas

peatasandisehk

painutavad koormused või nende komponendidmõjuvad varda mõlemas peatasandis (koormused

jagatakse peatasandites mõjuvateks komponentideks)

6.2. Painutava koormuse mõju vardale

Sale sirge varras (Joon. 6.3) on koormatud painutava koormusega (pöördemomentM võipõikjõud F):

• koormuse toimel varras paindub (varda telg kõverdub);• igale koormuse väärtusele vastavad varda parameetritest (materjal ja geomeetria)

sõltuvad paindedeformtasioonid;

Painutatud vardad

ϕM

v

Pöördemoment

F

Põikjõud

Joonis 6.3

• paindedeformatsioone iseloomustavad iga ristlõike pöördenurk algasendist ϕ jatelje läbipaine v;

• koormuse kasvades paindedeformatsioonid (antud olukorras) suurenevad;


Priit Põdra, 2004

• koormuse vähenedes paindedeformatsioonid vähenevad või kaovad täielikultkui koormus kaob (elastsus).

Puhas paine =varda tööseisund,

kus:

• ristlõiked pöörduvad algasendi (ja üksteise) suhtes (pea-tasandites);

• varda telg kõverdub ja varda pikkus teljel ei muutu;• ristlõiked jäävad tasapinnalisteks ja nende pindala ei

muutu.

6.3. Sisejõud paindel

6.3.1. Paindemoment

Sirgele vardale on rakendatud painutav põikkoormus F (Joon. 6.4):• põikkoormus tekitab detailis pöördemomendi ja see paindub (tekivad

paindedeformatsioonid, tekivad ka nihkedeformatsioonid, kuid neid analüüsitakse eraldi);• piisavalt tugeva koormuse F korral varras puruneb paindel (siin vaadeldakse

teoreetiliselt vaid painet ning ei arvestata olukorraga, kus varras võib juba varem purunedalõikel);

• painet ja vastavat purunemist takistavad vardas sisejõud, s.t. jõud, mismõjuvad varda osakeste vahel ja takistavad varda deformeerumist (annavadvardale tugevuse) ning tasakaalustavad põikkoormuse F pöörava mõju;

Sisejõu olemus paindel

ZoomF

l

Sisejõud

Põikkoormus tekitabpöördemomendi

Elementaarosakeste vahelinemõju takistab vardapurunemist

Varda struktuurivaadeldakse homogeensena

Sisejõudude teooria

Varrast painutav koormus

Konsoolne varras

Välisjõud

M = Fl

M = FlPöördemoment

Tõmme

Surve

Joonis 6.4


Priit Põdra, 2004

Eelnevast: Sisejõud = keha osakestevaheliste jõudude (molekulaarjõudude) resultant

Paindemoment =osakestevaheliste (sise-) jõudude

resultant paindel (Joon. 6.5)

Paindemoment M (varda peatasandis) tekibsellespeatasandis mõjuvate ristlõike väliste

pöördemomentide toimel

Painutatud varda paindemomentide suunad ja väärtused määratakse lõikemeetodiga.

Paindemomendi olemus

x

y

MzMz

Paindemoment Osakestevahelistejõudude resultant

Osakestevahelised jõud

Koormus

xy-peatasand

Indeks näitabmomendi telge

Joonis 6.5

Eelnevast: Lõikemeetod: tasakaalus vardast eraldatud osa on ka tasakaalus

ehk

Varda ristlõike paindemoment:(antud peatasandis)

• on võrdne ja vastupidine sellele ristlõikelemõjuvate välispöördemomentide summaga;

• mõjub antud lõike ühe kesk-peatelje suhtes.

MÄRGIREEGEL

Paindemoment on positiivne, kuiarvutusskeemil alumised kiud on

tõmmatud (Joon. 6.6)

Paindemoment on negatiivne, kuiarvutusskeemil ülemised kiud on

tõmmatud

Positiivne paindemoment Negatiivne paindemoment

Alumisedkiud

Mz (+)ÜlemisedkiudMz (+)

Ülemised kiud

Mz (-)Alumised

kiudMz (-)

Joonis 6.6

Paindemomendi märgireeglid on kokkuleppelised (ning kokku leppida on alati võimalik mitutmoodi), oluline on ühe ja sama ülesande lahendamisel kasutada ühte ja samamärgireeglit.

Juhtudel, kui detail ei paikne arvutusskeemil horisontaalselt või kui tugevusanalüüsiülesanne on keerukam, võib kasutada teljestikega seotud ehk nn. ranget märgireeglit.


Priit Põdra, 2004

RANGE MÄRGIREEGEL

Paindemoment on positiivne, kuiarvutusskeemil positiivsed kiud on

tõmmatud (Joon. 6.7)

Paindemoment on negatiivne, kuiarvutusskeemil negatiivsed kiud on

tõmmatud

Positiivne paindemoment Negatiivne paindemoment

PositiivsedkiudMz (+)

Negatiivsedkiud

Mz (+)x

y

Positiivsedkiud

Mz (-)

Negatiivsedkiud

Mz (-)x

y

Joonis 6.7

6.3.2. Põikjõud

Sirgele saledale vardale on rakendatud telje ristsihis mõjuv koormus F (Joon. 6.8):• koormus mõjutab materjalikihte omavahel telje ristsihis nihkuma ⎯ varras

töötab lõikele (tegelikult töötab varras lõikele ja paindele koos, kuid siin käsitletakse vaidnihke nähtusi);

Põiksisejõu olemus ja resultant paindel

F

Osakestevahelistejõudude resultant

Osakestevahelised jõud

Koormus

xy -peatasand

Põikjõudx

y

Qy

Fy

Sisejõud

Välisjõud

Zoom

F

F Nihkedeformatsioon

Osakestevaheline vastasmõju, mistakistab deformatsioone japurunemist nihkel

Joonis 6.8


Priit Põdra, 2004

• varras deformeerub ⎯ tekivad nihkedeformatsioonid koormuse sihis (samuti, kuilühikese varda puhul, tekivad ka paindedeformatsioonid, kuid neid analüüsitakse eraldi);

• piisavalt tugeva koormuse F korral varras puruneb lõikel (siin vaadeldakseteoreetiliselt vaid lõiget ning ei arvestata olukorraga, kus varras võib juba varem purunedapaindel);

• nihet (ja ka painet, mida siin ei vaadelda) ja purunemist takistavad vardas sisejõud,s.t. jõud, mis mõjuvad varda osakeste vahel ning tasakaalustavadpõikkoormuse F lõikava mõju.

Eelnevast: Põikjõud Q = osakestevaheliste (sise-) põikjõudude resultant lõikel(ühte moodi nii lühikeste, kui ka saledate varraste jaoks)

Põikjõu Q olemus nii painde-, kui ka lõikeülesanetes on samalaadne(nihkedeformatsioonid ja purunemine lõikel)

MÄRGIREEGEL

Põikjõud on positiivne, kui taarvutusskeemil mõjutab materjali

päripäeva (Joon. 6.9)

Põikjõud on negatiivne, kui taarvutusskeemil mõjutab materjali

vastupäeva

Positiivne põikjõud Negatiivne põikjõud

Mõju päripäeva

Q (+)Q (+)

Mõju vastupäeva

Q (-)Q (-)

Joonis 6.9

Põikjõu märgireeglid on kokkuleppelised (ning kokku leppida on alati võimalik mitut moodi),oluline on ühe ja sama ülesande lahendamisel kasutada ühte ja sama märgireeglit.Keerukamate paindeülesannete korral võib kasutada teljestikega seotud ehk nn. rangetmärgireeglit:RANGE MÄRGIREEGEL

Põikjõud on positiivne, kui tapositiivsel sisepinnal mõjub

positiivses suunas või negatiivselsisepinnal negatiivses suunas

Põikjõud on negatiivne, kui tapositiivsel sisepinnal mõjub

negatiivses suunas või negatiivselsisepinnal positiivses suunas

6.3.3. Paindemomendi ja põikjõu epüürid. Näited

Eelnevast: Sisejõu epüür = sisejõu graafik piki varda telge


Priit Põdra, 2004

6.3.3.1. Näide. Üksik-põikkoormused

Koostada üksikkoormustega painutatud varda (Joon. 6.10) sisejõudude epüürid ja määrataohtlikud lõiked (kui varras on ühtlane)!

Lahenduskäik:• varda sisejõudude olukord (paindemoment M ja põikjõud Q) sõltub väliskoormuste

(aktiivsed koormused ja toereaktsioonid) mõjust, mis määratakse lõikemeetodiga;

Arvutusskeem

FAFB

F1 = 100kN

F2 = 30kN

Lõige I Lõige II Lõige III

300 300 200

ABC

DC’ C’’ B’ B’’Toereaktsioonid

⎩⎨⎧

==

kN 10kN 60

B

AFF

Joonis 6.10

• iga üksik-koormuse (jõud F) väärtus kutsub detailis esile sisejõu(dude) väärtustemuutuse detaili materjalis. Seetõttu tuleb teha vähemalt üks lõige igassekoormuste rakenduspunktidega määratud lõiku;

• lõige I (FA ja F1 vahel, xI = 0 …300mm), analüüs vasakult poolt, kuna arvutamineon lihtsam:

QIFA = 60kN

AxI

MI

Painde suund:

Alumised kiud tõmmatud

Lõige I Tasakaalutingimused: 0=∑ F ja 0=∑M

( )⎩⎨⎧

⋅==+====

IIAI

'CA60

kN60xxFMFQQQ AI

⎩⎨⎧

+=⋅==⇒===⇒=

)( kNm 183.060m3.000CII

AII

MMxMMx

;

• lõige II (F1 ja FB vahel, xII = 300 … 600mm), analüüs vasakult poolt:

FA = 60kNQII

F1 = 100kN

A

Lõige II

xIIC

MII

Painde suund:Alumised kiud tõmmatud

Tasakaalutingimused: 0=∑F ja 0=∑M

( )( )⎩

⎨⎧

⋅−=−−=−=−=−===

IIII1IIAII

A1B''C'II40303.0

kN 40 60100xxFxFM

FFQQQ ;

⎩⎨⎧

+=⋅−==⇒=+=⋅−==⇒=)(kNm66.04030m6.0)( kNm183.04030m3.0

BIIII

CIIII

MMxMMx

;

• lõige III (FB ja F3 vahel, xIII = 600 … 800mm), analüüs paremalt poolt, kunaarvutamine on lihtsam:

F2 = 30kNxIII

Lõige IIIMIII


D

QIII


( )( )⎩

⎨⎧

−=−=−====IIIIII2III

2D'B'III30248.0kN 30

xxFMFQQQ ;

⎩⎨⎧

=⋅−==⇒=+=⋅−==⇒=

08.03024m8.0)( kNm66.03024m6.0

DIIIIII

BIIIIII

MMxMMx

;


Priit Põdra, 2004

• arvutatud sisejõudude väärtused kantakse epüüridele (Joon. 6.11), põikjõu Qepüür koosneb muutumatu väärtusega astmetest ja paindemomendi M epüürkoosneb sirgetest kaldlõikudest;

Varda sisejõudude epüürid

FA = 60kN FB = 10kNF1 = 100kN

F2 = 30kN

ABC

DPainde iseloom

60

4030

Põikjõu Q epüür, kN

6

18

Paindemomendi M epüür, kNm

Joonis 6.11

Vastus: Ohtlikud on suurima sisejõuga lõigud ja ristlõiked: suurim põikjõud on 60kNlõigus FA ja F1 vahel ja suurim paindemoment on 18kNm ristlõikes C ⎯ kõigeohtlikum on ühtlase varda ristlõige C, kus mõjuvad koos mõlema sisejõusuurimad väärtused.

6.3.3.2. Näide. Joon-põikkoormus

Koostada joonkoormusega painutatud konsoolse varda (Joon. 6.12) sisejõudude epüürid jamäärata ohtlikud lõiked (kui varras on ühtlane)!

Joonkoormus on pidevalt, teatud seaduspärasuse järgi, koormusjoonele laotunukstaandatud koormus. Painutavad joonkoormused on näiteks detaili omakaal,vedelike ja gaaside rõhk, liiva ja teiste puisteainete kaalud, mitmesugusedjõuväljad jms. Joonkoormuste puhul eeldatakse, et koormuse intensiivsusarvutusskeemi tasapinna ristsihis on võrdne arvutusskeemi väärtusega ning eimuutu.

Arvutusskeem

300

Lõige

xL

p = 100kN/m

A B

Joonis 6.12


Priit Põdra, 2004

Lahenduskäik:• varda koormus muutub piki telge ühtlaselt, järelikult ka sisejõu väärtus muutub

ühtlaselt ehk sisejõudude funktsioonid asukoha suhtes on pidevad. Analüüslõike paremalt poolt (xL = 0 … 300 mm), kuna arvutamine on lihtsam:

Painde suund:Ülemised kiud tõmmatud

p = 100kN/m

QL

Lõige

ML

xLTasakaalutingimused: 0=∑F ja 0=∑M

( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−⋅=−

=

⋅−=−=2

L

2L

L

LLL

3.0502

3.0100303.0

xxpM

xxpQ;

⎩⎨⎧

=⋅−==⇒=+==⇒=

03.010030m3.0)( kN 300

BLL

ALL

QQxQQx

;

( )( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−⋅==⇒=

=−⋅==⇒=

−=⋅==⇒=

kNm 13.115.03.050m15.003.03.050m3.0)( kNm 4.53.0500

2CLL

2BLL

2ALL

MMxMMx

MMx.

• paindemomendi M epüür tuleb muutumatu intensiivsusega joonkoormuse pmõjualas parabool. Selle parabooli väljajoonestamiseks arvutatakse väärtus kaabipunktis C (mis tavaliselt võetakse joonkoormuse mõjuala keskele).

• arvutatud sisejõudude väärtused kantakse epüüridele, põikjõu Q epüür onkaldsirge ja paindemomendi M epüür on parabool (Joon. 6.13);


p = 100kN/m

300A B

304.5 Parabool


C

1.12

Abipunkt parabooli jaoks

Painde iseloom

Põikjõu Q epüür, kN

Joonis 6.13

Vastus: Ohtlikud on suurima sisejõuga ristlõiked: suurim põikjõud on 30kN ristlõikesA ja suurim paindemoment on 4.5kNm samuti ristlõikes A ⎯ kõige ohtlikumon seega ühtlase varda ristlõige A, kus mõjuvad koos mõlema sisejõu suurimadväärtused.

6.3.3.3. Näide. Üksik- ja joon-põikkoormuste koosmõju

Koostada üksik- ja joonkoormusega painutatud varda sisejõudude epüürid ja määrataohtlik ristlõige (kui varras on ühtlane)!


Priit Põdra, 2004


(aktiivsed koormused ja toereaktsioonid) mõjust, need mõjud määratakselõikemeetodiga;

• iga üksik-koormus kutsub detailis esile sisejõu(dude) muutuse, pidevafunktsiooniga joonkoormus tekitab detailis pideva funktsiooniga sisejõu(dude)muutuse(d). Seetõttu tuleb teha vähemalt üks lõige igasse koormusterakenduspunktidega määratud lõiku;

Arvutusskeem

FAFBF1 = 100kN

F2 = 30kN300

Lõige I Lõige II Lõige III

p = 100kN/m

200300

ABC D

C’

C’’ B’B’’

Toereaktsioonid

⎩⎨⎧

==

kN 56kN 64

B

AFF

Joonis 6.14

• paindemomendi M epüürid tulevad muutumatu intensiivsusega joonkoormusep mõjualas paraboolid. Nende paraboolide väljajoonestamiseks arvutatakse Mväärtused ka abipunktides E ja G (mis tavaliselt võetakse lauskoormuse mõjualakeskele);

• lõige I (FA ja F1 vahel, xI = 0 … 300 mm), analüüs vasakult, kuna arvutamine onlihtsam:


FA = 64kNQI

AxI

MI

Painde suund:

Lõige ITasakaalutingimused: 0=∑F ja 0=∑M

( )⎩⎨⎧

⋅==+====

IIAI

AC'AI64

kN64xxFMFQQQ

⎩⎨⎧

+=⋅==⇒===⇒=

)( kNm2.193.064m3.000CII

AII

MMxMMx

• lõige II (F1 ja FB vahel, xII = 300 … 600mm), analüüs vasakult:


FA = 64kN

QII

F1 = 100kN

A

xIIC

MII

Painde suund:

p = 100kN/m

Lõige II Tasakaalutingimused: 0=∑F ja 0=∑M

( ) 61003.0 IIIIA1II +⋅=−+−= xxpFFQ ;

( ) ( )=

−−−−=

23.03.0

2II

II1IIAIIxpxFxFM

( ) ( )2IIIIII 3.0503.010064 −⋅−−⋅−⋅= xxx ;

⎩⎨⎧

−=+⋅==⇒=−=+⋅==⇒=

)( kN6666.0100m6.0)( kN3663.0100m3.0

B'IIII

'C'IIII

QQxQQx ;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=⋅−⋅−⋅==⇒=+=⋅−⋅−⋅==⇒=

+=⋅==⇒=

)( kNm7.1215.05015.010045.064m45.0)( kNm43.0503.01006.064m6.0

)( kNm2.913.064m3.0

2EIIII

2BIIII

CIIII

MMxMMxMMx

;


Priit Põdra, 2004

• lõige III (FB ja F3 vahel, xIII = 600 … 800 mm), analüüs paremalt, kuna arvutamineon lihtsam:


QIII F2 = 30kNxIII

Lõige III

MIII D

p = 100N/m Tasakaalutingimused: 0=∑F ja 0=∑M( ) 501008.0 IIIIII2III −⋅=−−= xxpFQ

( ) ( )=

−−−=

28.08.0

2III

III2IIIxpxFM

( ) ( )2IIIIII 8.0508.030 xx −⋅−−⋅=

⎩⎨⎧

−=−⋅==⇒=−=−⋅==⇒=)( kN 30508.0100m8.0)( kN 10506.0100m6.0

DIIIIII

'B'IIIIII

QQxQQx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=⋅−⋅==⇒===⇒=

+=⋅−⋅==⇒=

)( kNm5.21.0501.030m7.00m8.0

)( kNm42.0502.030m6.0

2GIIIIII

DIIIIII

2BIIIIII

MMxMMxMMx

• arvutatud sisejõudude väärtused kantakse epüüridele, varda põikjõu Q epüürilon iga koondjõu asukohas aste ning joonkoormuse mõju piirkonnas on epüürlineaarne (Joon. 6.15), paindemomendi M epüür koosneb kahest paraboolist jakaldsirgest.


F1 = 100kN

F2 = 30kN

p = 100kN/m

ABC D

FA = 64kNFB = 56kN

64

3666

10 30

E G

Põikjõu Q epüür, [kN]Painde iseloom

19.212.7

4 2.5

Paindemomendi M epüür, [kNm]

Abipunktid paraboolide jaoks

Joonis 6.15

Vastus: Ohtlikud on suurima sisejõuga ristlõiked: suurim põikjõud on 66kN ristlõikes Bja suurim paindemoment on 19.2kNm ristlõikes C ⎯ need mõlemad on ühtlasevarda ohtlikud rsitlõiked.

6.3.3.4. Näide. Üksik-pöördemomendid

Koostada üksik-pöördemomentidega painutatud varda (Joon. 6.16) sisejõudude epüürid jamäärata ohtlik ristlõige (kui varras on ühtlane)!

Üksik-pöördemoment on detaili teatud kohas painutav jõupaar, mille resultantvõrdub nulliga ja painutav olemus tuleneb jõudude paralleelsetest mõjusirgetest.


Priit Põdra, 2004


(aktiivsed koormused ja toereaktsioonid) mõjust, need mõjud määratakselõikemeetodiga;

Arvutusskeem

FA

FBM 1 = 100kNm

300 300 200

Lõige I Lõige II Lõige IIIM 2 = 30kNm

ABC D

C’

C’’

Toereaktsioonid

⎩⎨⎧

==

kN 117kN 117

B

AFF

Joonis 6.16

• lõige I (FA ja M1 vahel, xI = 0 … 300mm) analüüs vasakult poolt, kuna arvutamineon lihtsam:

FA = 117kN M I

xI

AQ I

Lõige I



( )⎩⎨⎧

⋅==+====

IIAI

ACAI117

kN117xxFM

FQQQ ;

⎩⎨⎧

+≅⋅==⇒===⇒=

)( kNm 353.0117m 3.000C'II

AII

MMxMMx

;

• lõige II (M1 ja FB vahel, xII = 300 … 600mm), analüüs vasakult:

Painde suund:Ülemised kiud tõmmatud

M 1 = 100kNm

FA = 117 kN

MII

xII

AC

Lõige II

QII


( )⎩⎨⎧

⋅−=−=+====

IIIIA1II

ABCII

117100kN 117

xxFMFQQQ

M ;

⎩⎨⎧

−≅⋅−==⇒=−≅⋅−==⇒=)( kNm 306.0117100m6.0)( kNm 653.0117100m3.0

BIIII

'C'IIII

MMxMMx

;

• lõige III (FB ja M2 vahel, xIII = 600 … 800 mm), analüüs paremalt, kuna arvutamineon lihtsam:

MIII

M2 = 30kNmxIII

Lõige III

Painde suund:

Ülemised kiud tõmmatud

D


⎩⎨⎧

======

)( kNm 300

2DBIII

DIII

-MMMQQ

M

• arvutatud sisejõudude väärtused kantakse epüüridele. Mõlema üksik-pöördemomendi asukohas on paindemomendi M epüüril aste ning epüürkoosneb kald- ja rõhtsirgetest, põikjõud Q laotub tugede A ja B vahel ühtlaselt(Joon. 6.17).


Priit Põdra, 2004


FA 117kN FB = 117kN

Painde iseloom

35

65

30


117Põikjõu Q epüür, kN

M 1 = 100kNm

M 2 = 30kNm

ABC D

Joonis 6.17

Vastus: Ohtlikud on suurima sisejõuga ristlõiked: suurim põikjõud on 117kN lõigus FA

ja FB vahel ja suurim paindemoment on 65kNm ristlõikes C ⎯ kõige ohtlikumon ühtlase varda ristlõige C, kus mõjuvad mõlema sisejõu suurimad väärtused.

6.3.3.5. Painde sisejõuepüüride tunnused

PRAKTILISED JÄRELDUSED1. Iga painutav üksikjõud-koormus F väljendub:

• põikjõu Q epüüril astmena: tema mõjule vastavas suunas; tema väärtuse võrra;

• paindemomendi M epüüril murdena;2. Iga painutav üksik-pöördemoment M

väljendub paindemomendi M epüürilastmena:

• tema mõjule vastavas suunas;• tema väärtuse võrra;

3. Paindemomendi M väärtus varda otsas ei võrdu nulliga ainult siis kui sellesotsas mõjub üksik-pöördemoment (kas aktiivne koormus või toereaktsioon);

4. Paindemomendi M väärtuste märk (+ või -) on seotud paindunud varda kujuga:• positiivse paindemomendiga alas on tõmmatud alumised kiud (või

positiivsed kiud range märgireegli järgi);• negatiivse paindemomendiga alas on tõmmatud ülemised kiud (või

negatiivsed kiud range märgireegli järgi);5. Joonkoormuse mõjul muutuvad sisejõudude väärtused susjuvalt;6. Kui paindemomendi M epüüri joonestamisel kanda positiivsed väärtused

allapoole, siis on ülevalt alla mõjuva joonkoormuse mõjualas paindemomendiepüür nõgus (nagu samatüübilise koormuse toimel läbipaindunud traat).


Priit Põdra, 2004

6.3.4. Integraalseosed painutava joonkoormusega varda sisejõuepüüride arvutamiseks

Igasuguse seaduspärasuse järgi jaotunud joon-põikkoormusega (p ≠ const) tasakaalusvarda (Joon. 6.18) iga lõpmatult lühike lõik kohal x (pikkusega dx, mille vältel eeldatakse p =const) peab ka olema tasakaalus.

Joon-põikkoormusega varras Varda element

x

yx

p ≠ const

dx

Tasakaalutingimused (märke arvestades) x dx

Q (+)M (-)

p

Q + dQ (+)

M + dM (-)

A

( )( ) ( )[ ]

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−+−−−⇒=

=+++−⇒=

∑∑

02

0

00

äikeTühiselt v

2

A

321

dxpQdxdMMMM

pdxdQQQF

ehk ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==′

−==′

Qdx

dMM

pdxdQQ

Joonis 6.18

Sisejõudude funktsioonid piki varda telge:( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

∫∫

dxxQxM

dxxpxQ

kus: p(x) ⎯ joonkoormuse funktsioon varda teljesihilise koordinaadi x järgi;Q(x) ⎯ põikjõu funktsioon varda teljesihilise koordinaadi x järgi;M(x) ⎯ paindemomendi funktsioon varda teljesihilise koordinaadi x järgi.

PRAKTILISED JÄRELDUSED (joon. 6.19):1. Ilma joon-põikkoormuseta (p = 0) piirkonnas on:

• varda põikjõu Q väärtus muutumatu (Q = const);• paindemomendi M väärtus muutub lineaarselt (M = f(x));

2. Ühtlaselt jaotunud joon-põikkoormusega (p = const) piirkonnas muutub:• põikjõu Q väärtus lineaarselt (Q =f(x));• paindemomendi M väärtus ruutfunktsiooni järgi (M =f(x2));

3. Igasuguse seaduspärasuse järgi jautunud joon-põikkoormusega piirkonnasmuutub:

• põikjõu Q väärtus ühe võrra kõrgemas astmes funktsiooni järgi;• paindemomendi M väärtus kahe võrra kõrgemas astmes funktsiooni järgi;

4. Põikjõu Q väärtus näitab paindemomendi M epüüri puutuja tõusunurka jasuunda;

5. Kohas varda teljel, kus põikjõu Q märk muutub (graafik läbib telge), onpaindemomendi M väärtus ekstremaalne;


Priit Põdra, 2004

Joon-põikkoormus puudub Joon-pikikoormus on muutumatu

p = 0

x

y Q epüür

Q = const

p = const

x

y Q epüür

M epüür

Graafilised põhiseosed Q ja M epüüride vahel

Q epüür

M epüür

Mmax

Q epüür

M epüür

MmaxαI (+) αII (-)

Q epüür

M epüür

Mmax

∆M

AQ

∆M = AQ

Joonis 6.19

6. Paindemomendi M juurdekasv (kui see juurdekasv on pidev, s.t. ei sisalda üksik-momentkoormusi) võrdub põikjõu Q epüüri pindalaga samas vahemikus.

6.4. Normaalpingete laotus paindel

Sirge ühtlane varras (Joonis 6.20) on painutatud (koormatud pöördemomendiga M või jõuga F ):

• koormuse toimel varras paindub (kõverdub) peatasandites;• mahuelemenid muudavad kuju (ristlõiked pöörduvad, risttahukad kõverduvad);• ristlõike punktide normaaldeformatsioonid on erinevad (samas ristlõikes on nii

tõmme kui ka surve), kuid jagunevad lineaarselt (sest ristlõiked jäävad tasapinnalisteks);• varda pikkus teljel ei muutu (teljel deformatsioonid puuduvad);• ristlõike punktide normaalpinged on erinevad (σx ≠ const üle iga pinna A).

Neutraalkiht = materjali kiht tõmmatud ja surutud (pikenenud ja lühenenud) kihtide vahel,mille pikkus ei muutu (mis ei deformeeru)

Nulljoon = varda neutraalkihilõikejoon ristlõikepinnaga

Painutatud varda mingis ristlõikes pindalaga A:• iga punkti suhtelise normaaldeformatsiooni ε

väärtus on võrdeline tema kauguseganulljoonest (koordinaadiga) y;

• seega on ka iga punkti normaalpinge σvõrdeline selle punkti kauguseganulljoonest y (Hooke’i seadus: σ = Eε):

Ky=σ , kus: K ⎯ võrdetegur;


Priit Põdra, 2004

Painutatud varras Painutatud varda mahuelement

M

F

Mz

Mz

Surutud

Tõmmatud

Neutraalkiht

Ristlõike normaalpinge jaotus Ristlõike normaalpinge epüür

x

σx

z

y y

Survepinge

Tõmbepinge

Nulljoon

z

y

σMz epüür

σmax

σmin

Joonis 6.20

• kuna ristlõikes puudub pikijõud (Nx = 0, sest puuduvad pikikoormused), siis pikijõustaatilise seoise abil saab avaldada:

0=== ∫∫AA

x ydAKdAN σ , kuna K ≠ 0, siis zA

SydA ==∫ 0 ,

kus: Sz ⎯ pinna staatiline moment z-telje suhtes, [m3];• staatiline moment Sz = 0 vaid kesktelje suhtes, järelikult z on kesktelg:

Nulljoon läbib (antud juhul) ristlõikepinna keset (ristub varda teljega)

• võrdeteguri K avaldise saab tuletada (Joon. 6.21) paindemomendi staatilisestseosest (mis annab matemaatilise sõltuvuse pinna paindepingete ja nende resultandiks olevapaindemomendi vahel);

• ühes peatasandis mõjuvpaindemoment ei saa tekitadapinged teises peatasandis (ehkpaindemomendist Mz tulenevad pingedei saa tekitada paindemomenti My javastupidi):

( ) 0== ∫A

Mzxy zdAM σ ⇒

MI

yzdAz

zA∫ = 0 ,

kuna MI

z

z≠ 0, siis yx

A

IyzdA ==∫ 0 ,

kus: ( )Mzσ ⎯ paindemomendist Mz tulenev normaalpinge, [Pa];( )Myσ ⎯ paindemomendist My tulenev normaalpinge, [Pa].


Priit Põdra, 2004

Paindemoment ja paindepinge Paindemomendi staatiline seos

x

yMz

M z

σz

AAz KIdAyKydAM === ∫∫ 2σ ,

millest: z

z

IMK =

Joonis 6.21

• tsentrifugaal-inertsmoment Iyz = 0 vaid peateljestiku suhtes, s.t. yz onpeateljestik;

Paindeülesannetes tuleb varrast analüüsida keskpeatasandites(yz peab olema keskpeateljestik)

Paindepingete jaotus sirge varda ristlõikes: yI

M

z

z=σ ja/või zI

M

y

y=σ

kus: σ ⎯ ristlõike punktide normaalpinge (kohal y või z), [Pa];Mz, My ⎯ ristlõike paindemoment peatelgede y ja z suhtes, [Nm];Iz, Iy ⎯ ristlõike telginertsimoment peatelgede y ja z suhtes, [m4];y, z ⎯ punkti kaugus nulljoonest (+/- märgiga), [m].

Funktsioon σ = f(y) (ja ka σ = f(z)) on lineaarne ⇒ paindepinge epüüri moodustamisekson vaja vaid (Joon. 6.22):

• määrata nulljoone (pinnakeskme, varda telje) asukoht,• arvutada pinge väärtus nulljoonest kõige kaugemas punktis (moodulilt suurim

pinge);• tõmmata sirge kaugeima punkti pingeväärtusest läbi nulli vastaval kesk-

peateljel.

Kolmnurk-ristlõige Ümar-ristlõige T-ristlõige

a

y

C z

|σ|maxσ epüür

z

y

C

|σ|max

|σ|max

a

σ epüür

z

y

C

|σ|max

a

σ epüür

Joonis 6.22

Ristlõike moodulilt suurim paindepinge:(tõmbepinge või survepinge) z

z

z

z

WM

aI

M==

maxσ milles

aI

W zz =


Priit Põdra, 2004

kus: Wz ⎯ ristlõike (telg-) tugevusmoment (vastupanumoment) peatelje z suhtes,[m3];

Iz ⎯ ristlõike inertsimoment peatelje z suhtes, [m4];a ⎯ kaugeima punkti kaugus peateljest z (nulljoonest), [m].

Tugevusmomentide avaldistes on vastava teljega risti olev mõõde ruudus (Joon. 6.23).

Erinevate kujundite (ja profiilide) tugevusmomendid peatelgede suhtes on toodudinsenerikäsiraamatutes (ja tootekataloogides)

Ristküliku tugevusmoment Kolmnurga tugevusmoment Ringi tugevusmoment

zy

b

h

a = h/2

C

ha = 2h/3

z

y b

C z

y

D C

a = D/2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

2

12

3

ha

bhI z ⇒ 6

2bhWz =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

ha

bhI z

32

36

3

⇒ 24

2bhWz =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

2

64

4

Da

DI zπ

⇒ 32

3DWzπ

=

Joonis 6.23

6.5. Nihkepingete laotus paindel

Siingi kehtivadnihkepingete laotuste

eritingimused(niisamuti, kui väände korral)

Prismaatiline (lühike või pikk) varras (Joon. 6.24) on koormatudy-peatelje sihilise põikkoormusega F:

• koormuse F toimel tekib vardas y-peatelje sihilinepõiksisejõud Qy (mis takistab varda nihkedeformatsiooneja võimalikku läbilõikamist selles sihis);

• koormuse F toimel tekib vardas alati ka paindemoment Mz, mis takistab vardapooleks murdumist (purunemise mehhanism ⎯ kas läbilõikamine või murdumine ⎯sõltub sellest, kumb mõju domineerib);

• sisejõud Qy laotub üle varda iga ristlõike funktsiooni τxy (see on lõikepinge) järgi;• igas varda pikilõikes mõjuvad ristlõikepingega τxy paarsed nihkepinged τyx

(nihkepinged τxy ristlõikes tekitavad paarsed nihkepinged τyx pikilõigetes);• pikilõigete nihkepingeid on hõlpsam analüüsida (kui ristlõigete nihkepingeid);• vardast eraldatakse (mõtteliselt) lõpmatult lühike lõik (varda otsast kaugusel xL)

pikkusega dx (mille ulatuses põiksisejõu Qy väärtus loetakse alati muutumatuks);• lõigu vasakpoolsel tahul mõjub paindemoment Mz > 0,

parempoolsel tahul aga M dMz z+ , milles (tasakaalutingimusest):dxQdM yz = ;

• varda lõigust dx eraldatakse pikilõikega alumine osa (z-teljest kaugusel yL);


Priit Põdra, 2004

Põik-koormatud varras Ristlõike nihkepinged

FQ epüür

F

M epüür Fl

l

xQy

y

zτxy

τyx

Vardast eraldatud lõigu sisejõud ja paindepinged

x

xL dx

y

F

Mz + dMz

Qy

Qy

Mz

dx

σxdx σx + dσx

y L

σ epüürid

Lõigu ülemise osa tasakaal Varda ristlõige

dx

N2*N1

*

dN*y L A*

dxb

τyxdN*

y L

y

z

dAA*

A

y*y L

C Nulljoo

Joonis 6.24

• eraldatud osa paralleelsete külgtahkude normaaljõud (normaaljõud on normaalpingeresultant üle antud pinna) ei ole võrdsed *

1N < *2N (tasakaalutingimust ei saa tagada);

• jõudude tasakaalu saavutamiseks peab vaadeldavas süsteemis (sisepinnal)mõjuma veel üks x-telje sihiline jõud dN*;

• see jõud dN* väljendabki nihkepingete τyx mõju;• Zhuravski hüpoteesi järgi nihkepinged τyx laotuvad

varda laiuses (b ulatuses) ühtlaselt (D.I.Zhuravski,1821...1891) funktsiooniga: bdx

NNbdxdN

yx

*1

*2

* −==τ ;

• normaaljõud *1N ja *

2N arvutataksestaatilisest seosest pinna A* kohta:

kus: y* ⎯ elementaarpinna dAkaugus nulljoonest (z-teljest), [m]; ⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=== ∫∫**

2

***1

**

zz

zz

zz

z

Az

z

A

SI

dMMN

SI

MdAy

IM

dAN σ;

• nihkepinge laotus (funktsioon) τyx saadakseülaltoodud valemitest:

kus: b ⎯ varda laius, [m]; z

zzyx bI

Sdx

dM *

⋅=τ ;

*zS ⎯ pinnaosa A* staatiline moment nulljoone suhtes, [m3];


Priit Põdra, 2004

Lõikepinge laotuspainutatud varda ristlõikes: *

*

bISQ

z

zyxy =τ ;

kus: τ τxy yx= ⎯ ristlõike antudpunkti lõike-pinged, [Pa];

dxdM

Q zy = ⎯ lõikes mõjuv põikjõud, [N];

Sz* ⎯ antud punkti (koordinaadiga y) läbiva (nulljoonega paralleelse) lõikega

eraldatud pinnaosa staatiline moment nulljoone (z-telg) suhtes, [m3];Iz ⎯ ristlõike inertsimoment peatelje z suhtes, [m4];b* ⎯ ristlõike laius antud punktis (ei ole üldjuhul konstant), [m].

Eelnevast: Lõikele töötavate liidete korral loeti lõikepinge laotus üle lõikepinnaühtlaseks (eeldusel, et materjalis on piirseisundi-eelne olukord)

Painutatud detailides seda eeldust kasutada ei saa, kuna lõikepinged on tavaliseltmaterjali piirseisundile vastavatest pingetest väiksemad.

6.5.1. Ristkülik-ristlõike nihkepinged paindel

Ristküliku (Joon.6.25)geomeetrilisedparameetrid:

12

3bhI z = ning, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⋅= 2

2***

42222yhbyhyhbyAS z ,

millest lõikepinge funktsiooniks (piki peatelge y) tuleb parabool koos maksimum-väärtusega nulljoonel.

Ristkülik-ristlõige

z

τxy epüür

τxy,max

yA*

A

y y*

C*

h/2

b

Qy

h C

Lõikepinge

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

24123

hy

AQy

xyτ ehk

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===

±==

0 kui,2

32

kui,0

max, yA

Q

hy

yxyxy

xy

ττ

τ

τxy ⎯ lõikepinge (funktsioon), [Pa];Qy ⎯ põik-sisejõud, [N];A ⎯ ristlõike pindala, [m2];

τxy,max ⎯ lõikepinge suurim väärtus, [Pa];b, h ⎯ ristlõike mõõtmed, [m].

Joonis 6.25


Priit Põdra, 2004

6.5.2. Ümar-ristlõike nihkepinged paindel

Lõikepingete täpne määramine ümarristlõikes (Joon. 6.26) pole tugevusõpetusemeetoditega võimalik, kuna Zhuravski hüpoteesi kasutamine on siin meelevaldne.Kasutatakse elastsusteooria abil tuletatud avaldisi, nihkepinge maksimumväärtus mõjubnulljoonel.

Ümar-ristlõige

Suurim lõikepinge:

AQy

xy 34

max, =τ

z

τxy epüür

τxy,max

y

A

CQy

D

D ⎯ ristlõike läbimõõt, [m];

Joonis 6.26

6.5.3. I-profiiliga ristlõike nihkepinged paindel

Ristlõige koosneb kahest paralleelsest õhukesest vööst ning neid ühendavast õhukesestseinast (Joon. 6.27), nihkepinge maksimumväärtus mõjub nulljoonel.

I-profiiliga ristlõige

Suurimad lõikepinged:

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

z

yxz

z

zyxy

IhsbQ

sISQ

4max,

5.0,max,

τ

τ;

max,max, xyxz ττ <<

y

CQy

h

t

s

τxz epüürτxz,max

bVöö

Sein

z

τxy epüür

τxy,max

Sz,0.5 ⎯ poolristlõike staatilinemoment (antud tabelites või tulebarvutada), [m3];

Iz ⎯ ristlõike inertsimomentpeatelje z suhtes (antudtabelites), [m4];

s ⎯ ristlõike seina paksus (antud tabelites), [m];h ⎯ ristlõike kõrgus (antud tabelites), [m];

b ⎯ ristlõike vöö laius (antud tabelites), [m];t ⎯ ristlõike vöö paksus (antud tabelites), [m].

Joonis 6.27

Ristlõike keerulise kuju tõttu tekib seinas Qy sihiline nihkepinge τxy ning vöödes Qy

suunaga risti mõjuv nihkepinge τxz.


Priit Põdra, 2004

6.6. Detaili tugevuse analüüs paindel

Tugevusanalüüsil paindele (saleda varda korral):• esmalt tehakse varda tugevusarvutus paindele (paindemoment M);• seejärel kontrollitakse varda tugevust lõikele (kui vardas mõjub põikjõud Q);• vajaduse korral kontrollitakse varda

tugevust painde ja lõike koosmõjulristlõike ohtlikes punktides (sedakäsitletakse edaspidi);

Paindemomendi M ja põikjõu Qkoosmõju ohtlikkuse hindamiseks

vajatakse tugevusteooriaid

Saledate (pikkus ristlõike mõõtmetegavõrreldes suur) detailide korral on põikjõu

Q osatähtsus väike (paindemomendigavõrreldes)

Lühikeste varraste korral on põikjõuQ osatähtsus suur

(võrdväärne paindemomendiga või suurem)

Painutatud varda võimalik ohtlik ristlõige asub tavaliselt seal, kus:• paindemomendi M või põikjõu Q väärtus on suurim;• paindemonedi ja põikjõu suurimad väärtused langevad kokku;• varda ristlõige on vähim;• varda ristlõige väheneb sisejõu maksimumväärtuse lähedal.

6.6.1. Lubatavad pinged paindel

Lubatav paindepinge = konkreetsesülesandes ohutuks loetud normaalpinge

kas tõmbel või survel[ ] [ ]S

Survelim,Surve

σσ = ja [ ] [ ]S

Tõmmelim,Tõmme

σσ =

Lubatav lõikepinge = konkreetses ülesandes ohutuks loetud nihkepinge: [ ] [ ]Slimττ =

kus: [σ]Surve; [σ]Tõmme ⎯ lubatavad normaalpinged tõmbel ja survel, [Pa];σlim,Surve; σlim,Tõmme ⎯ materjali piirpinged tõmbel ja survel (sitketele

materjalidele voolavuspiir, rabedatele materjalideletugevuspiir), [Pa];

[τ] ⎯ lubatav nihkepinge, [Pa];τlim ⎯ materjali piirpinge nihkel (sitketele materjalidele voolavuspiir,

rabedatele materjalidele tugevuspiir), [Pa];[S] ⎯ nõutav tugevusvarutegur.


Priit Põdra, 2004

6.6.2. Tugevustingimused paindel

Koormatud detaili üheski punktis ei tohi ühegi pinge väärtus ületada vastavat lubatavapinge väärtust.

• normaalpinge tõmmatud kiududesületada lubatavat tõmbepinget

ja samaaegselt• normaalpinge surutud kiududes ületada

lubatavat surve-pinget

⎪⎭

⎪⎬

⎫

[ ]σσ ≤

ja samaaegselt

Painutatud vardastekkivate pingeteväärtused ei tohi:

• nihkepinge ületada lubatavat nihkepinget [ ]ττ ≤

6.6.3. Tugevusarvutus paindele

Paine = varda ristlõikes arvestataksesisejõududest vaid paindemomenti M

Painutatud varras (Joon. 6.28):• varda materjalis on vaid

normaalpinge (kas tõmme või surve);• suurimad paindepinged mõjuvad ristlõike punktides, mis paiknevad

nulljoonest (peateljest) kõige kaugemal;• nulljoonel normaalpinged puuduvad;• pingelaotuse funktsioon on lineaarne.

Painutatud varras Tugevustingimus

F

või

M [ ]σσ ≤=

WM

max ehk [ ]

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

≤

σ

σMW

WM

Ümar-ristlõige Rõngas-ristlõige Ristkülik-ristlõige Ruut-ristlõige

σmax

σmax

σ epüür

D

32

3DW π= ;

[ ]332

σπMD ≥

D

d σmax

σmax

σ epüür

Ddc = ; ( )4

3

132

cDW −=π ;

( )[ ]341

32σπ c

MD−

≥

b

h

σmax

σmax

σ epüür

hbc = ;

6

3chW =

[ ]36

σcMh ≥

a

σmax

σmax

σ epüür

6

3aW = ;

[ ]36σMa ≥

F,M ⎯ painutav jõud ja/või pöördemoment, [N];d, D ⎯ ohtliku ristlõike sise- ja välisdiameeter, [m];

M ⎯ ohtliku ristlõike paindemoment, [Nm];a ⎯ ohtliku ruut-ristlõike küljepikkus, [m];

b, h ⎯ ohtliku ristlõike lühema ja pikema külje pikkused, [m];σ, [σ] ⎯ tegelik ja lubatav paindepinge survel ja/või tõmbel, [Pa].

W ⎯ ohtliku ristlõike telg-tugevusmoment, [m3];

Joonis 6.28


Priit Põdra, 2004

Kui lubatavad pinged survel jatõmbel ei ole võrdsed

([σ]surve ≠ [σ]tõmme)⇒

Tugevustingimusi peab võrdlevaltrakendama nii tõmbe kui ka surve

jaoks

6.6.4. Painutatud varda tugevusarvutus lõikele.

Lõige = varda ristlõikes arvestataksesisejõududest vaid põikjõudu Q

Painutatud varda tugevusarvutus lõikele onvajalik, kui (tugevusvaru lõikele on väiksemtugevusvarust paindele):

• suurima lõikepingega punktides paindepinge puudub või on tühiselt väike(lühike varras = tihvt, sõrm, jne.);

• materjali nihketugevus on väike (nihkepingete paarsuse seaduse järgi tekivad lisakspingetele τxy ka pinged τyx, mis mõjuvad piki tala telge).

Põikkoormusega Q painutatud varda (Joon. 6.29):• igas ristlõike punktis mõjub põikjõusihiline nihkepinge (lõikepinge);• igas ristlõike punktis mõjub ka eelmisega võrdne, kuid risti mõjuv (varda telje

sihis) nihkepinge.

Painutatud lühike või pikk varras Sisejõud ja pinged I-ristlõige

F

F

Tugevustingimus: [ ]ττ ≤max Q

τ

τF

Ümar-ristlõige Ristkülik-ristlõige

hs τ epüür

τmax

Tugevustingimus:

[ ]ττ ≤=Is

QS 5.0max ⇒

[ ]5.0S

IsQ τ≤τ epüür

τmaxA

DTugevustingimus:

[ ]ττ ≤=AQ

34

max ⇒[ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

≤

τ

τ

34

43

QA

AQ

4

2DA π= ⇒ [ ]τπ3

16QD ≥

τ epüür

τmax

A

b

h

Tugevustingimus:

[ ]ττ ≤=AQ

23

max ⇒[ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

≤

τ

τ

23

32

QA

AQ

bhA = ; hbc = ⇒ [ ]τc

Qh23

≥

S0.5 ⎯ ohtliku poolristlõikestaatiline moment (Q-garistse peatelje suhtes), [m3];

I ⎯ ohtliku ristlõike telg-inertsimoment (Q-garistse peatelje suhtes), [m4];

D ⎯ ohtliku ristlõikediameeter, [m];

b, h ⎯ ohtliku ristlõike külgedepikkused, [m];

s ⎯ ohtliku I-ristlõikeseinapaksus, [m];

F ⎯ koormus (painutav jõud), [N];τ, [τ] ⎯ tegelik ja lubatav lõikepinge, [Pa].

Q ⎯ ohtliku ristlõike põikjõud, [N];

Joonis 6.29


Priit Põdra, 2004

6.6.5. Painutatud varda tugevusarvutus. Näited

6.6.5.1. Näide. Üksik-põikkoormused

Määrata ühtlase sirge varda (Joon. 6.30) läbimõõt!Materjal: teras [σ]Surve = [σ]Tõmme = 160 MPa

Lahenduskäik• varda sisejõudude analüüs on toodud p.-s 6.3.3.1;• suurim paindemoment on varda ristlõikes C: M = 18kNm;• suurim põikjõud on varda lõigus AC: Q = 60kN;• lõige C on varda ohtlik lõige;

Varda arvutusskeem, sisejõudude ja pingete epüürid

FA = 60kN FB = 10kNF1 = 100kN

F2 = 30kNx

y

ABC D

Suurim lõige60

40 30Qy epüür, kN

6

18

Mz epüür, kNm

D

Ristlõige

Suurim paine

Ohtlik ristlõige

Suurim tõmbepinge

σ epüür, MPa

A∅110

τ epüür, MPa

138

8.4z

y

Ristlõige CSuurim

survepinge

Joonis 6.30

• selle lõike suurimad paindepinged σmax mõjuvad ümar-ristlõike servadel y-teljel (need on ristlõike ohtlikud punktid);

• suurim tõmbepinge on arvuliselt võrdne suurima survepingega (kuna ristlõige on

sümmeetriline z-telje suhtes) maxSurve

maxTõmmemax σσσ == ;

• selleks, et tugevustingimuspaindel (σ ≤ [σ]) olekstäidetud: [ ] mm110m105.0

1016010183232

36

3

3 ≈=⋅⋅⋅⋅

=≥πσπ

MD ;

Tugevuskontroll:• suurim paindepinge vardas (ristlõige C, kui D = 110 mm):

[ ] MPa160MPa13811.010183232

3

3

3max =≤=⋅

⋅⋅=== σ

ππσ

DM

WM ;

• suurim lõikepinge vardas (lõik AC, kui D= 110 mm): MPa4.8

11.03410604

34

2

3

max =⋅⋅

⋅⋅⋅==

πτ

AQ ,

• lõikepinge on paindepingetega võrreldes tühiselt väike;


Priit Põdra, 2004

Tugevustingimused on täidetudVastus: Varda läbimõõt peab olema vähemalt 110mm.

6.6.5.2. Näide. Joon-põikkoormus

Kontrollida IPE 120 profiiliga tala (Joon. 6.31) tugevust!Materjal: teras [σ]Surve = [σ]Tõmme = 175 MPa; [τ] = 90 MPa;Profiil IPE 120: Iz = 318cm4; Wz = 53cm3; b = 64mm; h = 120mm;s = 4.4 mm; t = 6.3mm.

Varda arvutusskeem, sisejõudude ja pingete epüürid

x

p = 100kN/m

B300y

30

4.5

Qy epüür, [kN]

Mz epüür, [kNm]

A Cτ epüür, MPa

85

σ epüür, MPaIPE 120

77z

Ristlõige ASuurim tõmbepinge

Suurim survepinge

Suurimlõikepinge

y

h

b

s

t

85

Joonis 6.31

Lahenduskäik:• varda sisejõudude analüüs on toodud p.-s 6.3.3.2;• suurim paindemoment on varda ristlõikes A: M = 4.5kNm;• suurim põikjõud on varda ristlõikes A: Q = 30 kN;• poolristlõike staatilise momendi saab arvutada valemiga:

( ) ( ) 3322

5.0 cm3.29mm292664.48

3.621202

3.61203.66482

2≈=⋅

⋅−+

−⋅⋅=

−+

−= sththbtS ;

• ristlõige A on varda ohtlik lõige;• selle ristlõike suurimad paindepinge väärtused σmax mõjuvad I-ristlõike

servadel (need on ristlõike ohtlikud punktid);• suurim tõmbepinge on arvuliselt võrdne suurima survepingega (kuna ristlõige on

sümmeetriline nulljoone suhtes) maxSurve

maxTõmmemax σσσ == ;

kontrollitakse painde tugevustingimust (σ ≤ [σ]) ohtliku ristlõike ohtlikespunktides: [ ] MPa175Pa104.98

1053105.4 6

6

3

max =<⋅=⋅⋅

== − σσWM ;

kontrollitakse lõike tugevustingimust (τ ≤ [τ]) ohtliku ristlõike ohtlikuspunktis: [ ] MPa90Pa102.86

0044.010318103.291030 6

8

635.0

max =<⋅=⋅⋅

⋅⋅⋅== −

−

ττIs

QS ;

Tugevustingimused on täidetudVastus: Tala on piisavalt tugev.


Priit Põdra, 2004

6.7. Paindele töötava tala optimaalne kuju

Optimaalne ristlõige = pinna osadepaigutus võimalikult kaugel null-

joonest (võrreldes sama pindalaga A,kuiderineva kujuga ristlõigete tugevust paindel)

Sama ristlõikepindala A korral on antudvariantidest (Joon. 6.32) kõige tugevam I-profiil(enamus materjalist paikneb nulljoonest kaugel) jakõige nõrgem lapiti ristkülik (materjal paiknebnulljoone lähedal).

I-profiil Ring Ristkülik Ristkülik

A

zWzI A

z

Wz = 0.11WzI

b/h = 0.33

Az

Wz = 0.22WzI

b/h = 3

Az

Wz = 0.07WzI

W ⎯ ristlõike tegeliktugevusmoment, [m3];

WI ⎯ I-profiili tugevusmoment(sama ristlõikepindala A jakonstruktsiooni massi puhul),[m3]

Joonis 6.32

Optimaalne tala: = küllaldane tugevus vähima materjalikuluga ehk kgu pikkusesühtlase tugevusvaruga tala

Ühtlase tugevusvaruga tala iga ristlõike suurim paindepingeväärtus on võimalikult lähedal lubatavale:

( ) ( )( ) [ ]σσ ==xWxMxmax ;

Tala optimeerimise tulemused sõltuvad (Joon. 6.33):• ristlõike kujust ja konstantse mõõtme valikust (W(x) funktsioon);• koormuse rakendusskeemist (M(x) funktsioon).

Konsoolne painutatud tala Optimaalse tala tugevustingimus

lx

y

F

x

M epüür, NmFl

b

h

FxM = ; ( ) ( ) ( )6

2 xhxbxW =

( ) ( )[ ]σFxxhxb

=6

2

; ( lx ≤≤0 )

b = const h = const

F

h(x)

b ( ) [ ]σbFxxh 6

=

F

b(x)

h

( ) [ ]σ2

6h

Fxxb =

Joonis 6.33

Documents

6 Detailide tugevus paindeldata.vk.edu.ee/RDER/RDER31/Tugevusopetus_I/LOENGUD...88 Tugevusanalüüsi alused ⎯ 6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL Priit Põdra, 2004 • varras deformeerub