119

6 Planimetrie

6.1 Úhel

V kapitole 1.4 jsme zopakovali některé základní množiny bodů – geometrické útvary: bod, přímka rovina, polopřímka, polorovina, úhel a jeho velikost, trojúhelník, kružnice a kruhový oblouk. V kapitole 5.7 jsme tyto poznatky doplnili o obloukovou míru úhlů. Výsledky těchto předběžných úvah využijeme nyní k soustavnějšímu zopakování geometrických poznatků. V této kapitole se budeme zabývat geometrií v rovině – planimetrií, v kapitole následující pak geometrií v prostoru – stereometrií. Zopakujme, že úhlem rozumíme buď průnik dvou polorovin s různoběžnými hraničními přímkami (konvexní úhel) nebo jejich sjednocení (nekonvexní úhel). Dále budeme potřebovat následující pojmy: Vrcholové úhly: Dvě různoběžky ,p q se společným bodem V rozdělí rovinu na čtyři úhly – dvě dvojice úhlů jejichž ramena jsou opačné polopřímky. Takové úhly nazýváme úhly vrcholové. Vrcholové úhly jsou shodné.

Úhly souhlasné a střídavé: Mějme tři přímky: p q ; m p× . Souhlasnými úhly rozumíme úhly ležící v téže polorovině s hraniční přímkou m , přičemž oba jsou zároveň ostré nebo tupé. Střídavými úhly rozumíme úhly ležící v opačných polorovinách s hraniční přímkou m , přičemž jsou oba zároveň ostré nebo oba zároveň tupé. Souhlasné úhly jsou shodné. Střídavé úhly jsou shodné.

Souhlasné a střídavé úhly lze definovat obecně i mezi přímkami, které rovnoběžné nejsou. Definice je formálně poněkud složitější, proto ji jen naznačíme: souhlasnými úhly rozumíme úhly, které leží na „stejné straně přímky m ” (tj. současně vlevo nebo současně vpravo) a na „stejných stranách přímek ,p q ” (tj. současně nahoře nebo dole). Přímky ,p q pak nemusí být rovnoběžné a souhlasné úhly nemusí být shodné (podobně pro úhly střídavé). Výše uvedené věty bychom pak mohli formulovat ve tvaru implikace, např::

Jestliže jsou přímky ,p q rovnoběžné, pak souhlasné (střídavé) úhly jsou shodné. Pro takto definované souhlasné a střídavé úhly platí i věta obrácená:

Jestliže jsou souhlasné (střídavé) úhly shodné, pak jsou přímky ,p q rovnoběžné. Větu tedy můžeme vyslovit ve tvaru ekvivalence: Souhlasné (střídavé) úhly jsou shodné právě tehdy, kyž jsou přímky ,p q rovnoběžné.

Opravdovým matematikem může být pouze ten, kdo se o matematiku zajímá zcela nezištně (Euklides)

120

6. 2 Trojúhelník

Trojúhelníkem ABC (označíme ABC∆ ) rozumíme průnik polorovin

ABC ABC ACB CBA∆ = ∩ ∩ ,

kde ; ;A B C jsou navzájem různé body, které neleží na jedné přímce. Nazýváme je vrcholy trojúhelníka. Spojnice vrcholů nazýváme strany trojúhelníka a značíme malými písmeny ( AB c= ; BC a= ; AC b= ). Malá písmena lze tak chápat v podstatě trojím způsobem:

a) jako označení přímky, na které leží dva vrcholy,

b) jako označení strany trojúhelníka (tj. označení úsečky), c) jako velikost příslušné strany.

Konkrétní význam bývá vždy zřejmý ze souvislostí.

Sjednocení stran trojúhelníka nazýváme obvodem trojúhelníka. Konvexní úhly BACα = ; ABCβ = ; ACBγ = jsou vnitřní úhly trojúhelníka, úhly k nim doplňkové jsou pak

vnější úhly trojúhelníka. Součet vnitřních úhlů trojúhelníka: V ABC∆ veďme např. vrcholem C rovnoběžku se stranou c a označme '; 'α β úhly dle připojeného obrázku. Je

0' ' 180α β γ+ + = . Protože však 'α α= ; 'β β= (střídavé úhly), je

0180α β γ+ + = .

Součet vnějších úhlů trojúhelníka: V ABC∆ označme '; '; 'α β γ vnější úhly. Je tedy 0' 180α α= − ; 0' 180β β= − ; 0' 180γ γ= − ,

tj,:

0 0 0

0

0 0

0

' ' ' (180 ) (180 ) (180 )' ' ' 540 ( )' ' ' 540 180' ' ' 360 .

α β γ α β γα β γ α β γα β γα β γ

+ + = − + − + −+ + = − + ++ + = −+ + =

Trojúhelníky dělíme: podle délek stran na - různostranné - rovnoramenné - rovnostranné, podle velikosti vnitřních úhlů na - tupoúhlé - pravoúhlé - ostroúhlé. Trojúhelníková nerovnost: Součet délek libovolných dvou stran trojúhelníka je vždy větší než délka třetí strany. Rozdíl délek libovolných dvou stran trojúhelníka je vždy menší než délka třetí strany.

Proti větší straně trojúhelníka leží větší vnitřní úhel.

121

Proti menší straně trojúhelníka leží menší vnitřní úhel. Proti shodným stranám trojúhelníka leží shodné vnitřní úhly.

Shodnost trojúhelníků: Trojúhelníky stejně jako jiné útvary jsou shodné právě tehdy, lze-li jeden na druhý přemístit tak, že splynou. V případě trojúhelníků to znamená, že musí mít shodné všechny strany a všechny úhly. Zapisujeme ' ' 'ABC A B C∆ ≅ ∆ . Vrcholy trojúhelníka v tomto zápisu je třeba chápat jako uspořádané trojice. Tento zápis totiž znamená, že shodné jsou právě strany ' 'AB A B≅ ; ' 'AC A C≅ ; ' 'BC B C≅ . a úhly 'α α= ; 'β β= ; 'γ γ= . Při zjišťování shodnosti trojúhelníků však není nutné dokazovat shodnost všech tří stran a zároveň všech tří úhlů. Stačí dokázat, že je splněna některá z postačujících podmínek shodnosti trojúhelníků. Ty jsou formulovány v tzv. větách o shodnosti trojúhelníků: Dva trojúhelníky jsou shodné právě tehdy, když se shodují: věta sss: ve všech třech stranách; věta sus: ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich; věta usu: v jedné straně a úhlech k ní přilehlých. Podobnost trojúhelníků: Dva trojúhelníky ABC∆ ; ' ' 'A B C∆ se nazývají podobné (značíme

' ' 'ABC A B C∆ ∆∼ ) právě tehdy, když existuje kladné reálné číslo k (koeficient podobnosti) takové, že ' 'AB k A B= ⋅ ; ' 'AC k A C= ⋅ ; ' 'BC k B C= ⋅ . Stejně jako v zápisu shodnosti i v zápisu podobnosti je třeba chápat vrcholy jako uspořádané trojice. Zápis nás tedy informuje nejen o podobnosti samotné, ale rovněž o tom, které vrcholy, strany a úhly si v této podobnosti „odpovídají“. Ani podobnost trojúhelníků nemusíme ověřovat vždy přímo z definice, i zde existují věty o podobnosti analogické větám o shodnosti: Dva trojúhelníky jsou podobné právě tehdy, když: věta uu: se shodují ve dvou úhlech; věta sus: se shodují v poměru dvou stran a úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: se shodují v poměru dvou stran a úhlu proti větší z nich. Příčky v trojúhelníku jsou spojnice významných bodů. Jejich názvy se používají opět v podstatě ve třech významech: a) jako označení přímky, na které leží dva významné body; b) jako označení úsečky, kde významné body jsou zároveň body krajními; c) jako velikost úsečky z bodu b). Většinou se chápou ve významu b), případný jiný význam je většinou patrný z kontextu (např. „trojúhelník má výšku 5 cm“). Střední příčka - spojnice středů dvou stran.

Trojúhelníky ABC∆ a B AS S C∆ se shodují v poměru velikostí dvou stran 2 BAC S C= ⋅ ; 2 ABC S C= ⋅ a úhlu jimi sevřeném (úhel γ mají společný). Podle věty sus jsou tedy

podobné. Znamená to, že i 2 b aAB S S= ⋅ , a a bBAC S S C≅ . Tyto úhly jsou však

122

souhlasné úhly mezi úsečkami AB ; b aS S . Tyto úsečky musí být tedy rovnoběžné (viz poslední větu předchozí kapitoly). Totéž platí i pro zbývající příčky:

Každá střední příčka je rovnoběžná se stranou, kterou neprochází, a má poloviční délku. Výška - kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu. Všechny výšky se protínají v jednom bodě (tzv. ortocentrum). V případě tupoúhlého trojúhelníka se tento bod nachází mimo trojúhelník. a bACP BCP∆ ∆∼ (věta uu – oba

pravoúhlé, ACB společný). Tedy: 1

1 1: :1

b a

b a a a b

b

v va b a a a bv v b v b v v

v

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = .

Podobně 1 1: :b c

b cv v

= .

Shrnuto: 1 1 1: : : :a b c

a b cv v v

=

Těžnice - spojnice vrcholu a středu protější strany. Všechny těžnice se protínají v jednom bodě (tzv. těžiště). a cATC S TS∆ ∆∼ (věta uu -

c aS S AC ). 2 2c a aAC S S AT TS= ⋅ ⇒ = ⋅ (analogicky na zbývajících těžnicích). Težiště dělí každou těžnici v poměru 2:1.

6.3 Kružnice a kruh

Kružnice: je množina bodů v rovině, které mají od daného pevného bodu (středu) stejnou vzdálenost (tzv. poloměr kružnice). Poloměrem kružnice nazýváme zároveň každou úsečku s jedním krajním bodem ve středu kružnice a druhým na kružnici. Kružnici značíme nejčastěji k (v případě potřeby odlišujeme indexem). Kružnici nejčastěji zadáváme jejím středem a poloměrem. Je-li kružnice k určena středem S a poloměrem r , zapisujeme ( , )k S r≡ . Kruhový oblouk: Dva body kružnice ; A k B k∈ ∈ rozdělí tuto kružnici na dva kruhové

oblouky (kruhový oblouk značíme AB ). Tětiva kružnice ( , )k S r≡ je libovolná úsečka AB , kde ,A B k∈ . Prochází-li středem kružnice, nazýváme ji průměrem kružnice. Průměr je tedy nejdelší tětiva kužnice. Podobně

123

jako u poloměru používáme i termín průměr také ve smyslu „velikost nejdelší tětivy“. Značíme d a platí 2d r= . Kružnice a přímka: mají a) dva společné body (takovou přímku nazýváme sečnou), b) jeden společný bod (přímku nazýváme tečnou, společný bod je bod dotyku, říkáme také, že kružnice se dotýká přímky), c) žádný společný bod (hovoříme o vnější přímce).

Pata kolmice vedené ze středu kružnice na sečnu AB je středem úsečky AB (tětivy). Tečna kružnice je kolmá k poloměru, který spojuje střed s bodem dotyku. Bodem M ležícím vně kružnice k procházejí právě dvě tečny této kružnice. Délka úsečky MT se nazývá délka tečny. Úhel ASBω = , jehož vrcholem je střed kružnice a ramena procházejí krajními body oblouku AB , nazýváme středový úhel příslušný tomuto oblouku. Každý úhel AVBα = , kde body , ,A V B leží na kružnici, nazýváme obvodovým úhlem příslušným k oblouku AB , který v tomto úhlu leží. Uvažujme případ, že S AVB∈ (viz připojený obrázek). Rozdělme středový i obvodový úhel přímkou spojující body

,V S , druhý průsečík s kružnicí označme W . Dále označme

1AVS α= ; 2BVS α= ; 1ASW ω= ; 2BSW ω= . Protože ( )VS AS r= = , je 1VAS α= . Ze známého součtu úhlů v VAS∆ máme 0

1180 2ASV α= − . Úhel ASV je však také vedlejší k 1ω , je tedy 0

1180ASV ω= − . Znamená to, že

0 01 1 1 1180 180 2 2ASV ω α ω α= − = − ⇒ = .

Stejně lze ukázat, že 2 22ω α= . Je tedy 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2( )ω ω α α ω ω α α+ = + ⇒ + = + . Avšak 1 2ω ω ω+ = ; 1 2α α α+ = , tj. 2ω α= . V případě, že S AVB∉ je postup analogický a výsledek stejný. Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti úhlu obvodového příslušného k témuž oblouku. Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku jsou shodné. Speciálním případem je: Thaletova věta: Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý (neboli všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé).

124

Konvexní úhel ABX , kde body AB leží na kružnici a X na tečně k této kružnici v bodě A (popř. B ) se nazývá úsekový úhel příslušný k oblouku AB , který v tomto oblouku leží. Úsekový úhel je shodný se všemi obvodovými úhly příslušnými k témuž oblouku.

Mocnost bodu ke kružnici: Je dána kružnice ( , )k S r≡ a libovolný bod M . Tímto bodem veďme sečnu (event. tečnu) p ke kružnici k a označme ,A B průsečíky této přímky

s kružnicí, tj. ,A B k p∈ ∩ (event. pro tečnu je A B T≡ ≡ ). Pro každou takto sestrojenou přímku procházející pevným bodem M je

2MA MB konst MT⋅ = = .

Je-li bod M vně kružnice k , nazýváme tento součin mocností bodu ke kružnici, je-li uvnitř kružnice, je mocností číslo MA MB− ⋅ . Mocnost bodů ležících na kružnici, je rovna nule.

Kružnice a trojúhelník:

Kružnice trojúhelníku opsaná: je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Její střed leží v průsečíku os stran, poloměr značíme obvykle r . Kružnice trojúhelníku vepsaná: je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníka. Její střed leží v průsečíku os vnitřních úhlů, její poloměr značíme obvykle ρ .

Kruh: je množina bodů v rovině, které mají od daného pevného bodu (středu) vzdálenost menší nebo rovnu danému kladnému číslu (tzv. poloměr kruhu). Poloměrem kruhu nazýváme zároveň každou úsečku s jedním krajním bodem ve středu kružnice a druhým na kružnici.

125

Kruh značíme nejčastěji K (v případě potřeby odlišujeme indexem). Kruh nejčastěji zadáváme jeho středem a poloměrem. Je-li kruh takto určen, zapisujeme ( , )K S r≡ . Množinu bodů, jejichž vzdálenost je rovna poloměru, nazýváme hranicí kruhu (popř. hraniční kružnicí), množina bodů, jejichž vzdálenost je menší, tvoří vnitřní oblast (vnitřek) kruhu, množina bodů, jejichž vzdálenost je větší, tvoří vnější oblast (vnějšek) kruhu. Dva poloměry SA , SB rozdělí kruh na dvě kruhové výseče, tětiva AB na dvě kruhové úseče. Je-li AB průměr kruhu, nazýváme úseč půlkruhem. Dvě kružnice: Dvě kružnice o různých poloměrech mohou mít nejvýše dva společné body. Mají-li dvě kružnice společný střed, nazýváme je soustředné. Soustředné kružnice buď nemají žádný společný bod nebo mají všechny body společné (splynou). Dvě soustředné kružnice 1 1( ; )k S r≡ ; 2 2( ; )k S r≡ ;

2 1r r> určují tzv. mezikruží. Je to množina bodů, které mají od bodu S vzdálenost 1 2;r r r∈ . Číslo 2 1r r− nazýváme šířkou mezikruží. Průnik středového úhlu a mezikruží se nazývá výseč mezikruží. Kružnice, které nemají společný střed, se nazývají nesoustředné. Dvě nesoustředné kružnice

1 1( ; )k S r≡ ; 2 2( ; )k S r≡ ; 2 1r r> mohou mít právě jednu z poloh znázorněných na připojeném obrázku.

126

6.4 n -úhelníky

n -úhelníkem rozumíme množinu bodů, kterou lze zapsat jako sjednocení 2n − trojúhelníků, z nichž vždy právě dva mají právě jednu společnou stranu (tzv. tvořicích trojúhelníků). n -úhelník nazýváme konvexní právě tehdy, když platí: leží-li body ;A B v mnohoúhelníku, pak v mnohoúhelníku leží celá úsečka AB . Úhlopříčka je spojnice dvou vrcholů, které spolu nesousedí. Součet vnitřních úhlů je součtem vnitřních úhlů všech tvořicích trojúhelníků, tj. 0( 2) 180n − ⋅ . Pravidelný n -úhelník je n -úhelník, který lze zapsat jako sjednocení n rovnoramenných trojúhelníků, které mají společný hlavní vrchol a vždy právě dva mají právě jedno společné rameno. Speciálně místo pravidelný trojúhelník používáme název rovnostranný trojúhelník a místo pravidelný čtyřúhelník používáme název čtverec. Speciální čtyřúhelníky: Lichoběžník: je čtyřúhelník, který má právě jednu dvojici rovnoběžných stran. Strany, které rovnoběžné nejsou, nazýváme ramena. Lichoběžník, jehož ramena jsou shodná, se nazývá rovnoramenný. Rovnoběžník: je čtyřúhelník, který má právě dvě dvojice rovnoběžných stran. Na připojeném obrázku je ACD CAB∆ ≅ ∆ podle věty usu (strana AC je společná,

úhly k ní přilehlé jsou střídavé mezi rovnoběžkami). Znamená, to, že AB CD≅ ; BC DA≅ . Dále tedy ABS CDS∆ ≅ ∆ (opět věta usu, neboť AB CD≅ a přilehlé

úhly jsou opět střídavé úhly mezi rovnoběžkami). To znamená, že AS SC≅ ; BS SD≅ . Shrnuto: Protější strany v rovnoběžníku jsou shodné. Úhlopříčky rovnoběžníka se půlí. Obě tyto vlastnosti jsou podmínkami postačujícími, tj. platí věty: Jestliže jsou protější strany čtyřúhelníka shodné, pak jde o rovnoběžník. Jestliže se úhlopříčky čtyřúhelníka půlí, pak jde rovněž o rovnoběžník. Kosočtverec: je rovnoběžník, který má shodné i sousední strany. V tom případě je ADS CDS∆ ≅ ∆ (usu), a proto ASD CSD≅ . Tyto úhly jsou ale úhly vedlejší, proto

musejí být pravé: Úhlopříčky v kosočtverci jsou na sebe kolmé.

127

Kolmost úhlopříček však není postačující podmínkou k tomu, aby čtyřúhelník byl kosočtvercem (posuňte vrchol A po úhlopříčce AS !). Obdélník: je rovnoběžník, jehož strany jsou na sebe kolmé Čtverec: je obdélník se shodnými stranami (popř. kosočtverec s kolmými stranami). Obecný rovnoběžník (tj. rovnoběžník, který není obdélníkem, čtvercem ani kosočtvercem) nazýváme kosodélník.

6. 5 Pravoúhlý trojúhelník

Euklidova věta o výšce: Na připojeném obrázku máme sestrojen pravoúhlý ABC∆ a bod D je pata výšky cv . Tato výška rozděluje tento trojúhelník na dva trojúhelníky ACD CBD∆ ∆∼ podobné podle věty uu. Oba

jsou totiž pravoúhlé a dále: 090ACD DAC= − 090BCD ACD= − =

( )0 090 90 DAC DAC= − − = , tedy BCD DAC≅ . Platí tedy:

2c bc a b

a c

v cv c c

c v= ⇒ = ⋅

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony. Euklidova věta o odvěsně: Na dalším obrázku je pravoúhlý ABC∆ opět rozdělen výškou, tentokrát nás však zajímá podobnost ABC CBD∆ ∆∼ (opět věta uu - oba jsou

pravoúhlé a úhel β mají společný). Platí:

2b

b

b c b c cc b

= ⇒ = ⋅

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a při-lehlého úseku. Pythagorova věta: Tato asi nejznámější matematická věta je důsledkem dvou vět Euklidových. Zakresleme je do jednoho obrázku a použijme jiné označení: odvěsna a pravoúhlého ABC∆ je nyní výškou pravoúhlého ADB∆ . Úseky jeho přepony jsme označili ,b d . Podle Euklidovy věty o výšce pro ADB∆ je 2a d b= ⋅ .

128

Délka přepony v ADB∆ je b d+ , přepona c v ABC∆ je odvěsnou v ADB∆ . Podle Euklidovy věty o odvěsně pro ADB∆ tedy je

2 2 2( )c b d b c b d b= + ⋅ ⇒ = + ⋅ .

Protože však 2d b a⋅ = , dostáváme pro ABC∆ :

2 2 2c a b= + . Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka se rovná součtu obsahů čtverců sestrojeného nad oběma jeho odvěsnami.

Pythagorovu větu lze také ilustrovat následujícím způsobem: Na připojených obrázcích jsou dva čtverce o straně a b+ , ze kterých jsou „odebrány“ čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky ABC . Po odečtení jejich obsahů zbývají šedé útvary: nahoře čtverec sestrojený nad přeponou c , dole dva čtverce sestrojené nad odvěsnami

;a b . Oba tyto útvary mají obsah 2( ) 4 ABCa b S∆+ − ⋅ , tedy obsah stejný: 2 2 2c a b= + . Platí i věta obrácená, tj.: je-li 2 2 2c a b= + , pak je trojúhelník pravoúhlý. Obrázky navíc geometricky ilustrují vzorečky pro druhou mocninu dvojčlenu: Spodní obrázek říká: Ke čtvercům o obsazích 2a ; 2b jsou přičteny dva obdélníky, každý o obsahu a b⋅ . Vše dohromady dává čtverec o straně a b+ , tedy o obsahu 2( )a b+ . Znamená to, že

2 2 22 ( )a b a b a b+ + ⋅ ⋅ = + . Podobně lze „objevit“ vzorec

2 2 22 ( )a b a b a b+ − ⋅ ⋅ = − (pokuste se o to).

1. Příklad: Sestrojme čtverec, který má stejný obsah jako obdélník o stranách 5 cm; 3 cm. Řešení: a) Pomocí Euklidovy věty o výšce: v pravoúhlém trojúhelníku platí 2

c a bv c c= ⋅ . Je tedy třeba setrojit pravoúhlý trojúhelník tak aby 5 ac cm= ; 3 bc cm= . Jeho přepona bude tedy 8 a bc c c cm= + = . Nad jeho výškou pak sestrojíme hledaný čtverec:

129

Konstrukce: 8c AB cm= =

k -Thaletova kružnice nad AB ; 5 D AB DA cm∈ = ;c cv AB D v⊥ ∈

cC v k∈ ∩ DC je strana hledaného čtverce.

b) Pomocí Euklidovy věty o odvěsně: v pravoúhlém trojúhelníku platí 2

bb c c= ⋅ . Je tedy třeba sestrojit pravoúhlý trojúhelník tak aby

5 c cm= ; 3 bc cm= . Jeho odvěsna pak bude mít stejnou velikost jako strana hledaného čtverce: Konstrukce:

5c AB cm= = k - Thaletova kružnice nad AB

; 3 D AB DA cm∈ = ;c cv AB D v⊥ ∈

cC v k∈ ∩ AC je strana hledaného čtverce.

2. Příklad: Sestrojme úsečku o velikosti 17 cm . Řešení: buď a) dle př. 1a: 17DA cm= ; 1DB cm= 17 DC cm⇒ =

nebo b) dle př. 1b: 16DA cm= ; 1DB cm= 17 AC cm⇒ = 3. Příklad: Sestrojme úsečku o velikosti 41 cm . Řešení: Je možno postupovat podle př. 2. V tomto případě je ovšem možno použít i větu Pythagorovu, neboť 2 241 25 16 5 4= + = + . Sestrojíme-li tedy pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 5 cm a 6 cm , jeho přepona bude mít velikost 41 cm .

4. Příklad: Pravoúhlý trojúhelník má přeponu 20 c cm= a výšku 8 cv cm= . Jak velké úseky

;a bc c vytíná výška cv na straně c ? Řešení: Podle Euklidovy věty o výšce je 2

c a bv c c= ⋅ , ze zadání je zřejmé, že 20a bc c c= + = . Řešíme tedy soustavu rovnic

2816; 4

20a b

a ba b

c cc c

c c= ⋅⇒ = =

= +

5. Příklad: Obdélník ABCD má velikost sousedních stran v poměru 3 : 4 , průměr opsané kružnice je 10 cm . Určeme velikosti stran. Řešení: Průměr kružnice opsané obdélníku je roven délce úhlopříčky, která tento obdélník dělí na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Je tedy:

130

2 2 2

3410 .

ab

a b

=

+ =

Řešením této soustavy dostaneme

22 2

2

2

3 1004

25 10016

16 100254 10 8 6 .5

b b

b

b

b cm a cm

+ =

=

= ⋅

= ⋅ = ⇒ =

6. Příklad: Turista odměřil na mapě v měřítku 1 : 50 000 vzdálenost dvou míst

( , ) 21,4 v A B cm= . Jaká je nejkratší vzdálenost obou míst, má-li bod A kótu 1 288 m a bod B kótu 704 m? Řešení: Horizontální vzdálenost daných bodů je 21,4 50 000 1 070 000 cm =10,7 km⋅ = , převýšení 1 288 704 584 0,584 m km− = = . Skutečná vzdálenost mezi těmito místy je tedy

2 2( , ) 10,7 0,584 10,716 d A B km= + ≈ Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku: V kpt. 5.8 jsme zavedli goniometrické funkce pro obecný úhel. Tyto funkce mají široké uplatnění v trigonometrii – tj. při řešení problémů souvisejících s pravoúhlým i obecným trojúhelníkem. Je známo, že v pravoúhlém trojúhelníku ABC dle připojeného obrázku platí:

sin cos

tg cotg

a b= =c ca b= =b a

α α

α α

Je však třeba si dobře uvědomit tyto vztahy i v trojúhelníku označeném a položeném jinak (viz další obrázek):

sin cos

tg cotg

l n= =m ml n= =n l

λ λ

λ λ

7. Příklad: Vypočtěme zbývající strany a úhly v pravoúhlém trojúhelníku: a) ABC∆ :

120c = ; 50 20'α = ○ (pravý úhel při vrcholu C ) b) RST∆ : 240r = , 59 30'ρ = ○ (pravý úhel při vrcholu T ).

131

Řešení:

a) 90 50 20' 39 40'β = − =○ ○ ○ ; sin sin 120 sin 50 20 ' 92,37a a cc

α α= ⇒ = = ⋅ ° ≈

strana :b např cos cos 120 cos50 20 ' 76,60b b cc

α α= ⇒ = = ⋅ ° ≈

nebo: 2 2 2 2120 92,37 76,60b c a= − = − ≈ .

b) 90 59 30 ' 30 30 'σ = °− ° = ° ; tg tg 240 tg30 30 ' 141,37s s rr

σ σ= ⇒ = = ⋅ ° ≈

141,37cos 278,54

cos cos59 30 's stt

ρρ

= ⇒ = = ≈°

.

8. Příklad: Kolik schodů musí mít schodiště, je-li třeba sklonem 25° překonat výšku 3,27 m a schod má být široký 27 cm?

Řešení: Profil schodu je pravoúhlý trojúhelník dle obrázku. Zde je

tg 25 27 tg 25 12,5927v v° = ⇒ = ° ≈

a potřebný počet schodů je tedy 327 2612,59

n = ≈ .

Neřešené příklady:

1) Sestrojte úsečky o velikostech 8 ; 13 ; 22 ; 29 .

2) Určete obsah obdélníka, jehož délka je 84a cm= a jehož úhlopříčka je o 72cm delší než jeho šířka.

3) Určete vzdálenost dvou rovnoběžných tětiv v kružnici o poloměru 6cm , je-li délka tětiv 6 ;10cm cm . 4) Štít střechy tvaru rovnoramenného trojúhelníka má šířku 12,8 m, spád střechy je 38º. Vypočtěte výšku štítu. 5) Trať má stoupání a) 12% b) 29 ‰. Jaký je úhel stoupání? 6) Z pozorovací věže 105 m nad hladinou moře je zaměřena loď v hloubkovém úhlu 1º49’. Jak daleko je loď od věže?

7) Sílu o velikosti 100F N= rozložte na dvě navzájem kolmé složky 1 2;F F tak, aby úhel mezi výslednicí a jednou složkou byl 43º52’. 8) Břemeno je zavěšeno ke stropu dvěma lany, která se stropem svírají úhel 45º. Jakými silami jsou lana namáhána, je-li tíha břemene 200G N= ? 9) Ve východním větru o rychlosti 10ms-1 letí k severu letadlo vlastní rychlostí 720kmh-1. O jaký úhel se odchýlí od severního směru? 10) Na vodorovné louce na 50º severní šířky stojí osamělý smrk, který 21. března v pravé poledne vrhá stín dlouhý 12 m. Jak je smrk vysoký?

132

Výsledky:

1) Dle řeš. př. 1 a) 4 2 8AD DB DC= ∧ = ⇒ = ; 13 1 13AD DB DC= ∧ = ⇒ = ;

11 2 22AD DB DC= ∧ = ⇒ = ; 29 1 29AD DB DC= ∧ = ⇒ = nebo dle řeš. př. 1 b) 6 2 8AB AD AC= ∧ = ⇒ = ; 13 1 13AB AD AC= ∧ = ⇒ =

11 2 22AB AD AC= ∧ = ⇒ = ; 29 1 29AB AD AC= ∧ = ⇒ =

2) 21092cm 3) dvě řešení: 1.88 ;8.51cm cm . 4) 5 m 5) a) 6º51’ b) 1º51’ 6) asi 3 310 m 7) 1 272.09 ; 69.3F N F N= = 8) 1 2 141F F N= ≈ 9) 2º52’ 10) asi 10 m

6.6 Obecný trojúhelník

Při řešení obecného trojúhelníka používáme dvou důležitých vět:

Sinová věta: Mějme obecný trojúhelník ABC dle připojeného obrázku. Výška cv ho rozdělí

na dva pravoúhlé trojúhelníky ACD ; BCD , ve kterých platí: sin cvb

α = ; sin cva

β = , tedy

sinsin .

c

c

v bv a

αβ

==

Odečtením těchto rovnic dostáváme 0 sin sinb aα β= − neboli

sin sin ,

.sin sin

a ba bβ α

α β

=

=

Zcela analogicky lze ukázat, že stejná rovnost platí i pro stranu c a úhel γ , a dále lze ukázat, že tento podíl je roven průměru kružnice trojúhelníku opsané. Platí tedy

2sin sin sina b c rα β γ= = = .

Tento vztah je opět třeba si uvědomit i v trojúhelníku označeném jinak, např:

2sin sin sink m n rκ µ ν= = = .

1. Příklad: Vypočtěme zbývající strany a úhly v trojúhelníku, je-li dáno: a) ABC∆ : 210c = ;

o62 32 'α = ; o48 56'β = ; b) RST∆ : 722s = ; o49 25'ρ = ; o108 40'τ = . Řešení: a) o o o o o180 180 62 32 ' 48 56 ' 68 32 'γ α β= − − = − − =

o

o

sin 210sin 62 32 ' 200, 22sin sin sin sin 68 32 'a c ca αα γ γ= ⇒ = = ≈

o

o

sin 200, 22 sin 48 56 ' 170,13sin sin sin sin 62 32 'a b ab βα β α

⋅= ⇒ = = ≈

133

b) o o o o o180 180 49 25' 108 40 ' 21 55'σ ρ τ= − − = − − =

o

o

sin 722 sin108 40 ' 1 832,57sin sin sin sin 21 55't s st ττ σ σ

⋅= ⇒ = = ≈

o

o

sin 722 sin 49 25' 1 469,04sin sin sin sin 21 55'r s sr ρρ σ σ

⋅= ⇒ = = ≈

Kosinová věta: Uvažujme obecný trojúhelník ABC , v němž jsou známy strany ;a b a úhel γ , který tyto strany svírají (viz připojený obrázek). Naším úkolem je zjistit velikost strany c . Sestrojme výšku bv , která rozdělí trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky a její pata rozdělí stranu b na úseky 1 2;b b . Platí:

sin sinbb

v v aa

γ γ= ⇒ = ,

11cos cosb b a

aγ γ= ⇒ = .

Podle Pythagorovy věty je:

2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1( ) 2b b bc v b v b b v b bb b= + = + − = + − + .

Dosazením za bv a 1b z výše uvedených vztahů je:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 12 sin 2 cos cos sin cos 2 cosbc v b bb b a b ba a a a b abγ γ γ γ γ γ= + − + = + − + = + + −

Tedy: 2 2 2 2 2 2 2

1

(sin cos ) 2 cos 2 cosc a b ab a b abγ γ γ γ= + + − = + − .

Poslední uvedený vztah vyjadřuje tzv. kosinovou větu pro stranu c . Při výpočtu strany a resp. b bychom dostali analogické vztahy. Shrnuto:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos2 cos2 cos

c a b aba c b bcb a c ac

γ

α

β

= + −

= + −

= + −

Opět je důležité uvědomit si tyto vztahy i pro trojúhelník označený jinak:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos ,2 cos ,2 cos .

m n r nrn m r mrr m n mn

µ

ν

ρ

= + −

= + −

= + −

Kosinová věta je zobecněním věty Pythagorovy, neboť např. je-li v trojúhelníku ABC úhel

902

o πγ = = , pak je

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 cos 2 02

c a b ab c a b ab c a b ab c a bπγ= + − ⇒ = + − ⇒ = + − ⋅ ⇒ = + .

134

2. Příklad: Vypočtěme zbývající strany a úhly v trojúhelníku, je-li dáno: a) ABC∆ : 7a = ; 4b = ; o38γ = b) KLM∆ : 32l = ; 40m = ; o100 21'κ = .

Řešení: a) 2 2 2 2 o2 cos 7 4 2 7 4 cos 38 4.57c a b ab γ= + − = + − ⋅ ⋅ ⋅ ≈ ,

o

osin 4 sin 38sin 0.5389 32 36 'sin sin 4.57b c b

cγβ β

β γ⋅

= ⇒ = = ≈ ⇒ ≈ ,

o o o o o180 180 32 36 ' 38 109 24 'α β γ= − − = − − = .

b) 2 2 2 2 o2 cos 32 40 2 32 40 cos100 21' 55.53k l m lm κ= + − = + − ⋅ ⋅ ⋅ ≈ ,

o

osin 40 sin100 21'sin 0.7086 45 07 'sin sin 55.53k m m

kκµ µ

κ µ⋅

= ⇒ = = ≈ ⇒ ≈ ,

o o o o o180 180 100 21' 45 07 ' 34 32 'λ κ µ= − − = − − = . Větu sinovou používáme, je-li trojúhelník dán

a) dvěma úhly a jednou stranou (tj. podle věty usu); b) dvěma stranami a úhlem proti jedné z nich. Je-li dán úhel proti větší straně, je

trojúhelník zadán jednoznačně podle věty Ssu a úloha má právě jedno řešení. Není-li tomu tak, má úloha dvě řešení.

Větu kosinovou používáme, je-li trojúhelník dán

a) dvěma stranami a úhlem jimi sevřeným (tj. podle věty sus); b) třemi stranami (tj. podle věty sss).

3. Příklad: Vypočtěme zbývající prvky (strany a úhly) v trojúhelníku ABC , je-li dáno:

12,4a = ; 32 40 'β = ° ; 72 30 'γ = ° . Řešení: Trojúhelník je zadán podle věty usu – použijeme sinovou větu. Především dopočítáme zbývající úhel: 180 ( ) 180 (32 40 ' 72 30 ') 74 50 'α β γ= °− + = °− ° + ° = ° .

Dále je: 12,4 sin 72 30 'sin 12,75sin sin sin sin 74 50 'a c ac γα γ α

⋅ °= ⇒ = ⋅ = ≈

°,

12,4 sin 32 40 'sin 6,93sin sin sin sin 74 50 'a b ab βα β α

⋅ °= ⇒ = ⋅ = ≈

°.

Je tedy: 74 50 'α = ° ; 6,93b ≈ ; 12,3c ≈ . 4. Příklad: Vypočtěme zbývající prvky (strany a úhly) v trojúhelníku ABC , je-li dáno:

28,7a = ; 19,5b = ; 53 20 'α = ° . Řešení: Trojúhelník je opět zadán podle věty usu – použijeme sinovou větu.

19,5 sin 53 20 'sin sin 0,545 33sin sin 28,7a b b

aβ α β

α β⋅ °

= ⇒ = ⋅ = ≈ ⇒ ≈ °

180 ( ) 180 (53 20 ' 33 ) 93 40 'γ α β≈ °− + = °− ° + ° = °

28,7 sin 93 40 'sin 35,70sin sin sin sin 53 20 'a c ac γα γ α

⋅ °= ⇒ = ⋅ = ≈

°.

135

5. Příklad: Vypočtěme zbývající prvky (strany a úhly) v trojúhelníku ABC , je-li dáno: 34,8a = ; 56,3b = ; 60γ = ° .

Řešení: Trojúhelník je zadán podle věty sus – použijeme kosinovou větu:

2 2 2 2 2 2 22 cos 2 cos 34,8 56,3 2 34,8 56,3 cos 60 49,2c a b ab c a b abγ γ= + − ⇒ = + − = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ≈ Dále již lze použít větu sinovou:

34,8 sin 60sin sin 0,6126 37 50 'sin sin 49,2a c a

cα γ α

α γ⋅ °

= ⇒ = ⋅ = ≈ ⇒ ≈ ° .

Konečně 180 ( ) 180 (37 50 ' 60 ) 82 10 'β α β= °− + ≈ °− ° + ° = ° . 6. Příklad: Vypočtěme vnitřní úhly trojúhelníka ABC , jsou-li dány všechny jeho strany -

32,4a = ; 56,3b = ; 72,8c = . Řešení:

2 2 2 2 2 22 2 2 56,3 72,8 32, 42 cos cos 0,9051 25 10 '

2 2 56,3 72,8b c aa c b cb

bcα α α+ − + −

= + − ⇒ = = ≈ ⇒ ≈ °⋅ ⋅

.

Úhel β můžeme počítat stejným způsobem, lze již také použít sinovou větu: 47 37 'β = ○ . Úhel γ pak již lze jen dopočítat 180 ( ) 107 13'γ α β= − + =○ ○ .

7. Příklad: Těleso o hmotnosti 2 000m = kg je zavěšeno dvěma lany různé délky na vodorovné traverze. Lana svírají s traverzou úhly o38 26 'α = ; o49 54 'β = . Určeme namáhání lan v tahu (počítejme s gravitačním zrachlením 110 g ms−= ).

Řešení: 2 000 10 20 000 G mg N= = ⋅ =

o o o o o180 180 38 26 ' 49 54 ' 91 40 'γ α β= − − = − − = Řešíme trojúhelník zadaný podle věty usu – použijeme sinovou větu:

o1

1 o

sin 20 000 sin 38 26 ' 12 437 sin sin sin sin 91 40 '

FG GF Nαγ α γ

⋅= ⇒ = = ≈

o

22 o

sin 20 000 sin 49 54 ' 15 305 sin sin sin sin 91 40 '

FG GF Nβγ β γ

⋅= ⇒ = = ≈

Neřešené úlohy: 1) V ABC∆ je a) 16; 25; 36a b c= = = b) 5; 6; 7a b c= = = . Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů.

2) V ABC∆ je a) o o165; 40 50 '; 69 20 'a β γ= = = b) o o722; 49 25'; 108 48 'b α γ= = = . Vypočtěte zbývající strany a úhly. 3) Na vrcholu kopce stojí rozhledna vysoká 35 m. Z údolí vidíme patu rozhledny pod úhlem

o28 a vrchol rozhledny pod úhlem o31 . Jak vysoko je vrchol kopce nad údolím?

136

4) Obce A, B jsou spojeny s obcí C přímými cestami, které svírají úhel o63 20 ' a jsou dlouhé 2 003 m , resp. 1 593 m . Jak dlouhá je přímá cesta z A do B? 5) Dvě nepřístupná místa ,P Q jsou pozorována z míst ,A B , jejichž vzdálenost je

2 000 AB m= . Byly změřeny úhly o52 40 'QAB = ; o42 01'PBA = ; o86 40 'PAB = ; o81 15 'QBA = . Určete vzdálenost PQ (předpokládáme, že všechny body leží ve stejné

rovině). 6) Z bodu A je vyslán světelný paprsek, který má po odrazu od rovinného zrcadla dospět do bodu B . Vzdálenost bodů ,A B je 360 AB cm= , vzdálenost bodu A , resp. bodu B od zrcadla je 70 a cm= resp. 180 b cm= . Určete úhel dopadu paprsku na zrcadlo.

7) Světelný paprsek dopadá na skleněnou tabuli pod úhlem o59 17 ' . Určete tloušťku tabule, jestliže se po průchodu tabulí paprsek posunul o 20,9 mm (index lomu skla je 1,53n = ).

8) Síly o velikostech 1 242 ; 35F N F N= = působí na stejný bod a svírají úhel o77 12 ' . Jaká je velikost výsledné síly? 9) Letadlo letí ve výšce 3 500 m k pozorovatelně. Při dvou měřeních bylo z pozorovatelny vidět pod úhly o25 , resp. o48 . Jakou vzdálenost urazilo letadlo mezi oběma měřeními?

10) Po rampě se sklonem o18 40 ' je třeba vytáhnout těleso tíhy 280 N . Jak velká síla je k tomu potřeba a jak velká bude tlaková síla na rampu (tření zanedbejte)? Výsledky: 1) a) o o o22 20 '; 36 25'; 121 15'α β γ≈ ≈ ≈ b) o o o44 25'; 57 07 '; 78 28 'α β γ≈ ≈ ≈ 2) a) o69 50 '; 114,9; 164,5b cα ≈ ≈ ≈ b) o21 55'; 1 469; 1 833a cβ ≈ ≈ ≈ 3) 269 m 4) 2 122 m 5) 1 633 m 6) o53 54 ' 7) 20,8 mm 8) 62,35F N≈ 9) asi 4 354 m 10) 89,62 N ; 265,27 N

6.7 Obvody a obsahy geometrických obrazců Geometrickým obrazcem (dále jen obrazcem) rozumíme množinu bodů v rovině ohraničenou uzavřenou křivkou (hranicí obrazce), která do této množiny rovněž patří. Hranicí obrazce může být např. sjednocení n úseček (u n -úhelníka), kružnice (u kruhu), sjednocení kruhového oblouku a úsečky (kruhová úseč), sjednocení kruhového oblouku a dvou úsečkek (kruhová výseč) apod. Hranici obrazce může tvořit i více křivek - např. sjednocení dvou kružnic u mezikruží. Obvodem obrazce (značíme o ) rozumíme délku jeho hranice. Obsahem obrazce (značíme S ) je nezáporné reálné číslo, které má následující vlastnosti: 1) Obsahy shodných obrazců jsou si rovny. 2) Je-li obrazec O sjednocením obrazců 1 2; O O , jejichž průnikem je nejvýše jejich hranice, je obsah obrazce O roven součtu obsahů obrazců 1 2; O O . 3) Obsah čtverce o straně 1a = ( , ,...)m cm je 1S = 2 2( , ,...)m cm .

137

Přehled vzorců pro výpočet obvodů a obsahů nejdůležitějších obrazců: trojúhelník

12121 2

a

b

c

o a b c

S a v

b v

c v

= + +

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

obdélník

2( )o a bS a b= += ⋅

čtverec

2 2

412

o a

S a e

=

= =

kosodélník

2( )

a b

o a bS a v b v= += ⋅ = ⋅

1. Příklad: Obdélníková zahrada má obvod 130 m a obsah 1000 m2. Vypočtěme její rozměry. Řešení: Úloha vede na řešení soustavy dvou rovnic

2( ) 1301000

a bab

+ ==

Z první rovnice je 130 22ba −

= . Dosazením do druhé rovnice obdržíme:

2

2

1,2

130 2 10002

2 130 2000 0

40130 130 4 2 2000 130 900 130 30252 2 4 4

b b

b b

b

−⋅ =

− + =

± − ⋅ ⋅ ± ±= = = =

⋅

Dosazením do kterékoli rovnice dostaneme 1 1[ ; ] [25;40]a b = ; 2 2[ ; ] [40;25]a b = . Zahrada má tedy rozměry 25×40 m. 2. Příklad: Jak se změní obsah obdélníka o rozměrech ;a b ; jestliže a) zvětšíme stranu a dvakrát a stranu b třikrát? b) zmenšíme-li oba rozměry o 5%?

kosočtverec 4

12

o a

S a v e f

=

= ⋅ = ⋅

lichoběžník

1 ( )2

o a b c d

S a c v

= + + +

= + ⋅

kruh

2 2

22

14

d ro r d

S r d

π π

π π

== =

= =

mezikruží 1 1 2 2

1 2 1 2

2 2 2 22 1 2 1

2 ; 22 ( ) ( )

1( ) ( )4

d r d ro r r d d

S r r d d

π π

π π

= == + = +

= − = −

pravidelný n -úhelník

1 12 2

o n a

S n a oρ ρ

= ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

138

Řešení: a) Obsah původního obdélníka je 0S a b= ⋅ ; obsah zvětšeného 02 3 6 6S a b a b S= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ , tj. obsah se zvětší šestkrát. b) Obsah původního obdélníka je 0S a b= ⋅ ; obsah zmenšeného

00.95 0.95 0,9025 0.9S a b a b S= ⋅ = ⋅ ⋅ ≈ ⋅ , tj. obsah obdélníka se zmenší asi o 10%. 3. Příklad: Strany trojúhelníka jsou v poměru 3:5:7, jeho obvod je 45 cm. Určeme délky stran. Řešení: Jestliže jsou strany trojúhelníka v daném poměru, znamená to, že existuje číslo k takové, že 3a k= ; 5b k= ; 7c k= . Je-li 3 5 7 15 45O a b c k k k k= + + = + + = = , pak

3k = , a tedy 3 9a k= = cm; 5 15b k= = cm; 7 21c k= = cm. 4. Příklad: Cestovatel vykonal po rovníku cestu kolem světa. Nad jeho hlavou tutéž cestu (jeden oblet) absolvoval satelit ve výšce 500 km. O kolik kilometrů byla jeho cesta delší? Řešme pro Zemi a (hypoteticky) pro Měsíc, předpokládejme kruhové dráhy. Řešení: Pro Zemi: poloměr Země je 6 378 ZR km= , dráha cestovatele je tedy 1 2 2 6 378 40 074 Zd R kmπ π= = ⋅ ⋅ ≈ ,

poloměr dráhy satelitu je 500 6 878 ZR R km= + = , dráha satelitu je tedy 2 2 2 6 878 43 216 d R kmπ π= = ⋅ ⋅ ≈ ,

rozdíl činí 2 1 43 216 40 074 = 3 142 d d d km∆ = − = − . Pro Měsíc: poloměr Měsíce je 1 738 MR km= , dráha cestovatele je tedy 1 2 2 1 738 10 920 Md R kmπ π= = ⋅ ⋅ ≈ ,

poloměr dráhy satelitu je 500 2 238 MR R km= + = , dráha satelitu je tedy

2 2 2 2 238 14 062 Md R kmπ π= = ⋅ ⋅ ≈ ,

rozdíl činí 2 1 14 062 10 920 = 3 142 d d d km∆ = − = − , (tedy přesně tolik, kolik pro Zemi). Vysvětlení tohoto zdánlivého paradoxu není nijak složité – řešme úlohu obecně: Nechť poloměr planety je R , výška dráhy satelitu h . Délka rovníku je pak 1 2d Rπ= , délka dráhy satelitu 2 2 ( )d R hπ= + a rozdíl 2 1 2 ( ) 2 2 2 2 2d d d R h R R h R hπ π π π π π∆ = − = + − = + − = vůbec nezávisí na poloměru planety, ale pouze na výšce satelitu nad ní. Neřešené úlohy 1) Vypočtěte obvod a obsah čtverce, jehož úhlopříčka má délku 10 cm. 2) Vypočtěte obsah rovnostranného trojúhelníka, jehož obvod je 72 cm. 3) Kolo těžní věže má průměr 1,5 m. O kolik metrů se spustí klec výtahu, otočí-li se kolo pětadvacetkrát? 4. Příčný průřez náspu železniční trati má tvar rovnoramenného lichoběžníka se základnami

15 AB m= ; 10,5 CD m= a rameny 5 BC AD m= = . Vypočtěme obsah průřezu.

139

5) Kruhový stůl o poloměru 80 cm vysoký rovněž 80 cm je pokryt čtvercovým ubrusem o délce strany 1,2 m tak, že střed stolu se kryje se středem ubrusu. Jak vysoko nad zemí jsou rohy ubrusu? 6) Délky základen lichoběžníku jsou v poměru 3:2, délka střední příčky je 5 m. Určete délky základen. 7) Běžec proběhl třikrát kruhovou dráhu a uběhl dva kilometry. Jaký je poloměr dráhy? 8) Antický matematik a filosof Erathostenes z Kireny si všiml, že v den jarní rovnodennosti dopadá Slunce v Asuánu v poledne do hlubokých studní až na hladinu vody. O rok později v tentýž den v Alexandrii zjistil, že se sluneční paprsky do studní nedostanou, protože se odchylují od kolmice o o7 . Cesta z Asuánu do Alexandrie byla dlouhá 700 km a vedla prakticky stále na sever. Z těchto skutečností usoudil, že Země je kulatá a dokonce vypočítal přibližnou délku zemského poledníku. Dokážete to také? Výsledky: 1) 20 2o cm= ; 250S cm= ; 2) 2288 3S cm= 3) 118m≈ 4) 257.4m≈ 5) 39.15cm . 6) 6 ;4m m 7) 106.16m 8) Cesta představuje kruhový oblouk příslušný středovému úhlu o7 . Pro délku d celého poledníku je tedy : 700 360 : 7 (700 360) / 7 36 000 d d km= ⇒ = ⋅ = .

6.8 Zobrazení v rovině

V kapitole 1.3 jsme shrnuli nejrůznější typy zobrazení množin. Zopakujme, že zobrazení z množiny S do množiny Z je jistá množina F uspořádaných dvojic [ ; ]x y , kde

; x S y Z∈ ∈ , přičemž každému prvku x S∈ je tímto způsobem přiřazen nejvýše jeden prvek y Z∈ . Zobrazení množin zapisujeme :F S Z→ , zobrazení jednotlivých prvků zapisujeme většinou rovněž :F x y→ (místo [ ; ]x y F∈ ). Je možné rovněž hovořit o zobrazení v množině, a sice v případě, že S Z= . V tom případě hovoříme o zobrazení v množině S , zapisujeme :F S S→ . Tímto zobrazením se nyní budeme zabývat s tím, že množina S bude množina všech bodů roviny. Hovoříme pak o zobrazení v rovině, které budeme většinou zadávat „postupem konstrukce“, který každému bodu roviny přiřadí bod ležící opět v této rovině. Většinou se bude jednat o zobrazení (jedné a téže) roviny α na (tutéž) rovinu α . Abychom v zápisech rozlišili body od zobrazení, budeme zobrazení zapisovat psacími písmeny. Zápis : 'X X→Z tedy znamená, že zobrazení Z zobrazuje bod X do bodu 'X . Bod X se nazývá vzor, 'X obraz. Obraz útvaru U : Obrazem útvaru U v zobrazení Z rozumíme množinu 'U všech obrazů bodů útvaru U . Samodružný bod zobrazení Z je každý bod X , který v zobrazení Z splyne se svým obrazem, tj. 'X X≡ . Samodružný útvar zobrazení Z je každý útvar U , který v zobrazení Z splyne se svým obrazem, tj. 'U U≡ . Identita je zobrazení, v němž je každý bod samodružný. Orientovanou úsečkou v rovině rozumíme úsečku, kde jeden krajní bod je označen jako počáteční a druhý jako koncový. Orientovanou úsečku AB značíme AB .

140

Toto označení se používá i pro polopřímku AB . Z kontextu bude však vždy zřejmé, který útvar máme na mysli a nebude proto hrozit nedorozumění.

Rovnoběžné orientované úsečky AB CD mohou být orientovány buď souhlasně nebo nesouhlasně. Leží-li všechny body na téže přímce, jsou úsečky ;AB CD orientovány souhlasně právě tehdy, když polopřímka AB je podmnožinou polopřímky CD nebo naopak CD je podmnožinou AB . Neleží-li všechny body na téže přímce, pak jsou úsečky ;AB CD orientovány

souhlasně právě tehdy, když úsečky ;AC BD nemají společný bod. Souhlasně či nesouhlasně orientované úsečky nazýváme též úsečkami souhlasně či nesouhlasně rovnoběžnými. Shodné zobrazení (shodnost): je zobrazení, v němž obrazem každé úsečky AB je úsečka

' 'A B shodná s úsečkou AB . V každém shodném zobrazení platí: - obrazem přímky AB je přímka ' 'A B , obrazem rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné

přímky; - obrazem polopřímky AB je polopřímka ' 'A B , obrazem opačných polopřímek jsou

opačné polopřímky; - obrazem poloroviny pA je polorovina ' 'p A , obrazem opačných polorovin jsou opačné

poloroviny; - obrazem úhlu AVB je úhel ' ' 'A V B shodný s úhlem AVB ; - obrazem útvaru U je útvar 'U shodný s útvarem U . Osová souměrnost: Je dána přímka o . Osová souměrnost s osou o je zobrazení ( )oO , které přiřazuje: a) každému bodu X o∉ bod 'X tak, že 'XX o⊥ a střed úsečky 'XX leží na o . b) každému bodu Y o∈ bod 'Y Y≡ . Přímku o nazýváme osa souměrnosti, o bodech , 'X X říkáme, že jsou souměrně sdružené podle osy o . Množinou všech samodružných bodů je osa souměrnosti. Samodružnou přímkou je osa souměrnosti a každá přímka k ní kolmá. Obrazem přímky rovnoběžné s osou je přímka rovnoběžná s osou.Obrazem přímky q , která není rovnoběžná s osou ani k ní kolmá, je přímka 'q , která se s přímkou q protíná na ose o . 1. Příklad: Je dána přímka p a body ,A B ležící v téže polorovině s hraniční přímkou p . Určeme bod X p∈ tak aby součet AX BX+ byl co nejmenší. Řešení: Jedná se o konstrukční úlohu, jejíž řešení by vždy mělo obsahovat: - rozbor úlohy, kde jsou zachyceny vlastnosti sestrojovaných útvarů, které umožňují jejich

konstrukci, součástí rozboru je náčrtek, kde jsou tyto vlastnosti zachyceny; - konstrukci, tj. popis či postup při sestrojení útvaru, tento postup je důležitější, než

samotné vyrýsování obrázku pravítkem a kružítkem; - diskusi, která stanoví počet řešení úlohy.

141

Rozbor: Nejkratší spojnicí dvou bodů je úsečka. Kdyby body ,A B ležely v opačných polorovinách, byl by řešením bod X AB p∈ ∩ . Leží-li ve stejné polorovině, převedeme úlohu na předchozí případ konstrukcí bodu 'A (popř. 'B ) osově souměrného s bodem A (resp. B ) podle přímky p . Hledaným bodem je pak průsečík přímky p s úsečkou 'A B (resp. 'AB ).

Konstrukce: a) ' : ( ) : 'A p A A→O , b) 'X A B p∈ ∩ . Diskuse: Úloha má jedno řešení. Středová souměrnost: Je dán bod S . Středová souměrnost se středem S je zobrazení

( )SS , které přiřazuje: a) každému bodu X S≠ bod 'X tak, že S je středem úsečky 'XX ; b) bodu S bod 'S S≡ . Bod S nazýváme středem souměrnosti, o bodech , 'X X říkáme, že jsou souměrně sdružené podle středu S . Jediným samodružným bodem je bod S , samodružnou přímkou je každá přímka, která prochází středem souměrnosti. Středová souměrnost je jednoznačně určena svým středem. Je však jednoznačně určena také dvojicí souměrně sdružených bodů , 'X X . Střed souměrnosti v tom případě najdeme jako střed úsečky 'XX .

2. Příklad: Jsou dány dvě soustředné kružnice 1 1( , )k O r ; 2 2( , )k O r ; 1 2r r> . A bod S uvnitř 2k . Sestrojte obdélník ABCD tak, že

1;A B k∈ ; 2;C D k∈ a bod S je jeho středem. Rozbor: Obdélník je středově souměrný podle svého středu, ( ) : ;S A C B D→ →S . V této středové souměrnosti je

'2 2( ) :S k k→S . Protože dle zadání je

2;C D k∈ , musí být '2;A B k∈ . Protože však

dle zadání je 1;A B k∈ , je '1 2;A B k k∈ ∩ .

Konstrukce: a) kružnice ' '2 2 2( ) :k S k k→:S ,

b) '1 2,A B k k∈ ∩ ,

c) obdélník ABCD . Diskuse: Úloha má jedno řešení. Posunutí (translace): Je dána orientovaná úsečka AB . Posunutí (translace) je zobrazení

( )ABT , které každému bodu X přiřadí bod 'X tak, že orientované úsečky AB , 'XX jsou shodné, rovnoběžné a souhlasně orientované. Délka orientované úsečky AB udává délku posunutí, její směr určuje směr posunutí. Posunutí určené nulovou orientovanou úsečkou je identita. Posunutí určené nenulovou orientovanou

142

úsečkou nemá samodružné body. Obrazem přímky p různoběžné s úsečkou AB určující posunutí je přímka 'p rovnoběžná s p a různá od této přímky. Obrazem přímky p rovnoběžné s úsečkou AB určující posunutí je přímka 'p p≡ (přímka p je samodružná).

3. Příklad: Jsou dány dvě různoběžné přímky ,a b a úsečka CD . Sestrojte rovnoběžník ABCD tak, aby ;A a B b∈ ∈ . Rozbor: ( ) : ; 'CD B A b b→ →T . Protože B b∈ aB A→ , je 'A b∈ . Dle zadání je A a∈ , tedy

'A a b∈ ∩ . Konstrukce: a) přímka ' : ( ) : 'a CD b b→T , b) 'A a b∈ ∩ , c) ABCD . Diskuse: Úloha má jedno řešení.

Otočení (rotace): Je dán orientovaný úhel se základní velikostí ϕ a bod S . Otočení (rotace) je zobrazení ( ; )S ϕR , které přiřazuje

a) každému bodu X S≠ bod 'X tak, že 'SX SX= a orientovaný úhel 'XSX má základní velikost ϕ ;

b) bodu S bod 'S S≡ . Bod S nazýváme středem otočení (rotace), orientovaný úhel pak úhlem otočení. V otočení o nenulový úhel je střed rotace zároveň jediným samodružným bodem. Otočení o 0180 je středová souměrnost. V otočení o 0180 je samodružná každá přímka procházející středem rotace. Otočení o jiný úhel nemá samodružné přímky. Samodružnými útvary jsou kružnice a kruhy se středem ve středu otáčení. Lze poměrně snadno dokázat, že osová souměrnost, středová souměrnost, translace a rotace jsou shodná zobrazení. Ve všech důkazech se studuje zobrazení úsečky a používají se věty o shodnosti trojúhelníků. Důkazy vynecháme a ponecháváme je zájemcům jako cvičení. 4. Příklad: Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC , jehož vrcholy leží na třech

rovnoběžných přímkách , ,a b c . Rozbor: Vnitřní úhly rovnostranného trojúhelníka mají velikost 60o . V otočení o tento úhel, jehož středem je např. vrchol C , je obrazem bodu A bod B , obrazem přímky a přímka 'a . Je tedy 'B a∈ . Protože dle zadání je B b∈ , musí být 'B b a∈ ∩ . Konstrukce: a) libovolný C c∈ b) ( ,60 ) : 'oC a a→R c) 'B b a∈ ∩ d) ABC∆ Diskuse: Po zvolení bodu C c∈ lze bod A získat dvojím způsobem – otočením přímky a kolem C o 60o (tj. proti směru chodu hodinových ručiček) nebo

143

též o 60o− (po směru chodu hodinových ručiček). Dva trojúhelníky, které takto vzniknou, jsou však shodné (navíc symetrické podle kolmice procházející bodem C ). Takové situace za dvě řešení nepovažujeme. Úloha má jedno řešení. Podobné zobrazení (podobnost): je zobrazení, v němž obrazem každé úsečky AB je úsečka

' 'A B , jejíž velikost je k násobkem velikosti úsečky AB ( 0k > ). V každém podobném zobrazení platí: - obrazem přímky AB je přímka ' 'A B , obrazem rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné

přímky; - obrazem polopřímky AB je polopřímka ' 'A B , obrazem opačných polopřímek jsou

opačné polopřímky; - obrazem poloroviny pA je polorovina ' 'p A , obrazem opačných polorovin jsou opačné

poloroviny; - obrazem úhlu AVB je úhel ' ' 'A V B shodný s úhlem AVB . Jsou-li U , 'U dva útvary a existuje-li podobné zobrazení : 'U U→Z , které zobrazuje útvar U na útvar 'U , nazýváme útvary U , 'U podobné (speciálním případem jsou podobné trojúhelníky). Stejnolehlost (homotetie): Je dán bod S a reálné číslo k , 0k ≠ . Stejnolehlost (homotetie) je zobrazení ( , )S kH , které přiřazuje: a) každému bodu X S≠ bod 'X tak, že 'SX k SX= ⋅ , pro 0k > leží 'X na polopřímkce SX , pro 0k < na polopřímce k ní opačné; b) bodu S bod 'S S≡ Stejnolehlost ( , )S kH je podobnost s koeficientem k . Pro 1k = je identitou, pro 1k = − rotací kolem S o 0180 (i středovou souměrností se středem v bodě S ). Pro 1k ≠ je jediným samodružným bodem střed S . Samodružnou přímkou je každá přímka, která prochází středem stejnolehlosti. Pro stejnolehlost platí: - přímka a její obraz jsou rovnoběžné; - orientovaná úsečka a její obraz jsou pro 0k > souhlasně rovnoběžné, pro 0k <

nesouhlasně rovnoběžné; - poměr délek obrazu úsečky a jejího vzoru se rovná k ; - obrazem úhlu je úhel shodný. Stejnolehlost kružnic: leží-li bod X na kružnici ( , )k O r , je XO r= . Pro obrazy '; 'X O

bodů ;X O ve stejnolehlosti ( , )S λH pak platí ' 'X O XO rλ λ= = . Platí tedy: Obrazem kružnice ( , )k O r ve stejnolehlosti ( , )S λH je kružnice '( ', )k O rλ ⋅ , přitom bod

'O je obrazem bodu O .

144

Na připojeném obrázku vidíme kružnici ( , )k O r a její obraz ve stejnolehlosti

s kladným a záporným koeficientem. Je-li střed stejnolehlosti ve středu kružnice, zobrazí se kružnice na kružnici soustřednou. Jsou-li dány dvě kružnice s různými poloměry, pak existují právě dvě stejnolehlosti, které zobrazí jednu kružnici na druhou. Jeden z možných případů vidíme na připojeném obrázku. Zde bod 1S se nazývá vnější střed stejnolehlosti, bod 2S pak střed vnitřní. V případě, že kružnice mají stejný poloměr, pak existuje jediná stejnolehlost, která zobrazuje jednu kružnici na druhou – je to středová souměrnost. Společná tečna dvou kružnic (pokud existuje) je buď rovnoběžná se spojnicí středů nebo prochází středem stejnolehlosti, která zobrazuje jednu kružnici na druhou. Tečny procházející vnějším středem se nazývají vnější společné tečny, tečny, které procházejí vnitřním středem jsou pak vnitřní společné tečny. 5. Příklad: Jsou dány dvě různoběžky

,a b a bod ,M a b∉ . Sestrojme kružnici, která se dotýká přímek ,a b a prochází bodem M . Rozbor: Hledaná kružnice k se středem O je stejnolehlá s libovolnou kružnicí 'k se středem 'O , která se dotýká obou přímek, středem

stejnolehlosti je bod S a b∈ ∩ . Daný bod M k∈ je stejnolehlý s bodem ' 'M k∈ , přičemž

' 'O M OM . Konstrukce: a) libovolná ' ( ', ')k O r≡ , která se dotýká přímek ,a b , b) přímka o : osa úhlu s rameny ,a b , c) přímka p SM≡ , d) bod ' 'M k p∈ ∩ , e) přímka r : M r∈ ; ' 'r O M , f) O r o∈ ∩ .

145

Diskuse: Úloha má dvě řešení. 6. Příklad: Sestrojme přímku a , která prochází daným bodem A a nepřístupným průsečíkem přímek ,p q . Rozbor: Nepřístupný průsečík přímek ,p q je střed stejnolehlosti. Je-li U libovolný útvar, kde A U∈ a sestrojíme-li k němu stejnolehlý útvar 'U se stejnolehlým bodem 'A , pak hledaná přímka je určena body ; 'A A . Konstrukce: a) libovolný trojúhelník : ;U ABC B p C q≡ ∈ ∈ , b) libovolný trojúhelník ' ' ' ' : ' ; ' ; ' '; ' '; ' 'U A B C B p C q AB A B BC B C CA C A≡ ∈ ∈ , c) 'a AA≡ . Diskuse: Úloha má jedno řešení.

7. Příklad: Do daného ostroúhlého troj-úhelníka ABC vepište čtverec KLMN tak, aby ; ;KL AB M BC N AC⊂ ∈ ∈ . Řešení již stručně: Rozbor: použijeme stejnolehlosti se středem v bodě A . Konstrukce:

a) libovolný čtverec ' ' ' 'K L M N : ' 'K L AB⊂ ; 'N AC∈ ,

b) hledaný bod M : 'M BC AM∈ ∩ , c) KLMN .

Diskuse: Úloha má jedno řešení.

Neřešené úlohy: 1) Zvolte libovolný ABC∆ , sestrojte jeho těžiště T a kružnici k trojúhelníku opsanou. Zobrazte kružnici k ve stejnolehlosti ( , 0.5)T −H . Kterými body obvodu trojúhelníka ABC kružnice 'k prochází?

2) Je dán čtverec ABCD , 5AB cm= a bod M uvnitř čtverce, M BD∈ ; 2MB cm= .

Sestrojte všechny úsečky XY s krajními body na hranici čtverce tak, že : 4 : 3MX MY = . 3) Sestrojte ABC∆ , je-li dáno: a) : 4 : 7; 45 ; 4,5 ca c t cmβ= = ° = ; b) : : 7 : 4 : 5; 4 ba b c v cm= = ; c) 45 ; 60 ; 5 r cmα β= ° = ° = (poloměr kružnice opsané) . 4) Do daného rovnoběžníka KLMN vepište čtverec ABCD tak, aby A KL∈ ; B LM∈ ; C MN∈ ; D KN∈ .

146

5) Do kružnice ( ; )k S r je vepsán rovnostranný ABC∆ . Sestrojte jeho obraz ' ' 'A B C∆ v otočení ( );60S °R . Určete vnitřní úhly takto vzniklého dvanáctiúhelníka (šesticípé hvězdy) 6) Je dán bod C , přímka p ( 2Cp cm= ), kružnice ( ;3 )k S cm ( 4Sp cm= , body ,C S leží v téže polorovině s hraniční přímkou p . Sestrojte všechny pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky ABC s pravým úhlem při vrcholu C tak, aby ;A p B k∈ ∈ . 7) Sestrojte lichoběžník ABCD , jsou-li dány délky obou jeho základen ,a c a obou jeho úhlopříček ,e f . 8) Do čtverce ABCD vepište rovnostranný AYZ∆ tak, aby Y BC∈ , Z CD∈ . 9) Sestrojte ABC∆ , jsou-li dány velikosti všech tří jeho těžnic. 10) Sestrojte ABC∆ , je-li dán jeho obvod o a vnitřní úhly ,α β . 11) Na obdélníkovém kulečníkovém stole ABCD leží bílá a černá koule. Bílá koule má trefit černou po dvojím odrazu od mantinelu. Kudy je třeba bílou kouli poslat? 12) Jak velké rovinné zrcadlo člověk potřebuje, aby v něm viděl celou svoji postavu? Výsledky:

1) Středy stran , ,AB BC CA . 2) Užijte 3;4

M −

H , případně 4;3

M −

H .

4) Užijte ;2

S π ±

R , kde S je střed rovnoběžníka 5) 60 ;240○ ○ 6) Užijte ;2

C π

R .

7) Užijte ( )CDT 8) Užijte ( )ACO 9) Hledaný ABC∆ spolu se všemi jeho těžnicemi

zobrazte ve středové souměrnosti ( )cSS , kde cS je střed strany c . Těžiště T trojúhelníka ABC se zobrazí do těžiště 'T trojúhelníka ' ' 'A B C . Nyní je možno sestrojit 'TT B∆ , jehož strany jsou rovny dvěma třetinám daných těžnic. Konstrukce ABC∆ je pak již zřejmá.

10) Sestrojte EDC∆ , kde ED o= , 2

EDC α= ,

2DEC β

= . Dále sestrojte osy 1 2;o o

úseček DC ,EC ; pak 1A o DE∈ ∩ ; 2B o DE∈ ∩ 11) Užijte dvou osových souměrností s osami ve dvou stranách stolu . 12) Polovina výšky postavy.