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§7.2 整除性 带余除法

第七章 多项式环

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一、多项式整除的概念1. 多项式的整除性设 ,f x g x F x h x F x，若存在 ，使

g x f x g x h x ，则说 整除 f x ，记为： g x f x

当 g x f x 时， f x g x 称作 的因式， f x 称作 g x 的倍式。

2. 整除的基本性质性质 1： ,h x g x g x f x若

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则 h x f x 。（传递性）

证： , ,h x g x g x f x

1 2,m x m x F x

使 1 ,g x h x m x

2 1 2f x g x m x h x m x m x

h x f x

性质 2：若 ,h x g x h x f x ，则 。 h f g

证： 1 2,g x h x m x f x h x m x

1 2,m x m x F x

1 2 ,f g h x m x m x h x f g

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性质 3：若 h x f x ，对 。 g x F x h fg有

证： ,f x h x m x m x F x

,f x g x h x g x m x

h x f x g x

性质 4：若 , 1, 2, , ,ih x f x i m

则对 , 1, 2, ,ig x F x i m

1 1 2 2 m mh x f g f g f g 有

性质 5：若 ,f x g x g x f x

则 , .f x c g x c F

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证： , ,g hf f gl f hl

0, ,hl h l 为常数。

性质 6： ,f x F x c F 且 0c 则 ,c f x cf x f x

性质 7： ,f x F x f x 零多项式

3. 带余除法定理定理 1 ： 设 ,f x g x F x ，且 0,g x

则存在 , ,q x r x F x 使得 f x g x q x r x

这里 r x g x 或 0r x

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满足条件的 q x r x和 唯一确定。

商式 余式证：先证存在性。1 、若 0f x 则取 0, 0.q x r x

即知结论成立。2 、设 , ,f x n g x m

对 f x 的次数 n ，利用数学归纳法。当 n<m 时，显然取 0,q x r x f x

下面讨论 n m 的情况。假设当次数小于 n 时， ,q x r x 的存在性已证现考虑次数为 n 的情况。

，即知结论成立。

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令 ,n max bx 分别是 ,f x g x 的首项，因而多项式 1

1n mf x b ax g x f x 的次数小于 n 或为 0 。

若 1 0f x ，取 1 , 0n mq x b ax r x

若 1 ,f n 由归纳法假设，对 ,f x g x

有 1 1,q x r x 存在， 使 1 1 1f x q x g x r x

其中 1r x g x 或者 1 0r x

于是 11 1

n mf x q x b ax g x r x

取 1 1,n maq x q x x r x r x

b

就有 f x q x g x r x

，结论成立；

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其中 r x g x 或者 0r x

再证唯一性。

2 2 2,f x g x q x r x r g

若有 1 1 1,f x g x q x r x r g

则 1 2 2 1g x q x q x r x r x

若 1 2q x q x 则 1 2r x r x

2 1 1 2r x r x g x q x q x g x

这与 2 1g x r x r x 矛盾，

故 1 2 .q x q x 从而 1 2r x r x

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推论 1 ： 若 ,f x g x F x 且 0,g x

则 g x f x 的充要条件是： g x 除 f x 的余式 0r x

证： 充分性。若 f x g x q x r x 且 0r x 则有 g x f x

必要性。 若 g x f x ，则 f x g x q x

例 1 设 4 3 25 2 3 7 1,f x x x x x

2 2 3g x x x

求 g x 除 f x 所得的余式和商式。

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例 2 证明 1kx f x k 的充要条件是 x f x

证：充分性显然。下证必要性，设 f x xq x c

于是 1

kk kf x xq x c xq x c

由于 ， kx f x 故 。 0, 0kc c

多项式的根及因式分解会因数域的扩大而改变，那么问题：数域 F 上的多项式 f x 与 g x 的整除性

是否会因数域的扩大而改变？多项式的整除性不因数域的扩大而改变

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设 F F ，若在 F 上 g x f x

是否在 F 上也有 g x f x ？ 结论：设 F F ，而 ,f x g x F x ，

F x 中， g x f x在则在 F x 中也有 g x f x

（多项式的整除性不因数域的扩大而改变）证：若 0g x 则在 F x 中， g x f x 0f x

因此在 F x 中， g x f x

若 0g x 则在 F x 中有 , 0f x g x q x r x r x

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但 F x 中的多项式 ,q x r x 仍是 F x 的多项式。

因而在 F x 中，这一等式仍然成立。由 ,q x r x 的唯一性知，

在 F x 中 g x f x

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下面证明多项式乘法满足结合律。

证：设 3

0 0 0

, ,n m l

i ki j k

i j k

f x a x g x b x h x c x

现证 f x g x h x f x g x h x

这只要比较两边同次项（比如 t 次项系数）相等即可。 左边 f x g x 中 S 次项的系数是： i j

i j s

a b

左边 f x g x h x t 次项的系数是：

i j k i j kk s t i j s i j k t

a b c a b c

右边 g x h x 中 r 次项的系数是： j kj k r

b c

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右边 f x g x h x 的 t 次项的系数是：

i j k i j ki r t j k r i j k t

a b c a b c

左、右两边同次项的系数相等， 乘法满足结合律。

三、多项式的次数定理定理 2. ： 设 0, 0f x g x

① 当 0f x g x 时，则 max ,f x g x f x g x

f x g x f x g x ②

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证：设 0 1 , 0,nn nf x a a x a x a f n

0 1 , 0,mm mg x b b x b x b g m

当 ,m n 令 1 0m nb b

0

ni

i ii

f x g x a b x

f x g x n

0

,n m

ki i

k i j k

f x g x a b x

0, 0 0n m n ma b a b

0f x g x

f x g x n m

多项式乘法没有零因子。

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推论 2 ：若 0 0 0f x g x f x x 或g

证：若 f=0 或 g=0 ，则必有 fg=0 。反之，若 0, 0f x g x

0f x g x f x g x

0f x g x ，矛盾。乘法消去律成立。

推论 3 ：若 f x g x f x h x 且 0f x

则 g x h x

证： 0f x g x h x 由于 0f x 故 0g x h x

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定义 1 ： F x F 数域 上所有一元多项式全体

nF x 次数小与n的一元多项式全体+零多项式

对多项式的加、减、乘法是否封闭？

上的多项式环。

对多项式的加、减、乘法封闭，故称为数域 F F x

nF x