34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET

6. Samband mellan derivata och monotonitet

Antag att funktionen f ar deriverbar pa ]a, b[. Vi vet att derivatan f ′(x0) i x0 ∈]a, b[ arriktningskoefficienten for tangenten i punkten (x0, f(x0)) till kurva y = f(x). Derivatanf ′(x0) ar darfor ett matt pa hur mycket funktionen forandras nara x0. Foljande sats galler:

Sats 6.1. Lat funktionen f vara deriverbar pa ]a, b[. Da galler att

(a) f ′(x) = 0 for alla x ∈]a, b[ ⇔ f konstant pa ]a, b[.(b) f ′(x) ≥ 0 for alla x ∈]a, b[ ⇔ f vaxande pa ]a, b[.(c) f ′(x) > 0 for alla x ∈]a, b[ ⇒ f strangt vaxande pa ]a, b[.(d) f ′(x) ≤ 0 for alla x ∈]a, b[ ⇔ f avtagande pa ]a, b[.(e) f ′(x) < 0 for alla x ∈]a, b[ ⇒ f strangt avtagande pa ]a, b[.

Exempel 6.2. Undersok funktionen f(x) = x3 − 12x + 2 med avseende pa monotonitet.

Losning: Vi undersoker var funktionen f har positiv resp. negativ derivata. Det foljer att

f ′(x) = 3x2 − 12 = 3(x2 − 4) = 3(x + 2)(x − 2).

For att studera var f ar vaxande respektive avtagande tittar vi pa en teckentabell:

x −2 2

3 + + +x + 2 − 0 + + +x − 2 − − 0 +

f ′(x) + 0 − 0 +

f(x) ր f(−2) = 18 ց f(2) = −14 ր

Funktionen vaxer strangt pa ] −∞,−2[ och ]2,∞[ och avtar pa [−2, 2].

Figur 6.3.

x

y

y = x3−12 x+2

− 2 2

18

− 14

6.1 Lokala extrempunkter 35

6.1. Lokala extrempunkter

Definition 6.4. Lat f vara en funktionen definierad pa ]a, b[. Vi sager att f har ettlokalt maximum i x0 ∈]a, b[ om

f(x) ≤ f(x0) for alla x i narheten av x0.

Vi kallar da x0 en lokal maximipunkt for f och funktionsvardet f(x0) for ett lokalt

maximivarde.

Observera: Pa motsvarande satt definieras en lokal minimipunkt och ett lokalt mi-

nimivarde. Lokala maximipunkter och lokala minimipunkter kallas med ett gemensamtnamn for lokala extrempunkter. Vi sager ocksa att f har ett lokalt extremvarde idessa punkter.

Definition 6.5. Antag att funktionen f ar deriverbar i punkten x0. Vi sager att punk-ten x0 ar en stationarpunkt till f om

f ′(x0) = 0.

Exempel 6.6. Om f(x) = x3 − 12x + 2, sa ar

f ′(x) = 3x2 − 12 = 3(x2 − 4) = 3(x + 2)(x − 2) = 0 ⇔ x = ±2.

Funktionen f har alltsa dem stationara punkterna x = ±2.

Satsen nedan ger oss ett effektivit satt att soka efter lokala extrempunkter.

Sats 6.7. Om f har en lokal extrempunkt i x0 ∈]a, b[ och om f ar deriverbar i x0 saar f ′(x0) = 0, dvs extrempunkten x0 ar ocksa en stationar punkt.

Bevis:

36 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET

Exempel 6.8. Omvandningen till Sats 6.7 ar inte sann, ty betrakta funktionen f(x) = x3.Eftersom f ′(x) = 3x2 = 0 for x = 0 sa ar punkten x = 0 en stationar punkt. Vidaregaller att f ′(x) = 3x2 > 0 for x 6= 0, dvs f ar strangt vaxande. Detta betyder att denstationarapunkten x = 0 inte kan vara en extrempunkt.

Exempel 6.9. Bestam alla lokala extrempunkter till f(x) = |x|(x − 2).

Losning: Vi har att f(x) =

{

x(x − 2), x ≥ 0−x(x − 2), x < 0

som ar kontinuerlig for alla x.

Fallet x ≥ 0: Da ar f(x) = x2 − 2x och f ′(x) = 2x − 2 = 0 om x = 1.

Fallet x < 0: Da ar f(x) = −x2 + 2x och f ′(x) = −2x + 2 = 0 som saknar nollstallen forx < 0.

Dessutom ges hoger derivatan i x = 0 av f ′

+(0) = limx→0+

(2x− 2) = −2 och vanster derivatan

ar f ′

−(0) = limx→0−

(−2x + 2) = 2.

Alltsa existerar ej f ′(0) och funktionen ar inte deriverbar i x = 0. Teckentabell visar

x 0 1

f ′(x) + ∄ − 0 +

f(x) ր f(0) = 0 ց f(1) = −1 ր

Funktionen f har alltsa en lokal maxpunkt i x = 0 och en lokal minpunkt i x = 1.

Figur 6.10.

x

y

y = |x| (x−2)

1 2

6.1 Lokala extrempunkter 37

Exempel 6.11. Bestam alla lokala extrempunkter till f(x) =

{

x ln x, x > 00, x = 0

Losning: For x > 0 galler att f ′(x) = 1 + ln x = 0 om x =1

e. Vidare galler ocksa att

funktionen f ar kontinuerlig for x ≥ 0. Speciellt galler att limx→0+

x ln x = 0 = f(0), dvs f ar

kontinuerlig i x = 0. Daremot saknar f hoger derivata, ty

limh→0+

f(0 + h) − f(0)

h= lim

h→0+

h ln h

h= lim

h→0+ln h ej existerar.

Teckentabell ger

x 0 1/e

f ′(x) − 0 +

f(x) ց f(1/e) = −e ր

Funktionen f har alltsa en lokal maxpunkt i x = 0 och en lokal minpunkt i x = 1/e.

Figur 6.12.

x

y

1/e

− 1/e

y = x ln x

Anmarkning:

• Exempel 6.8 visar att en stationar punkt inte behover vara en extrempunkt.

• Exempel 6.9 visar att en punkt dar funktionen inte ar deriverbar kan vara en extrem-punkt.

• Exempel 6.11 visar att en andpunkt kan vara en extrempunkt.

38 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET

Exempel 6.13. Bestam eventuella lokala extrempunkter till funktionen

f(x) =x√

x4 + 1.

Losning:

39

7. Tillampningar pa derivata

Som tillampning pa derivata kommer vi i det har avsnittet att studera storsta och minsta

varde hos en given funktion, grafritning, olikheter, ekvationer och medelvardessatsen.

7.1. Medelvardessatsen

Sats 7.1. Om f ar kontinuerlig pa [a, b] och deriverbar pa ]a, b[, sa finns minst ettc ∈]a, b[ sa att

f ′(c) =f(b) − f(a)

b − a.

Geometrisk tolkning:

Figur 7.2.

x

y

y = f(x)

a c1 c

2 b

Kvotenf(b) − f(a)

b − aar riktningskoefficienten for sekanten genom (a, f(a)) och (b, f(b)).

Medelvardessatsen sager att det finns minst en punkt (c, f(c)) med en tangent parallellmed sekanten.

40 7 TILLAMPNINGAR PA DERIVATA

Exempel 7.3. Berakna f(π

5

)

om f(x) = cos x.

Losning: Vi uttnyttjar att vi vet att f(π

6

)

=

√3

2. Medelvardessatsen ger att

f(x) − f(π

6

)

= f ′(c)(

x − π

6

)

,

dar c ligger mellan x ochπ

6. Satter vi in x =

π

5i uttrycket ovan far vi

f(π

5

)

= f(π

6

)

+ f ′(c)(

x − π

6

)

,

dvs

cos(π

5

)

= cos(π

6

)

+(π

5− π

6

)

sin c =

√3

2+

π

30sin c,

dar c ligger mellanπ

6och

π

5. Antar vi nu att c ≈ π

6, sa far vi att

cos(π

5

)

≈√

3

2+

π

30sin

(π

6

)

≈√

3

2+

π

30

1

2≈ 0, 813.

7.1 Medelvardessatsen 41

Exempel 7.4. Los x = cosx

3.

Losning: Lat oss kalla roten till ekvationen for α, dvs α = cosα

3. Eftersom cos

x

3ar

kontinuerlig och avtar mellan 1 och 0 for 0 ≤ x ≤ 3π

2sa kommer kurvan y = cos

x

3och den

rata linjen y = α att skara varandra for nagot α som uppfyller 0 ≤ α ≤ 3π

2. Lat x0 vara en

godtycklig punkt sadan att 0 ≤ x0 ≤ 3π

2. Betrakta foljande iterationsshema:

xn+1 = cosxn

3, n = 0, 1, 2, . . . .

Vi visar att iteraten xn+1 gar mot roten α, dvs xn+1 → α, da n → ∞. Enligt Me-delvardessatsen finns ett cn mellan xn och α sa att

|xn+1 − α| = | cos xn

3− cos

α

3| =

1

3| sin cn| · |xn − α|

≤ 1

3|xn − α| ≤ 1

3

1

3|xn−1 − α| =

1

32|xn−1 − α| ≤ · · · ≤ 1

3n+1|x0 − α| → 0,

da n → ∞. Detta ger att α ≈ 0.95.

42 7 TILLAMPNINGAR PA DERIVATA

7.2. Storsta och minsta varde

Lat oss borja med att definiera vad vi menar med storsta och minsta varde hos en funktion.

Definition 7.5. Lat f vara en funktion. En punkt x0 ∈ Df kallas en global maximi-

punkt for f omf(x0) ≥ f(x) for alla x ∈ Df .

Talet f(x0) kallas i sa fall f :s storsta varde. Om istallet

f(x0) ≤ f(x) for alla x ∈ Df ,

kallas x0 ∈ Df en global minimipunkt for f och f(x0) f :s minsta varde.

Satsen nedan hjalper oss att soka efter punkter som ger storsta och minsta varde.

Sats 7.6. Om f ar kontinuerlig pa [a, b] sa antar f sitt storsta respektive minsta vardei nagon av foljande punkter:

1. i en inre punkt x ∈]a, b[ dar f ′(x) = 0,

2. i en inre punkt x ∈]a, b[ dar f ′(x) ej existerar,

3. i en randpunkt, dvs i x = a eller i x = b.

Foljande sats kan vara anvandbar om det visar sig vara svart att med hjalp av en teckentabellavgora karaktaren hos en extrempunkt.

Sats 7.7. Antag att funktionen f ar definierad nara punkten x0 och att f ′′(x0) existe-rar. Antag vidare att x0 ar en stationar punkt for f , dvs f ′(x) = 0.

• Om f ′′(x0) > 0, sa ar x0 en lokal minimipunkt for f

• Om f ′′(x0) < 0, sa ar x0 en lokal maximipunkt for f

7.2 Storsta och minsta varde 43

Exempel 7.8. Bestam storsta och minsta varde av funktionen f(x) = x3 + 12|x|, dar−3 ≤ x ≤ 2.

Losning: Funktionen f ar kontinuerlig pa ett slutet och begransat intervall [−3, 2].Forutsattningarna for satsen om storsta och minsta varde, dvs Sats 2.16 ar uppfyllda. Dettabetyder att f antar ett storsta och minsta varde pa [−3, 2]. Enligt Sats 7.6 hittar vi dessavarden i en stationar punkt, en punkt dar f ar ej deriverbar eller i intervallets andpunkter.Vi borjar med att bestamma alla stationara punkter till f . Eftersom

f(x) = x3 + 12|x| =

{

x3 − 12x, −3 < x ≤ 0

x3 + 12x, 0 < x ≤ 2,

sa ar

f ′(x) =

{

3x2 − 12, −3 < x < 0

3x2 + 12, 0 < x < 2

Eftersom f ′(x) = 3x2 +12 > 0 for alla x saknar f stationara punkter i intervallet 0 < x < 2.Pa intervallet −3 < x < 0 ar f ′(x) = 3x2−12 = 0 endast for x = −2. Vi har att f(−2) = 16.Vidare galler att punkten x = 0 ar den enda punkt som funktionen f saknar derivata i. Vihar f(0) = 0. Slutligen undersoker vi andpunkterna; det galler att f(−3) = 9 och f(2) = 32.Alltsa ar storsta varde 32 for x = 2 och minsta varde ar 0 for x = 0.

Figur 7.9.

x

y

y = x3 + 12 |x|

1 2 − 3 − 2 − 1

9

16

32

44 7 TILLAMPNINGAR PA DERIVATA

Exempel 7.10. Bestam vardemangden till funktionen f(x) = xe−x, x ≥ 0. Hur mangaganger antas varje varde?

Losning:

7.3 Grafritning 45

7.3. Grafritning

Antag att vi behover rita grafen till en deriverbar funktion f . Vi skulle i sa fall behovabestamma foljande:

1. Extrempunkterna som aterfinns bland de stationara punkterna.

2. Vagrata asymptoter som ar rata linjer pa formen y = A. Dessa finns om f harett gransvarde, i sa fall A, da x gar mot ±∞, dvs om det finns ett A sadant att

limx→±∞

f(x) = A.

3. Lodrata asymptoter som ar rata linjer pa formen x = a. Dessa finns om f hardet oegentliga gransvardet ∞ eller −∞ da x gar mot punkten a, dvs

limx→a

f(x) = ±∞.

4. Sneda asymptoter som ar rata linjer pa formen y = kx + m. Dessa linjer finnsom det finns tal k och m sadana att

k = limx→±∞

f(x)

xoch m = lim

x→±∞(f(x) − kx).

Geometriskt betyder det att kurvan y = f(x) och linjen y = kx+ m gar narmareoch narmare varandra da x → ±∞, dvs

limx→±∞

(f(x) − kx − m) = 0.

46 7 TILLAMPNINGAR PA DERIVATA

Exempel 7.11. Rita grafen till funktionen y =x2 + 1

x2 − 4, sa att alla vasentliga drag framgar.

Losning: y =x2 + 1

x2 − 4⇒ y′ = − 10x

(x2 − 4)2. Varken y eller y′ ar definierade for x = ±2 och

dessutom har vi att y → ±∞ da x → ±2, d.v.s. vi har lodrata asymptoter i x = ±2. Vidareser vi att y′ = 0 ⇒ x = 0. Teckentabellen blir da

x −2 0 +2

−10x + + + 0 − − −(x2 − 4)2 + 0 + + 0 +

y′ + ∄ + 0 − ∄ −y ր ∄ ր y(0) ց ∄ ց

Vi har alltsa ett lokalt maximum i x = 0 med y(0) = −1

4, och lokalt minimum saknas.

For att undersoka vagrata asymptoter studerar vi

limx→±∞

y = limx→±∞

x2 + 1

x2 − 4= lim

x→±∞

1 + 1

x2

1 − 4

x2

= 1.

En sned asymptot y = kx + m finns inte da eftersom

k = limx→±∞

y

x= lim

x→±∞

x2 + 1

x(x2 − 4)= 0.

Dessutom kan vi notera att y → +∞ da x → −2− och x → +2+, samt y → −∞ dax → −2+ och x → +2−.Svar: Lokalt max i (0,−1/4), lokalt min saknas. Lodrata asymptoter for x = ±2. Vagratasymptot y = 1 da x → ±∞.

Figur 7.12.

y = (x2+3) / (x2−4)

x

y

7.3 Grafritning 47

Exempel 7.13. Bestam alla sneda asymptoter till kurvan f(x) = x + arctan x.

Losning: Linjen y = kx + m ar en sned asymptot till kurvan y = f(x) om det finns tal koch m sadana att

k = limx→±∞

f(x)

xoch m = lim

x→±∞(f(x) − kx).

Det foljer att

f(x)

x=

x + arctan x

x= 1 +

arctan x

x→ 1, da x → ±∞.

Detta ger att k = 1. Vidare galler att

f(x) − kx = (x + arctan x) − 1 · x = arctan x →{

π/2, da x → +∞−π/2, da x → −∞

Alltsa, har kurvan de sneda asymptoterna y = x +π

2respektive y = x − π

2.

Figur 7.14.

y = x + arctan x

x

y

48 7 TILLAMPNINGAR PA DERIVATA

Exempel 7.15. Rita f(x) =x + 1

x − 1+ 2arctan x. Ange lokala extrempunkter, storsta och

minsta varde samt lodrata och vagrata asymptoter.

Losning:

7.4 Olikheter 49

7.4. Olikheter

Exempel 7.16. Visa att x ln x − (ln x)2 ≥ x − 2 for x ≥ 1.

Losning: Sjalvklart ska man rita funktionerna och se att grafen till x ln x − (ln x)2 liggerovanfor grafen till x − 2. Men det racker inte som bevis. Vad man ska gora ar att bilda enfunktion f som skillnaden mellan funktionerna, t.ex. om vi bildar funktionen

f(x) = x ln x − (ln x)2 − x + 2,

sa ar vi klara om vi kan visa att f(x) ≥ 0 for x ≥ 1.Lat oss studera funktionen f(x). Vi deriverar funktionen f(x) for x > 1 och far

f ′(x) = ln x + 1 − 21

xln x − 1 =

x ln x − 2 ln x

x=

(x − 2) ln x

x= 0 for x = 2.

En teckentabell blir

x 1 2

f ′(x) − 0 +

f(x) ց ր

Funktionen f har alltsa ett minsta varde f(2) = 2 ln 2 − (ln 2)2 = (2 − ln 2) ln 2 > 0.Dessutom har vi att

limx→1+

f(x) = limx→1+

(x ln x − (ln x)2 − x + 2) = 1 > 0,

ochf(x) = x ln x − (ln x)2 − x + 2 → ∞, da x → ∞.

Alltsa ar f(x) ≥ 0 for x ≥ 1 och darmed klara.

Figur 7.17.

x

y

f(x) = x ln x − ( ln x ) 2 − x + 2

2

2 ln 2 − ( ln 2 ) 2

50 7 TILLAMPNINGAR PA DERIVATA

Exempel 7.18. Visa att arctan x ≥ x

x + 1for x > −1.

Losning:

7.5 Ekvationer 51

7.5. Ekvationer

Exempel 7.19. Hur manga rotter har ekvationen 2x − x ln x = 1 i intervallet 0 < x < 1.(Observera att vi bestammer antalet och inte deras varden).

Losning: Vi bildar en funktion som ar skillnaden mellan leden. Betrakta funktionen

f(x) = 2x − x ln x = 1 for 0 < x < 1.

Problemet att bestamma antalet rotter till ekvationen ar detsamma som att bestammaantalet nollstallen till f(x). Produktregeln ger

f ′(x) = 2 − ln x − x1

x= 1 − ln x > 0

for 0 < x < 1, ty ln x < 0 for 0 < x < 1. Alltsa ar f(x) strangt vaxande och kan ha hogstett nollstalle, dvs ekvationen kan ha hogst en rot.Vidare galler att

limx→0+

f(x) = limx→0+

(2x − x ln x − 1) = −1,

ochlim

x→1−f(x) = lim

x→1−(2x − x ln x − 1) = 1.

Eftersom f ar kontinuerlig sa sager satsen om mellanliggande varden att till ett y = 0 somligger mellan y = −1 och y = 1 finns minst ett c dar 0 < c < 1, sa att f(c) = 0. Detta car ett nollstalle till f , dvs ekvationen hogst en rot. Hogst ett nollstalle tidigare kombineratmed minst ett nollstalle ger nu exakt ett nollstalle.Ekvationen har alltsa precis en rot i 0 < x < 1.

Figur 7.20.

x

y

f(x) = 2 x − x ln x − 1

1 c

52 7 TILLAMPNINGAR PA DERIVATA

Exempel 7.21. Hur manga reella losningar har ekvationen ln4 + 16x2

5= arctan 2x?

Losning:

7.5 Ekvationer 53

Exempel 7.22. Bestam for varje varde pa konstanten a antalet skilda reella rotter tillekvationen x3 − 12x = a.

Losning: Vi studerar funktionen f(x) = x3 − 12x och jamfor sedan med linjen y = a. Detgaller att

f ′(x) = 3x2 − 12 = 3(x2 − 4) = 3(x + 2)(x − 2) = 0 ⇔ x = ±2.

Teckentabell:

x −2 2

3 + + +x + 2 − 0 + +x − 2 − − 0 +

f ′(x) + 0 − 0 +

f(x) ր ց ր

Dessutom galler attf(x) = x3 − 12x → ∞, da x → ∞

ochf(x) = x3 − 12x → −∞, da x → −∞.

Funktionen f :s storsta varde ar f(−2) = 16 och minsta varde ar f(2) = −16.Satsen om mellanliggande varden sager att ekvationen har:

1. en rot om a < −16 eller a > 16,

2. tva rotter om a = ±16,

3. tre rotter om −16 < a < 16,

y = (x3−12 x)

x

yEn rot om a>16

Två rötter om a=16

Tre rötter om −16 < a < 16

54 7 TILLAMPNINGAR PA DERIVATA