第6回．量子スピン系の基礎

量子効果（S=1/2の場合）

21 SS JH

zzSJSJH 2121 SS

J

S1S2

S=1/2 の２つスピンが反強磁性的に相互作用している場合

最低エネルギー状態

古典スピン |1/2>|-1/2> あるいは |-1/2>|1/2>

E=-J/4

量子スピン )////( 212121212

1

)( yyxxzz SSSSSSJJH 21212121 SS E=-3J/4

Resonateすることでエネルギーを得する

S=S1+S2

Singlet state S=0スピンの大きさ ０

S1 S2

量子効果（S=1/2 三スピンの場合）

)( 133221 SSSSSS JH

)2

1

2

1

2

12

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1(

6

1

)2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1(

2

1

2

1

doublet

doublet

S=1/2 の３つスピンが図のように反強磁性的に相互作用している場合

S=S1+S2+S3

doublet state

S (S=1/2, 3/2)

E=-3J/4 S=1/2 doublet 2X2

E=3J/4 S=3/2 quartet 4X1

状態数

の固有関数は

JS1 S2

JJ

S３

9J/8/2JH 2 S

-3J/4

3J/4

8

シンプルなRVB state

-3/2J

-3/2J

RVB相

空間的時間的にスピンが１重項対を作って系全体で非磁性状態を作っている

基底状態と励起状態の間にはエネルギーギャップは存在しない

1973年 P. W. AndersonによってS=1/2 三角格子反強磁性体で提唱

RVB (P.W. Anderson)

量子効果（S=1の場合）

21 SS JH

1S=1 の２つスピンが反強磁性的に相互作用している場合

S=S1+S2

Singlet state

1

-1

z

1

0

JJH

SS

22

24

21

2

2

2

2

21

2

211

2

1

2

2

2

1

2

21

2

2

2

121

2

/

/)(

)(

/)(

S

SSS

SS

SSSSS

SSSSS

S (S=0, 1,2) E=-2J S=0 singlet 1

E=-J S=1 triplet 3

E=J S=2 quintet 5

状態数

-2J

-J

J

の固有関数は 113

100

3

111

3

1singlet

量子効果（S=1三スピンの場合）

)( 133221 SSSSSS JH

10101100000110110101011 7654321 aaaaaaasinglet

S=1 の３つスピンが図のように反強磁性的に相互作用している場合

S=S1+S2+S3

Singlet state

S (S=0, 1, 2, 3)

E=-3J S=0 singlet 1X1

E=-2J S=1 triplet 3X3

E=0 S=2 quintet 5X2

E=3J S=3 septet 7X1

状態数

の固有関数は

JS1 S2

JJ

S３

JJH 322 /S

-3J

-2J

0

3J

27

スピン量子数

Hund則に基づいて鉄族遷移金属元素の場合、S=1/2, 1, 3/2, 2, 5/2

の値をとる。

特に３次元磁性体で用いる分子場近似ではスピンを古典的なベクトルとしてそのz成分Ms=S, S-1, ·····, -S+1, -Sのみを問題にしたが、実際のスピンSx, Sy, Szはともに角運動量演算子であり、その間には次の交換関係が成り立つ。

S2=S(S+1)=S2(1+1/S) => S2 (S⇒∞:古典スピン)

スピン量子数が小さい方が古典スピンとの大きさの差が大きい。このことはSx, Syの成分（量子揺らぎに関係する）が大きいことを意味する。

[Sx,Sy]=iSz, [Sy,Sz]=iSx, [Sz,Sx]=iSy

反強磁性体の基底状態のエネルギー

ハイゼンベルグ型

量子効果の顕著な磁性体

一次元磁性体の研究

一次元磁性体の特有な性質

1. 揺らぎの効果が大きい2. 相互作用の影響が大きい3. 数学的技巧を駆使しやすい

一次元系は一粒子励起が存在せず、集団励起しか生まれない

一次元系は本質的に多体系平均場近似を使って一体問題に焼きなおせない

電子間相互作用の大きく効く系を強相関電子系というが、これは多体系であり、一次元系は数学的な技巧の駆使しやすい強相関電子系ということもできる。

高温超伝導体やヘビーフェルミオン系といった強相関電子系の物理を理解するうえでのシンプルなモデル

一次元磁性体研究の歴史（ハルデン予想以前）

一次元磁性体は代表的な相互作用の型（イジング、XY

ハイゼンベルグ）の基底状態のエネルギーやいくつかの熱力学量が厳密に求められており、数値計算も二次元や三次元に比較して簡単なため理論主導で行われてきた。60年代より70

年代前半にかけていくつか擬一次元磁性体が合成されるようになると実験研究も精力的に行われるようになった。

KCuF3 LaMnO3

交替的Jahn-Teller効果と反強軌道秩序

格子弾性エネルギー結晶場エネルギー（電子系）電子間クーロン相互作用スピン間交換相互作用

2222 ,zyzx

dd 2222 33

,ryrx

dd

共鳴X線散乱による軌道秩序の観測：Murakami et al. (1998).

K Hirakawa et al. (1969). 擬一次元反強磁性体

一次元磁性体の熱力学量（計算）

比熱

S=1/2

帯磁率

ハイゼンベルグモデル（ハルデン予想以前）

Weng (1969)

低次元磁性体の熱力学的振る舞い三次元磁性体では分子場近似で実際の熱力学量に近い振る舞いが得られる。

分子場近似：スピンの揺らぎ（スピン相関）を無視

一次元〔あるいは二次元）磁性体ではこのスピンの揺らぎが無視できない

左の関係より相転移点より高温の常磁性領域の帯磁率は1/Tと<Si

zSjz>の兼ね合

いで振る舞いが決まる。

<SizSj

z>≠0 (i ≠j)の温度領域：短距離秩序領域(SRO領域）

自己相関のみ

x, y, zのうちzのみ

一次元磁性体MCl2·2NC5N5

Co化合物S=1/2 イジング反強磁性体

Cu化合物S=1/2ハイゼンベルグ反強磁性体

鎖間距離：8.7~9.6 Å

擬一次元磁性体の熱力学量（実験）

帯磁率 比熱

S=1/2 一次元ハイゼンベルグ反強磁性体

Takeda et al. (1971).

擬一次元磁性体の熱力学的量（実験）

比熱

S=1/2 一次元イジング反強磁性体

エントロピー

Takeda et al. (1971)

低次元磁性体の磁気比熱

S=1/2 一次元ハイゼンベルグ反強磁性体の磁化過程

量子効果でスピンが短縮している。

L.J. de Jongh and A.R. Miedema, (1974)

強磁場と磁化過程

磁化 M

磁場 B

B

飽和磁場

飽和磁化

反強磁性体

J J JJ: 交換相互作用定数

𝐽𝑺𝑖 ∙ 𝑺𝑗

J

赤線：古典スピンの磁化S=

青線：量子スピンの磁化S=1/2

実線：ハイゼンベルグスピン

破線：イジングスピン

ハイゼンベルグスピン

𝐽𝑆𝑖𝑧 𝑆𝑗

𝑧

イジングスピン

飽和磁化まで得られるとJの大きさがわかる

阪大における強磁場研究(擬一次元系）

1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

Kobayashi & Haseda 1964

磁気秩序相（スピン固体）

Svistov, Hagiwara

et al., 2011

Katsumata et al. 1989

磁気無秩序相（スピン液晶）

磁気無秩序相（スピン液体）

イジング型反強磁性体

S=1一次元ハイゼンベルグ型反強磁性体

理論Kanamori

1966

スピンクラスター共鳴（磁気ソリトン） Date & Motokawa 1966

ハルデン予想

NENP

F. D. M. Haldane 1983

スピンネマチック秩序

S=1/2一次元近接強磁性-

次近接反強磁性体

High Magnetic Field

Science and Its

Application in the United

States: Current Status

and Future Directions

The National Academies

Press (2013)

P. 40-41

スピン固体、スピン液体、スピン液晶スピン固体、スピン液体、スピン液晶とは？

スピン固体（磁気秩序したもの）

Si0, Si Sj0 |i-j|

スピン液体（磁気秩序はないが、有限二体相関をもつ）

Si=0, Si Sj~exp(-|i-j|/x) ギャップあり x:相関長~|i-j|-h ギャップなし(臨界的)

スピン液晶（磁気秩序はなく、二体相関が秩序パラメーター）

一次元系

Si=0, Si Sj

0

Si+:磁気双極子モーメント

矢印

Si+Sj

+: 磁気四極子モーメント

棒

二マグノン束縛状態

スピン波の分散関係

強磁性あるいは反強磁性体の低エネルギーの励起状態はスピン波で表せる。

反強磁性体 古典系 E=2Jsinqc

S=1/2一次元ハイゼンベルグ反強磁性体

E=pJsinqc

Y. Endoh et al. (1974)

S=1/2一次元磁性体の基底状態

)(H z

i

z

i

y

i

y

ii

x

i

x

iIi

i SSSSSSJJ 1111SS

})/2{( 111

z

i

z

iiii

ii SSSSSSJ

Si+

Si-

i番目のスピンの磁気量子数を一つ上げる

i番目のスピンの磁気量子数を一つ下げる

強磁性体

上のハミルトニアンの固有状態（基底状態）

反強磁性体

i

i番目のスピンに注目してこれら二つの状態が混じってくる。

一次元ハイゼンベルグ強磁性体の固有状態

S=1/2

一次元ハイゼンベルグ反強磁性体の固有状態S=1/2

S=1/2一次元反強磁性体モデル

Bethe Ansatz (1931)

スピン系のユニバーサリティー

S=1/2の一次元ハイゼンベルグ反強磁性体

基底エネルギーの厳密解 (Hulthen 1938)

第一励起状態のエネルギースペクトラム (Des Cloizeaux and Pearson 1962)

実験による検証

スピン系のユニバーサリティーの議論

系の磁気的な性質を特徴づけるものは系の「次元」「相互作用

の対称性または自由度」「ポテンシャル範囲」などの基本的な

パラメーターに依存し、「スピンの大きさ」に依存するとは考えら

れていなかった。