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1/8

Industrial Data

ISSN: 1560-9146

[email protected]

Universidad Nacional Mayor de San

Marcos

Perú

Raffo Lecca, Eduardo; Huatuco, Rosmeri Mayta; Perez Quispe, Victor

Algoritmos de integración numérica

Industrial Data, vol. 10, núm. 2, julio-diciembre, 2007, pp. 47-53

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Lima, Perú

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=81620574006

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RESUMEN

Palabras clave: Integración numérica,Integración automática, Integraciónadaptativa, recursividad divide y vencerás.

Key words: Numerical Integration, AutomaticIntegration, Adaptive Integration, Divide-and-Conquer Recurrence.

En este artículo se desarrollan eimplementan, los algoritmos de integraciónnumérica, que permiten solucionarproblemas de ciencias e ingeniería; talescomo el cálculo de áreas, volúmenes,mecánica ap l i cada, y ecuac ionesdiferenciales (sistemas dinámicos).

Dada la necesidad de contar conresultados de gran precisión, se analiza lasdiferentes reglas de integración numérica;basadas en los errores que ocurren cuando elintegrando es reemplazado por un polinomiode interpolación P(x), conocida como lasfórmulas de integración de Newton-Cotes. Laregla de la extrapolación de Richardson,puede ser aplicada a cualquier fórmula decuadratura de Newton-Cotes; o cualquiercomputación que se encuentra basada enuna rejilla de ancho h y un error descrito comouna potencia de h.

In this article are developed and implemented,the integration of numerical algorithms, whichallow solve problems in science andengineering, such as the calculation of areas,volumes, applied mechanics, differentialequations (dynamic systems).

Given the need for a high-precision, heexamines the different rules of numericalintegration; based on the errors that occurwhen the integrand is replaced by apolynomial interpolation P (x), known as theformulas of integration Newton - Cotes. Therule of Richardson extrapolation can beapplied to any formula squaring Newton-Cotes, or any computer which is based on agrid of wide h and error described as a powerh.

NUMERIC INTEGRATION, ALGORITHMS

ABSTRACT

INTRODUCCIÓN

La integración numérica o cuadratura numérica, consiste en evaluar laintegral definida

o el equivalente, a resolver I = y(b) en la ecuación diferencial.

con la condición de valor inicial .

Este problema tuvo su origen, antes de la invención del cálculo y hoy,gracias a la computadora, es utilizado para evaluar las integrales queno pueden ser computadas analíticamente; o cuando f(x) es conocidapara un conjunto de puntos ( cuadro 1).

La evaluación de las integrales se denomina cuadratura; desde un viejoproblema en geometría conocido como la cuadratura griega del círculo,por medio de polígonos regulares inscritos y circunscritos; proceso que

le valió a Arquímedes para acotar el valor de [1]. Cuadratura essinónimo de encontrar áreas y volúmenes.

Suponga que f(x) es una función que se encuentra acotada en [a, b]. Aldividir en n subintervalos, se tienen los puntos siguientes:

Sea , un punto cualquiera en y el ancho ; sedefine la suma de Riemann como:

Para el caso de , se obtiene la integral de Riemann sobre elintervalo [a, b]; esto es

La regla generalizada de la cuadratura, corresponde al método deaproximación a la integral, como una combinación lineal de los valoresdel integrando; y viene dada por

Algoritmos de integración numérica

Ingeniero Industrial. Profesor del Departamento de Ingeniería de Sistemas e Informática. UNMSM.(1)E-mail: era [email protected] Industrial. Profesora del Departamento de Sistemas e Informática. UNMSM.(2)

E-mail: [email protected] Industrial. Profesor del Departamento de Ingeniería de Sistemas e Informática. UNMSM.(3)E-mail: [email protected]

Recepción: Agosto de 2007 / Aceptación: Octubre de 2007

(1)

(2)

(3)

Eduardo Raffo LeccaRosmeri Mayta Huatuco

Victor Perez Quispe

i i-l x i i x i= i x - i-l x

n

S ISTEMAS É I NFORM ÁTICA

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Se han generado muchas reglas de cuadraturadestacándose: Punto medio, rectángulo, trapezoidey Simpson.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Cuando el integrando es reemplazado por unpolinomio de interpolación P(x), y se cumple

entonces se dice que las fórmulas de integración sonde Newton-Cotes.

De la teoría de interpolación por polinomios, se tieneque un polinomio de grado n o menos, es;

Por interpolación de Lagrange:

y haciendo x = a + t h

Se tiene la integración

con:

Si ó = sâ donde s es común denominador, tal quei i

En el cuadro 1 se consideran los resultados de losvalores de Newton-Cotes. Extendiendo el cuadro, aotros valores corresponden a n puntos. Así Boole estambién denominado como de 5 puntos (por existiruna interpolación con un polinomio de 4 grados).

Cuando el intervalo [a,b] es razonablemente grande,

se acostumbra a dividirlo en n segmentos, y aplicarlos esquemas de cuadraturas de Newton-Cotes :

b

a

b

a

dx x P dx x f )()(

ni x f f x P iiin ...,,2,1,0,)()(

ik k i

k i

n

i

iin

x x

x x x L

x L f x P

)(

)()(0

n

ik

ii

k i

k t x Lt )()(

n

i

ii

n

i

b

a

ii

b

a

f h

dt hdxdx x L f dx x P

0

0

â

,)()(

n

n

i

i

0

ii

n

i

ii

b

a

n f ns

ab f hdx x P

)(â)(

0

N 1 2 3 4 5 6 ns Nombre

1 2

3 4 5

1 1

1 7

19

1 4

3 32 75

1

1 32 50

775

19

2 6

8 90

288

TrapezoideSimpson

Regla 3/8Boole Regla 6 puntos

Cuadro 1. Valores de Newton Cotes

Fuente [2]

Cuando el intervalo [a,b] es razonablemente grande,se acostumbra a dividirlo en n segmentos, y aplicarlos esquemas de cuadraturas de Newton-Cotes

La regla del trapezoide extendida, se desarrolla comouna suma de áreas:

Para aplicar la regla de Simpson a 1/3 en formacompuesta, se requiere que n sea un número par:

ERRORES

El error en la aproximación según Steffenson esexpresado como sigue:

Los valores de P y K dependen solamente de n y nodel integrando f(x).

El supuesto de f(x), es ser continua y poseerderivadas de alto orden. El término error paraNewton-Cotes, tiene la formaen [a,b]; donde K es una constante.

Cuando no existe información acerca de lasderivadas de alto orden; es posible estimar el error, si

la integral es computada, usando dos diferentesvalores[3].

b x x x xa n ...210

h

i

x

x

b

a

i

i

dx x P dx x f 1

1

)()(

)2...22(

2)( 1210 nn

b

a

y y y y yh

dx x f

n

n

y y y yh

y y y y y y y yh

paresimpares0

6425310

243

...)(2...)(43

n

i

i

b

a

Adx x f

2/

1

)(

],[,)()()( )(1 ba f K hdx x f dx x P p p

b

a

b

a

n

î conî f Kh p p ),()1(


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4/8

Se puede generalizar estas fórmulas, al plantearsecomo:

La filosofía de la extrapolación de Richardson, comoasí es llamada, puede ser aplicada a cualquierfórmula de cuadratura de Newton-Cotes; o cualquiercomputación que se encuentra basada en una rejillade ancho h y un error descrito como una potencia deh[4].

Aplicaciones de los métodos de integraciónHaciendo uso de los valores del cuadro 1, en la figura1, se presenta el script del M-file Quadratura.m, que

evalúa estas reglas.

La regla de Simpson a 1/3, es probablemente la másutilizada, de todas las fórmulas de integración.

Los script para las fórmulas del Trapecio y Simpson a1/3, son presentadas en las figuras 2 y 3.

La evaluación analítica de la funciónen el intervalo corresponde al valor de 2/3. En lafigura Nº 4, se presenta los cálculos para las reglasdel Trapecio y Simpson, usando 10 intervalos. Laregla de Simpson es la que más se aproxima.

*I = I + E = I + E1 1 2 2

Sea I y E , las estimaciones de la integral y su errorn nasociado para una fórmula compuesta con nintervalos de un trapezoide; se tiene:

*I = = I + E = I + En1 n1 n2 n2

Donde n y n son valores diferentes de n1 2

*El valor de la integral viene dado por: I = I + E , yn1 n1desde la igualdad

E - E = I - In1 n2 n2 n1

y

*Si n = 2n , la integral I se convierte en:2 1

Conocida como la aproximación de Richardson parael Trapezoide.

Para la regla de Simpson a 1/3 para datoscompuestos, el error viene dado por:

dx x f ba )(

ba y

f n

ab

f n

ab

E

E

n

n ,,

)(''12

)(

)(''12

)(

21

12

1

3

22

2

3

1

2

Asumiendo f’’( 1) y f

’’( 2) iguales:

2

2

1

1

2

n

n

E

E

n

n

121

2

2

11 nnnn I I E

n

n E

,

1

2

2

1

12

1

nn

I I E

nn

n

2

2

1

12

1

1

n

n

I I I nnn

I*

4

312

1nn

n

I I I

I*

123

1

3

4nn

I I

)4(

4

5

2880 f

n

ab E

Se cumple que: I*

4

2

1

121

1

n

n

I I I nnn

Y con n2 = 2n1, se tiene que: I* 12

15

1

15

16nn I I

144 ,,1

1,

j

jn jn

j

jnT T T

function Quadratura(f,a,b)% Cuadraturas básicas% % Datos% f = el nombre de la función como string% a = límite inferior % b = límite superior % h = longitud del segmento% n = numero de segmentos% Resultados% p=integración n=1; h = (b-a)/n;

p1=h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2; n=2; h = (b-a)/n; p2=h*(feval(f,a)+4*feval(f,(a+b)/2)+feval(f,b))/3; n=3; h=(b-a)/n; p3=3*h*(feval(f,a)+3*feval(f,a+h)+3*feval(f,a+2*h)+feval(f,b))/8; n=4; h=(b-a)/n; p4=4*h*(7*feval(f,a)+32*feval(f,a+h)+ … 12*feval(f,a+2*h)+32*feval(f,a+3*h)+7*feval(f,b))/90;

fprintf('Area para Trapezoide : %10.5f\n',p1); fprintf('Area para Simpson 1/3: %10.5f\n',p2); fprintf('Area para Simpson 3/8: %10.5f\n',p3);

fprintf('Area para Boole : %10.5f\n',p4);

Figura 1. M-file Quadratura.m

Fuente: Elaboración propia

22)( 2 x x x f


49Ind. data 10(2), 2007

*La evaluación de la integral es: I = ypuede ser calculada como:

dx x f ba )(

Eduardo Raffo L., Rosmeri Mayta H. y Victor Pérez Q. >>>

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Siendo suma , el acumulado de los nuevos puntosi + 1interiores.

De la expresión:

Un esquema de integración no adaptativa del tipoiterativo, se presenta a continuación. Este hace uso

de la regla del trapecio en forma refinada, con sucorrespondiente aproximación de Richardson. Laaproximación para el Trapecio corresponde a:


Figura 2. M-file Trapezoide.m


Figura 3. M-file Simpson3.m

Un esquema de integración automática, ayuda alusuario a calcular cualquier integral.

En [5], se detallan los requisitos, para un integradorautomático:

Los límites de integración.

Rutina para evaluar f(x).

La tolerancia.

Cota superior del número de evaluaciones.

Los esquemas de integración automática, pueden serclasificados en: adaptativa o no adaptativa; eiterativos o no iterativos.

Los esquemas de cuadratura no adaptativa paracomputadoras, usan generalmente una secuencia depuntos, de acuerdo a un esquema fijo; independientedel integrando.

Cuando se evalúa por la regla del Trapezoide seutiliza la fórmula:

Cuando n = 1, el área es igual a

Si en la iteración i+1, el número de segmentos seduplica con respecto a i, se encuentra que el número

i 2de puntos interiores nuevos es 2 (ver figura 5)

T (h) = 0.5

1

1

)()(2)(n

i

i b f x f a f n

ab

T (h) = 0.5 )()( b f a f ab

Figura 4. Comparación entre Trapezoide y Simpson a 1/3

f=inline('x.^2+2*x-2');

>> Trapezoide(f,0,1,10)

ans = -0.66500000000000

>> Simpson3(f,0,1,10)

ans = -0.66666666666667 Fuente: Elaboración propia

Figura 5. Proceso del trapecio refinado

i = 1 n = 1

a

b

i = 2 n = 2

i = 3 n = 4

i = 4 n = 8

Sean:

)()(2)(5.0 b f Interiores Puntosa f n

ab Area

i

i

1

1

1 25.0

ii

i

i suma suman

ab Area

)()interioresPuntos(2)( b f a f sumai

11 5.0 i

i

ii Suman

ab Area Area

)(5.0 1 iii Sumah Area

1

3

1

3

4*

iii I I I

function p=Trapezoide(f,a,b,n)% Datos% f =el nombre de la funcion como string% a =limite inferior % b =limite superior % h =longitud del segmento% x =es el vector x% y =es el vector f(x), f en forma vectorial% n =numero de segmentos, o n+1 puntos% Resultados% p =integracion h=(b-a)/n; x=a+h*(0:n); y=feval(f,x); p=0.5*h*(2*sum(y)-y(1)-y(n+1));

function p=Simpson3(f,a,b,n)% Simpson a 1/3% % Datos% f = el nombre de la función(vectorial) como string% a = limite inferior % b = limite superior % h = longitud del segmento% x = es el vector x% y = es el vector f(x)% n = numero de segmentos% Resultados% p = integracion h=(b-a)/n; x=a+h*(0:n); y=feval(f,x); p=h*(2*sum(y)+2*sum(y(2:2:n))-y(1)-y(n+1))/3;


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el algoritmo encuentra aproximaciones de , yfinaliza con el siguiente criterio:

Las figuras 6 y 7, corresponden a los script Trapecio.m y TrapecioRichardson.m. Este últimoscript (que invoca Trapecio.m), implementa unalgoritmo muy simple y robusto para la integración noadaptativa[1].

La función humps, es un buen benchmark paraefectuar métricas de pruebas, en muchos procesosde computación.

Declarando la función humps.m para MATLAB:function y = humps(x)

*i I

å I I ii **1


Figura 7. M-file de TrapecioRichardson.m


Figura 6. M-file de Trapecio.m

Figura 8. Función humps


y = 1,0/((x - 0,3).^2 + 0,01) + 1,0/((x- 0,9).^2 +0,04) -6;

La función Humps, tiene como forma, la gráfica de lafigura Nº 8.

>> X= 0:0.01: 1; y=humps(x);plot(x,y),gris on

Aplicando Trapecio refinado, con la extrapolación deRichardson, se consigue el resultado que aparece enl a f i g u ra 9 . E n d o n d e l a i n t e g ra l e s29,85832730748868 con 65 invocaciones a lafunción.

El proceso simple de evaluar numéricamente unaintegral, es usando puntos equidistantes, de un anchoh. Una cuadratura es adaptativa, cuando involucra laselección de los puntos que van a ser evaluados; de

tal manera que se consiga una determinadaprecisión.

Los esquemas de cuadratura adaptativa paracomputadoras, usan generalmente la regla deltrapezoide o Simpson, dividiendo cualquier región delestado anterior. La critica a las fórmulas compuestasque utilizan nodos equidistantes, es que al integraruna función en un intervalo que contiene regiones,

>>[Q,n]=TrapecioRichardson@humps,0,1)Q= 29,85832730748868

n= 65

Figura 9. Ejecución de TrapecioRichardson.m


function Trapecio(fdex,a,b,j)% Trapecio Refinado% Datos% fdex =es la funcion que ingresa como un string

% a,b =los valores extremos del intervalo% j =el valor de la iteración% Resultados% N =el valor de n% Area =valor del area

global Area N;

if j==1 Area=0.5*(b-a)*(feval(fdex,a)+feval(fdex,b)); N=1; else H=(b-a)/N; x=a+H/2; Suma=0;

for i=1:N Suma=Suma+feval(fdex,x); x=x+H; end Area=0.5*(Area+H*Suma); N=2*N; End

function [I n]=TrapecioRichardson(fdex,a,b,ERROR)% Trapezoide con Richardson% Datos% a =limite inferior de la integral

% b =limite superior de la integral% Resultados% A =área por Trapecio refinado% I =área por extrapolación de Richardson global Area N;

if nargin < 4, ERROR = 0.0005; end j=1; Trapecio(fdex,a,b,j);n=2; A=Area;I=A; while 1 A0=A;I0=I; j=j+1;n=n+N; Trapecio(fdex,a,b,j); A=Area;

I=(4*A-A0)/(4-1); if abs(I-I0)>>

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donde la función varía en gran medida, y en otras endonde la variación es pequeña, tal como ocurre con lafunción humps, no es factible su aplicación.

El término de cuadratura adaptativa, viene porqueestos métodos son capaces de predecir el grado de lavariación funcional, y se adaptan a un tamaño del

paso de las necesidades.

Tomando a la regla de Simpson a 1/3, con un paso de, se consigue la integral:

Una importante técnica de solución de problema, quehace uso de la recursividad es Divide y Vencerás[6].Divide y Vencerás, consiste de dos partes:

1. Divide, pequeños problemas, son resueltos

recursivamente, excepto el caso base.

2. Vencerás, la solución al problema original estáformado desde la solución a los subproblemas.

La regla de Simpson por recursividad, es mostradacomo sigue:

Cuando la estimación del error no es válida, se aplica

la regla de Simpson a los nuevos subintervalos[a,(a+b)/2] y [ (a+b)/2, b], teniendo en consideración

),( ),(90

),()( )4(5

ba f h

baS dx x f

b

a

b

a

bba

S ba

aS dex x f ),2

()2

,()(


Figura 11. SimpRecur.m


Figura 10. SimpGold.m

function [Q nc]=SimpGold(f,a,b,TOL)% Simpson a 1/3 con integración adaptativa% Datos% f =el nombre de la función(vectorial) como string% a =limite inferior % b =limite superior % h =longitud del segmento% x =es el vector x% y =es el vector f(x)% Resultados% Q =integración% nc =numero de invocaciones a f if nargin 20 nc=0; Q=Q0; return end h=(c-a)/2; c1=a+h;c2=c+h; fc1=feval(f,c1);fc2=feval(f,c2); Q1=h/3*(fa+4*fc1+fc);Q2=h/3*(fc+4*fc2+fb); nc=2; Q=Q1+Q2; if abs(Q-Q0) > TOL nivel=nivel+1; [Q1 n1]=SimpRecur(f,a,c1,c,fa,fc1,fc,nivel,TOL/2,Q1); [Q2 n2]=SimpRecur(f,c,c2,b,fc,fc2,fb,nivel,TOL/2,Q2); nc=nc+n1+n2;

Q=Q1+Q2; End

que los errores parciales de cada intervalo,corresponden al valor .

En las figuras 10 y 11, se presentan los script , quehacen uso del Divide y Vencerás para Simpson 1/3.Este es un algoritmo de integración adaptativa.

En la figura 12, se ejecuta SimpGold.m,encontrándose la precisión arriba del decimaldoceavo.

CONCLUSIONES

La crítica a las fórmulas compuestas que utilizannodos equidistantes, es que al integrar una función enun intervalo que contiene regiones, donde la funciónvaría en gran medida, y en otras en donde la variaciónes pequeña, tal como ocurre con la función humps, noes factible su aplicación. Cuando la estimación del

error no es válida, se aplica la regla de Simpson a losnuevos subintervalos (Figura 11), teniendo enconsideración que los errores parciales de cadaintervalo, corresponden a la mitad del error anterior.Los algoritmos que se realiza se basa en elesquema del trapecio refinado, hace uso de lafilosofía de Richardson, y ha demostrado en lapráctica producir resultados precisos en las

Figura 12.: Ejecución de SimpGold.m

>>[Q,n]=SimpGold(@humps,0,1)Q= 29,85832539558330n= 2124


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evaluaciones de integrales, utilizando pocasiteraciones y con errores pequeños.

La producción de resultados precisos en integraciónnumérica, con errores muy pequeños, trae consigo el

aumento de evaluaciones.

La utilización de la recursividad hace posible construirbuenos algoritmos en integración adaptativa. Con latécnica del Divide y Vencerás, se ha obtenido unalgoritmo que da resultados precisos, en el menortiempo.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFÍCAS

1. David, Philip J. y Rabinowitz, Philip, (1975)“Methods of Numerical Integration”, Academic

Press.

2. Raffo Lecca, Eduardo, (2005) “MétodosNuméricos Para Ciencia e Ingeniería conMATLAB”, Raffo Lecca editores.

3. Carnahan, Brice, Luther, H. A., (1969) “AppliedNumerical Methods”, John Wiley & Sons, Inc.

4. Acton, Forman S., (1970) “Numerical MethodsThat Work” , Harper & Rows, Publishers, NewYork.

5. Forsythe, George Elmer, (1977) “ComputerMethods for Mathematical Computations” ,Prentice-Hall series in automatic computation.

6. Weiss, Mark Allen C., (1996) “Algorithms, DataStructures, and Problem Solving with C++”, Addison-Wesley.


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Eduardo Raffo L., Rosmeri Mayta H. y Victor Pérez Q. >>>

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