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Lageometriaanaliticanellospazio:punti,vettori,retteepianiesercizi1
prof.D.BenettiRisolvereiseguentiesercizi(lesoluzionisonoallafinedituttigliesercizi).Esercizio1.Determinaduevettoridimodulo5parallelialvettore
!v 1;#2;#−1( ) .
Esercizio 2. Determina due vettori
!w1 e
!w2 paralleli al vettore
!v 1;#−1;#1( ) e tali che !wi − i ,
i =1,#2 ,abbiamodulo3(attenzione:nell’esercizioièunindice,mentre i ilversoredix).Esercizio 3. Determina un vettore di modulo unitario perpendicolare ai vettori
!v 1;#2;#3( ) e
!w 1;#1;#−1( ) .RappresentailtuttosullospaziocartesianoOxyz.Esercizio4.Sonodatiivettori
!v 3;#4;#−2( ) e !w 3;#−3;#2( ) .
i. Determinal’angolotraiduevettorierappresentalisullospaziocartesianoOxyz.ii. Determinalaproiezioneortogonaledelprimovettoresulsecondo.
Esercizio5.Sonodatiivettori!v 2;#0;# 3( ) e !w 0;#0;#−3( ) .
i. Determinamoduloedirezionedeivettori!u =!v ×!we!w×!v .
ii. Determinailvolumedelparallelepipedorettangolodilativx ,uy ewz .
iii. Determinailvaloredelprodottomisto!w×!u( )• !v .
Lageometriaanaliticanellospazio:punti,vettori,retteepianiesercizi2
prof.D.BenettiEsercizio1.Sonodati,nellospazio,itrepunti , ,C −1;#−3;#−4( ) .
i. Determinaperimetro,areaelecoordinatedelbaricentrodeltriangoloABC.ii. Determinal’equazionedelpiano individuatodaipuntiA,BeC.iii. Determinal’equazionedellarettaperpendicolarealpiano passanteperA.
Esercizio2.Sonodatiilpunto eilpiano .
i. DeterminaladistanzadelpuntoPdalpiano .ii. Determinal’equazionedellarettarperpendicolarealpiano passanteperP.iii. Individuaunarettain chesiasghembaconlarettar.
Esercizio3.Sonodatiilpunto eilpiano .
i. Determinalecoordinatecartesianedelpiano .ii. Determinal’equazionedelpiano paralleloalpiano passanteperP.iii. Determinaladistanzatraiduepiani.
Esercizio4.Sonodatiipunti e .
i. Determinalecoordinatecartesianedellarettarpassanteperiduepunti.ii. DeterminacentroeraggiodellasferadidiametroPQ.iii. Determinaladistanzadelpunto dallarettar.
Esercizio5.Sonodatiipunti , e .
i. Determinalecoordinatedelleproiezioni , , deitrepuntisulpianoOxy.ii. Calcolal’areadeltriangolo .iii. Determina l’equazione del luogo geometrico individuato dall’intersezione del pianoOxy
conilpianopassanteperA,BeC.
A 1;#−1;#2( ) B 0;#1;#5( )
ΓΓ
P 1;#−1;#2( ) Γ : x − y+1= 0
ΓΓ
Γ
P 1;#−1;#2( ) Γ :x =−1+ty =−t+ sz =1+t+ s
#
$%
&%
Γ!Γ Γ
P 1;#−1;#2( ) Q 0;#−1;#2( )
R 3;#−3;#3( )
A 1;#3;#2( ) B 2;#1;#3( ) C 3;#2;#1( )!A !B !C
!A !B !C
Lageometriaanaliticanellospazio:punti,vettori,rette,pianiesuperficisfericheesercizi3*
prof.D.Benetti
Esercizio1.Consideralaretta r :
x−y+ z−2=0x−y−2z−1=0
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪.Tratuttiipianipassantiperrdeterminaquello:
i. perpendicolarealpiano Γ : x−5y+6z−3=0 ;
ii. paralleloallaretta
s :x= 4+6ty=−13+3tz=19+t
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
;
iii. perpendicolareallaretta
u :x=2+7ty=−7tz=1−11t
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
.
Esercizio2.Èdatoilpunto
P 2;−2;4( ) .Determina:
i. l’equazionedellasferaaventecentroPetangentealpiano Γ : x−2y+3z−4=0 ;
ii. ladistanzadiPdallaretta r :
x−y−2=0x+ z=0
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪;
iii. Individuaunarettain chesiasghembaconlarettar.Esercizio3.Sonodatiipunti
A 1;1;0( ) e
B 0;1;−1( ) .Dimostracheilluogogeometricodeipunti
P x;y;z( ) taliche AP=2·BP èunasuperficiesfericaS.
i. DeterminacentroCeraggiordiS.ii. VerificaseA,BeCsonoallineati.iii. DeterminaleequazionideipianitangentiallasferaSneisuoipuntidi intersezioneconla
rettapassanteperAeB.Esercizio 4. Determina le equazioni dei piani paralleli al piano Γ : x−2y+2z−2017=0 e cheintersecanolasferaS: x
2 +y2 + z2−10y+6z+9=0 ciascunoinunacirconferenzaaventeraggio3.Esercizio5.Sonodatiipunti
A 1;0;2( ) ,
B 2;1;0( ) e
C 0;0;3( ) .Determina:
i. l’equazionedelpianopassanteperA,BeC;ii. ilcentroeilraggiodellacirconferenzaCpassanteperitrepuntidati;iii. l’equazionedellacirconferenzaC.
*Trattidahttp://www.webalice.it/francesco.daddi/.
Γ
Soluzioni1
1.± 5
61;%2;%−1( ) .
2.2 1;$−1;$1( ) e− 43 1;%−1;%1( ) .
3.± 1
425;&−4;&1( ) .
4.ϑ = arccos 13
174≈10° ; 4;#2;#−2( ) .
5. 6;# π2,# π2
!
"#
$
%& e 6;#−
π2,#− π
2
"
#$
%
&' ;36;36.
Soluzioni2
1. 2pABC ;AABC ; . . r :x =1+ty =−1+2tz =2−t
"
#$
%$
.
2. dist P;"Γ( )= 32 2 . r :x =1+ty =−1−tz =2
"
#$
%$
.Basta individuareuna retta in nonpassanteper !P , la
proiezionediPsulpiano ;Poiché !P −12;$ 12;$2
#
$%
&
'( ,scelgoduepuntinonallineatia !P ,per
esempio A 0;#1;#0( ) e B −1;#0;#1( ) (il valore assegnato a z è casuale). Otteniamo
r : x − y+1= 0y+ z−1= 0
"#$
%$.
3. Γ :2x+ y− z+3= 0 . !Γ :2x+ y− z+1= 0 .dist !Γ ;"Γ( )=dist P;"Γ( )= 63
.
4. r : y+1= 0z−2= 0
"#$
%$. S C 1
2;$−1;$2
"
#$
%
&';$r = 1
2
"
#$$
%
&'' . dist R;"r( )=R !R = 5 , dove è la
proiezionediRsullarettar.5. !A 1;#3;#0( ) , !B 2;#3;#0( ) e !C 3;#2;#0( ) . Posso considerare il problema inR2 visto che i tre
puntihannolamedesimaquota:AA’B’C’=1 . r :x+ y+ z−6= 0z = 0
"#$
%$.
= 7 + 22 +7( ) 2 =3 6 G 0;#−1;#1( ) Γ : x+2y− z+3= 0
Γ
Γ
!R 3;#−1;#2( )
Soluzioni3
1. x−y−z−4=0 ; 18x+9y+3z+14=0 ; 11x−11y+14z+41=0 .
2. x2 +y2 + z2−4x+4y−8z+10=0 ;
dist P;r( )=2 42 3 ; osservo che r∉Γ in quanto si
intersecano solamentenelpunto A 0;−2;0( ) .Basta individuareuna retta sulpianonon
passanteperA.Siprocedequindicomein2.2.
3. AP=2·BP→ x−1( )2 + y−1( )2 + z2 = 4x2 +4 y−1( )2 +4 z+1( )2→
→ x2 +y2 + z2 +2x 3−2y+8z 3+2=0 quindi C −1 3;1;−4 3( ) e r =2 2 3 ; si nota
che rk −1 0 −1−4 3 0 −4 3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟=1 ; 3x+3z+1=0 e x+ z+3=0 .
4. L’eserciziorichiededideterminareipiani !Γ e lacuidistanzadalcentroCdellasferaSè
paria4(perché?).Quindi x−2y+2z−8=0 e x−2y+2z+16=0 .
5. x−3y−z+1=0 ; basta considerare i piani passanti per i punti medi di AB e BCperpendicolaririspettivamenteallerettepassantiperAeBeperBeC.Intersecoallafinequestiduepianiconilpianotrovatonelpuntoprecedenteperottenerelecoordinatedel
centro K −13 3;−1 3;−7 3( ) e quindi il raggio r =CK = 426 3 ; Basta intersecare il
pianotrovatonelprimopuntoconlasuperficiesfericadicentroKeraggior.