6_statika_linijskih_konstrukcija

Mehanika I 6. Statika linijskih konstrukcija

6. STATIKA LINIJSKIH KONSTRUKCIJA 6.1. Pojam konstrukcije i statike konstrukcija Konstrukcija je sustav tijela koji je sposoban primiti opterećenje i prenijeti ga na referentnu podlogu.

Konstrukcije mogu biti prostorne, ravninske i linijske.

Ravninska konstrukcija Usvojeni linijski model Linijske konstrukcije su konstrukcije čije su dvije dimenzije (visina i širina poprečnog presjeka) zanemarivo male u odnosu na duljinu. Pojam statike linijskih konstrukcija podrazumijeva:

1. Utvrđivanje oblika, geometrijske nepromjenjivosti i statičke određenosti

2. Utvrđivanje opterećenja (vanjskih aktivnih sila)

3. Određivanje pasivnih sila (vanjskih i unutrašnjih)

4. Određivanje dijagrama unutrašnjih sila


6.2. Vrste linijskih konstrukcija u ravnini

Punostjeni nosači

Poligonalni nosači

Okviri i lukovi

Rešetke

Lančanice

Lančani poligon


6.3. Unutrašnje sile u presjecima linijskih nosača u ravnini

Presjek

F 1 F3

F2 1

1

F2

F3

F1

Trokut sila

F3

F2F 1-1

F 1 M 1-1F 1-1

M 1-1

F3

F2

N 1-1 F 1 M 1-1

T 1-1 M 1-1

T 1-1

N 1-1

Sile presjeka:

T1-1- poprečna (transverzalna) sila

N1-1 - uzdužna (normalna) sila

M1-1- moment POPREČNA SILA u presjeku jednaka je vektorskom zbroju projekcija u smjer normale osi štapa svih sila lijevo ili desno od promatranog presjeka. UZDUŽNA SILA u presjeku jednaka je vektorskom zbroju projekcija u smjer tangente osi štapa svih sila lijevo ili desno od promatranog presjeka. MOMENT u presjeku jednak je vektorskom zbroju momenata svih sila lijevo ili desno od promatranog presjeka.


Dogovor o predznacima (konvencija)

N M

T

Pozitivni smjerovi

Presjek Os elementa

- u skladu sorjentacijom desnogkoordinatnog sustava

Uvijek treba znati s koje strane presjeka djeluju (obično s lijeve)

N M

T T

N M

pozitivni smjerovi


Dijagrami unutrašnjih sila Unutrašnje sile u presjecima nosača prikazuju se pomoću dijagrama unutrašnjih sila.

F1 F3

F21 2 3 4 5 6

2 3 4 5

F3y

F3x

F1y

F1x

- Nx

- Tlak

Tx

Mx

+

-

+

F1x F3x

F1y

F3y

F2


6.4. Statika rešetkastih konstrukcija

6.4.1. Definicija, podjela, uvjeti geometrijske nepromjenjivosti Rešetkaste konstrukcije - konstrukcije sastavljene od niza ravnih štapova međusobno vezanih čvorovima koje opterećenja prenose putem uzdužnih sila u štapovima. Opterećenja su uvijek zadana u čvorovima. Podjela rešetkastih konstrukcija a) prema obliku konstrukcije: ravninske i prostorne b) prema statičkoj određenosti: statički određene i statički neodređene Topologija: Elementarni geometrijski nepromjenjivi lik - trokut

1 2

3

3 2

1

š - broj veza štapova

n - broj čvorova

š = 2 n - 3. vrijedi za svaku ravninsku rešetku

š = 2 3 - 3 = 3 . Rešetke sastavljene iz trokutova su geometrijski nepromjenjivi likovi.

1

2 3

š = 2 9 - 3 = 15 .

1 2 3 4

13

1

14 1510 11 129

5 6 7 8

4 5

6 7 8 9

Broj stupnjeva slobode rešetkaste konstrukcije

1 2

3

3 2

1

s = 2 3 - 3 - 3 = 0 .

L1 L2 L 3

L 1 L2

1

L1 L2

1

L3

21

s = 2 1 - 2 = 0 . s = 2 2 - 1 - 3 = 0.

s = 2 n - š - L = 0. Općenitos - broj stupnjeva slobode L - broj vanjskih veza


Uvjeti za stabilnu statički određenu rešetkastu konstrukciju:

Nužan uvjet geometrijske nepromjenjivosti s=0 Dovoljan uvjet - pravilan raspored veza u konstrukciji

Primjeri dokazivanja geometrijske nepromjenjivosti i statičke određenosti

1

2 3

s = 2 9 - 15 - 3 = 0 .

1 2 3 4

13

1

14 1510 11 129

5 6 7 8

45

6 7 8 9

1

2

32

3

4

4

5

6

7

8 10

1112

913

14 7

1

5

6

s = 2 7 - 14 - 0 = 0 .

Primjeri geometrijski promjenjivih i nepromjenjivih rešetki

Geom. neprom. i stat. određena

Geometrijski Geom. nepromj. i stat. neodređena

a) Geometrijski nepromjenjiva i b) Geometrijski promjenjiva

promjenjiva

statički određena


6.4.2. Sile u rešetkastim konstrukcijama - Vanjske sile (sile opterećenja): aktivne i pasivne (reakcije) - Unutrašnje sile: sile štapova i sile čvorova Određivanje sila u ležajnim vezama (reakcija): - kao kod krutih tijela u ravnini ili - kao kod ostalih štapova rešetke Sile na štap Sile na čvor rešetkaste kontrukcije

i S i

S i

- kolinearne- istog iznosa- suprotnog smjera

+ vlak

i S i

S i - tlak

Pj

j

i i+1

i+2Si

Si

Si+1

S i+1

Si+2 S i+2

zakonu akcije i reakcijesile u čvoru i štapu prema

6.4.3. Određivanje sila u štapovima rešetkastih konstrukcija Osnovne metode: 1. Metoda čvorova (metoda presjeka štapova uz čvorove)

1.1. Analitičke metode čvorova 1.1.1. Metoda čvor po čvor 1.1.2. Metoda svih čvorova odjednom

1.2. Grafičke metode čvorova 1.2.1. Metoda čvor po čvor (zasebno crtano) 1.2.2. Metoda čvor po čvor (zajedno crtano) - Cremona

2. Metode presjeka 2.1. Analitička metoda (Ritter-ova metoda) 2.2. Grafička metoda (Culmann-ova metoda)


1.1.1. Analitička metoda čvor po čvor

1 2

3

1

L1 L2L3

HP

2

3

4

5

6

7

8

9

121110

3.0

3.0

3.0

4.0

α

1) S=2 6-9-3=0.

2) S=2 6-12=0.

ili

tg =3/4α

H S1

S 6

Čvor 1

0S,0Y

HS,0X

6

1

==

−==

∑∑

S 1 S 8

Čvor 2 P

S 4

X S S SH

Y S S P S PH

= ⋅ + = → =

= ⋅ + + = → = − − ⋅

∑

∑

0 0

0 0

4 1 4

4 3 8

, coscos

, sincos

sin

αα

αα

α

S 2 S 7

Čvor 3 S =0 6

S 4 = H

cos α

X SH

H

Y S SH

H tg

= = − = −

= = ⋅ = ⋅ = ⋅

∑

∑

0

0

2

7 4

,cos

cos

, sincos

sin

αα

αα

α α

S =-H 2

S 9

Čvor 4

S =-P-H tg 8

S 5

α .

X S H S

H

Y S S S S P H t

= ⋅ − = → =

= + ⋅ − = → = − − ⋅ ⋅

∑

∑

0 0

0 0

5 5

9 5 8 9

, coscos

, sin

αα

α αg2

S 3 S 10

Čvor 5

S =H tg 7 α . S 5 =H

cos α

X S S S H

Y S S S S H t

= + ⋅ = → = −

= + ⋅ − = → = ⋅ ⋅

∑∑

0 0

0 03 5 3

7 5 10 10

, cos

, sin

α

α αg2

S =-H 3

S 12

Čvor 6

S =-P-2 H tg 9

S 11

α. .

X S S S

H

Y S S S S P H t

= ⋅ + = → =

= + ⋅ − = → = − − ⋅ ⋅

∑

∑

0 0

0 0

11 3 11

12 11 9 12

, coscos

, sin

αα

α αg3


1.1.2. Analitička metoda svih čvorova odjednom Prikladna je za programiranje na kompjutorima, univerzalna i uvijek primjenjiva.

Matrični zapis D S B⋅ = D - matrica geometrije sustava S - vektor nepoznatih sila B - vektor opterećenja Nedostatak - matrica D je nesimetrična

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

/ cossincossin

/ cossincossin

cossin

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

− −

−

− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⋅

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

SSSSSSSSSSSS

H

P

1

6

4

8

2

7

5

9

3

10

11

12

00

00000000


1.2. Grafičke metode čvorova

1.2.1. Metoda čvor po čvor ( zasebno crtano)

1.2.2. Metoda čvor po čvor (zajedno crtano) → Cremona Određivanje vanjskih sila

1A B POs

1 2

1

2

s

B

A

Uravnoteženje čvorova (crtano zasebno)

1

A B P

1 2 3

4 5 Čvor 1

A

Čvor 4

1 23 4 5 6

7

S1

S3

S3S4

S7

Čvor 2

S5

S4

S 2

P

S 1 Čvor 5

S5 S6

S7

(kontrola)Čvor 3(kontrola)

S2

S6B

- Uravnoteženje čvorova (crtano skupno) → Cremona

A

B

P1

37

4

65

2

Mehanika I 6. Statika linijskih konstrukcija 2. Metode presjeka

Promatrana rešetka sa zadanim opterećenjem i reaktivnim silama je u ravnoteži. Pri primjeni metoda presjeka izvrši se presijecanje rešetke kroz tri štapa. Promatra se jedan od odsiječenih dijelova uz nadomiještanje odbačenog dijela nepoznatim silama u presiječenim štapovima. Kako je rešetka kao cjelina u ravnoteži, tako u ravnoteži mora biti svaki njen odsječeni dio. Iz 3 uvjeta ravoteže za odsječeni dio određuju se 3 nepoznate sile u presječenim štapovima. 2.1. Analitička metoda (Ritter-ova metoda)

Svodi se na analitičko uravoteženje poznate sile s 3 nepoznate sile na zadanim pravcima. Poznata sila je rezultanta vanjskih sila na odsiječenom dijelu. Kao analitički uvjeti ravnoteže koriste se jednadžbe za sumu momenata svih sila na odabrane Ritter-ove točke.

B A

P1 P 2

R =A+Pl

S8

S9

S10R8

R 9

R10

d 9

d10 d8

t

t

R , R , R - Ritter-ove točke 8 9 10

Ravnoteža lijevog dijela:

M SMd

M SMd

M SMd

RR

RR

RR

88

99

1010

0

0

0

8

0

8

9

0

9

10

0

10

∑

∑

∑

= =

= =

= =

,

,

,

MRi

0 - moment vanjskih sila na

Ritter-ovu točku i

Mehanika I 6. Statika linijskih konstrukcija 2.2. Grafička metoda (Culmann-ova metoda)

Uravnoteženje poznate sile R s tri nepoznate sile na poznatim pravcima vrši se grafičkim Culmann-ovim postupkom. Iz poligona sila očitaju se grafički dobivene veličine sila.

BA

P1 P2

R =A+Pl

S8

S9

S10

1

3

2

s

c

AP1

P2B

R l O

1

2

3

sS9

S8

S10

c

Očitano: S8 = ... ; S9 = ... ; S10 = ...


Primjer V- rešetke

P P P P P P

F=0.6 MN

6 x 5.0

4.0

+++0.560.480.19

- 0.56- 0.50- 0.31

-

0.35+

0.24

-

0.24

+

0.12-0.12

+++0.940.560.19

- 1.13- 0.75- 0.38

-

0.35+

0.35

-

0.35

+

0.35-0.35

P=0.1 MN

Primjer N- rešetke

++++

- - -

-1.0

0.28 0.48 0.60 0.64

-0.45

+0.25 -

0.32+

0.15-0.19 0.05

+ -0.06

0.28 0.48 0.60

5.0

8 x 4.0

P P P P P P P P P

++++

- - -

0.360.72 1.08

1.44

-0.58

+0.45 -

0.58+

0.45-0.58 0.45

+ -0.58

5.0

8 x 4.0

P=0.1 MN

F=0.9 MN

0.36 0.72 1.08

0.90+


6.5. Statika linijskih nosača u ravnini

Linijski nosači su konstrukcije koje opterećenja u ravnini prenose putem poprečnih i uzdužnih sila i momenata.

Sheme i nazivi jednostavnijih linijskih nosača:

Prosta greda

Poligonalna greda

Greda s prepustima

Konzola


6.5.1. Izvod diferencijalnih veza između opterećenja i sila presjeka Zadan je element linijskog nosača opterećen raspodijeljenim linijskim silama koji se nalazi u stanju ravnoteže. Ako se na udaljenosti x izdvoji diferencijani element linijskog nosača duljine dx, on mora biti u stanju ravnoteže.

Lokalna os x

Lokalna os y

O

a) Element linijskog nosača b) Izdvojeni diferencijalni element

p(x)

n(x)

Tl

N0

T0

M0p(x)

n(x)dx

x x+dx

Nx

Tx

Mx M +dMx x

N +dNx xT +dTx x

K

Ml Nl

Uvjeti ravnoteže:

)'2(..........Tdx

dM2

dx)x(pdxTdM

0)dMM(2

dx)x(pdxTM,0M.2

)1.().........x(pdx

dTdx)x(pdT

0dx)x(p)dTT(T,0Y.1

xx

2

xx

xx

2

xxK

x

x

xxx

−=

+=−

=+−−−=

=

=

=−++−=

∑

∑

Deriviranjem (2') po x i uvrštavanjem u (1) dobiva se

)3.().........x(ndx

dNdx)x(ndN

0)dNN(dx)x(nN,0X.3

)2.().........x(pdx

Mdodnosno

dxdT

dxMd

x

x

xxx

2x

2

x2x

2

−=

=−

=+++−=

−=

−=

∑


6.5.2. Dijagrami unutrašnjih sila za različite tipove nosača Prosta greda (obična greda) - opterećenje simetričnom koncentriranom silom

P

A B/2l /2l

P

A =P/2y B=P/2

Nx 0

+

-

B

AY

PTx

+

Pl/4

Mx

X A

M A P AP

M B P BP

x

B y y

A

= =

= ⋅ − ⋅ = →

= − ⋅ + ⋅ = → =

=

∑

∑

∑

0 0

0 2 02

0 2 02

,

, /

, /

L

L

L

l l

l l

Poprečno opterećenje - simetrično Nx - simetričan Tx - antisimetričan dTdx

p xdMdx

Tx xx= − =( ),

Mx - simetričan d Mdx

p x2

2 = − ( )

Prosta greda - opterećenje nesimetričnom silom

P

A B

Nx 0

-

+

Ay

BP

Tx

M =l

PabMx

a bl B= P a

lA =yP b.l

+

X AM A P b

AP b

M B P

BP a

x

B y

y

A a

= =

= ⋅ − ⋅

=⋅

= − ⋅ + ⋅

=⋅

=

=

∑∑

∑

0 00 0

0 0

,,

,

L

L

L

l

ll

l


Prosta greda - opterećenje dvjema silama

P

A Ba

la

APy B=P

Nx 0

-

+

Ay

B

PTx

1

1

PMx

P

c

P

Ay

+

M=P a.

PB0)a(PaPB,0M

PA0)a(PaPA,0M

0A,0X

A

yyB

x

=→=−+⋅+⋅−=

=→=−⋅−⋅=

==

∑∑∑

ll

-ll

Poprečno opterećenje - simetrično Nx - simetričan Tx - antisimetričan Mx - simetričan

Prosta greda - jednoliko raspodijeljeno opterećenje

A B

N x 0

-

+

A y

BT x

M x

l A = y

q

.l q2 B=

.lq2

M =lq 2

8max

+

X A

M A q

Aq

M Bq

x

B y

y

A

= =

= ⋅ − ⋅ ⋅

=⋅

= =⋅

=

∑

∑

∑

0 0

0 0

0

,

,

,

L

L

L

l ll2

l2l

2

Tq

q x q xx =⋅− ⋅ = ⋅ −

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟l l

22 Tx - antisimetričan

( )Mq

x q xx q x

xx =⋅⋅ − ⋅ ⋅ =

⋅⋅ −

ll

2 2 2 Mx – simetričan


Desna konzola

PA

lA =2Py

Nx 0

-Ay P

Tx

Mx

P

/2l/2

M=3/2Pl

3P /2l

P /2l-

Broj stupnjeva slobode: s = 3n-L = 3x1-3 = 0

X A

M M P

Y A P

x

A

y

= =

= = ⋅

= = ⋅

∑∑∑

0 0

032

0 2

,

,

,

l

A

Tx 0

-M x

lMM

Nx 0

M M

Lijeva konzola

l

N x 0

Ay

T x

M x

A=ql

M=q/2

l2p(x)=q

ql 2

8ql2

2

M = x -qx

2

2

-

+

l

A

A y =ql/

M=1/8 l 2 p(x)=

l /2 /2

N 0x

Tx

Mxq l 2

8

-

q l 2

l

A

A y =ql/

M=3/8 l 2 p(x)=

l /2 /2

N 0x

A y T + x

2ql

Mx8

q l 2

-3

8


Greda s prepustima

A B

Nx 0

Tx

Mx

lAy

q

B

.lq2

lq 2

8

+

-

++-

q a.

q a2

8 q a2

2

lq 2

8- q a2

2

- -

( )

( )

M

A q

Aq

B

B

y

y

=

⋅ − ⋅ ⋅ =

=⋅

=

∑ 0

0l l +l2

l +2

2a

2a

Tx - antisimetričan Mx - simetričan

Poligonalna greda

P

A B/2l /2l

P

A =B=VP2

A =0H

P2

P2

px

Simetrično

1

Ravnoteža čvora 1

N =0D

N =TL D

DTLT =0

P

Nx

-

+P

Tx

4Pl

Mx

- Tlak

Simetrično

- -

P2

P2

Antisim.

+

Simetrično


Poligonalna greda H

A =H

/2l /2l

A =B=VH hl

Nx

B

H

AV

h

-

B

+

H

AV

+

- Tlak

Tx

B

-

H

AV +

HhMx

P

a a

Nx

Tx

M x

P

bc cP P

-

-

+

+

+

PT

N

- -

Ravnoteža

N

TM N

T

M1

1

1

2

2

2

ΣX=0ΣY=0ΣM=0


A

Nx

+

Mx

l

Ayw

B

h=2l

A

A

y

x

B

W=w h.

W l.

W l.

++

Tx

-

+

W

W

W

A =A =B=Wx y


Poligonalni kosi gredni nosači

A

B

Koriste se kod stubiša, krovnih konstrukcija, hala, ... Unutrašnje sile: moment savijanja, poprečna sila, uzdužna sila.

h

q

q

B

Al

Q

QQ

AA

A

BB B

T

N

TN

V

V

V

V

VV

N

T

+

+

q /8l 2

NX

TX

MX

α

α

αα

1/2 q sinl α

1/2 q sinl α

1/2 q cosl α

1/2 q cosl α

α=

α=

=

sinqQ

cosqQ

qQ

N

T

l

l

l

α=

α=

=

sin2qA

cos2qA

2qA

NV

TV

V

l

l

l

α=

α=

=

sin2qB

cos2qB

2qB

NV

TV

V

l

l

l

8qM

sin2

qN

cos2

qT

2

max

A

A

l

l

l

⋅=

α⋅

−=

α⋅

−=


6.6. Statika linijskih nosača u prostoru

Opterećenje konstrukcije: zadaje se kao koncentrirano i raspodijeljeno Reakcije: Kod statički određenih prostornih nosača reakcije u osloncima određuju se iz uvjeta ravnoteže za prostorni skup sila:

0F,0F,0F ZYX === ∑∑∑

0M,0M,0M ZYX === ∑∑∑ Unutrašnje sile u presjeku: - mogu se predstaviti vektorima diname F i M - svaki od vektora diname može se rastaviti na po tri komponente u smjeru osi

lokalnog koordinatnog sustava zyxzyx M,M,M,T,T,N

xN - uzdužna ili normalna sila yT - poprečna sila u ravnini xy ili transverzalna sila

zT - poprečna sila u ravnini xz ili binormalna sila xM - moment uvrtanja ili moment torzije yM - moment savijanja u ravnini xz

zM - moment savijanja u ravnini xy

Crtež. Prikaz unutrašnjih sila u presjeku štapa

Mehanika I 6. Statika linijskih konstrukcija Uzdužna sila jednaka je zbroju projekcija u smjer normale presjeka svih sila s jedne ili druge strane presjeka.

xN

Poprečna sila jednaka je zbroju projekcija u smjer tangente presjeka svih sila s jedne ili druge strane presjeka.

yT

Poprečna sila jednaka je zbroju projekcija u smjer binormale presjeka svih sila s jedne ili druge strane presjeka.

zT

Moment uvrtanja jednak je zbroju projekcija u smjer normale presjeka svih momenata s jedne ili druge strane presjeka.

xM

Moment savijanja jednak je zbroju projekcija u smjer tangente presjeka svih momenata s jedne ili druge strane presjeka.

yM

Moment savijanja jednak je zbroju projekcija u smjer binormale presjeka svih momenata s jedne ili druge strane presjeka.

zM

Pozitivni smjerovi unutrašnjih sila


6.7. Lančanica i lančani poligon

Primjena užadi i lanaca - viseći mostovi, žičare, električni i telefonski vodovi. Opterećenje užeta (vlastita težina + dopunsko opterećenje): - raspodijeljeno opterećenje - koncentrirane sile

Osnovni postupci analize: - proračun užeta kao lančanica - proračun užeta kao lančani poligon

Unutrašnje sile u presjeku: - moment savijanja i poprečna sila se ne mogu preuzeti (vrlo mala krutost užeta na

savijanje) - postoji samo uzdužna vlačna sila 6.7.1. Lančanica Uže duljine L, ovješeno o nepomične točke A i B, opterećeno vertikalnim raspodijeljenim opterećenjem po cijeloj dužini će zauzeti ravnotežni položaj takav da oblikuje krivulju koju zovemo lančanica.

AAx

Ay

l

hBx

By

f B

Geometrijski promjenjiv sustav.

Mx = Tx = 0

Analizom uvjeta ravnoteže ne mogu se odrediti reakcije jer možemo postaviti 3 jednadžbe za 4 nepoznate sile. Ravnoteža se ne može uspostaviti bez analize unutrašnjih sila i geometrijskog položaja pa se analiza lančanice ne ubraja u standardne statički određene probleme.


Analiza uvjeta ravnoteže:

y

x

x dx

y

dyds

qx dQ =q dxxxSx

S +dSxxds

dxx

αx

αx+dαx

N

y

dy

Ravnoteža diferencijalnog elementa:

( ) ( )F S S dS dx x x x x x x= − + + + =∑ cos cosα α 0α (1) ( ) ( )F S q x S dS dy x x x x x x= − − + +∑ sin ( )dx sinα α 0=α (2)

M S dy S dx q xdx

N x x x x= − + − =∑ cos sin ( )α α2

20

(3)

cos , sind dα α≅1 ≅ 0

=

dSx xcosα = 0 (4) − −q x dSx x( )dx sinα 0 (5) − + =S dy S dxx x x xcos sinα α 0 (6)

Integracijom (4) slijedi:

S constx xcos .α = S Hx xcosα = (7)

Integracijom (5) slijedi:

S qx xx

x

sin ( )α0

0= −∫ x dx

dx

S S q xx x

x

sin sin ( )α α= − ∫0 00 (8)

Iz (6) slijedi:

tgdydxx

xα = (9)

Dijeljenjem jednadžbe (8) sa (7) dobije se:

SS

SS H

q x dx H Sx x

x x

xsincos

sincos

( ) , cosαα

αα

α= − =∫0 0

0 0 00 0

1


a nakon uvrštenja relacije (9) slijedi:

dydx

CH

q x dx C tgxx

= − = =∫10

10

00

1( ) ,

sincos

αα

α

(10)

Integriranjem prethodne jednadžbe slijedi:

y C xH

q x dx dxxx

xx

0 100

1= − ∫∫( ( ) )

y y C xH

q x dx dxx

xx

= + − ∫∫0 100

1( ( ) )

(11)

→ JEDNADŽBA LANČANICE U INTEGRALNOM OBLIKU

Deriviranjem jednadžbe (10) slijedi d ydx

q xH

x2

2 = −( )

(12)

→ JEDNADŽBA LANČANICE U DIFERENCIJALNOM OBLIKU

Ako je zadano opterećenje q(x), ne može se odrediti linija lančanice yx iz (11) ili (12) jer su nepoznate 3 konstante y0 , C1 i H.

Iz 2 poznata uvjeta, y(0) i y(l), mogu se odrediti 2 konstante, dok je za treću potreban dodatni uvjet.

Dodatni uvjet može biti zadan kao C1, H, ali ga je najprirodnije zadati duljinom lančanice L:

L dsdydx

dx= = +⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟∫ ∫

0

2

01

l l

Za dydx

se uvrsti (10).

Analitičko rješenje u zatvorenom obliku moguće je u ograničenom broju slučajeva.

Približno integriranje uz pomoć razvoja u red:

1 12 8 16

5128

351280

22 3

4 5+ = + − + − + +xx x x

x x L

Red dobro konvergira za x≤1, tj. dydx

ilidydx

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ≤ ≤

2

1 1

Podjela lančanica: fl≤ 0 20.

težina se može zadati po jedinici horizontalne duljine rješenje je parabolična lančanica

fl≥ 0 20.

težina se mora zadati po dužini luka rješenje je hiperbolična lančanica


Parabolična lančanica

Neka je q(x)=p=const., iz (11) → y y C xp x

Hx = + −0 1

2

2

Rubni uvjeti: 1. za x=0, y0=0 2. za x=l, yl =h

h

pC

h p= − + → = +

ll

ll2

12HC

2H1

→ yh

xpH

x x= + −l

l2

2( )

dydx

h pH

x= + −l

l( )

2

Dodatni uvjet - duljina lančanice L

L dx

pH

x dxpH

h=

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ≅

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ≅ + −

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ≅ + +∫ ∫ ∫1+

dydx

1+12

dydx

1+12

h24

32

0

2

0

2

0

2

2

2

2

l l l

ll2

ll

l( )

→ H p=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ll

l -24 L -h2L

2

Jednadžba lančanice:

yh

x

Lh

L

x x= +

− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−l

ll

l

l1

224

2

2

( )

kvadratna parabola

Uzdužna sila:

S

HH tg H

dydxx

xx= = + = +

cosαα1 1


Hiperbolična lančanica Opterećenje je raspodijeljeno po duljini luka lančanice: ps=p(s).

Za ps=p=const.,

p x dx pdL p x pdLdx

( ) ( )= − → = −

Diferencijalna jednadžba:

2

2

22

2

2

dxdy1

Hp

dxyd,dx

dxdy1dL,

dxdL

Hp

dxyd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+==

Jednadžba hiperbolične lančanice:

y

Hp

chpH

x C C= −( )1 2+

Za ishodište u najnižoj točki lančanice:

y

Hp

chpH

x C= + 2

Ako se ishodište udalji za -H/p tada je:

y

Hp

chpH

x=

Duljina luka:

dLdydx

dxpH

chpH

x

L dLHp

shpH

x shpH

xx

x

A BA

B

= +⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ =

= = +⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟∫

12


6.7.2. Lančani poligon Lančani poligon je ravnotežni položaj užeta opterećenog s koncentriranim silama u odnosu na koje je vlastita težina vrlo mala. Oblik lančanog poligona ovisi o: - dužini užeta - položaju krajeva A i B - veličini, položaju i smjeru djelovanja aktivnog opterećenja.

A

l

B

si

s1 α1αi αn

αn+1P1 PnPi

h

Lančani poligon je materijalni model verižnog poligona.

AB

S1

P3P2

P1

S1

S2 S2 S3 S3

S4

S4

S1

S2

S3

S4

P1

P2

P3

H

Uvjeti ravnoteže:

U svakom čvoru 2 uvjeta ravnoteže:

(1) FXi=∑ 0

U čvoru ″i″ S Si i i icos cosα α− =+ +1 1 0 U čvoru ″i+1″ S Si i i i+ + + +− =1 1 2 2 0cos cosα α Zbrajanjem se dobiva S Si i i icos cosα α− =+ +2 2 0

odakle je

H S S S consti i i i i i= = = =+ + + +cos cos cos .α α α1 1 2 2

Mehanika I 6. Statika linijskih konstrukcija (2) FYi

=∑ 0

U čvoru ″i″ P S Si i i i i− + =+ +sin sinα α1 1 0

odakle je ( ) (H )

Nepoznanice su ki (ima ih n+1) i H, ukupno (n+2) nepoznanica. Za rješenje zadatka potrebne su dvije dodatne jednadžbe: (1) Zbroj projekcija stranica si na horizontalnu os mora biti jednak ″l ″.

s sn n1 1 1 1cos cosα α+ + =+ +L l

(2) Zbroj projekcija stranica si na vertikalnu os mora biti jednak ″h″.

s sn n1 1 1 1sin sinα α+ + =+ +L h

cos , sinα αi

ii

i

ikk

k=

+=

+

11 12 2

Cjelokupni sustav jednadžbi:

(1) ( )H k k P1 2− = 1

2 (2) ( )H k k P2 3− =

M

(n) si - zadano ( )H k k Pn n n− =+1

sk

skn

n

1

12

1

121 1+

+ ++

=+

+

L l (n+1)

k sk

k sk

hn n

n

1 1

12

1 1

121 1+

+ ++

=+ +

+

L

(n+2) Sustav je nelinearan i može se riješti samo iterativno.

P H= t iα − t iα = − =k k k t i α → , n jednadž̀bi +i i i+1 1 i

Documents

6_statika_linijskih_konstrukcija