Upload
baguz-iiman
View
252
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/17/2019 8 Integral Terbit
1/27
8/17/2019 8 Integral Terbit
2/27
34 4)( x xdx
d =+ ∫ +=∴ .4
43 xdx x
34 4)*( x xdx
d =− ∫ −=∴ *.4
43 xdx x
dalam ketiga contoh ini kita mengetahui pernyataan$pernytaan yang mempunyai
turunan 4x3 . +etapi sebarang suku konstanta dalam pernyataan aslinya menjadi
nol dalam turunannya dan semua jejak konstanta tersebut menjadi hilang.
adi jika kita tidak menguasai asal usul turunan tersebut, kita tidak mengetahui
nilai suku konstanta itu, apakah -, , $*, atau nilai lainnya. Oleh sebab itu
menerima keberadaan suku konstanta seperti itu yang bernilai tertentu
dengan menambahkan simbol C pada hasil integrai itu"
yakni, ∫ += C xdx x 43
.4
C disebut konstanta integrasi dan harus selalu disertakan.
!ntegral demikian disebut integral taktentu karena biasanya kita tidak
mengetahui nilai C tersebut. Akan tetapi, pada keadaan tertentu, nilai C mungkin
saja diperoleh bila informasi lebih lanjut tentang integral itu tersedia.
Sebagai contoh, unutk menentukan I = ∫ dx x .4 3
, diketahui bah/a I = 3
apabila x = 2. S eperti sebelumnya"
∫ +== C xdx x I 43 .4
+etapi I = 3 apabila x = 2 sehingga 3 = 24 + C ∴ C = !3
adi, dalam hal ini I = x4 " !3
8.1.2 Definisi integral taktentu ( Antiderivatives)
Definisi
Sebuah fungsi 0() adalah anti turunan (antiderivatives) dari sebuah
fungsi f() jika 0′() 1 f() untuk setiap dalam domain f. 2impunan semua anti
turunan dari f disebut integral taktentu (in!efinite integral) dari fterhadap ,
dinotasikan
∫ dx x f )( 1 0()
Integral -
8/17/2019 8 Integral Terbit
3/27
Simbol adalah tan!a integral. 0ungsi f disebut integran (integran!) dari
integral , adalah ariabel integrasi dan disebut konstanta integrasi (konstanta
sebarang).
'erhatikan beberapa contoh berikut"
(a) %)( = xdx
d C xdx +=∴∫ %
(b) aaxdx
d =)( C axdxa +=∴∫
(c) %)( −= nn nx x
dx
d dengan menggantikan n dengan n % diperoleh
nn
xn xdx
d )%()(
%
+=+
nn
xn
x
dx
d =
+
∴+
%
%
# n ≠ $%
Sehingga diperoleh rumus ∫ ++=+
C n
xdx x
nn
%.
%
, n ≠ $%
(d)
x
x
dx
d %)(ln = ∫ +=∴ C xdx x ln
%
5engan mengumpulkan hasil$hasil tersebut kita peroleh rumus Integral "tan!ar"
C xdx +=∫ % ...................................................................................6.%
C axdxa +=∫ .................................................................................6.
∫ ++
=+
C
n
xdx x
nn
%
.%
, n ≠ $%................................................................6.3
∫ += C xdx x ln%
..............................................................................6.4
ontoh 6.%"
* 7%%.7
x dx x C = +∫
. %- %-dx x C = +∫
Integral %
8/17/2019 8 Integral Terbit
4/27
73. 7lndx x C
x= +∫
ontoh 6."
f() 1 ∫ dx x3 , diketahui f() 1 %-. +entukan f().
'enyelesaian"
f() 1 C xC xdx x +=+=∫ 33 33
3
f() 1 6 1 %- ⇒ 1
adi f() 1 3
Aturan al#a$ar untuk integral taktentu.
∫ ∫ = dx x f k dx x f k )()( ...............................................................6.*
∫ ∫ −=− dx x f dx x f )()( ..............................................................6.7
∫ ∫ ∫ ±=± dx x g dx x f dx x g x f )()()8()(9 ..................................6.&
ontoh 6.3"
C x x xdxdx xdx xdx x x ++−=+−=+− ∫ ∫ ∫ ∫ ***%-3)*%-3( 3
+ampak bah/a dengan menggunakan rumus 6.& untuk mengintegralkan
penjumlahan suatu fungsi kita tinggal menjumlahkan integral masing$masing
fungsi.
Integral
8/17/2019 8 Integral Terbit
5/27
Lati%an 8.1
Soal % : *, selesaikan integral berikut dan cek hasilnya dengan menggunakan
turunan.
%. ( %) x dx+∫ . (* 7 ) x dx−∫ %3. (3 )
t dt +∫
34. ( 4 )
t t dt +∫
3*. ( * &) x x dx− +∫ *7. (% 3 ) x x dx− −∫
% %&.
3 x dx
x
− − ÷ ∫ 3
% 6.
* x dx
x
− + ÷ ∫
%
3. x dx−
∫ * ; 4
%-. x dx−
∫ 3%%. ( ) x x dx+∫
%.
xdx
x
+ ÷ ÷
∫
%; 4
%3. 6 # d#
#
− ÷
∫ * ; 4
% %%4.
&d#
#
− ÷
∫
3%*. (% ) x x dx−−∫ 3%7. ( %) x x dx− +∫
%&. t t t dt t +∫ 34%6. t dt t +∫ 4 * 7
%. # #
d# #
− +∫ -. ( 3) # # d#− +∫
%. ( 3)( %) x x dx− +∫ . ( )( * 3) x x x dx+ + +∫ 3. ( ) x dx−∫ 4. ( %) x dx−∫
*. ( %)( 3)t t dt − +∫
8/17/2019 8 Integral Terbit
6/27
&. >langi soal 7, untuk )(d
dg()dan)
%(
d
d)( x x x f == .
Selesaikan soal 6 : 3-.
6. 5iketahui xdx
xdf 3
)(= dan f(4) 1 %. +entukan f(), kemudian hitung f(%).
. +urunan pertama fungsi f() adalah %43 +
x, Apabila f(%) 1 *, tentukan f()
dan nilai f().
3-.
8/17/2019 8 Integral Terbit
7/27
Atau tanpa pemisalan"
C x
C x
xd xdx x
x
dx
+−
=+−−
−=
−
−−=−=
−−
−−
∫ ∫ ∫
33
)3(
%.
3
%
3
)3()3()3(
)3(
%
%
3
3
3
. @..........................*cos*sin =∫ xdx x
'enyelesaian"
=isalkan" u 1 cos * ⇒ du 1 $* sin * d
$ dx xdu
*sin*
=
C xC udu
u xdx x +−=+−=
−= ∫ ∫ *cos%*
%
3*
%
**cos*sin
33
Atau tanpa pemisalan"
3
sin* cos * (cos* ) cos * (cos* )sin * cos *
*sin* *
%cos *
%*
x xd x xd x x xdx
x
x C
= = −−
= − +
∫ ∫ ∫
Lati%an 8.2
Soal % : -, gunakan substitusi untuk mencari integral berikut.
%.4(& * ) x dx−∫ . ∫ − dx x&
3. ∫ − )4( xdx
4. dx x x *cos*sin
∫
*. dx x x *sin*cos
∫ 7. ∫ 3(4 : %) d
&. ∫ ++
+3 )(
)%(
x x
dx x6. ∫ − )4%(
4
x x
dx
. dx x x
x∫ ++
+*3
3
%-. ∫ −% xdx x
%%. ∫ − % xdx x
%. ∫ − x xdx
cos%
sin
Integral *
8/17/2019 8 Integral Terbit
8/27
%3. dx x
x∫ + tan%
sec %4.∫
−3
% x
dx
%*.dx
x x x
x x∫ −+−
+−&3
*
3
%3*
3
%7. ∫ +++ d# # # # # )()%4(% 34
%&. 3 & 3 # # d#−∫ %
%6.(% )
dx x x+∫
3 %. 6 % d θ θ θ −∫ 3(% )
-. x
dx x
+∫
Soal % : 3, tentukan fungsi yang diminta.
3%. % (3 %) , (%) 3, ...@ds t t s sdt
= − = =
%; 3. 4 ( 6) , (-) -, ...@d#
x x # #dx
−= + = =
*
%3. , (%) , ...@
dr t r r
dt t
−= = =
8.& Integral fungsi trigono'etri
=isalkan u fungsi yang diferensiabel terhadap . 5engan menggunakan
rumus diferensiasi pada fungsi trigonometri didapat
dx
duuu
dx
d
dx
duuu
dx
d
dx
duuu
dx
d
dx
duuu
dx
d
csc)(cot#sec)(tan
sin)(cos #cos)(sin
−==
−==
Sehingga diperoleh
C uduuC udx
dx
duu +=+=
∫ ∫ sincosatausincos ...........................6.
C uduuC udxdx
duu +−=+−=
∫ ∫ cossinataucossin .....................6.%-
C uduuC udxdx
duu +=+=
∫ ∫ tansecatautansec ........................6.%%
C uduuC udxdx
duu +−=+−=
∫ ∫ cotcscataucotcsc ...................6.%
erdasarkan rumus$rumus %. $ %.% diperoleh rumus berikut"
Integral 7
8/17/2019 8 Integral Terbit
9/27
8/17/2019 8 Integral Terbit
10/27
1 C x xC uu
du++=+=∫ sectanlnln
4. ∫ ∫ = dx x
xdx x
cos
sintan # misal u 1 cos ⇒ du 1 $sin d
C x xC uduu
dx x +=−=+−=−= ∫ ∫ seclncoslnln%
tan
Lati%an 8.&
Soal % : -, carilah integralnya.
%. (cos sin3 ) x x dx+∫ . (% cos* ) x dx−∫
3. sin( %)t dt −∫ 4. sec (3 )d α α −∫
%
*. (tan3 csc )d θ θ θ −∫ 7. ∫ xdx x cossin
&. ∫ dx x x cos4sin 6. ∫ dx x x 4cos*cos%-
. ∫ d& &
& sin%-. ∫ + dt t t )4cos(
%; 3 ; %%. sin( %) x x dx+∫ % %
%. cos % dt t t
− ÷ ∫
3%3. csc (% ) # # d#−∫ %4. ∫ − d& & )3cot(
%*. *sin 3 .sin * & & d& ∫ %7. sin 3 xdx∫ %&. 7cos ( %) # d#−∫ %%6. 4 tan t dt ∫
%. 4 cot ( %) p p dp− +∫ -. ( sin ) x x x dx−∫
Soal % : 4%, gunakan substitusi untuk mencari integral berikut.
4%. cos sin x x dx∫ 3. sin sin # # d#∫
3. tan sect t dt ∫ & 4. tan sec x x
dx∫
*. sec tan
v v dvπ π + + ÷ ÷
∫ 7. csc cot
v v dv
π π + + ÷ ÷ ∫
sin( %)&.
cos ( %)
t dt
t
++∫ 3
7cos6.
(% sin )
t dt
t +∫
Integral 6
8/17/2019 8 Integral Terbit
11/27
. cot csc # # d#∫ sec tan
3-.sec
& & d&
& ∫
33%. sin x dx∫ 33. cos x dx∫ 333. tan t dt ∫ 334. cot 3t dt ∫ 3 3*. sin cos x x dx∫ 37. ∫ dt t t t
%cos
%sin
%
3&.
cos
sind
θ θ
θ θ ∫
Selesaikan soal 36 : 3, dengan cara yang diminta.
36. ∫ + dx x x x
3
)tan(
sectan%6
a. =isalkan u 1 tan , diikuti dengan 1 u3, kemudian / 1
b. =isalkan u 1 tan3, kemudian 1 u
c. =isalkan u 1 tan3
3. dx x x x )%cos()%sin()%(sin% −−−+∫
a. =isalkan u 1 : %, diikuti dengan 1 sin u, kemudian / 1 %
b. =isalkan u 1 sin( : %), kemudian 1 % u
c. =isalkan u 1 % sin( : %)
Selesaikan soal 4- : 4*.
( %)cos 3( %) 74-.
3( %) 7
r r dr
r
− − +
− +∫
3
sin
4%. cos d
θ θ
θ θ ∫
4. )%
(sin6 π += t
dt
ds dan s(-) 1 6. +entukan s(t).
43. )4
(cos3
θ π
θ −=
d
dr dan r(-) 1
6
π . +entukan r(θ).
44. ?ecepatan sebuah partikel yang bergerak maju mundur pada sebuah garis
lurus untuk setiap t adalah 1 ds;dt 1 7 sin t meter;detik. jika s 1 - saat t 1 -,
carilah nilai s pada saat t 1 π; detik.
Integral
8/17/2019 8 Integral Terbit
12/27
4*. 'ercepatan sebuah partikel yang bergerak maju mundur pada sebuah garis
lurus untuk setiap t adalah a 1 d s;dt 1 π cos πt meter;detik. ika s 1 - dan
1 - ketika t 1 -, carilah s ketika t 1 % detik.
8. Integral arsial
!ntegral parsial adalah salah satu teknik menyelesaikan integral fungsi
bentuk perkalian ∫ dx x g x f )()( . Bumus integral parsial diturunkan dari rumus
deriatif untuk fungsi perkalian, yaitu
dx
dvu
dx
duvvu
dx
d ..).( +=
5alam bentuk diferensial menjadi" d(u.) 1 du u d atau
u d 1 d(u) : du
ika kedua ruas diintegralkan, diperoleh"
∫ ∫ ∫ ∫ −=−= duvvuduvuvd dvu .)(
adi ∫ ∫ −= duvuvdvu ......................................................................6.%&
ontoh 6.7"
%. dx x∫ ln 1 C@ nisalkan u 1 ln dan 1
dx x∫ ln 1 ln $ ∫ )(ln xd x
1 ln $ ∫ ∫ −= dx x xdx x x ln%.
1 ln :
. ( ) sin cos cos cos ( ) x xdx x d x x x x d x= − = − −∫ ∫ ∫
1 $cos cos x x dx∫ D diturunkan menjadi E
1 $cos ∫ x xd sin D dipilih " u 1 dan 1 sin E
1 $cos )sinsin( ∫ − xdx x x
1 $cos C x x x ++ cossin
3. ∫ ∫ = 3 ln3%
ln xdx xdx x Ddiambil u 1 ln dan 1 3E
1 ∫ − ))(lnln(3% 33
xd x x x
Integral 3-
8/17/2019 8 Integral Terbit
13/27
1 ∫ − )%
ln(3
% 33 dx x
x x x
1 ∫ − dx x x x 33
%ln
3
%
1 C x x x +− 33
%ln
3
%
Ada metode lain dalam integral parsial yang bisa digunakan, metode ini
mudah dipahami tetapi mempunyai kelemahan yaitu hanya bisa digunakan jika
memuat perkalian dua buah fungsi dengan salah satu fungsinya bisa diturunkan
terus menerus hingga menjadi nol (-).
=isalkan kita gunakan salah satu contoh diatas "
∫ = ....................sin
xdx x
tanda diturunkan diintegralkan
() Sin
($) $cos
() $sin
($) - os
'erhatikan tanda panah yang menunjukkan proses perkalian fungsi yang
akan diintegralkan, jadi hasilnya adalah
sin x x dx∫ 1 $cos C x x x ++ cossin D coba cocokkan dengan metodesebelumnyaE
5engan integral parsial maka diperoleh rumus$rumus berikut"
dx xn
n
n
x xdx x n
nn ∫ ∫ −
− −+=
%
cos%sincos
cos ............................6.%6
dx xn
n
n
x xdx x n
nn ∫ ∫ −
− −+−=
%
sin%cossin
sin ..........................6.%
dx xn
n
xn
xdx x n
n
n ∫ ∫ +−−− −−
+−
= %
cos%
cos)%(
sincos ......................6.-
dx xn
n
xn
xdx x n
n
n ∫ ∫ +−−− −−
+−
−= %
sin%
sin)%(
cossin .....................6.%
ontoh 6.&"
Integral 3%
8/17/2019 8 Integral Terbit
14/27
3 cos sin % %. cos cos cos sin sin
3 3 3 3
x x x dx x dx x x x C = + = − +∫ ∫
34
3 -
3
sin cos 3. sin sin
4 4% 3 sin cos %
sin cos sin4 4
% 3 sin cos %sin cos
4 4
x x x dx x dx
x x x x x dx
x x x x x C
= − +
= − + − + ÷
= − − + +
∫ ∫ ∫
( )
( )
3 3 %
sin %3. sec cos cos
cos
% % sin %. . ln sec tan
cos cos
% %sec tan ln sec tan
x x dx x dx x dx
x
x x x C
x x
x x x x C
− −= = +
= + + +
= + + +
∫ ∫ ∫
Lati%an 8.
8/17/2019 8 Integral Terbit
15/27
##### auauuauauaua −−−+−+
'ersamaan kuadrat juga dapat diselesaikan dengan metode ini dengan syarat harus
ditransformasikan dulu menjadi bentuk diatas.
+entuk "u$stitusi # uaua −− u 1 a sin θ
# uaua ++ u 1 a tan θ
# auau −− u 1 a sec θ
ontoh 6.6"
%.@.............
=
−∫ xdx
=isal " 1 3 sin θ #
d 1 3 cos θ dθ# dan 1 sin θ
C
x
ar'C d
d
d
d
x
dx
+=+===
−=
−=
−
∫ ∫
∫
∫ ∫
)3sin(cos
cos
.
sin%
cos
3
3
sin
cos3
θ θ θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ θ
. @...............&4
=+−∫ x x
dx
∫ ∫ +−
=+− )3()(&4 x
dx
x x
dxsubst" $ 1 3 tan θ # d1 3 secθ dθ
1 ∫ + )3(3tan dsec3
θ
θ θ
1 3
3
∫ + )%(tan dsec
θ
θ θ
13
3∫
θ
θ θ
sec
dsec
13
3∫ θ d 1 C
xar'C +
−=+
3
tan
3
3
3
3θ
3. @.............%7
=−
∫ dx x
x
Integral 33
3
θ
$
3
θ
4
θ
8/17/2019 8 Integral Terbit
16/27
misal" 1 4 sec θ d 1 4secθ tanθ dθ
θ θ θ θ
θ d dx
x
xtansec4
sec4
%7sec%7%7
∫ ∫ −
=−
1 θ θ θ d tan%sec4 ∫ −
1 θ θ d tan4∫
1 4 C d +−=−∫ θ θ θ θ tan)%(sec
1 C x
ar' x
+
−
−4
sec4
%7
Integral 34
8/17/2019 8 Integral Terbit
17/27
Lati%an 8.*
8/17/2019 8 Integral Terbit
18/27
'ernyataan seperti ∫ +++
*%%
6& x x
x tidak muncul dalam daftar integral
standar kita, tetapi sebenarnya muncul pada banyak penerapan matematis.
'ernyataan ∫ +++
*%%
6& x x
x dapat dinyatakan dalam pecahan parsial yang lebih
sederhana strukturnya, yaitu
*%%
6& ++
+ x x
x
%
%
*
3
)%)(*(
6&
++
+=
+++
= x x x x
x
Sehingga
∫ ∫ ∫ +++=++
+dx
xdx
xdx
x x
x
%
%
*
3
*%%
6&
'ecahan ini merupakan Gfungsi dari suatu fungsi linear ,H yang
didasarkan pada integral standar ∫ dx x%
, jadi hasilnya sudah jelas"
∫ +++
*%%
6& x x
x
∫ ∫ ∫ −++=−++
= dx x
dx x
dx x x
xdx
%
%
*
3
)%)(*(
6&
C x x ++++= )%(ln
%)*(ln3
Ada dua macam fungsi rsaional yang akan kita bahas pada pokok
bahasan ini, yaitu"
(%)k
k
k a x
%
a x
%
a x
%
a xa xa x
x f
−++
−+
−=
−−−...
))...()((
)(
%
%
%
Ada dua cara untuk mengubah menjadi penjumlahan pecahan parsial, yaitu
pertama dengan cara menyamakan penyebut kedua ruas kemudian
menyamakan kedua pembilang dan kedua menggunakan rumus
k a xk
k k
a xa xa x
x f a x %
=−−−
−=
))...()((
)()(
%
...................................................6.
())(
...)()()(
)(%
%
a x
%
a x
%
a x
%
a x
x f k k k k −
++−
+−
=− −
Integral 37
8/17/2019 8 Integral Terbit
19/27
Seperti bentuk pertama, di sini juga ada dua cara untuk mengubah menjadi
penjumlahan pecahan parsial, yaitu pertama dengan cara menyamakan
penyebut kedua ruas kemudian menyamakan kedua pembilang dan kedua
menggunakan rumus
#)(
)(
%
%
%
≥=
=
=−
−
=
k untuk dx
x f d %
x f %
a x
k
k
k
a x
.........................................................6.3
(3))()())((
)( ( px x
) *x
'bx x
+ %x
( px x'bx x
x f
++
++
++
+=
++++
'enyebut tidak dapat difaktorkan menjadi faktor linier. >ntuk menentukan A,, ' dan I samakan penyebut kedua ruas kemudian menyamakan kedua
pembilang.
ontoh 6."
Selesaikan dx x x
x∫ +−
+
))(%(
*%3
'enyelesaian"
-ara 1. enentukan A !an +
=isalkan%))(%(
*%3
++
−=
+−+
x
+
x
%
x x
x
dengan menyamakan kedua penyebut diperoleh
%3 * 1 A( ) ( : %)
Substitusikan 1 % diperoleh %6 1 3A ⇒ A 1 7
Substitusikan 1 $ diperoleh $% 1 $3 ⇒ 1 &
-ara 2. enentukan A !an +
73
%6
*%3
%
==+
+== x x
x %
&3
%
%
*%3
=−
−=−+=
−= x x
x +
C x xdx x xdx x x
x
+++−=
++−=+−
+
∴ ∫ ∫ )ln(&)%ln(7&
%
7
))(%(
*%3
Integral 3&
8/17/2019 8 Integral Terbit
20/27
ontoh 6.%-"
Selesaikan ∫ +−++
dx x x
x x
)()%(
.
'enyelesaian"
=isalkan%)%()()%(
++
−+
−=
+−++
x
C
x
+
x
%
x x
x x
5engan rumus 6. dan 6.3 diperoleh
4
4
)%(
*
43.3
)(
%).())(%(
)(
3
4
%
%%
)(
%
%
%
=+−
=−
++=
=−
=+++−++
=
+
++=
=+
++=
+++
=
−=
==
=
x
x x
x
x
x xC
x
x x x x
x
x x
dx
d +
x
x x %
C x x x
dx x x x
dx x x
x x
+++−+−
−=
++
−+
−=
+−++
∴ ∫ ∫
)ln(
4)%ln(
*
)%(3
4
)(
4
)%(
*
)%(3
4
)()%(
ontoh 6.%%"
Selesaikan ∫ ++++
dx x x
x x
)4)(%(
3
.
'enyelesaian"
4%)4)(%(
3
++
+++
=++
++ x
) *x
x
+ %x
x x
x x
5engan menyamakan kedua penyebut diperoleh
3
1 (A )(
4) (' I)(
%)
1 '3 ( I) (4A ') (4 I)
5iperoleh "
' 1 %
4A ' 1 ⇒ A 1 J.
3
#
3
4
-−==⇒
=+
=+) +
) +
) +
Integral 36
8/17/2019 8 Integral Terbit
21/27
∫ ∫ ∫ +−
++
+=
++
++∴ dx
x
xdx
x
xdx
x x
x x
4%)4)(%(
3
3
4%
3
• @...%3
4
%
=+
+
∫ dx x x
=isalkan 1 tan θ ⇒ d 1 sec
θ dθ
C x x
C x x
C d
d dx x
x
+++=
+++=
++=
+=
+=
+
+=
+
+
∫
∫ ∫ ∫
arctan
3
)%ln(
6
%
arctan3
%ln
4
%
3
)ln(sec
4
%
3
tan
4
%
sec.sec
tansec.
%tan
tan
%
3
4%
3
4%
3
4%
θ θ θ θ
θ θ
θ θ θ
θ
θ
• @...4
3
=+
−∫ dx x x
=isalkan 1 tan α ⇒ d 1 secα dα
C x
x
C x
x
C d
d d dx x
x
+−+=
+−+=
+−=
−=
−=
+
−=
+
−
∫
∫ ∫ ∫
arctan
3
)4ln(
4
%
arctan
3
4ln
%
3
)ln(sec
%
3
tan
%
sec.sec4
tansec.
4tan4
tan
4
3
3
3
α α α α
α α α
α α α
α
α
C x
x x xdx x x
x x+−++++=
++++
∴ ∫ arctan3
arctan3
)4ln(
4
%)%ln(
6
%
)4)(%(
3
Integral 3
% + x
% θ
4 + x
α
8/17/2019 8 Integral Terbit
22/27
Lati%an 8.,
Selesaikan soal % : %4.
%. ∫ +− x x xdx
3 . ∫ −++
*4
)%(
x x
dx x
3. dx x x x
x x∫ −+−
−+)4)(3)(%(
%4% 4. ∫ +−
+ x x x
dx x
4*
*3
3
*. ∫ ++ )%)(%( x xdx
7. ∫ ++ 3 t t t
ee
dt e
&. ∫ +%3 xdx
6. ∫ −%3 xdx
. ∫ + 4
)%( x
dx x%-. dx x x
x x
∫ −− +−
)%-3(
&6
%%.∫ +++
)(
)*3(
x x
dx x%. ∫ +++ )%)(%( x x x
dx
%3. ∫ +−+
;3
3
)*4(
)%(
x x
dx x%4. ∫ +
++
3
)(
x
dx x x
Selesaikan soal %* : %7.
%*. ∫ −+ 7sinsincos
# #
d# # # misalkan sin y 1 kemudian gunakan pecahan parsial.
%7. ∫ −+ coscossin
x x
dx x # misalkan cos 1 y kemudian gunakan pecahan parsial.
Soal %& : %6, tentukan fungsi (t).
%&. (t : 3t )dt
dx1 % , t F -, (3) 1 -
%6. (3t4 4t %)dt
dx 1 √3 , (%) 1 3
4π −
Integral 4-
8/17/2019 8 Integral Terbit
23/27
8./ Integral tertentu
'ada subbab berikut akan kita pelajari tentang teori dasar dari kalkulus
yang sangat penting dalam perhitungan kalkulus.
Teore'a !asar kalkulus
=isalkan )( x , ′ 1 f() ada untuk setiap interal a K K b dan 0 kontinyu pada
interal a L L b. =aka integral tertentu dari f() adalah
[ ] )()()()( a , b , x , dx x f b
a
b
a −==∫ 6.4
'erhatikan simbul integral tertentu ∫ b
a
dx x f )( .
∫ b
a
dx x f )(
Milai dari integral tertentu tergantung dari fungsi f() dan batas integral
(interal), tidak tergantung dari ariabel bebas yang digunakan. Oleh karena itu
nilai integral berikut sama.
∫ ∫ ∫ ==b
a
b
a
b
a
dp p f duu f dx x f )()()( .................................................6.*
ontoh 6.%"
2itung nilai integral tertentu berikut.
%. [ ] 47)%%()()%(
%
%
=−=+−+=+=+∫ x xdx x
. [ ]
%%
%)-cos()
3cos(cossin 3
3
-
-
=+−=−−−=−=∫ π π
π
xdx x
%.
( )
3
7%.
3
%&.
3
%
3
%
)%(%%
4
-
;34
-
;%4
-
)%( =−=
=
++=+ +∫ ∫ x
xd xdx x
ila diselesaikan dengan substitui"
=isalkan % 1 p ⇒ d 1 dp atau d 1 N dp.
Integral 4%
adalah ariabel
integrasi
integrand
batas atas integrasi
batas ba/ah integrasidibaca integral dari f() d dari a sampai b
8/17/2019 8 Integral Terbit
24/27
1 - ⇒ p 1 % dan 1 4 ⇒ p 1 # batas integral ikut berubah
3
7%.
3
%&.
3
%
3
%
%
%
;3
%
;%4
-
=−=
==+ ∫ ∫ p
dp pdx x
Sifat$sifat integral tertentu"
%. Mol"
∫ =a
a
dx x f -)( ...................................................................................6.7
. >rutan integrasi
∫ ∫ −=b
a
a
b
dx x f dx x f )()( ..................................................................6.&
3. 'erkalian dengan konstanta
∫ ∫ =b
a
b
a
dx x f k dx xkf )()( .................................................................6.6
4. umlah dan selisish
[ ]∫ ∫ ∫ ±=±b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ...................................6.
*. 'enjumlahan
∫ ∫ ∫ =+'
a
'
b
b
a
dx x f dx x f dx x f )()()( ..................................................6.3-
ontoh 6.%3"
=isalkan &)(#)(#*)(%
%
4
%
%
%
=−== ∫ ∫ ∫ −−
dx xhdx x f dx x f .
=aka"
%. )()()(4
%
%
4
=−−=−= ∫ ∫ dx x f dx x f sifat
. [ ] 3%&.3*.)(3)()(3)(%
%
%
%
%
%
=+=+=+ ∫ ∫ ∫ −−−
dx xhdx x f dx xh x f sifat 3 dan 4
3. 3)(*)()()(4
%
%
%
4
%
=−+=+= ∫ ∫ ∫ −−
dx x f dx x f dx x f sifat *
Integral 4
8/17/2019 8 Integral Terbit
25/27
Lati%an 8./
Soal % : %&, hitung integral tertentu berikut.
%. ∫
%
3&dx . ∫
-* dx x
3. ∫ −
-
)3( dt t 4. ∫ −
-
)( dt t
*. ∫ −+-
%
)*3( dx x x
4 3
-
7. 34
x x dx
− ÷
∫
( )%
-
&. x x dx+∫ %
6. dx
x
−
−∫
-
. sin x dx
π
∫ -
%-. (% cos ) x dx
π
+∫ ;3
-%%. sec t dt
π
∫ * ;7
;7%. csc t dt
π
π ∫ 3 ; 4
; 4%3. csc cot d
π
π
θ θ θ ∫ -
;
% cos%4.
t dt
π
+∫
;
; %*. (6 sin ) # # d#
π
π − +∫
4
4%7. x dx
−∫ 4
%%&.
udu
u
−∫
Soal %6 : 3-, gunakan substitusi untuk menghitung integral tertentu berikut.
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
++
++
−+
+−
−
−
−
%
-
%
%
%
343%
-
%
%
-
3
-
%
-
3
)4(
*.
6
..%
)%(.%..-
%.%3..%
%.)%(..%6
dr
r
r b
t
dt t a
d#t t bdt t t a
dr r r bdx xa
d# #bdx xa
-. sin cos
4 4
x xdx
π
∫ 3 ; 33. tan sec4 4 x x
dxπ
π ∫
( ) 3 ;
%%; 3
%; 6
; 34. % x dx x− −∫
%;3 4 3;
-*. (% ) x x dx
−+∫
dxu
u∫
+4%
;%)%(.7
; 4
; &. %*sin 3 cos3 x x dx
π
π −∫
Integral 43
8/17/2019 8 Integral Terbit
26/27
;
-
3sin cos6.
% 3sin
x xdx
x
π
+∫
; 4
; 3-
sec.
(% & tan )
xdx
x
π
+∫
; 4
; 37
cos3-.
sin
t dt
t t
π
π
∫ Soal 3% : 3*, cari
d#
dx.
%
3%. (3 3)
x
# x x dx= + −∫ %
%3.
x
# dt t
= ∫
-
33. cos
x
# t dt = ∫
%
34.
x
# u du= ∫ tan
-
3*. sec
x
# p dp= ∫
Soal 37 : 4-, gunakan sifat$sifat integral tertentu.
37. =isalkan f dan g kontinyu dan memenuhi
.6)(,7)(,4)(
*
%
*
%
%
==−= ∫ ∫ ∫ dx x g dx x f dx x f
2itung"
[ ] [ ]∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
−−*
%
*
%
*
%
%
*
)()(4.)()(.)(.
)(3.)(.)(.
dx x g x f f dx x g x f edx x f d
dx x f 'dx x g bdx x g a
3&. =isalkan f dan g kontinyu dan memenuhi
.4)(,*)(,%)(
&
&
%
==−= ∫ ∫ ∫ dx xhdx x f dx x f
2itung"
[ ] [ ]∫ ∫ ∫ −+−
&
&
%
)(3)(.)()(.)(. dx xh x f 'dx xh x f bdx x f a
[ ]∫ ∫ ∫ −&
&
%
%
)()(.)(.)(. dx x f xh f dx x f edx x f d
36. =isalkan *)(*
%
=∫ dx x f . 2itung"
Integral 44
8/17/2019 8 Integral Terbit
27/27
a. ∫ *
%
)( duu f b. ∫ *
%
)(3 d& & f c. ∫ %
*
)( dt t f d.
∫ −*
%
)( dx x f
3. =isalkan f kontinyu dan &)(#3)(4
-
3
-
== ∫ ∫ d& & f d& & f . 2itung"
∫ ∫ 3
4
4
3
)(.)(. dt t f bd& & f a
4-. =isalkan f kontinyu dan 7)(#-)(3
%
%
%
== ∫ ∫ −−
dr r hdr r h . 2itung"
∫ ∫ −%
3
3
%
)(.)(. duuhbdr r ha