1

CAPITOLO 6 GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO Vettori nello spazio In Fisica, un vettore può essere definito come una grandezza avente direzione, intensità e verso. I vettori sono detti liberi se il punto di applicazione non è specificato: in questo senso consideriamo equivalenti i vettori che hanno stessa intensità (lunghezza), verso (orientazione) e che stanno su rette parallele (hanno, cioè, la stessa direzione). Per i nostri scopi descriveremo i vettori in termini delle loro componenti lungo direzioni perpendicolari, rappresentate da Ox,Oy,Oz . La rappresentazione del vettore

può quindi essere fatta utilizzando la notazione matriciale xyz

!

"

###

$

%

&&&, o

utilizzando i versori !i ,!j ,!k cioè le direzioni unitarie rappresentative

degli assi cartesiani, mediante la cosiddetta combinazione lineare x!i + y!j + z!k .

Intensità e direzione di un vettore La direzione di un vettore in 3 dimensioni è più difficile da descrivere. Se

€

α, β, γ sono gli angoli che il vettore

€

xyz

"

#

$ $ $

%

&

' ' ' forma con gli assi coordinati,

allora

2

cosα = x

x2 + y2 + z2

cosβ = y

x2 + y2 + z2

cosγ = z

x2 + y2 + z2

.

Il prodotto scalare Consideriamo i vettori !v1 = v1x ,v1 y( ) e !v2 = v2x ,v2 y( ) . Se li pensiamo come matrici 1 x 2, li possiamo moltiplicare con la nota regola

!v1 ⋅!v2 = v1x v1 y( ) v2x

v2 y

"

#

$$

%

&

''= v1xv2x + v1 yv2 y . Il risultato ottenuto si chiama

prodotto scalare. E’ opportuno osservare che questo “prodotto” di vettori origina un numero e non un altro vettore, contrariamente a quanto accade nel caso della somma di vettori, o della moltiplicazione di un vettore per un numero. Cerchiamo di interpretare geometricamente e fisicamente questo concetto.

Calcoliamo il modulo del vettore !v2 −

!v1applicando il teorema di Carnot: !v2 −!v12=!v22+!v12−2!v2!v1 cosα .

Sostituendo ai vettori la loro espressione in componenti (rispetto ad un sistema di riferimento ortogonale, con l’origine coincidente con il punto di applicazione comune ai due vettori) !v1 = v1x ,v1 y( ) e !v2 = v2x ,v2 y( ) , otteniamo

−2 v1xv2x + v1 yv2 y( ) = −2 !v1!v2 cosα .

Ricordando la definizione di prodotto scalare si ottiene la seguente relazione:

3

!v1 ⋅!v2 = v1xv2x + v1 yv2 y( ) = !v1

!v2 cosα . Leggendo tra le righe dell’ultima relazione trovata, possiamo notare una sorta di “duplice definizione” del prodotto scalare: una basata sulle componenti del vettore (legata quindi ad una particolare scelta del sistema di riferimento), l’altra basata su proprietà indipendenti dalla scelta del sistema di riferimento, quali la lunghezza dei vettori e l’angolo (convesso) da essi formato. E’ proprio questa seconda definizione di prodotto scalare, in virtù della sua indipendenza dalla particolare scelta del sistema di riferimento, quella più utilizzata. L’applicazione più nota del prodotto scalare si trova nel concetto fisico di lavoro:

W =!F ⋅ Δ!s .

Occupiamoci adesso dell’applicazione del prodotto scalare per la risoluzione di due problemi di geometria analitica: la determinazione della condizione di perpendicolarità tra due rette del piano, e la deduzione dell’equazione cartesiana di un piano nello spazio. Siano r : y = mx e s : y = !m x due rette perpendicolari tra loro passanti per l’origine. Le direzioni delle rette date sono comandate dai vettori !vr = 1,m( ) e !vs = 1, !m( ) .

Le rette sono perpendicolari, di conseguenza anche i vettori rappresentativi delle direzioni lo sono, quindi il loro prodotto scalare dovrà essere nullo:

4

0 = !vr ⋅!vs = 1 m( ) 1

"m

#

$%

&

'(=1+m "m ⇒ m "m = −1.

Piani nello spazio Consideriamo un punto nello spazio P0 (x0; y0;z0 ) ed una direzione !v = (a,b,c ) . Vogliamo determinare il luogo dei punti dello spazio, P (x; y;z) , tali che il vettore P − P0 è perpendicolare al vettore !v = (a,b,c ) . L’equazione (vettoriale) che ci permette di risolvere il problema, scaturisce dal fatto che il prodotto scalare dei vettori dati è nullo:

(P − P0 ) ⋅!v = 0 .

Quindi,

0 = x − x0 y− y0 z − z0( )abc

"

#

$$$

%

&

'''= a(x − x0 )+ b( y− y0 )+ c(z − z0 ) .

Sviluppando i prodotti otteniamo la forma con cui si esprime l’equazione cartesiana di un piano:

ax + by+ cz+ d = 0 .

Il prodotto vettoriale Confrontiamo l’equazione del piano a(x − x0 )+ b( y− y0 )+ c(z − z0 ) = 0 , ottenuta come luogo geometrico di punti dello spazio perpendicolari a una direzione !v (a,b,c, ) , con quella cartesiana, diretta conseguenza della sua espressione parametrica, (vedi capitolo “vettori del piano e dello spazio”) (x − x0 )( y1z2 − y2z1)+ ( y− y0 ) z1x2 − x1z2( )+ (z − z0 ) x1 y2 − y1x2( ) = 0 . Se interpretiamo anche questa equazione come prodotto scalare, uguagliando tra loro i coefficienti corrispondenti a = ( y1z2 − y2z1);b = z1x2 − x1z2( );c = x1 y2 − y1x2( ) , possiamo giungere alla seguente conclusione.

5

Il vettore y1z2 − y2z1,z1x2 − x1z2,x1 y2 − y1x2( ) è perpendicolare al piano,

individuato appunto dai vettori !v = x1, y1,z1( ) e !w = x2, y2,z2( ) . Diamo adesso un’interessante interpretazione geometrica del modulo del prodotto vettoriale. Calcoliamo l’area del parallelogramma formato dai due vettori, nel caso in cui questi non sono paralleli.

Sia A = vw sinθ l’espressione dell’area del parallelogramma, e ricordiamo

che sinθ = 1− cos2θ . Dalla definizione di prodotto scalare,cosθ =!v ⋅ !wvw

,

segue A = vw sinθ = vw 1−!v ⋅ !wvw

#

$%

&

'(

2

= v2w2 − !v ⋅ !w( )2.

Sostituendo ai vettori ed ai loro moduli le corrispondenti espressioni in componenti, otteniamo per l’area l’espressione

A = v2w2 − !v ⋅ !w( )2= x1

2 + y12 + z1

2( ) x22 + y22 + z22( )− x1x2 + y1 y2 + z1z2( )2

. Svolgendo

con un po’ di pazienza i calcoli sotto la radice, otteniamo il seguente risultato:

A = y1z2 − y2z1( )2+ z1x2 − x1z2( )

2+ x1 y2 − y1x2( )

2= y1z2 − y2z1,z1x2 − x1z2,x1 y2 − y1x2( ) .

Abbiamo appena scoperto il significato geometrico del modulo del vettore y1z2 − y2z1,z1x2 − x1z2,x1 y2 − y1x2( ) : è l’area del parallelogramma individuato dai

vettori che lo definiscono! Questo fatto suggerisce di attribuire la dovuta importanza a questo vettore.

Definizione. Sono dati i vettori !v = x1, y1,z1( ) e !w = x2, y2,z2( ) . Si definisce prodotto vettoriale di !v e !w , il vettore !

p = !v ∧ !w .

6

Il modulo del prodotto vettoriale è p =|vw sinθ|, dove θ è l’angolo convesso formato dai vettori !v e !w , avente direzione perpendicolare al piano formato dai vettori in questione, e verso determinato dalla regola della mano destra. La regola introdotta per la determinazione del verso è dovuta al fatto che, in linea di principio, anche il vettore − y1z2 + y2z1,−z1x2 + x1z2,−x1 y2 + y1x2( ) pur avendo verso opposto, è perpendicolare al piano, ed il suo modulo è uguale all’area del parallelogramma formato dai vettori non paralleli. Stabilire una convenzione permette quindi di definire univocamente il prodotto vettoriale. Quando i vettori sono ambientati in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, è possibile definire il prodotto vettoriale mediante la sua applicazione ai versori che dà origine alle seguenti relazioni.

!i ∧!j =!k ;!j ∧!k =!i ;!k ∧!i =!j

!i ∧!i =!0;!j ∧!j =!0;!k ∧!k =!0

Scriviamo adesso i vettori nella forma !v = a!i + b!j + c!k ; !w = l

!i +m!j + n!k .

Dalle relazioni sopra si ottiene !p = !v ∧ !w = bn−mc( )

!i + lc − an( )

!j + am− bl( )

!k .

Spesso si rappresenta il prodotto vettoriale come il determinante della matrice:

!p =

!i!j!k

a b cl m n

!

"

####

$

%

&&&&

.

Vediamo adesso un’applicazione “non convenzionale” dell’equazione cartesiana di un piano nello spazio. Ci proponiamo di rappresentare tutti i

7

possibili valori che possono assumere gli angoli di un triangolo. In questo modo potremo rappresentare la famiglia dei triangoli (a meno di similitudini), e renderci conto del fatto che la famiglia dei triangoli ottusangoli è “più numerosa” di quella dei triangoli acutangoli. La nozione geometrica di triangolo viene tradotta in equazione dalla proprietà secondo cui la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°:

x + y+ z =180 , dove x, y, z, rappresentano gli angoli di un triangolo. Ovviamente occorre considerare i “vincoli” sugli angoli imposti dalla natura geometrica del problema:

x + y+ z =180

0 < x <180, 0 < y <180, 0 < z <180

I triangoli acutangoli, dovendo necessariamente avere tutti gli angoli di ampiezza minore di 90°, sono rappresentati dai punti del piano contenuti all’interno della regione delimitata dal triangolo blu. Nelle altre regioni sono rappresentati i triangoli ottusangoli. Segue da quanto appena osservato che la famiglia dei triangoli ottusangoli è tre volte quella dei triangoli acutangoli! Mutua posizione di piani nello spazio Dalle nozioni analitiche di piano e retta nello spazio basate sul concetto di vettore, possiamo dedurre con facilità le condizioni di parallelismo e perpendicolarità. Vediamo come.

8

Condizione di parallelismo tra piani Due piani di equazioni ax + by+ cz+ d = 0 e !a x + !b y+ !c z+ !d = 0 sono paralleli se (e solo se) tali sono i vettori !v = (a,b,c ) e !!v = ( !a , !b , !c ) , ovvero se uno dei due vettori è multiplo scalare dell’altro: !v = t!!v ⇒ (a,b,c ) = (t !a ,t !b ,t !c ) . Quindi:

a!a=b!b=c!c

=d!dcoincidenti

≠d!d

differenti

#

$%%

&%%

.

Condizione di perpendicolarità tra piani Due piani di equazioni ax + by+ cz+ d = 0 e !a x + !b y+ !c z+ !d = 0 sono perpendicolari se (e solo se) tali sono i vettori

€

v = (a,b,c) , ovvero se il loro prodotto scalare è nullo:

a !a + b !b + c !c = 0 . Esercizi

1. Determinare per quali valori di k i piani p : x −2 y+ kz −1= 0 e !p : kx +2 y− z+1− k = 0 sono:

a) paralleli; b) perpendicolari.

2. Scrivere le equazioni dei piani passanti per le seguenti terne di punti, sia con il “metodo algebrico” (risolvendo cioè il sistema di tre equazioni in tre incognite) che con quello “geometrico” (prodotto vettoriale): a) A 0,0,0( ),B 1,2,3( ),C 3,2,1( ) ;

b) A 1,0,1( ),B 0,1,0( ),C 0,0,1( ) . Rette nello spazio

9

Sono dati i punti P1,P2dello spazio, come rappresentato in figura. Vogliamo determinare un’espressione vettoriale della retta r passante per questi due punti. Un generico punto P x, y,z( )appartiene a tale retta se

risulta OP! "!

=OP1! "!!

+ t OP2! "!!

−OP1! "!!

( ) per un certo t ∈ R . Fissata la direzione !v x2 − x1, y2 − y1,z2 − z1( ) := l,m,n( ) , l’equazione vettoriale della retta r assume

quindi la forma OP! "!

=OP1! "!!

+ t"v , con t ∈ R . Da questa equazione scritta per

componenti x − x1 = tl

y− y1 = tm

z − z1 = tn

"

#$$

%$$

, si ottiene la cosiddetta equazione della retta in

forma parametrica: r :x − x0 = tl

y− y0 = tm

z − z0 = tn

"

#$$

%$$

, passante per il punto P0 x0, y0,z0( ) e

parallela al vettore direzione !v = l,m,n( ) . Dall’equazione parametrica della retta si giunge a quella cartesiana, ottenuta

sotto forma di intersezione tra piani: r :

x − x0l

=y− y0m

x − x0l

=z − z0n

"

#

$$

%

$$

.

Esercizio. Determinare l’equazione della retta passante per i punti P (−1;2;2) e Q (3;−1;2) . • Scrivendo l’equazione della retta in forma parametrica osserviamo che

x +1= lty−2 = mtz −2 = nt

"

#$

%$

⇒3+1= lt−1−2 = mt2−2 = nt

"

#$

%$

⇒4l=−3m=0n⇒

l = 4m = −3n = 0

. L’equazione della

retta cercata è quindi

€

x +1= 4ty − 2 = −3tz − 2 = 0t

#

$ %

& %

. Si tratta di una retta contenuta nel

piano di equazione z = 2 :

10

Condizione di parallelismo tra rette Due rette di direzioni !v (l,m,n); !w( !l , !m , !n ) sono parallele se:

l!l=m!m=n!n .

In particolare, se tali rette hanno anche un punto in comune, queste sono coincidenti. Condizione di perpendicolarità tra rette Due rette di direzioni !v (l,m,n); !w( !l , !m , !n ) sono perpendicolari se:

l !l +m !m + n !n = 0 . Condizione di perpendicolarità retta-piano Un piano di equazione ax + by+ cz+ d = 0 ed una retta di direzione !v (l,m,n) sono perpendicolari se:

al=bm=cn .

Condizione di parallelismo retta-piano Un piano di equazione ax + by+ cz+ d = 0 ed una retta di direzione !v (l,m,n) sono paralleli se:

al + bm+ cn = 0 .

11

Distanza tra due piani paralleli distinti Sono dati i piani di equazioni p : ax + by+ cz+ d = 0 e !p : ax + by+ cz+ !d = 0 . Si

dimostri che la distanza tra essi è d − "d

a2 + b2 + c2 . Si considera un punto

qualsiasi sul piano ax + by+ cz+ d = 0 , per esempio P 0;0;−d c( ) , e si scrive l’equazione parametrica della retta n passante per P e perpendicolare al

piano: n :x = aty = bt

z = − dc+ ct

"

#

$$$

%

$$$

. Determiniamo il punto Q intersezione tra la retta n

ed il piano

a2t + b2t + c2t − d + "d = 0⇒ t = d − "da2 + b2 + c2

⇒

Q a d − "da2 + b2 + c2

;b d − "da2 + b2 + c2

;c d − "da2 + b2 + c2

−dc

$

%&

'

()⇒

PQ =d − "d

a2 + b2 + c2

,quindi

dist( p, !p ) =d − !d

a2 + b2 + c2.

La distanza punto-piano Sono dati il punto P0 x0, y0,z0( ) ed il piano p : ax + by+ cz+ d = 0 . Sia

n :

x = x0 + at

y = y0 + bt

z = z0 + ct

!

"##

$##

l’equazione parametrica della retta per P0 ⊥ p . Sia

Q = n∩ p : la distanza cercata è uguale alla lunghezza del segmento P0Q .

12

Q = n∩ p⇒ t = −ax0 + by0 + cz0 + da2 + b2 + c2

, da cui segue

P0Q = a2t2 + b2t2 + c2t2 =ax0 + by0 + cz0 + d

a2 + b2 + c2, allora

dist(P0, p) =ax0 + by0 + cz0 + d

a2 + b2 + c2.

Esercizio Siano !v = 3

!i +!j −1!k ; !w = 2

!i −!k le direzioni di due rette incidenti nel

punto di coordinate P0 = x0, y0,z0( ) . Vogliamo scrivere l’equazione del piano che le contiene entrambe. Per questo scopo ricordiamo che i coefficienti dei termini dell’equazione di un piano nello spazio, sono i componenti di una direzione perpendicolare al piano stesso. Di conseguenza, il prodotto vettoriale delle direzioni !v = 3

!i +!j −1!k ; !w = 2

!i −!k permette di

determinare i coefficienti del piano. Dalla

!i!j!k

3 1 −12 0 −1

"

#

$$$$

%

&

''''

= −!i +!j −2!k segue

quindi a = −1 b =1 c = −2 . Il piano che le contiene entrambe ha equazione − x − x0( )+ y− y0( )−2 z − z0( ) = 0 . Esercizio Si calcolino la superficie totale ed il volume del tetraedro i cui vertici sono l’origine dello spazio, e i punti intersezione del piano di equazione x + y+ z+1= 0 . Sistemi lineari in tre incognite e loro interpretazione geometrica In generale, lo studio della mutua posizione di rette e piani nello spazio è condotto attraverso quello di un sistema di equazioni lineari in tre incognite. La teoria dei sistemi lineari ha avuto uno sviluppo autonomo e costituisce il fondamento di quella parte della Matematica che si chiama Algebra lineare. Noi svilupperemo questa parte evidenziandone i risultati principali esclusivamente alla luce della loro interpretazione geometrica.

13

Esempio 1 Si dica se i due piani di equazioni 2x − y+ z −3= 0 e 4x −2 y+ z = 0 sono incidenti. In caso affermativo si scriva l’equazione della retta intersezione. Svolgimento

Poiché 24=−1−2

≠11

i due piani non sono paralleli, quindi s’intersecano in una

retta. La ricerca dell’equazione della retta intersezione, porta al sistema 2x − y+ z −3= 04x −2 y+ z = 0

"#$

%$. Osserviamo che l’equazione del primo dei due piani

può essere scritta nella forma 4x −2 y = −2z+6 . Se la confrontiamo con la seconda 4x −2 y = −z , otteniamo l’equazione −2z+6 = −z⇒ z = 6 : la retta intersezione dei due piani appartiene al piano di equazione z = 6 . Ponendo ad esempio y = t e sostituendo nel sistema otteniamo:

2x + z = t +34x + z = 2ty = t

!

"#

$#

⇒

2x + z = t2x = t −3y = t

!

"#

$#

⇒

z = 6

x = t2−32

y = t

!

"

##

$

##

. Si tratta, a ben vedere, di una

retta parallela al piano x-y passante dal punto 0;3;6( ) , ottenuto assegnando un valore arbitrario al parametro t nell’equazione parametrica della retta

x = t2−32

y = tz = 6

"

#

$$$

%

$$$

, vedi figura sotto.

Esempio 2

14

Risolvere il seguente sistema di equazioni:x + y− z −2 = 0x − y− z −2 = 0x − z −3= 0

"

#$$

%$$

.

• Osserviamo che, ad esempio, i primi due piani s’intersecano nella

retta x = t +2y = 0z = t

!

"#

$#

, che non appartiene al terzo piano, in quanto la

condizione di appartenenza del generico punto, t +2− t −3= 0 , non è mai verificata. Il sistema non ha quindi soluzione, come si vede chiaramente dalla rappresentazione grafica dei piani corrispondenti alle equazioni del sistema. Quindi, il sistema non ammette soluzione.

Esempio 3 Si studino al variare del parametro k le mutue posizioni dei piani kx + y+ z = 3x + y+ kz = 2

!"#

$#, e si dica se esistono valori del parametro per i quali i piani

sono perpendicolari.

Vediamo se possono essere paralleli: k1=11=1k⇔ k =1⇒

x + y+ z = 3x + y+ z = 2

#$%

&%.

15

Per quali valori del parametro sono perpendicolari?

k ⋅1+1⋅1+1⋅ k = 0⇔ k = −12⇒

−12x + y+ z = 3

x + y− 12z = 2

%

&''

(''

.

In questo caso, l’equazione della retta intersezione in forma parametrica si scrive ponendo, ad esempio, y = t .

x = 2t +2z −6y = t

z = 2x +2t −4

"

#$

%$

⇒

x = 2t +2z −6y = t

z = 2(2t +2z −6)+2t −4

"

#$

%$

⇒

x = −2t +143

y = t

z = −2t +163

"

#

$$$

%

$$$

Il metodo di Gauss E’ noto che due piani non paralleli s’intersecano in una retta; un eventuale terzo piano, non parallelo a nessuno dei precedenti né alla loro retta intersezione, incontrerà quest’ultima in un punto.

16

Lo studio della mutua intersezione di tre piani nello spazio, ci porta a prendere in considerazione un metodo per la risoluzione dei sistemi lineari di 3 equazioni in 3 incognite: il cosiddetto metodo di Gauss, o di riduzione a scala. Questo metodo si basa sul fatto che una soluzione del sistema di equazioni, è soluzione anche del sistema ottenuto sostituendo ad una, o più, equazioni, una loro combinazione lineare. Il criterio con cui si opera per ridurre a scala il sistema è il seguente: si scrive come prima equazione quella, se è presente, con il coefficiente della prima variabile (x) diverso da zero, e si sostituiscono la seconda e la terza con opportune combinazioni lineari con la prima, in modo tale che il coefficiente della prima variabile sia zero. Successivamente, si scrive come seconda equazione quella, se esiste, con il coefficiente della seconda variabile (y) diverso da zero, e si sostituisce alla terza equazione la combinazione lineare con la seconda che la porta ad avere il coefficiente della seconda variabile uguale a zero. La terza equazione è di primo grado nell’incognita rappresentata dalla terza variabile (z): si risolve e si determina la soluzione del sistema procedendo “all’indietro”. Esempio 4

Risolvere il sistema di equazioni x − y+ z = 02x + z =14x +4z = 2

"

#$$

%$$

.

Applichiamo il metodo di Gauss :

1 −1 12 0 14 0 4

012→

1 −1 10 2 −10 4 0

012→

1 −1 10 2 −10 0 2

010→

x =1 2y =1 2z = 0

#

$%%

&%%

.

E’ interessante vedere cosa succede applicando il metodo di Gauss quando il sistema non ammette soluzioni. x + y− z −2 = 0x − y− z −2 = 0x − z −3= 0

"

#$$

%$$

⇒1 1 −11 −1 −11 0 −1

223→

1 1 −10 2 00 1 0

20−1

. Si nota subito che la

seconda e la terza riga sono associate a due equazioni incompatibili 2 y = 0y = −1

"#$

%$ relative a due piani paralleli distinti.

17

Metodo di Gauss con il foglio elettronico excel

1,00 x -1,00 y 1,00 z 4,00 3,00 x 0,00 y 5,00 z 8,00 1,00 x 1,00 y 3,00 z 0,00

1 x -1 y 1 z 4 0 x 3 y 2 z -4 0 x 2 y 2 z -4

1 x -1 y 1 z 4 0 x 3 y 2 z -4 0 x 0 y -1 z 2

z= -2,000 y= 0,000 x= 6,000 Il fascio di piani E’ noto che per una retta dello spazio passano infiniti piani. Se scriviamo

l’equazione della retta r come intersezione di piani, ax + by+ cz+ d = 0!a x + !b y+ !c z+ !d = 0

"#$

%$,

potremmo rappresentare tutti i piani a cui questa appartiene con un’equazione del tipo:

µ(ax + by+ cz+ d )+λ( !a x + !b y+ !c z+ !d ) = 0 Un’equazione di questo tipo, detta combinazione lineare, rappresenta il fascio di piani generato dalla retta r. Esercizio. Determinare il piano di appartenenza delle due rette d’equazione

r :x + y−1= 0

2x − y+ z −1= 0

"#$

%$ e s : x + z+2 = 0

5x − y+4z+5 = 0

"#$

%$ e dire se tali rette sono

incidenti o parallele. • (Metodo 1) Si scrive l’equazione di una delle rette in forma

parametrica: r :x = ty =1− tz = 2−3t

"

#$

%$

, e si sostituiscono le coordinate del

18

suo punto generico nella combinazione lineare dei piani che generano la seconda retta: λ x + z+2( )+µ 5x − y+4z+5( ) = 0 . Si ha

λ t +2−3t +2( )+µ 5t −1+ t +8−12t +5( ) = 0da cui segue

λ 4−2t( )+µ 12−6t( ) = 0 . I coefficienti della combinazione lineare si determinano ricordando che l’uguaglianza deve essere verificata per ogni valore del parametro t; e questo porta necessariamente a scrivere l’’ultima equazione nella forma 2λ +6µ( ) 2− t( ) = 0∀t⇒ 2λ +6µ = 0⇒ λ = −3µ . L’equazione del piano è 2x − y+ z −1= 0 .

• • (Metodo 2) Si scrivono le combinazioni lineari (fascio di piani) e le si

uguagliano: λ(x + y−1)+µ(2x + z − y−1) = 0⇒ (λ +2µ )x + (λ −µ ) y+µz −λ −µ = 0

α(x + z+2)+β (5x − y+4z+5) = 0⇒ (α +5β )x + (−β ) y+ (α +4β )z+2α +5β = 0.

Per il Principio d’identità dei polinomi, si uguagliano i coefficienti

ottenendo i valori

λ = 0β = β

α = −3βµ = β

"

#

$$

%

$$

. Sostituendo in una qualsiasi delle due

combinazioni lineari otteniamo l’equazione del piano cercata: 2βx −β y+βz −β = 0⇒ 2x − y+ z −1= 0 .

Rette sghembe e loro distanza Se due rette non appartengono ad un medesimo piano, si dicono sghembe. Un metodo analitico per stabilire se due rette sono sghembe può essere rappresentato dal primo dei due presi in esame nell’esercizio precedente. Infatti, se non fosse possibile giungere ad un’equazione indeterminata, nell’incognita data dalla combinazione di λ,µ come sopra, non sarebbe possibile affermare che tutti i punti di una retta appartengono ad un piano del fascio avente l’altra retta come retta base.

19

Problema

Sono date le rette r : x −2 y+2= 03x + y− z = 0

,"#$

%$&r : x = −1

2x + y+ z = 0

"#$

%$.

a) Si dica se le due rette sono sghembe. • Scriviamo l’equazione del fascio di piani contenente una delle due

rette, ad esempio !r : !p : λ x +1( )+µ 2x + y+ z( ) = 0⇒ λ +2µ( )x +µ y+µz+λ = 0 . Adesso

scriviamo la retta r in forma parametrica r :

x = t

y =1+ t2

z =1+ 7t2

!

"

###

$

###

, ed

imponiamo l’appartenenza di tutti i suoi punti al generico piano del

fascio: λ +2µ( ) t +µ 1+ t2!

"#

$

%&+µ 1+

7t2

!

"#

$

%&+λ = 0 . Questa condizione di

appartenenza, riguardante tutti i punti della retta, si soddisfa imponendo il carattere d’indeterminatezza all’equazione nell’incognita

t: λ +6µ( ) t +2µ +λ = 0 ∀t ⇔λ +6µ = 0λ +2µ = 0

#$%

&%⇔ λ = 0

µ = 0

#$%

&%. Non

essendo soddisfatta da valori non nulli dei coefficienti λ,µ , possiamo concludere che non esiste alcun piano del fascio contenente la retta r, e quindi le due rette sono sghembe.

b) Si determini l’equazione della retta t ad esse perpendicolare.

• Scriviamo la retta !r in forma parametrica: !r :x = −1+0ty = 2− tz = t

#

$%

&%

. Indicate

rispettivamente con v 2,1,7( ), !v 0,−1,1( ) le direzioni delle rette r e !r , la retta cercata sarà perpendicolare al prodotto vettoriale !n := !v ∧ !"v = 4,−1,−1( ) . La retta cercata si otterrà dall’intersezione dei piani contenenti r e !r , e paralleli a !n . p : λ x −2 y+2( )+µ 3x + y− z( ) = 0⇒ λ +3µ( )x + µ −2λ( ) y−µz+2λ = 0 ,

20

da cui segue, per la condizione di parallelismo retta-piano λ +3µ( ) 4( )+ µ −2λ( ) −1( )−µ −1( ) = 0⇒ λ = −2µ . Il piano cercato,

riferito alla prima retta, è p : x +5 y− z −4 = 0 . Con un ragionamento analogo riferito all’altra retta otteniamo il piano !p : x +2 y+2z −3= 0 ,

da cui segue t = p∩ "p :x +5 y− z −4 = 0x +2 y+2z −3= 0

$%&

'&.

c) Si calcoli la distanza tra le rette r e !r . • Tra i piani del fascio per r, λ +3µ( )x + µ −2λ( ) y−µz+2λ = 0 ,

selezioniamo il piano p parallelo a !r : λ +3µ( )(0)+ µ −2λ( )(−1)−µ(1) = 0⇒ λ = µ⇒ p : 4x − y− z+2= 0 .

Indicato con !Q un punto di !r (ottenuto ponendo, ad esempio, t = 0 nell’equazione parametrica della retta), sia n la retta perpendicolare a

r passante per !Q −1,2,0( ) : n :x = −1+4ty = 2− tz = 0− t

"

#$

%$

. Indicato con

Q = n∩ p⇒Q −19,169,− 29

$

%&

'

() , la distanza tra le rette è data dalla

lunghezza del segmento Q !Q =2 23

. Oppure, potevamo risolvere il

problema con la formula della distanza punto-piano, dove il punto è !Q −1,2,0( ) e il piano p : 4x − y− z+2= 0 :

dist !Q , p( ) =−4−2+0+2

16+1+1=2 23

.

Esercizi

1. Si scriva l’equazione parametrica della retta passante per l’origine dello spazioOxyz parallela alla retta intersezione dei piani x − y+ z+1= 0 e 2x − y− z = 0 .

2. Si discutano al variare del parametro k le mutue posizioni dei

seguenti piani: kx + y+ z = 0kx + ky+ z = 0

!"#

$#. Per quali valori di k sono

perpendicolari?

21

3. Si scriva l’equazione della retta dello spazio passante per l’origine

e per il punto P (−1;1;2) .

4. Discutere la risolubilità del seguente sistema al variare del

parametro k ∈ R :x −2 y− z = 3k4 y+3z = 0x + ky = −5

"

#$$

%$$

.

5. Date le rette r 2x − y−2z = 02x +2 y−3z = 0

"#$

%$, sk :

2x −2 y− z = 0z − k = 0

"#$

%$si dica per quali

valori del parametro sono complanari, e se ne determini l’equazione del piano.

6. Si determini il piano contenente la retta r : 2x − y = 0x − z = 0

"#$

%$, parallelo

alla retta s : x + y =1x − z = −2

"#$

%$.

7. Determinare l’equazione cartesiana del piano passante per i punti dello spazio A 0,1,0( ),B −1,0,0( ),C 0,0,1( ) .

8. Dati il piano π : 2x +3 y− z = 4 e la retta r : x + y = 0x − z =1

"#$

%$si dica se sono

paralleli o incidenti, e si trovi l’eventuale punto d’intersezione. 9. Trovare l’equazione del piano passante per il punto P 1,0,1( ) e

contenente la retta di equazioni cartesiane x + y+ z = 3x − y− z = 0

"#$

%$.

Soluzioni

1. Scriviamo l’equazione della retta intersezione dei due piani in forma parametrica, al fine di evidenziarne la direzione. x − y+1= −ty−2x = −tz = t

"

#$$

%$$

⇒

x = y−1− ty−2 y+2+2t = −t

z = t

"

#$$

%$$

⇒x −1= 2ty−2 = 3tz −0 = t

"

#$

%$

⇒ v(2;3;1) .

22

L’equazione della retta cercata, in forma parametrica, è quindi: x −0 = 2ty−0 = 3tz −0 = t

"

#$

%$

.

2. Vediamo se esistono valori del parametro corrispondenti a piani

paralleli (e, in particolare, coincidenti, poiché l’origine appartiene ad

entrambi): kk=1k=11

se e soltanto se k =1. In questo caso i piani sono

paralleli (e coincidenti). Per tutti gli altri valori del parametro si intersecheranno nella retta (passante per l’origine) di equazione

kx − k2x − kt = −ty = −kx − tz = t

"

#$

%$

⇒

x =k −1( ) tk 1− k( )

= −1kt

y = 0z = t

"

#

$$$$

%

$$$$

. Per k = 0 il sistema si riduce

a y+ z = 0z = 0

!"#

$#⇒

y = 0z = 0

!"#

$# e questa è l’equazione dell’asse x.

Per studiare la perpendicolarità si applica la condizione, ottenendo k2 + k +1= 0 . Poiché Δ = −3< 0 , l’equazione non ammette soluzioni reali: i due piani non possono quindi essere perpendicolari per alcun valore del parametro.

3. Scriviamo l’equazione parametrica della retta passante per l’origine

x = lty = mtz = nt

!

"#

$#

ed imponiamo il passaggio per il punto P (−1;1;2) :

−1= lt1= mt2 = nt

"

#$

%$

⇒ t = −1l=1m=2n⇒

l = −1m =1n = 2

"

#$

%$

⇒x = −ty = tz = 2t

"

#$

%$

.

23

4.

x −2 y− z = 3k4 y+3z = 0x + ky = −5

"

#$$

%$$

⇒1 −2 −10 4 31 k 0

3k0−5

→1 −2 −10 4 30 −2− k −1

3k0

3k +5→

1 −2 −10 4 3

0 0 2+3k4

3k0

3k +5→

x −2 y− z = 3k4 y+3z = 0

2+3k4

z = 3k +5

"

#

$$$

%

$$$

⇒k ≠ −2

3⇒ 1soluzione

k = −23⇒ ∅

.

5. sk :

x = t + k2

y = tz = k

!

"

###

$

###

∈ p : λ 2x − y−2z( )+µ 2x +2 y−3z( ) = 0⇔ λ +4µ( ) t − k λ +2µ( ) = 0

Di conseguenza λ = −4µk = 0

⇒ p : 6x −6 y−5z = 0 .

6. Si osserva subito che la retta s ⊂ p : x − z = −2 , che a sua volta è parallelo al piano x − z = 0 , contenente la retta r. Di conseguenza, quest’ultimo è il piano cercato. Oppure, se non avessimo notato questo fatto, avremmo dovuto procedere così: tra tutti i piani contenenti la retta r, rappresentati dall’equazione λ 2x − y( )+µ x − z( ) = 0⇒ 2λ +µ( )x −λ y−µz = 0 , si seleziona quello

parallelo alla retta s :x +2 = ty−3= −tz −0 = t

"

#$

%$

applicando la condizione di

parallelismo 1 2λ +µ( )−1 −λ( )+1 −µ( ) = 0⇒ 3λ = 0⇒ x − z = 0 .

7. b+ d = 0−a+ d = 0c + d = 0

"

#$

%$

⇒a = db = −dc = −d

"

#$

%$

⇒ dx − dy− dz+ d = 0⇒ x − y− z+1= 0 .

24

8. r : x + y = 0x − z =1

"#$

%$⇒

x = t +1y = −t −1z = t

⇒!v 1,−1,1( )

"

#$

%$

⇒!v ⋅ 2,3,−1( ) = 2−3−1= −2 ≠ 0 .

Retta e piano sono incidenti nel punto

2 t +1( )+3 −t −1( )− t = 4⇒−2t = 5⇒ t = − 52⇒ P −

32, 32,− 52

#

$%

&

'( .

9. x + y+ z = 3x − y− z = 0

"#$

%$⇒

x = 32

y = t

z = −t + 32

"

#

$$$

%

$$$

⇒32a+ bt − ct + 3

2c + d = 0∀t⇒

b− c = 032a+ 32c + d = 0

"

#$

%$

Si mettono a sistema le ultime due equazioni trovate con la condizione di appartenenza del punto al piano:

b− c = 03a+3c +2d = 0a+ c + d = 0

⇒d = 0a = −cb = c

#

$%

&%

#

$%

&%

⇒ x − y− z = 0 .

La sfera ed il cono Definiamo la superficie sferica (sfera) come il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti da un punto fisso detto centro. L’equazione della sfera è:

x − x0( )2+ y− y0( )

2+ z − z0( )

2= R2 .

La superficie conica (cono) è il luogo geometrico dei punti dello spazio ottenuto ruotando un triangolo rettangolo intorno ad un cateto. Supponiamo per semplicità che il cateto stia sull’asse z e che un vertice coincida con l’origine.

25

Notiamo innanzitutto che tanθ = x2 + y2

z. Poiché 0 <θ < π

2 la tangente è

positiva; elevando al quadrato e ponendo tanθ := k otteniamo l’equazione della superficie conica con asse coincidente con l’asse z nelle forme:

z k = x2 + y2 ⇒ x2 + y2 − k2z2 = 0 . Intersezione della superficie conica con un piano non passante per l’origine (vertice)

Prendiamo in considerazione la superficie conica di equazione x2 + y2 − k2z2 = 0 ed il piano di equazione z = my+1. Studiamo l’intersezione al variare del parametro m. Risulta: x2 + y2 − k2z2 = 0z = my+1

⇒ x2 + y2 − k2(m2 y2#$%

&%+2my+1) = 0⇒ x2 + (1− k2m2 ) y2 −2k2my− k2 = 0

Il coefficiente del termine di secondo grado in y porta in modo naturale alla seguente discussione:

26

1−m2k2 > 0⇒ m <1k⇒ ellisse , m = 0⇒ circonferenza , x2 + y2 = k2

1−m2k2 = 0⇒ m =1k⇒ parabola , y = x

2

2k−k2

1−m2k2 < 0⇒ m >1k⇒ iperbole

.

Esempio E’ data la superficie conica di semi-apertura angolare 45°. Si determini l’intersezione con il piano di equazione 2x − z =1. Si mettono a sistema le equazioni della superficie conica con

€

k = tan45° =1 ed il piano: x2 + y2 − z2 = 0z = 2x −1

"#$

%$⇒ x2 + y2 −4x2 +4x −1= 0⇒ 3x2 −4x − y2 = −1. L’equazione

trovata è quella di un’iperbole con centro non coincidente con l’origine, come si evince dalla sua scrittura nella forma

3(x2 − 43x + 49−49)− y2 = −1⇒ 3(x − 2

3)2 − y2 = 1

3, da cui segue

9 x − 23

"

#$

%

&'

2

−3 y2 =1⇒ C 23;0

"

#$

%

&' a2 = 1

9b2 = 1

3y = ± 3x .

27

Esempio. E’ data la retta nello spazio di equazione r :x =1+ kty = −1+2tz = 2− kt

"

#$

%$

. Si

studino al variare del parametro k le intersezioni con il piano di equazione x + z = 3. S’individui inoltre la curva ottenuta intersecando il piano con la superficie conica di equazione x2 + y2 − z2 =1.

• Scriviamo la retta di data in forma cartesiana, ovvero come

intersezione di piani:

x −1k

=y+12k

x −1k

=z −2−k

"

#$$

%$$

⇒2x − ky−1− k = 0x + z −3= 0

"#$

%$. Poiché il

piano di equazione x + z = 3 contiene la retta data, le intersezioni coincidono con la retta stessa per qualsiasi valore del parametro k.

• Si mettono a sistema le equazioni x2 + y2 − z2 =1x + z −3= 0

⇒x2 + y2 −9− x2 +6x −1= 0

z = 3− x

#$%

&%

#$%

&%⇒ 6x =10− y2 .

L’equazione ottenuta è quella di una parabola con asse coincidente con l’asse x.

L’equazione della superficie conica con vertice nell’origine Sia OH! "!!

= (l,m,n) la direzione dell’asse del cono rappresentato in figura.

28

La superficie del cono è il luogo dei punti tali che PHOH

= tanθ := k > 0 , dove

PH2=OP

2sin2θ =OP

2 OP! "!

∧OH! "!! 2

OP2⋅OH

2=OP! "!

∧OH! "!! 2

OH2

, e

OH2=OP

2cos2θ =OP

2 OP! "!

⋅OH! "!!

( )2

OP2⋅OH

2=OP! "!

⋅OH! "!!

( )2

OH2

, per cui PH2

OH2=OP! "!

∧OH! "!! 2

OP! "!

⋅OH! "!!

( )2:= k2 .

Dal calcolo del prodotto scalare e del prodotto

vettoriale, k2 =OP! "!

∧OH! "!! 2

OP! "!

⋅OH! "!!

( )2=mz − ny( )

2+ nx − lz( )

2+ ly−mx( )

2

lx +my+ nz( )2

, segue l’espressione

generale della superficie conica con asse passante per l’origine dello spazio cartesiano:

k2l 2 − n2 −m2( )x2 + k2m2 − n2 − l 2( ) y2 + k2n2 − l 2 −m2( )z2 +2mn k2 +1( )zy+2nl k2 +1( )xz+2ml k2 +1( )xy = 0

Esempio. Il piano z =1interseca il cono di direzione OH! "!!

= 0,m,n( )⇒θ = 45°⇒ k =1nella

conica− m2 + n2( )x2 + m2 − n2( ) y2 −1( )+4mny = 0 . Si tratta della parabola di

equazione y = x2

2 nel piano z =1se m = n , di un’ellisse se n > m , e di

un’iperbole se n < m . I grafici che seguono rappresentano i tre casi presi in esame nell’esempio sopra (m = 2,n =1per l’iperbole, m =1,n = 2 per l’ellisse, m = n per la parabola).

29

Problemi

1. Dopo aver determinato l’equazione del piano π parallelo all’asse x e passante per i punti P (0; 2;0) e Q (0;0; 2) , si determini l’equazione della superficie conica avente semi-apertura di ampiezza π 3 , per asse la retta r perpendicolare al piano

€

π e passante per l’origine, e per vertice il punto V di intersezione del piano

€

π con la retta r. 2. Si studino, al variare del parametro k, le mutue posizioni dei piani

k2x + y+ z =12k −1( )x + y+ kz = −1

"#$

%$. Si scriva l’equazione parametrica della retta

intersezione dei piani nel caso k =1 2 , e l’equazione, sempre in forma parametrica, della retta ad essa perpendicolare passante per il punto P (0;0;1) .

3. E’ data la superficie conica di equazione x2 − y2 + z2 = 0 . Si studino le intersezioni con i piani z =1+ ky al variare del parametro k.

4. Si determini l’equazione della superficie sferica con centro nell’origine e tangente al piano

€

α di equazione 2x − y+2z −3= 0 .

30

Soluzioni 1. Scritta l’equazione generica del piano ax + by+ cz+ d = 0 s’impone il

passaggio per i punti dati: b 2 + d = 0

c 2 + d = 0

!"#

$#⇒ ax − d

2y− d

2z+ d = 0 . La

condizione di parallelismo con l’asse x, che in forma parametrica è rappresentato dal vettore direzione 1;0;0( ) , porta alla determinazione del coefficiente a: a ⋅1+ b ⋅0+ c ⋅0 = 0⇒ a = 0 . L’equazione del piano è y+ z − 2 = 0 . Ricaviamo l’equazione della retta r, asse del cono,

imponendo la condizione di parallelismo con la direzione perpendicolare al piano, individuata dai coefficienti del piano stesso

0;1;1( ) : r :x = 0+0ty = 0+1tz = 0+1t

!

"#

$#

. Si determina il vertice del cono imponendo la

condizione t + t − 2 = 0⇒ t = 22⇒V 0; 2

2; 22

#

$%%

&

'(( .

L’equazione del cono si trova infine applicando la k2l 2 − n2 −m2( )(x − xV )2 + k2m2 − n2 − l 2( )( y− yV )2 + k2n2 − l 2 −m2( )(z − zV )2 +2mn k2 +1( )(z − zV )( y− yV )+2nl k2 +1( )(x − xV )(z − zV )+2ml k2 +1( )(x − xV )( y− yV ) = 0

con l;m;n( ) = 0;1;1( ) e k2 = tan2 π3= 3 :

−2x2 +2( y− 2 2)2 +2(z − 2 2)2 +8(z − 2 2)( y− 2 2) = 0

x2 − y2 − z2 −4 yz+3 2 y+3 2z −3= 0.

2. Studiamo il parallelismo tra i due piani.

k2

2k −1=11=1k⇒

k2

2k −1=1

1k=1

#

$%%

&%%

⇒k2 −2k +12k −1

= 0

k =1

#

$%

&%

⇒ k =1. Per k =1 i piani

sono paralleli. Poiché 11≠1−1

i due piani sono paralleli distinti.

31

Nel caso

€

k =1 2 le equazioni dei piani sono x4+ y+ z =1

y+ z2= −1

"

#$$

%$$

. Posto ad

esempio z = t otteniamo

x = 4 t2+1− t +1

"

#$

%

&'

y = − t2−1

z = t

(

)

****

+

****

⇒

x = 8−2t

y = −1− t2

z = 0+ t

(

)

**

+

**

.

La direzione della retta è data dal vettore −2;−1 2;1( ) . La retta cercata appartiene al piano perpendicolare alla retta trovata, passante per il

punto P (0;0;1) . Tale piano ha equazione −2x − y2+ z+ d = 0 . Il coefficiente

d si ottiene imponendo il passaggio del piano per il punto P (0;0;1) :

−2 ⋅0− 02+1+ d = 0⇒ d = −1, di conseguenza l’equazione del piano è

−2x − y2+ z −1= 0 . Questo piano interseca la retta nel punto

−2(8−2t )− −1− t 22

+ t −1= 0⇒

−32+8t +1+ t2+2t −2 = 0⇒ 21t 2 = 33⇒ t = 22

7⇒

127;−187;227

#

$%

&

'( .

L’equazione della retta è quindi:

x = 0+ 127−0

"

#$

%

&'t

y = 0+ −187−0

"

#$

%

&'t

z =1+ 227−1

"

#$

%

&'t

(

)

****

+

****

⇒

x = 127t

y = −187t

z =1+157t

(

)

***

+

***

.

3. Si studiano le soluzioni del sistema x2 − y2 + z2 = 0z =1+ ky

"#$

%$⇒ x2 + k2 −1( ) y2 +2ky+1= 0 . Si tratta di ellissi se

32

k2 −1> 0⇔ k >1, di iperboli se k2 −1< 0⇔ k <1, e di una parabole se

k2 −1= 0⇔ k =1. 4. La misura del raggio della sfera è uguale alla distanza del centro dal

piano tangente. Il punto di tangenza si ottiene intersecando il piano tangente con la retta passante per il centro e perpendicolare al piano, la cui direzione è data dal vettore !v 2;−1;2( ) . L’equazione della retta è

quindi r :x = 2ty = −tz = 2t

"

#$

%$

, e il punto d’intersezione si ottiene sostituendo le

coordinate del generico punto della retta nell’equazione del piano:

2 2t( )− (−t )+2(2t )−3= 0⇒ t = 13⇒ P 2

3;−13;23

#

$%

&

'( . Da questo segue

r2 = PH 2 =1 e l’equazione della sfera è quindi x2 + y2 + z2 =1.