6 FIZIKA 43 - 60 kinematika

OSNOVNI POJMOVI KINEMATIKE

3. OSNOVNI POJMOVI KINEMATIKE

3.1 O GIBANJU

Dosad su konfiguracije sustavu materijalnih toaka promatrane samo u poetnom i konanom stanju, a ne za vrijeme zbivanja promjene. To je omoguilo definiranje pojma pomak.

Promatranjem materijalne toke tijekom promjene konfiguracije sustava, dolazi se do pojma gibanja materijalne toke.

Definicija kinematike. Prouavanje okolnosti gibanja, bez obzira na tijela koja se gibaju i bez obzira na sile koje uzrokuju gibanja ili koje nastaju gibanjem, predmet je jedne grane teorijske matematike koja se naziva kinematika ili znanost o gibanju.

Radi jednostavnosti i preglednosti izlaganja mehanike, pogodno je upoznati se najprije s nekim zakonitostima kinematike, tako da se njima vlada kad se pristupi prouavanju samih fizikih pojava.

O neprekinutosti gibanja. Putanja. Temeljna je zasada klasine mehanike, dakle mehanike makroskopskog svijeta, da toka, kad se giba iz jednog poloaja u drugi, opisuje... (u odabranom koordinatnom sustavu) crtu, koja moe biti zakrivljena ili prava, ili moe biti sastavljena od dijelova zakrivljenih i pravih crta, koje se meusobno sastaju pod nekim kutovima (KELVIN, TAIT). Ta se crta naziva putanja, koja se, u naelu, moe odrediti s neogranieno velikom tonou. To je pojam tipian za klasinu mehaniku koji pretrpljuje znatna ogranienja kad se primjenjuje na svijet atoma.

U svezi s putanjom materijalne toke pojavljuje se i pojam smjera gibanja.

Smjer gibanja je smjer napredovanja na tangenti na putanju ako je ona krivulja ili na samoj putanji ako je ona pravac.

Naravno da se moe govoriti o nekoj putanji samo s obzirom na odabrani koordinatni sustav, a ne o nekoj apsolutnoj putanji.

3.1.1 Kinematika jednolikoga gibanja po pravcu

Neka se sustav sastoji od jedne materijalne toke A, kojoj se moe odrediti poloaj s obzirom na neko ishodite ili s obzirom na neki koordinatni sustav. Ta materijalna toka mijenja svoj poloaj iz nekoga poetnog stanja Ai u neko konano stanje Af. Dosad se nismo pitali kakvom je putanjom stigla materijalna toka iz poetnog u konano stanje, a niti koje je vrijeme bilo za tu promjenu stanja potrebno. Meutim, sa

43

FIZIKA ODABRANA POGLAVLJA

stajalita klasine fizike, oba su pitanja potpuno opravdana, a i naroito vana za razumijevanje zbivanja u makrokozmosu. Ona dovode do pojma brzine gibanja materijalne toke.

Promotrimo najprije najjednostavniji, a ujedno i najvaniji sluaj: putanja materijalne toke u odabranom koordinatnom sustavu je pravocrtna, a materijalna toka u jednakim vremenskim razmacima prelazi, uvijek u istom smjeru, jednake putove. Takvo se gibanje naziva jednoliko gibanje (GALILEO Galilei, 1638.). Ostavljamo za kasnije pitanje kako se takav koordinatni sustav moe ostvariti.

Opiimo to gibanje najprije s pomou vektora. Poloaj materijalne toke A prema, po volji odabranom, ishoditu O neka bude odreen radijus-vektorom

= rOA (3.1)

Ako je u poetnom poloaju toke A njezin radijus-vektor bio ir , a u konanom

fr , tada je preeni pravocrtni put jednak po iznosu i smjeru vektoru s (sl. 3.1)

if rrs =

Slika 3.1

On je u sluaju jednolikoga gibanja identian s pomakom toke A, od Ai do Af. Oznaimo li sa t vrijeme potrebno da se prijee put s, tada je, po definiciji,

omjer vektora puta i vremena potrebnog da se taj put prevali, jednak v (sl. 3.1)

Imamo:

konst.===ts

trr

v if (3.2)

Brzina materijalne toke je, dakle, vektor kojemu se - pri jednolikom gibanju -pravac nositelj neprestano podudara s pravcem nositeljem puta, a iznos i smjer su mu uvijek isti: brzina jednolikoga gibanja je konstantna (sl. 3.1).

44


Moe se, takoer, rei da je brzina po veliini i smjeru jednaka prijeenom putu u jedinici vremena. To vrijedi i kad gibanje traje manje od jedinice vremena. Kae li se,

naime, da materijalna toka u odreenom trenutku ima brzinu v , to znai da bi neka druga materijalna toka iste i stalne brzine prela u jedinici vremena put.

Jednoliko gibanje materijalne toke po pravcu moe se prikazati analitiki s pomou algebarskih mjera s i v vektora puta i brzine. To se postie tako da se pravac na kojemu se odvija gibanje (ili pravac paralelan s njim) pretvori u os, odabiranjem pozitivnog smjera i izborom ishodita.

Poinje li se mjeriti vrijeme u trenutku kad materijalna toka prolazi ishoditem (to znai da je t=0, za s=0), tada vektorskoj jednadbi (3.2) odgovara analitiki izraz

tsv = ( 3.3)

No, openito, ishodite vremena ne mora se podudarati s trenutkom prolaza materijalne toke kroz ishodite puta. Dovoljno je znati da je materijalna toka prola tokom koordinate s0 u vremenu t0. Njezinom prolazu tokom koordinate s odgovara vrijeme t.

Preeni put u vremenu (t - t0) je (s - s0) pa je, po definiciji brzine,

0

0

ttssv

= ( 3.4)

dakle, brzina je odreena omjerom intervala puta i intervala vremena.

Jednoliko gibanje po pravcu moe se, dakle, izraziti i kao gibanje, kojim materijalna toka u jednakim vremenskim razmacima prelazi, uvijek u istom smjeru, jednake putove.

Interval se oznauje znakom

sss 0 ( 3.5) stt 0 ( 3.6)

pa se moemo (3.4) pisati i u obliku

tsv

= ( 3.7)

45


To vrijedi, naravno, i za vektorski oblik

tsv

=

(3.8)

Definicijska jednadba za brzinu pokazuje da je dimenzija brzine

1LTdim =v (3.9) SI-jedinica brzine je metar u sekundi (m s-1).

Jednadba (3.4), rijeena po s, omoguuje da se u svakom trenutku dozna gdje je na osi materijalna toka, ako je poznata brzina v njezina gibanja i trenuci t, t0 njezina prolaza kroz toke s, s0.. Naime,

( )00 ttvss += ( 3.10) Pie li se jednadba u obliku

( )ottvss = 0 ( 3.11) moe se rei: jednolikim gibanjem po pravcu prijeefni interval puta jednak je produktu brzine i intervala vremena.

Valja naglasiti da sve veliine u jednadbama (3.3) i (3.4) i u izrazima izvedenim iz tih jednadbi mogu biti pozitivne ili negativne.

Primjer 3.1

Rekord tranja na 100 m je blizu 10 s, to znai da je srednja brzina trkaa 1ms 10 v

Primjer 3.2.

Profesionalni biciklisti voze duge pruge srednjom brzinom oko 40 kmh-1 ili

13

4ms 1,11

103,6104 =

smv

Primjer 3.3.

Automobil koji vozi brzinom od 100 kmh-1 prijee u sekundi put od

-13

5ms8,27

106310

s m = ,s

46


Primjer 3.4

U obinim prilikama zvuk se iri brzinom 340 m s-1 u zraku, a u vodi brzinom 1425 m s-1.

Primjer 3.5

Svjetlost se iri u vakuumu najveom, uope moguom, brzinom

3108 m s-1 ili 0,3 Gms-1

Grafiki prikaz jednolikoga gibanja po pravcu

Prikaimo zakone jednolikoga gibanja s pomou metoda analitike geometrije.

Pretpostavljajui da je vrijeme neovisna varijabla, moe se algebarska mjera puta nanijeti na os ordinata, a vrijeme na os apscisa. Toke (s,t) predouju ovisnost puta o vremenu.

Slika 3.2

Ogranii li se na sluaj poinjanja brojenja vremena kad materijalna toka prolazi ishoditem, radi se o prikazivanju jednadbe (3.3)

vts = (3.12) gdje su s i v algebarske mjere puta i brzine uzete s pomou osi Os, na kojoj se zbiva gibanje ili na osi paralelnoj s njom. Jednadba (3.13) predouje pramen pravaca kroz ishodite koordinatnog sustava. Dva takva pravca p1 i p2 nacrtana su na slici 3.2.

Promotrimo gibanje prikazano pravcem p1 Vidi se da jednakim intervalima vremena t2-t1, t3 - t2,. . ., odgovaraju jednaki intervali putova s2 s1, s3 - s2, ... Koeficijent smjera pravca predouje algebarsku mjeru brzine jednolikoga gibanja, budui da vrijedi

47


konst23

23

12

12 =====

tan.... vttss

ttss ( 3.13)

Pravac p1 prikazuje gibanje u pozitivnom smjeru osi, jer pozitivnim vremenskim intervalima odgovaraju pozitivni putovi na osi Os, pa je algebarska mjera v brzine pozitivna (v > 0). Pravac p2 prikazuje gibanje u protivnom smjeru od onoga prikazanog pravcem p1: pozitivnim vremenskim intervalima odgovaraju negativni putovi, tana < 0, v < 0.

Ovisnost brzine o vremenu, zbog

konst.=v ( 3.14) za jednoliko gibanje, prikazana je u v,t dijagramu porodicom pravaca paralelnih s osi Ot. Na slici 3.3. prikazana su dva takva pravca, p1 i p2. Pravac p1 odnosi se na brzinu gibanja v1 u pozitivnom smjeru, a pravac p2 na brzinu gibanja v2 u negativnom smjeru osi Os.

Slika 3.3

Geometrijska interpretacija puta u v,t - dijagramu bit e vrlo korisna kad se bude prouavala kinematika nejednolikoga gibanja. Zbog (3.14) i prema slici 3.3. vidi se da je algebarska mjera puta prijeenog u intervalu vremena t2 t1 brzinom v1 po veliini i predznaku jednaka (sjenanoj) povrini pravokutnika sa stranicama t2- t1 i v1 iznad osi Ot na slici 3.3. Ona je u tom sluaju vea od nule, dakle put je preen u pozitivnom smjeru osi Os (sl. 3.2). U intervalu vremena t4 - t3 materijalna toka brzine v2 prevalila je put (t4 - t3)v2, jednak sjenanoj povrini ispod osi Ot na slici 3.3, uinjen u negativnom smjeru.

3.1.2 Kinematika nejednolikog gibanja po pravcu

Gibanje materijalne toke, kojim emo se u ovom odjeljku baviti, bit e ovo: materijalna toka, u odabranom koordinatnom sustavu, giba se po pravcu, no njezina brzina mijenja iznos i smjer (na pravcu). To, neto sloenije gibanje od jednolikog, omoguit e da se definira i matematiki pie brzina materijalne toke u danom trenutku, iako se ta brzina vremenom neprestano mijenja (sl. 3.4).

48


Slika 3.4

Budui da se brzina u svakom trenutku mijenja, to je

=

vttrr

01

01

srednja brzina u intervalu vremena tl -t0. Slino vrijedi i za ostale intervale vremena, to se moe pisati

= v

tr

Srednja brzina v pribliava se to vie brzini v materijalne toke u trenutku t to je interval vremena manji, dakle kad on tei k nuli. Kvocijent t tr / prelazi tada u vektorsku derivaciju radijus-vektora po vremenu, jednaku brzini v u trenutku t:

trv

dd

=

Diferencijal radijus-vektora, po definiciji jednak

tvr dd =

49


podudara se s diferencijalom puta , tako da je sd

== vdtsd

dtrd

Dakle,

brzina materijalne toke je vektorska derivacija puta po vremenu.

U ovom, posebnom, sluaju gibanja materijalne toke po pravcu zgodno je uvesti algebarske mjere brzine v i puta s , pretvarajui pravocrtnu putanju, ili s njom paralelni pravac, u os (sl. 3.5) s pomou koje se uzimaju algebarske mjere bilo puta ili brzine. Tada se moe pisati

tsv

dd=

Slika 3.5

Algebarska mjera brzine materijalne toke je prva derivacija algebarske mjere puta po vremenu.

Poznajemo li se ovisnost s(t) puta materijalne toke o vremenu (sl. 3.6) dakle funkcija s(t), prva derivacija te funkcije po vremenu jednaka je brzini materijalne toke u danom trenutku. Koeficijent smjera tangente te krivulje u nekoj toki, apscise t, jednak je, po veliini i predznaku, brzini materijalne toke u trenutku t (sl. 3.6)

50


tan=v Akceleracija nejednolikoga gibanja materijalne toke po pravcu. Kod promatranoga gibanja materijalne toke po pravcu vektor brzine lei uvijek na istom pravcu nositelju, no njegov se iznos i smjer mogu mijenjati.

Slika 3.6

Pojam - brzina promjene brzine ima temeljnu vanost u mehanici i naziva se ubrzanjem ili akceleracijom. Po definiciji:

akceleracija materijalne toke je vektor a jednak vektorskoj derivaciji brzine v po vremenu t.

Dakle,

tva

dd

=

Diferencijal brzine je

tav dd =

Akceleracija i promjena brzine vd imaju uvijek isti smjer. Budui da je brzina materijalne toke vektorska prva derivacija radijus-vektora po vremenu, odnosno vektorska prva derivacija puta po vremenu, akceleracija je druga vektorska derivacija puta po vremenu

2

2

tra

dd

=

51


U naem sluaju brzina je uvijek na istom pravcu nositelju jer se gibanje odvija po pravcu (sl. 3.7.a i b).

Slika 3.7

Pretvori li se pravocrtna putanju materijalne toke u os, za algebarske mjere od v i a je

,tsv

dd=

tva

dd=

pa je

2tsa

dd2=

Iz definicijske jednadbe akceleracije dobiva se dimenzija akceleracije

21

LTT

LT ==adim

Jedinica SI za akceleraciju je metar u sekundi na kvadrat (m s-2).

52


Poznaje li se funkcionalna veza, v(t), izmeu brzine materijalne toke po pravcu i vremenu, vidi se da je algebarska mjera akceleracije, po veliini i predznaku, koeficijent smjera tangente u toki ordinate t na krivulju v(t) (sl. 3.8)

tan=a

Slika 3.8

Poznavanje funkcije v(t) omoguuje nai u intervalu vremena t2 - t1 preeni put

12 sss = Naime, diferencijal puta je

tvs dd = pa je put prijeeni od vremena t1 do vremena t2 jednak povrini koju omeuje krivulja v(t), ordinata v1 i v2 i apscisa t1 i t2 (sl. 3.9). Dakle,

( )== 21

12

t

t

ttvsss d

Slika 3.9

53


3.1.3 Jednoliko ubrzano gibanje materijalne toke

Giba li se u danom koordinatnom sustavu materijalna toka po pravcu uz konstantnu akceleraciju, njezino gibanje se naziva jednoliko ubrzanim gibanjem. Ono je, dakle, odreeno uvjetima

0

dd

==

a

atv konstant.;

v i a na istom pravcu. Ili, kako veli Galilei, koji je prvi takvo gibanje otkrio i prouavao, ''Kae se za gibanje da jejednoliko ubrzano ako njegova brzina dobiva u istom smjeru jednaka poveanja u jednakim vremenima''.

U sluaju jednoliko ubrzanoga gibanja pretvorit emo pravac paralelan s onim na kojem se gibanje provodi u os Os pomou koje emo uzeti algebarske mjere puta, brzine i akceleracije. Moe se tada za akceleraciju pisati

.22

konst===dt

sddtdva (3.15)

Kako se vidi a i dv su istog predznaka. Algebarska mjera a akceleracije moe imati isti ili suprotan predznak od algebarske mjere brzine v. Ako su predznaci od a i v isti, akceleracija ubrzava materijalnu toku. Ona se usporava u protivnom sluaju. (Tada se a katkad naziva retardacija ili usporavanje.)

Slika 3.10

Jednadba (3.15) je diferencijalna jednadba, koja integracijom daje ovisnost (algebarske mjere, to vie neemo naglaavati), brzine o vremenu:

= tav d Uz poetne uvjete: brzina materijalne toke je v0 u asu t = 0, pa je

Cv += 00

54


dakle

0vatv += ( 3.16)

Primjer 3.6

Materijalna toka (automobil) postigla je, u danom inercijskom sustavu, polazei iz stanja mirovanja, nakon 10 s, brzinu od 100 kmh-1. Izraunajmo joj akceleraciju, uz pretpostavku da je gibanje bilo jednoliko ubrzano. Imamo

13

32ms 28

s103,6m10101

=v

pa je

s10ms28 1==

tva

U v, t-dijagramu (sl. 3.10) jednadba (3.16) predouje pravac koji sijee os brzina u ordinati v0, a ima koeficijent smjera jednak akceleraciji

tan=a Diferencijal puta ds, preen brzinom v , danom jednadbom (3.16), dobiva se ako

se ta jednadba pomnoimo sa dt:

tvttatv ddd += 0 to integracijom daje

+= tvttas dd 0 Ctvats ++= 022

1

Uz poetni uvjet: u trenutku t = 0, s = 0 je C = 0, dakle,

20 2

1 attvs += (3.17)

To je jednadba parabole prikazane na slici 3.11 (krivulja I). Na istoj slici (krivulja II) prikazana je i parabola

2

21 ats = ( 3.18)

55


koja odgovara uvjetu v0 = 0, to jest materijalna toka je u toki O bila u stanju mirovanja.

Slika 3.11

Primjer 3.7.

Materijalna toka ima stalnu akceleraciju od 2,78 m s-1. Deset sekundi nakon to je krenula iz stanja mirovanja prela je put

m 1392

10ms78,22

2222===

sats

(To postiu snani automobili.)

Koeficijent smjera tangente u bilo kojoj toki (s ,t) parabole jednak je brzini. Jednadbe (3.16), (3.17) i (3.18) omoguuju nai vezu izmeu brzine materijalne toke, akceleracije, puta i poetne brzine. Tada je, naime, kvadrirajui (3.16)

++=

22

2

02

02 attvavv

to zbog (3.17) prelazi u

asvv 2202 +=

ili

asvv o 22 += ( 3.19)

Ako je poetna brzina v0 = 0, dobiva se

asv 2= ( 3.20) Jednadbe (3.19) i (3.20) osobito su pogodne pri primjeni zakona ouvanja

energije.

56


Primjer 3.8

Materijalna toka giba se jednoliko ubrzano akceleracijom od 2,78 ms-2. Polazei iz stanja mirovanja, postii e brzinu od

27,8 m s-1 = 100 km h-1,

nakon prevaljenih

m 139ms 2,782

sm 8,272 2-

-222== a

vs

3.1.4 Openito gibanje materijalne toke

Materijalna se toka, openito, giba po nekoj putanji koja u zadanom koordinatnom sustavu moe biti ravna ili prostorna krivulja. Vektorske definicije brzine v i akceleracije a zadravaju svoje znaenje pa je

dtrv = d

2

2

d

ddd

)d(

t

rdtv

tvvv

a

==+=

Slika 3.12

Slika 3.13

Slika 3.12. pokazuje vektore v i vv + brzine materijalne toke A u trenucima t i t + dt. Budui da su ti vektori slobodni vektori, moe ih se konstruirati iz zajednikog ishodita (hodograf), to jasno pokazuje prirast brzine vd , koji podijeljen sa dt daje

57


akceleraciju a (sl. 3.13). Promjena brzine vd i akceleracije ad imaju isti smjer i lee na istom pravcu nositelju.

U sluaju prikazanom na slici 3.13 iznos brzine vv + vei je od iznosa brzine v . To odgovara sluaju koji se oekuje kad se govori o ubrzanju u svakidanjem smislu rijei. Meutim, u fizici se govori o ubrzanju ili akceleraciji uvijek kad dolazi do promjene vektora brzine, bez obzira na to je li se iznos brzine poveao (sl. 3.14.a), smanjio (sl. 3.14.b) ili je ostao nepromijenjen (sl. 3.14.c) pa je materijalna toka samo promijenila smjer gibanja. S obzirom na smjer brzine materijalne toke, moe se govoriti o akceleraciji u smjeru brzine (ubrzanje u obinom smislu rijei), u protivnom smjeru od brzine (usporavanje u obinom smislu rijei ili retardacija) ili poprijeko na smjer brzine (skretanje u obinom smislu rijei).

Slika 3.14

Glede duine puta, slika 3.14.d pokazuje da se r i s u openitom sluaju ne podudaraju. Tek su algebarske mjere diferencijala dr i ds meusobno jednake

sr dd = S tog razloga, za traenje prijeenog puta s treba upotrijebiti metode rektifikacije krivulja, poznate iz diferencijalne geometrije, o kojima se ovdje nee govoriti.

O relativnosti brzina

Neka se sustav, koji promatramo, sastoji od materijalnih toaka A, B,..., koje imaju u svakom trenutku brzine Av , Bv , ...

Pretpostavimo da su te brzine stalne za vrijeme promatranja sustava. Tada su brzine pomaci materijalnih toaka, pa imamo dijagram smjetaja prikazan na slici 3.15. Dijagram brzina dobiva se ako se ishodita svih vektora brzina dovedu u zajedniko, po volji odabrano, ishodite O (sl. 3.16).

58


Relativna brzina materijalne toke B prema toki A jednaka je relativnom pomaku u jedinici vremena ili, (sl. 3.16.)

= BA vvv AB

Slika 3.15

Slika 3.16

Nisu li brzine materijalnih toaka sustava stalne, za trajanje jedinice vremena, promatrani sustav moe se zamijeniti nekim drugim sustavom s istim smjetajem, u danom trenutku, kao to je i smjetaj prvog sustava a s istim brzinama u tom trenutku, no koje ostaju nepromijenjene za trajanje jedinice vremena. Dobiva se tada isti rezultat kao prije.

Budui da je apsolutni pomak materijalnih toaka nekog sustava nepoznat, to su i apsolutne brzine njegovih materijalnih toaka nepoznate. Sve to o brzinama moemo doznati - to su relativne brzine jedne materijalne toke prema drugoj. Apsolutna brzina ima ba tako malo smisla kao to ga ima apsolutni pomak.

Upoznajmo se s pojmom relativnih brzina na primjeru 3.9.

Primjer 3.9

Dva automobila A i B (materijalne toke) idu ravnom cestom od juga prema sjeveru. Automobil A ima brzinu 50 kmh-1, a B 80 kmh-1. Relativna brzina automobila B prema A je vektor

111 kmh kmh kmh == 305080AB vv

i usmjeren od juga prema sjeveru.

Drugi automobil skrene na ravnu cestu koja ide prema istoku. Iznosi brzina ostali su isti. Kolika je sada relativna brzina automobila B prema automobilu A?

Vektori i tvore sada meusobno kut od n/2. Razlika Av

Bv

= BAAB vvv

59


jest vektor koji je hipotenuza trokuta s katetama Av i Bv , usmjeren prema (priblino) jugoistoku, iznosa

1212212 kmh 3,94)(kmh80)(kmh50 +=ABv

Napomena. Za rjeavanje trokuta, u openitom sluaju, sluimo se kosinusovim poukom, koji za trokut oznaen na slici 3.17. glasi:

cos2222 bccba += cos2222 accab += cos2222 abbac +=

Slika 3.17

60

3. OSNOVNI POJMOVI KINEMATIKE 3.1 O GIBANJU 3.1.1 Kinematika jednolikoga gibanja po pravcu

3.1.2 Kinematika nejednolikog gibanja po pravcu 3.1.3 Jednoliko ubrzano gibanje materijalne toke 3.1.4 Openito gibanje materijalne toke

Documents

6 FIZIKA 43 - 60 kinematika