7–‰TUDEDESR‰SEAUX‰LECTRIQUES .7–‰TUDEDESR‰SEAUX‰LECTRIQUES Comment courants et potentiels

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  • 7 TUDE DES RSEAUX LECTRIQUES

    Comment courants et potentiels lectriques se rpartissent au sein dun circuit lectrique ? Cest cettequestion que ce cours entend rpondre, sachant quon limitera notre propos aux rseaux lectriques linaires.En eet, ces rseaux ont le bon got de mener des quations analytiquement solubles.

    Ce chapitre est accessible en ligne ladresse :

    https://femto-physique.fr/electromagnetisme/etude-des-reseaux-electriques.php

    Sommaire7.1 Lois de llectrocintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    7.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.1.2 Loi des nuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.1.3 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.1.4 Puissance reue par un dipole lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    7.2 Phnomnes rsistifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.2.1 Loi dohm - eet Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.2.2 Association de rsistances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2.3 Ponts diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    7.3 Modlisation linaire dun diple actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.3.1 Source de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.3.2 Source de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.3.3 quivalence Thvenin-Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.3.4 Rcepteur actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.3.5 Loi de Pouillet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.3.6 Mthodes de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    7.4 Phnomnes capacitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.4.2 Association de condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.4.3 Dcharge dun condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    7.5 Phnomne dauto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.5.1 Introduction linduction magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.5.2 Auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.5.3 nergie emmagasine dans une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.5.4 Circuit R-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    72

  • 7. TUDE DES RSEAUX LECTRIQUES. 7.1. Lois de llectrocintique.

    7.1 Lois de llectrocintiqueLes lois de llectrocintique ou lois de Kirchho 1 se rsument en deux lois : la loi des nuds et la loi

    des mailles.

    7.1.1 IntroductionUn rseau lectrique (ou circuit lectrique) est un ensemble dlments prsentant des proprits lec-

    triques, relis entre eux par des conducteurs que lon considrera parfaits (conductivit infini). Les lois dellectricit permettent de trouver la faon dont les courants et les potentiels lectriques se rpartissent ausein de ce circuit.

    Lorsque les grandeurs lectriques ne varient pas dans le temps, on parle de rgime continu ; le rgimevariable dsigne la situation contraire. En gnral, les grandeurs lectriques stationnaires sont notes enmajuscule (tension U et intensit du courant I) alors que les grandeurs variables sont en minuscules (u(t) eti(t)).

    En rgime variable, les fluctuations de courant se propagent une vitesse proche de la vitesse de lalumire. Pour des circuits de taille raisonnable, la dure de propagation est trs petite devant le tempscaractristique T des fluctuations (priode du signal sil est priodique). Il est alors lgitime de ngliger devant T ; cest ce quon appelle lapproximation des rgimes quasi-stationnaires.

    Approximation des Rgimes Quasi Stationnaires (ARQS)Nous admettrons que les lois des rgimes permanents restent valables en rgime variable si lonpeut considrer les phnomnes de propagation ngligeables. Notamment, dans une branche duncircuit, un instant donn, le courant a la mme intensit en tout point.

    Un diple lectrocintique est une partie dun circuit qui peut tre relie au reste du circuit par deuxfils. On dcrit le comportement dun diple par sa relation courant-tension (i = f(u)) dans une conventionprcise. Il en existe deux :

    dans la convention rcepteur, si le courant algbrique est orient dans le sens AB, alors u = VA VB ;

    dans la convention gnrateur, si le courant est orient dans le sens AB, alors u = VB VA.

    A Bi diple

    u = VA VB

    Convention rcepteur

    A Bi diple

    u = VB VA

    Convention gnrateur

    Enfin, nous restreindrons notre propos aux rseaux constitus seulement de diples lectrocintiqueslinaires, cest--dire ceux dont la relation entre u et i est soit ane (i = au+ b), soit intgro-direntielle.

    7.1.2 Loi des nudsDans chaque branche dun rseau lectrique, on dfinit un sens positif (le choix est arbitraire !) du courant

    et une intensit algbrique i . Si i > 0 , le courant circule dans le sens positif ; si i < 0 , le courant circuledans le sens oppos.

    Un nud est la rencontre dau moins trois conducteurs lectriques. Considrons n branches de conducteurslies par un nud N. Dfinissons ik, lintensit algbrique du courant de la ke branche. La loi des nuds

    1. Gustav Robert Kirchho (1824-1887) : physicien allemand qui nona les lois relatives au courant lectrique dansles circuits alors quil tait encore tudiant. On lui doit surtout des avances en spectroscopie.

    73

  • 7. TUDE DES RSEAUX LECTRIQUES. 7.1. Lois de llectrocintique.

    traduit la conservation de la charge en rgime stationnaire et exprime le fait que la charge ne peut passaccumuler en N : le courant lectrique qui arrive en N doit tre compens par le courant qui sort. Cette loi,rigoureusement vrifie en rgime continu, est admise en rgime variable dans le cadre de lapproximationdes rgimes quasi-stationnaires.

    Loi des nudsEn chaque nud dun circuit, on a

    n

    k=1k ik = 0 (7.1)

    o k = +1 quand le courant est entrant et o k = 1 dans le cas contraire.

    Exemple On considre le schma suivant :

    N

    i1 i2

    i3 i4

    la loi des nuds (7.1) exprime en N donne

    i1 + i2 + i3 i4 = 0 soit i4 = i1 + i2 + i3

    ce qui traduit bien le fait que le courant qui arrive en N est gale au courant qui en sort.

    7.1.3 Loi des maillesLe transport lectrique est assur grce aux forces lectrostatiques. On peut ds lors dfinir un potentiel

    lectrique en chaque point du circuit. Lorsque le potentiel lectrique est le mme partout, le rseau est lquilibre et nest le sige daucun courant lectrique. En revanche, lorsque le potentiel lectrique nest plusuniforme, le conducteur nest plus lquilibre ce qui gnre un courant lectrique (qui tente de rtablirlquilibre). Aux extrmits dune branche il existe alors une tension qui dpend du courant lectrique et dela nature du diple travers par ce courant. Il est traditionnel de reprsenter une tension uAB = VA VBpar une flche allant de B vers A.

    A Bi diple

    uAB = VA VB

    Les tensions qui rgnent dans un circuit obissent quelques contraintes physiques. En eet, si lon parcourtun circuit ferm (on parle de maille) en partant dun nud N pour revenir ce mme nud, on doit trouverune tension nulle en vertu du caractre conservatif du champ lectrique (

    E

    d = 0). Autrement dit, silon dcompose le circuit C en n branches adjacentes on aura :

    n

    k=1uk = 0

    o uk est la tension qui rgne aux extrmits de la ke branche. Cette loi est appliquer si toutes les tensionssont orientes dans le mme sens, ce qui nest pas toujours la cas cause des direntes conventions choisiespour les diples, cest pourquoi on retiendra la rgle suivante :

    74

  • 7. TUDE DES RSEAUX LECTRIQUES. 7.1. Lois de llectrocintique.

    Loi des maillesPrenons une maille et choisissons arbitrairement un sens de parcours. Visitons toutes les branchesde la maille et associons un coecient k = +1 la tension rencontre lorsquelle est oriente(sa flche reprsentative) dans le sens de parcours et un coecient k = 1 lorsque la tensionrencontre est oriente dans lautre sens. La loi des mailles se traduit alors par

    n

    k=1k uk = 0 (7.2)

    Exemple Dans le circuit ci-dessous, appliquons la loi des mailles en parcourant la maille dans le sens indiqu.

    A CB

    uAB uBC

    uAC

    On trouve1 uBC + 1 uAB 1 uAC = 0

    soituAC = uAB + uBC

    On retrouve dailleurs une loi identique celle de Chasles propre aux vecteurs.

    Remarques :

    Rappelons quil existe une indtermination du potentiel ; ceci reste vrai au sein dun rseau lectrique.Cependant, une convention souvent rencontre consiste poser lorigine du potentiel au niveau du ple -de lalimentation. Ce potentiel de rfrence est appele masse du circuit.

    Un quipement sous tension prsente, en gnral, une connexion physique avec la terre. Elle permet deprotger lutilisateur et galement dvacuer les courants induits par la foudre. Cependant, il ne faudraitpas confondre ligne de terre et ligne de masse, car le potentiel de la terre nest pas ncessairement constantet sa fonction est uniquement lie la scurit.

    ligne de masse ligne de terre

    7.1.4 Puissance reue par un dipole lectriqueOn appelle P(t) la puissance lectrique reue linstant t par un diple lectrocintique. La puissance

    lectrique se mesure en watt (symbole : W) en hommage James Watt 2 et on rappelle que

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