6. Himmelsmechaniktloehne/EinfAstro/Vorlesung6.pdf · Einf¨uhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik. 6.1. Probleme der Himmelsmechanik Beispiele f¨ur weitere Probleme: Verallgemeinerung

6. Himmelsmechanik

. . . ist die astronomische Disziplin, die sich mit der Bewegung derHimmelskorper befasst.

6.1. Probleme der Himmelsmechanik6.1. Probleme der Himmelsmechanik

M1

M2

M3

MN

Das N-Korper-Problem:

N Punktmassen im leeren Raum

Wechselwirkung entsprechend Newton’schemGravitationsgesetzoft sehr gute Naherung, da(i) Entfernungen viel großer als Ausdehnung

(ii) Ausdehnung meist nahezu kugelformig

Einfuhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik


M1

M2

M3

MN



Wechselwirkung entsprechend Newton’schemGravitationsgesetz

oft sehr gute Naherung, da(i) Entfernungen viel großer als Ausdehnung




M1

M2

M3

MN







M1

M2

M3

MN







Beispiele fur weitere Probleme:

Verallgemeinerung des N-Korper-Problems auf Bewegung und Rotationausgedehnter, nichtspharischer Korper (u. a. Prazessions- undNutationstheorie)

Bewegung eines ausgedehnten Korpers in nichtgleichformigemGravitationsfeld (u. a. Gezeitentheorie)

Bewegung kunstlicher Himmelskorper mit Triebwerk (Astrodynamik)

Bewegung in starken Gravitationsfelder (z. B. nahe Neutronensternen)oder Untersuchung mit sehr hoher Genauigkeit (z. B.Navigationssatelliten): Allgemeine Relativitatstheorie (relativistischeHimmelsmechanik)

Heute nur das wichtigste: das Zwei-Korper-Problem.

Wer mehr wissen mochte: Vorlesung”Celestial Mechanics“,

von Prof. Krivov (fast) jedes Jahr im Wintersemester gehalten.






















6.2. Bewegungsgleichung6.2. Bewegungsgleichung

M1

M2

O

r1r2

r

M1 . . .”Sonne“

M2 . . .”Planet“

O . . . Ursprungr = r2 − r1

r ≡ |r|v ≡ r

Laut Gravitationsgesetz wirkt auf die Sonne

F1︷︸︸︷M1r1 =

GM1M2

r3 r (1)

und auf den Planeten entsprechend

F2︷︸︸︷M2r2 = −GM1M2

r3 r (2)

Nach Kurzen und Subtraktion (2)–(1) ergibt sich:

r = −G(M1 + M2)

r3 r

≡ −µrr3 ,

(3)

wobei µ ≡ G(M1 + M2) definiert wurde.Gesuchte Losung: r(t).Problem: Gleichungssystem ist 6. Ordnung.⇒Wir suchen 6 Bewegungskonstanten (Integrale).



M1

M2

O

r1r2

r

M1 . . .”Sonne“


O . . . Ursprung

r = r2 − r1

r ≡ |r|v ≡ r


F1︷︸︸︷M1r1 =

GM1M2

r3 r (1)


F2︷︸︸︷M2r2 = −GM1M2

r3 r (2)


r = −G(M1 + M2)

r3 r

≡ −µrr3 ,

(3)




M1

M2

O

r1r2

r

M1 . . .”Sonne“



r ≡ |r|v ≡ r


F1︷︸︸︷M1r1 =

GM1M2

r3 r (1)


F2︷︸︸︷M2r2 = −GM1M2

r3 r (2)


r = −G(M1 + M2)

r3 r

≡ −µrr3 ,

(3)




M1

M2

O

r1r2

r

M1 . . .”Sonne“



r ≡ |r|v ≡ r


F1︷︸︸︷M1r1 =

GM1M2

r3 r (1)


F2︷︸︸︷M2r2 = −GM1M2

r3 r (2)


r = −G(M1 + M2)

r3 r

≡ −µrr3 ,

(3)




M1

M2

O

r1r2

r

M1 . . .”Sonne“



r ≡ |r|v ≡ r


F1︷︸︸︷M1r1 =

GM1M2

r3 r (1)


F2︷︸︸︷M2r2 = −GM1M2

r3 r (2)


r = −G(M1 + M2)

r3 r

≡ −µrr3 ,

(3)




M1

M2

O

r1r2

r

M1 . . .”Sonne“



r ≡ |r|v ≡ r


F1︷︸︸︷M1r1 =

GM1M2

r3 r (1)


F2︷︸︸︷M2r2 = −GM1M2

r3 r (2)


r = −G(M1 + M2)

r3 r

≡ −µrr3 ,

(3)




M1

M2

O

r1r2

r

M1 . . .”Sonne“



r ≡ |r|v ≡ r


F1︷︸︸︷M1r1 =

GM1M2

r3 r (1)


F2︷︸︸︷M2r2 = −GM1M2

r3 r (2)


r = −G(M1 + M2)

r3 r

≡ −µrr3 ,

(3)




M1

M2

O

r1r2

r

M1 . . .”Sonne“



r ≡ |r|v ≡ r


F1︷︸︸︷M1r1 =

GM1M2

r3 r (1)


F2︷︸︸︷M2r2 = −GM1M2

r3 r (2)


r = −G(M1 + M2)

r3 r ≡ −µrr3 , (3)

wobei µ ≡ G(M1 + M2) definiert wurde.

Gesuchte Losung: r(t).Problem: Gleichungssystem ist 6. Ordnung.⇒Wir suchen 6 Bewegungskonstanten (Integrale).



M1

M2

O

r1r2

r

M1 . . .”Sonne“



r ≡ |r|v ≡ r


F1︷︸︸︷M1r1 =

GM1M2

r3 r (1)


F2︷︸︸︷M2r2 = −GM1M2

r3 r (2)


r = −G(M1 + M2)

r3 r ≡ −µrr3 , (3)



6.3. Drehimpulsintegral6.3. Drehimpulsintegral

Vektorprodukt r× (3) ergibt:

r× r = −µr× rr3 = 0.

Aber es gilt auch

ddt

(r× r) = r× r + r× r

= 0

und somit (nach Integration)

r× r ≡ c, c = const.

Diese Konstante ist der reduzierte (ohne M2) Drehimpulsvektor des Planeten(im Bezug auf den Stern).

Einerseits ist c ⊥ r (und c ⊥ r), andererseits gilt c = const, sodass dieBewegung in einer Ebene (senkrecht zu c) bleibt.




r× r = −µr× rr3 = 0.

Aber es gilt auch

ddt

(r× r) = r× r + r× r

= 0








r× r = −µr× rr3 = 0.

Aber es gilt auch

ddt

(r× r) =r× r + r× r

= 0








r× r = −µr× rr3 = 0.

Aber es gilt auch

ddt

(r× r) =r× r +r× r

= 0








r× r = −µr× rr3 = 0.

Aber es gilt auch

ddt

(r× r) =r× r +r× r = 0








r× r = −µr× rr3 = 0.

Aber es gilt auch

ddt

(r× r) =r× r +r× r = 0






6.4. Energieintegral6.4. Energieintegral

Skalarprodukt r · (3) oder v · (3) ergibt:

v · v = −µv · rr3 .

Die linke Seite ist eine zeitliche Ableitung:

v · v =ddt

(v · v2

)

=ddt

(v2

2

).

Die rechte Seite auch:

−µv · rr3 = −µ r · r

r3

= −µ rr2 =

ddt

(µr

).

Daraus ergibt sich

ddt

(v2

2

)=

ddt

(µr

)

bzw.ddt

(v2

2− µ

r

)= 0

oder (nach Integration uber t)

v2

2− µ

r=

h2, h = const.




v · v = −µv · rr3 .


v · v =ddt

(v · v2

)

=ddt

(v2

2

).


−µv · rr3 = −µ r · r

r3

= −µ rr2 =

ddt

(µr

).

Daraus ergibt sich

ddt

(v2

2

)=

ddt

(µr

)

bzw.ddt

(v2

2− µ

r

)= 0


v2

2− µ

r=

h2, h = const.




v · v = −µv · rr3 .


v · v =ddt

(v · v2

)=

ddt

(v2

2

).


−µv · rr3 = −µ r · r

r3

= −µ rr2 =

ddt

(µr

).

Daraus ergibt sich

ddt

(v2

2

)=

ddt

(µr

)

bzw.ddt

(v2

2− µ

r

)= 0


v2

2− µ

r=

h2, h = const.




v · v = −µv · rr3 .


v · v =ddt

(v · v2

)=

ddt

(v2

2

).


−µv · rr3 = −µ r · r

r3

= −µ rr2 =

ddt

(µr

).

Daraus ergibt sich

ddt

(v2

2

)=

ddt

(µr

)

bzw.ddt

(v2

2− µ

r

)= 0


v2

2− µ

r=

h2, h = const.




v · v = −µv · rr3 .


v · v =ddt

(v · v2

)=

ddt

(v2

2

).


−µv · rr3 = −µ r · r

r3 = −µ rr2

=ddt

(µr

).

Daraus ergibt sich

ddt

(v2

2

)=

ddt

(µr

)

bzw.ddt

(v2

2− µ

r

)= 0


v2

2− µ

r=

h2, h = const.




v · v = −µv · rr3 .


v · v =ddt

(v · v2

)=

ddt

(v2

2

).


−µv · rr3 = −µ r · r

r3 = −µ rr2 =

ddt

(µr

).

Daraus ergibt sich

ddt

(v2

2

)=

ddt

(µr

)

bzw.ddt

(v2

2− µ

r

)= 0


v2

2− µ

r=

h2, h = const.




v · v = −µv · rr3 .


v · v =ddt

(v · v2

)=

ddt

(v2

2

).


−µv · rr3 = −µ r · r

r3 = −µ rr2 =

ddt

(µr

).

Daraus ergibt sich

ddt

(v2

2

)=

ddt

(µr

)

bzw.ddt

(v2

2− µ

r

)= 0


v2

2− µ

r=

h2, h = const.




v · v = −µv · rr3 .


v · v =ddt

(v · v2

)=

ddt

(v2

2

).


−µv · rr3 = −µ r · r

r3 = −µ rr2 =

ddt

(µr

).

Daraus ergibt sich

ddt

(v2

2

)=

ddt

(µr

)bzw.

ddt

(v2

2− µ

r

)= 0


v2

2− µ

r=

h2, h = const.




v · v = −µv · rr3 .


v · v =ddt

(v · v2

)=

ddt

(v2

2

).


−µv · rr3 = −µ r · r

r3 = −µ rr2 =

ddt

(µr

).

Daraus ergibt sich

ddt

(v2

2

)=

ddt

(µr

)bzw.

ddt

(v2

2− µ

r

)= 0


v2

2− µ

r=

h2, h = const.



v2

2− µ

r=

h2, h = const

Links stehen reduzierte (ohne M2) kinetische und potenzielle Energie.

”h“ ist die Energiekonstante.

h < 0: Bewegung raumlich beschrankt, da r→∞ nicht moglich.

h ≥ 0: Bewegung ins Unendliche moglich.

Bisher 4 Integrale gefunden. . .



v2

2− µ

r=

h2, h = const








v2

2− µ

r=

h2, h = const








v2

2− µ

r=

h2, h = const







6.5. Laplace-Integral6.5. Laplace-Integral

Vektorprodukt c× (3):

c× r = (r× r)×(−µr

r3

)

=µ

r3 [r× (r× r)]

oder, da a× (b× c) = b · (a · c)− c · (a · b),

c× r =µ

r3 [r · (r · r)− r · (r · r)]

=µ

r3

[rrr− rr2] =

µrrr2 −

µrr

=ddt

(−µr

r

).

Wegen c = const gilt aber auch

c× r =ddt

(c× r)

und somit

c× r + µrr

= const ≡ −µe.




c× r = (r× r)×(−µr

r3

)=µ

r3 [r× (r× r)]


c× r =µ

r3 [r · (r · r)− r · (r · r)]

=µ

r3

[rrr− rr2] =

µrrr2 −

µrr

=ddt

(−µr

r

).


c× r =ddt

(c× r)

und somit

c× r + µrr

= const ≡ −µe.




c× r = (r× r)×(−µr

r3

)=µ

r3 [r× (r× r)]


c× r =µ

r3 [r · (r · r)− r · (r · r)]

=µ

r3

[rrr− rr2] =

µrrr2 −

µrr

=ddt

(−µr

r

).


c× r =ddt

(c× r)

und somit

c× r + µrr

= const ≡ −µe.




c× r = (r× r)×(−µr

r3

)=µ

r3 [r× (r× r)]


c× r =µ

r3 [r · (r · r)− r · (r · r)] =µ

r3

[rrr− rr2]

=µrrr2 −

µrr

=ddt

(−µr

r

).


c× r =ddt

(c× r)

und somit

c× r + µrr

= const ≡ −µe.




c× r = (r× r)×(−µr

r3

)=µ

r3 [r× (r× r)]


c× r =µ

r3 [r · (r · r)− r · (r · r)] =µ

r3

[rrr− rr2] =

µrrr2 −

µrr

=ddt

(−µr

r

).


c× r =ddt

(c× r)

und somit

c× r + µrr

= const ≡ −µe.




c× r = (r× r)×(−µr

r3

)=µ

r3 [r× (r× r)]


c× r =µ

r3 [r · (r · r)− r · (r · r)] =µ

r3

[rrr− rr2] =

µrrr2 −

µrr

=ddt

(−µr

r

).


c× r =ddt

(c× r)

und somit

c× r + µrr

= const ≡ −µe.




c× r = (r× r)×(−µr

r3

)=µ

r3 [r× (r× r)]


c× r =µ

r3 [r · (r · r)− r · (r · r)] =µ

r3

[rrr− rr2] =

µrrr2 −

µrr

=ddt

(−µr

r

).


c× r =ddt

(c× r)

und somit

c× r + µrr

= const ≡ −µe.




c× r = (r× r)×(−µr

r3

)=µ

r3 [r× (r× r)]


c× r =µ

r3 [r · (r · r)− r · (r · r)] =µ

r3

[rrr− rr2] =

µrrr2 −

µrr

=ddt

(−µr

r

).


c× r =ddt

(c× r)

und somit

c× r + µrr

= const ≡ −µe.



c× r + µrr

= const ≡ −µe. (4)

Dies ist das Laplace-Integral und e ist der Laplace-Vektor.

Haben wir jetzt 7 Integrationskonstanten?

Nein! Der Laplace-Vektor ist nicht ganz unabhangig von den vorigenIntegralen:

c · e = 0

und

µ2(e2 − 1) = hc2 (c = |c| und e = |e|).

Es sind also bisher 5 Konstanten. Die sechste ist die Position entlang der Bahnzu einem fixen Zeitpunkt.



c× r + µrr

= const ≡ −µe. (4)




c · e = 0

und

µ2(e2 − 1) = hc2 (c = |c| und e = |e|).




c× r + µrr

= const ≡ −µe. (4)




c · e = 0

und

µ2(e2 − 1) = hc2 (c = |c| und e = |e|).



6.6. Geometrie der Bahnen6.6. Geometrie der Bahnen

M1

M2

r

eθ

Wir nutzen e als Bezugsrichtung, und es folgt:

r · e = re cos θ. (5)

Andererseits gilt wegen (4) auch:

r · e = −r ·[

c× rµ

+rr

]

=r · (r× c)

µ− r =

(r× r) · cµ

− r

=c2

µ− r.

Nach Gleichsetzen von (6) und (5) ergibt sich diebekannte Gleichung fur Kegelschnitte in Polarkoor-dinaten:

r(θ) =c2/µ

1 + e cos θ.



M1

M2

r

eθ


r · e = re cos θ. (5)


r · e = −r ·[

c× rµ

+rr

]

=r · (r× c)

µ− r =

(r× r) · cµ

− r

=c2

µ− r.


r(θ) =c2/µ

1 + e cos θ.



M1

M2

r

eθ


r · e = re cos θ. (5)


r · e = −r ·[

c× rµ

+rr

]

=r · (r× c)

µ− r =

(r× r) · cµ

− r

=c2

µ− r.


r(θ) =c2/µ

1 + e cos θ.



M1

M2

r

eθ


r · e = re cos θ. (5)


r · e = −r ·[

c× rµ

+rr

]=

r · (r× c)

µ− r

=(r× r) · c

µ− r

=c2

µ− r.


r(θ) =c2/µ

1 + e cos θ.



M1

M2

r

eθ


r · e = re cos θ. (5)


r · e = −r ·[

c× rµ

+rr

]=

r · (r× c)

µ− r =

(r× r) · cµ

− r

=c2

µ− r.


r(θ) =c2/µ

1 + e cos θ.



M1

M2

r

eθ


r · e = re cos θ. (5)


r · e = −r ·[

c× rµ

+rr

]=

r · (r× c)

µ− r =

(r× r) · cµ

− r

=c2

µ− r. (6)


r(θ) =c2/µ

1 + e cos θ.



M1

M2

r

eθ


r · e = re cos θ. (5)


r · e = −r ·[

c× rµ

+rr

]=

r · (r× c)

µ− r =

(r× r) · cµ

− r

=c2

µ− r. (6)


r(θ) =c2/µ

1 + e cos θ.



e

M2

θr

M1

b

a a e

r(θ) =c2/µ

1 + e cos θ

e zeigt z. sonnennachsten Pkt. (Perihel)e = |e| . . . (numerische) Exzentrizitat

0 ≤ e < 1: Ellipsee = 1: Parabele > 1: Hyperbel

a . . . große Halbachse

b . . . kleine Halbachse = a√

1− e2

I. Drehimpulskonstante: c =√µa(1− e2), weil

rmin = a(1−e) ≡ q, rmax = a(1+e) ≡ Q

, und somit r(θ) =a(1− e2)

1 + e cos θ.

II. Energiekonstante (ohne Ableitung): h = −µ/a und somit

v2 = µ

(2r− 1

a

).



e

M2

θr

M1

b

a a e

r(θ) =c2/µ

1 + e cos θ





1− e2


rmin = a(1−e) ≡ q, rmax = a(1+e) ≡ Q


1 + e cos θ.


v2 = µ

(2r− 1

a

).



e

M2

θr

M1

b

a

a e

r(θ) =c2/µ

1 + e cos θ





1− e2


rmin = a(1−e) ≡ q, rmax = a(1+e) ≡ Q


1 + e cos θ.


v2 = µ

(2r− 1

a

).



e

M2

θr

M1

b

a

a e

r(θ) =c2/µ

1 + e cos θ





1− e2


rmin = a(1−e) ≡ q, rmax = a(1+e) ≡ Q


1 + e cos θ.


v2 = µ

(2r− 1

a

).



e

M2

θr

M1

b

a a e

r(θ) =c2/µ

1 + e cos θ





1− e2


rmin = a(1−e) ≡ q, rmax = a(1+e) ≡ Q


1 + e cos θ.


v2 = µ

(2r− 1

a

).



e

M2

θr

M1

b

a a e

r(θ) =c2/µ

1 + e cos θ





1− e2


rmin = a(1−e) ≡ q, rmax = a(1+e) ≡ Q, und somit r(θ) =a(1− e2)

1 + e cos θ.


v2 = µ

(2r− 1

a

).



e

M2

θr

M1

b

a a e

r(θ) =c2/µ

1 + e cos θ





1− e2


rmin = a(1−e) ≡ q, rmax = a(1+e) ≡ Q, und somit r(θ) =a(1− e2)

1 + e cos θ.


v2 = µ

(2r− 1

a

).


6.7. Kepler’sche Gesetze6.7. Kepler’sche Gesetze

I. Das erste Kepler’sche Gesetz . . . haben wir bereits bewiesen:

Die Bahn eines Planeten ist eine Ellipse mit der Sonne in einem Brennpunkt.

II. Das zweite Kepler’sche Gesetz:

M1 M2

r + dr

r

dS dr

= v dt

dS = 12 |r× dr|

= 12 |r× (v dt)| = 1

2 c dt.

Der Radiusvektor eines Planeten uberstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flachen.






M1 M2

r + dr

r

dS dr

= v dtdS = 1

2 |r× dr|

= 12 |r× (v dt)| = 1

2 c dt.







M1 M2

r + dr

r

dS dr

= v dt

dS = 12 |r× dr|

= 12 |r× (v dt)| = 1

2 c dt.







M1 M2

r + dr

r

dS dr = v dtdS = 1

2 |r× dr| = 12 |r× (v dt)|

= 12 c dt.







M1 M2

r + dr

r

dS dr = v dtdS = 1

2 |r× dr| = 12 |r× (v dt)| = 1

2 c dt.







M1 M2

r + dr

r

dS dr = v dtdS = 1

2 |r× dr| = 12 |r× (v dt)| = 1

2 c dt.




III. Das dritte Kepler’sche Gesetz:

Integration von dS uber eine volle Umlaufperiode P:

S = 12

P∫0

c dt

= 12 cP = 1

2

√µa(1− e2)P.

Andererseits gilt fur die Flache einer Ellipse

S = πab = πa2√

1− e2.

Nach Gleichsetzen, Quadrieren und Umformen folgt

P2

a3 =4π2

µ

=4π2

G(M1 + M2)≈ 4π2

GM1(→ fur alle Planeten gleich).

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die drittenPotenzen ihrer großen Halbachsen.





S = 12

P∫0

c dt = 12 cP

= 12

√µa(1− e2)P.


S = πab = πa2√

1− e2.


P2

a3 =4π2

µ

=4π2

G(M1 + M2)≈ 4π2







S = 12

P∫0

c dt = 12 cP = 1

2

√µa(1− e2)P.


S = πab = πa2√

1− e2.


P2

a3 =4π2

µ

=4π2

G(M1 + M2)≈ 4π2







S = 12

P∫0

c dt = 12 cP = 1

2

√µa(1− e2)P.


S = πab = πa2√

1− e2.


P2

a3 =4π2

µ

=4π2

G(M1 + M2)≈ 4π2







S = 12

P∫0

c dt = 12 cP = 1

2

√µa(1− e2)P.


S = πab = πa2√

1− e2.


P2

a3 =4π2

µ

=4π2

G(M1 + M2)≈ 4π2







S = 12

P∫0

c dt = 12 cP = 1

2

√µa(1− e2)P.


S = πab = πa2√

1− e2.


P2

a3 =4π2

µ=

4π2

G(M1 + M2)

≈ 4π2







S = 12

P∫0

c dt = 12 cP = 1

2

√µa(1− e2)P.


S = πab = πa2√

1− e2.


P2

a3 =4π2

µ=

4π2

G(M1 + M2)≈ 4π2

GM1

(→ fur alle Planeten gleich).






S = 12

P∫0

c dt = 12 cP = 1

2

√µa(1− e2)P.


S = πab = πa2√

1− e2.


P2

a3 =4π2

µ=

4π2

G(M1 + M2)≈ 4π2







S = 12

P∫0

c dt = 12 cP = 1

2

√µa(1− e2)P.


S = πab = πa2√

1− e2.


P2

a3 =4π2

µ=

4π2

G(M1 + M2)≈ 4π2




6.8. Bahnelemente6.8. Bahnelemente

Die 6 Bewegungsintegrale entsprechen 6 Konstanten, die die Bewegungvollstandig beschreiben.

(c, h, e) und (r, r) sind unanschaulich.

Daher definiert man die Bahn uber 6”Bahnelemente“:

i . . . InklinationΩ . . . Lange des aufsteigenden Knotensω . . . Argument des Perizentrumsa . . . große Halbachsee . . . ExzentrizitatT . . . Perizentrumszeit


















i . . . Inklination

Ω . . . Lange des aufsteigenden Knotensω . . . Argument des Perizentrumsa . . . große Halbachsee . . . ExzentrizitatT . . . Perizentrumszeit






i . . . InklinationΩ . . . Lange des aufsteigenden Knotens

ω . . . Argument des Perizentrumsa . . . große Halbachsee . . . ExzentrizitatT . . . Perizentrumszeit






i . . . InklinationΩ . . . Lange des aufsteigenden Knotensω . . . Argument des Perizentrums

a . . . große Halbachsee . . . ExzentrizitatT . . . Perizentrumszeit






i . . . InklinationΩ . . . Lange des aufsteigenden Knotensω . . . Argument des Perizentrumsa . . . große Halbachse

e . . . ExzentrizitatT . . . Perizentrumszeit






i . . . InklinationΩ . . . Lange des aufsteigenden Knotensω . . . Argument des Perizentrumsa . . . große Halbachsee . . . Exzentrizitat

T . . . Perizentrumszeit








Documents

6. Himmelsmechaniktloehne/EinfAstro/Vorlesung6.pdf · Einf¨uhrung in die Astronomie 6. Himmelsmechanik. 6.1. Probleme der Himmelsmechanik Beispiele f¨ur weitere Probleme: Verallgemeinerung