§9 － 5 计算机辅助电路分析举例

对于二阶以及三阶以上的动态电路，建立微分方程和确定相应的初始条件都十分困难。建立和求解 n 阶微分方程工作可以用计算机来完成这些工作。我们用动态电路分析程序 DNAP ，只需要将电路的连接关系，元件类型和参数，动态元件的初始值以及支路关联参考方向告诉计算机，就可以得到电路的微分方程，固有频率，电压电流的频域和时域解答，并可以画出波形曲线。现在举例加以说明。

例 9-13 电路如图 9 － 14(a) 所示，已知 uS(t)=6(t)V ，

电容电

压 uC1(0)=2V, uC2(0)=3V, 试以电容电压 uC

1(t) 为变量

建立微分方程和计算电路的固有频率，并求电容

电压 uC1(t) 的零输入响应，零状态响应和

全响应。

图 9 － 14 例 9 － 13

图 (b) 表示用 DNAP 程序分析图 (a) 电路的数据文件。

解 : 用 DNAP 程序分析图 (a) 电路的数据文件如图 (b) 所示， 其中 V1 表示阶跃电压源，电容元件的初始电压由该行 的最后一个数据表示。运行 DNAP 程序，正确读入图 (b)

所示数据后，选择建立微分方程的菜单和结点电压 V1

作为方程的变量，可以得到以下计算结果。

<<< ----- 微 分 方 程 ----- >>>

D = (dx/dt) -> 微 分 算 子 

600. D**2(v1) +210. D (v1) +67.0 (v1)

= 60.0 D (v1) +12.0 (v1)

式中 D 表示微分算子，所得到的微分方程如下所示，它与例 9 － 11 中计算的结果相同

SS

C11C

2C1

2

12d

d6067

d

d210

d

d600 u

t

uu

t

u

t

u

计算机得到的固有频率如下所示 <<< 网 络 的 自 然 频 率 >>>

S 1 = -.1750 +j -.2847 rad/s

S 2 = -.1750 +j .2847 rad/s

这表明电路的固有频率为共轭复数，即

2847.0j175.0,2847.0j175.0 21 ss

计算机得到的第一个结点的电压 [即电容电压 uC(t)] 如下所示 << 阶 跃 电 源 V 1(t)= 6.00 (t) 单 独 作 用 >> v1 (t) = (t)*( -.537 +j .724 )*exp ( -.175 +j -.285 )t + (t)*( -.537 +j -.724 )*exp ( -.175 +j .285 )t + (t)*( 1.07 +j .000 )*exp ( .000 +j .000 )t << 初 始 状 态 Vc 3(0)= 2.00 单 独 作 用 >> + (t)*( 1.00 +j .878E-01)*exp ( -.175 +j -.285 )t + (t)*( 1.00 +j -.878E-01)*exp ( -.175 +j .285 )t << 初 始 状 态 Vc 6(0)= 3.00 单 独 作 用 >> + (t)*( .000 +j .263 )*exp ( -.175 +j -.285 )t + (t)*( .000 +j -.263 )*exp ( -.175 +j .285 )t ***** 完 全 响 应 ***** v1 (t) = (t)*( .463 +j 1.07 )*exp ( -.175 +j -.285 )t + (t)*( .463 +j -1.07 )*exp ( -.175 +j .285 )t + (t)*( 1.07 +j .000 )*exp ( .000 +j .000 )t v1 (t) = + (t)*[( 2.34 )*exp ( -.175 t)]cos( .285 t -66.71 ) + (t)*( 1.07 +j .000 )*exp ( .000 +j .000 )t

)(]e)724.0j537.0(

e)724.0j537.0(07.1[)(j0.285)(0.175

j0.285)(0.1751

t

tvt

t

这表示阶跃电压源 单独作用引起的零输入响应为

t)εtu (6)(S

)(]e)0878.0j1(e)0878.0j1[()( j0.285)(0.175j0.285)(0.1751 ttv tt

电容电压 uC1(0)=2V 单独作用引起的零状态响应

为

)(]e263.0je263.0j[)( j0.285)(0.175j0.285(0.1751 ttv t)t

电容电压 uC2(0)=3V 单独作用引起的零状态响应

为

)( )]71.66285.0cos(34.207.1[

)( ]e)07.j1465.0(

e)07.j1463.0(07.1[)(

175.0

j0.285)(0.175

j0.285(0.1751

tte

t

tv

t

t

)t

全响应为零输入响应与两个零状态响应的和

根据电容电压的全响应计算机计算出一系列数值和用字符方式画出的波形曲线如下所示。 ***** 画 v1 (t) 的 波 形 ***** Time (s) v1 (t) Min= .8829 Max= 2.440 0.000E+00 2.000E+00 * 2.000E+00 2.440E+00 * 4.000E+00 2.236E+00 * 6.000E+00 1.775E+00 * 8.000E+00 1.330E+00 * 1.000E+01 1.029E+00 * 1.200E+01 8.942E-01 * 1.400E+01 8.829E-01 * 1.600E+01 9.367E-01 * 1.800E+01 1.006E+00 * 2.000E+01 1.062E+00 * 2.200E+01 1.093E+00 * 2.400E+01 1.103E+00 * 2.600E+01 1.099E+00 * 2.800E+01 1.090E+00 * 3.000E+01 1.080E+00 * 3.200E+01 1.074E+00 * 3.400E+01 1.071E+00 * 3.600E+01 1.071E+00 * 3.800E+01 1.072E+00 * 4.000E+01 1.073E+00 *

计算机用图形方式在屏幕上画出的波形曲线如下所示。

图 9 － 15 电容电压 uc1(t) 全响应的波形曲线

例 9-14 电路如图 9 － 16(a) 所示，已知电容电压 uC(0)=6V,

iL(0)=2A ，试以电容电压 uC(t) 为变量建立微分方

程，

并计算电容电压 uC(t) 的零输入响应，零状

态响应和 全响应。

图 9 － 16 例 9 － 14

解：用 DNAP 程序分析图 (a) 电路的数据文件如图 (b) 所示，

其中 V 表示冲激电压源， I1 表示阶跃电流源，电容元 件的初始电压和电感电流的初始值由该行的最后一个 数据表示。运行 DNAP 程序，正确读入图 (b) 所示数据

后，选择建立微分方程的菜单和选择支路电压 u3

作为

变量，再计算支路电压 u3 ，可以得到以下计算结

果。

<<< ----- 微 分 方 程 ----- >>>

D = (dx/dt) -> 微 分 算 子 

-3.000E-03D**2(u3)-9.000E-02 D (u3) -5.00 (u3)

= -.100 D (v1) -5.00 (v1)

+ 6.00 (i8)

式中 D 表示微分算子，所得到的微分方程为

SSS

CC

2C

2

65d

d1.05

d

d09.0

d

d003.0 iu

t

uu

t

u

t

u

运行 DNAP 程序，可以得到以下结果。

计算电容电压所显示的结果为 << 冲 激 电 源 V 1(t)= 1.00 (t) 单 独 作 用 >> u3 (t) = + (t)*( 16.7 +j 15.4 )*exp ( -15.0 +j -38.0 )t + (t)*( 16.7 +j -15.4 )*exp ( -15.0 +j 38.0 )t << 阶 跃 电 源 I 8(t)= 10.0 *(t) 单 独 作 用 >> + (t)*( 6.00 +j 2.37 )*exp ( -15.0 +j -38.0 )t + (t)*( 6.00 +j -2.37 )*exp ( -15.0 +j 38.0 )t + (t)*( -12.0 +j .000 )*exp ( .000 +j .000 )t << 初 始 状 态 Vc 3(0)= 6.00 单 独 作 用 >> + (t)*( 3.00 +j -1.45 )*exp ( -15.0 +j -38.0 )t + (t)*( 3.00 +j 1.45 )*exp ( -15.0 +j 38.0 )t << 初 始 状 态 I 5(0)= 2.00 单 独 作 用 >> + (t)*( .000 +j 1.76 )*exp ( -15.0 +j -38.0 )t + (t)*( .000 +j -1.76 )*exp ( -15.0 +j 38.0 )t ***** 完 全 响 应 ***** u3 (t) = (t)*( 25.7 +j 18.0 )*exp ( -15.0 +j -38.0 )t + (t)*( 25.7 +j -18.0 )*exp ( -15.0 +j 38.0 )t + (t)*( -12.0 +j .000 )*exp ( .000 +j .000 )t u3 (t) = + (t)*[( 62.7 )*exp ( -15.0 t)]cos( 38.0 t -35.10 ) + (t)*( -12.0 +j .000 )*exp ( .000 +j .000 )t

计算结果表明由冲激电压源 uS(t)=(t)V 单独引起

的零状态响应为 V )(]e)4.15j7.16(e)4.15j7.16[()( )38j15()38j15(

C ttu tt

由阶跃电流源 iS(t)=10(t)A 单独引起的零状态响

应为 V )(]e)j2.376(e)37.2j6(12[)( )38j15()38j15(C ttu tt

由电容电压的初始值 uC(0)=6V 单独引起的零输入

响应为 V )(]e)45.1j3(e)45.1j3[()( )38j15()38j15(

C ttu tt

由电感电流的初始值 iL(0)=2A 单独引起的零输

入响应为 V )(] e76.1je76.1j[)( )38j15()38j15(

C ttu tt

由冲激电压源 uS(t)=(t)V 和阶跃电流源 iS(t)=10

(t)A 以及电容电压的初始值 uC(0)=6V 和电感电流的初始

值 iL(0)=2A 共同引起电容电压的全响应为

V)()1.3538(cos62.7e12[

V )(]e)18j7.25(e)18j7.25(12[)(15

)38j15()38j15(C

tt

ttut

tt

例 9-15 电路如图 9 － 17(a) 所示，试用 DNAP 程序计算电容

电压 uC(t) 和电感电流 iL(t) ，并对计算结果

进行检验

图 9 － 17 例 9 － 15

解：用 DNAP 程序分析图 (a) 电路的数据文件如图 (b) 所示，

运行 DNAP 程序，正确读入图 (b) 所示数据后，计算电 容电压 U4 和电感电流 I3 ，可以得到以下计算结果。

u4 (t) = (t)*( 40.0 +j .000 )*exp ( -2.00 +j .000 )t

+ (t)*( -40.0 +j .000 )*exp ( -8.00 +j .000 )t

i3 (t) = (t)*( -10.0 +j .000 )*exp ( -2.00 +j .000 )t

+ (t)*( 40.0 +j .000 )*exp ( -8.00 +j .000 )t

所得到的电容电压和电感电流为

A)()e40e10()(

V)()e40e40()(82

L

82C

tti

ttutt

tt

这个计算结果是否正确？可从以下几个方面加以检验。 1. 固有频率是否计算正确？ 电路中电流源开路后是一个 RLC 串联电路，按照计算 RLC 串联电路固有频率的公式

8

2351655

1

22

2

2

21 LCL

R

L

Rs，

说明计算机关于固有频率的计算结果是正确的。

A)()e40e10()(

V)()e40e40()(82

L

82C

tti

ttutt

tt

0

0

0

0 LL A30d)(δ155.0

1d)(

1)0( ttttuL

i

说明电感电流 iL(0+)=30A 也是正确的。

2. 关于电感电流的初始值 iL(0+)=(-10+40)A=30A ，电

容电压的初始值 uC(0+)=(40-40)V=0 的计算结果是否正确？

在冲激电流发生作用的时刻，电容相当于短路，

电容电压 uC(0+)=0 是正确的。此时电感相当于开路，电感

上的电压等于电阻上的电压，且等于 uL(0)=uR(0)=15(t)V ，

它在电感中引起的电流跃变量为

A)()e40e10()(

V)()e40e40()(82

L

82C

tti

ttutt

tt

3. 计算结果表明电容电压和电感电流在 t 时趋于零，这是否正确？

因为 t>0 时冲激电流为零，相当于开路，响应具有零输入响应的性质，由于电阻不断消耗动态元件的初始储能，导致电容电压和电感电流在 t 时均趋于零的结论是正确的。

A)()e40e10()(

V)()e40e40()(82

L

82C

tti

ttutt

tt

例 9-16 电路如图 9-18(a) 所示，试以电容电压 uC(t) 和电

感电

流 iL(t) 为变量建立微分方程。

解：用符号网络函数 SNAP 程序分析图 (a) 电路的数据文件 如图 (b) 所示，各电路元件的参数都用符号表示。

图 9 － 18 例 9 － 16

运行 SNAP 程序，正确读入图 (b) 所示数据后，选择计算电容电压和电感电流的菜单，计算机屏幕上显示以下计算结果 :

---- 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 ----  RUs-rUs U5 (S)= --------------------------------------------------------- -SCSLr+2RSCSL+SL+3RRSC-RSCr+2R -SCrUs+2RSCUs+Us I3 (S)= ----------------------------------------------------------- -SCSLr+2RSCSL+SL+3RRSC-RSCr+2R

SCC2

2C

2

)(2d

d)3(

d

d)2( urRRu

t

urRCCRL

t

uLCrR

用反变换的方法可以得到以电感电流为变量的微分方程，如下所示：

SS

LL2

2L

2

d

d)2(2

d

d)3(

d

d)2( u

t

uCrRRi

t

irRCCRL

t

iLCrR

以上各式中的 s 表示微分算子，即 ，用反变换的方法可以得到以电容电压为变量的微分方程，如下所示：

ts

d

d

其结果与例 9 － 12 计算结果相同。

摘 要

1. RLC 串联电路的零输入响应与电路的固有频率 ( 特征根 ) 密切相关 , 其固有频率的公式为

LCL

R

L

Rs

1

22

2

21

，

随着 R 、 L 、 C 参数的变化，可能出现以下三种情况：

tsts KKtf 21 ee)( 21

(1) 时， s1,s2 为两个不相等的负实根，称为过

阻尼情况，响应具有以下形式 C

LR 2

stst tKKtf ee)( 21

(2) 时， s1,s2 为两个相等的负实根，称为临界

情况，响应具有以下形式 C

LR 2

(3) 时， s1,s2 为共轭复数根，称为欠阻尼情况，

响应具有以下形式 C

LR 2

)cos(e)( d tKtf t

这是一种衰减的振荡。当电阻 R=0 时，电路中没有损耗，响应变成等幅振荡。

2 ． RLC 并联电路的零输入响应与电路的固有频率( 特征根 ) 密切相关 , 其固有频率的公式为

LCC

G

C

Gs

1

22

2

21

，

随着 G 、 C 、 L 参数的变化，可能出现以下三种情况： (1) 时， s1,s2 为两个不相等的负实根，称为过

阻尼情况，响应具有以下形式 L

CG 2

tsts KKtf 21 ee)( 21

(2) 时， s1,s2 为两个相等的负实根，称

为临界情况，响应具有以下形式

L

CG 2

stst tKKtf ee)( 21

(3) 时， s1,s2 为共轭复数根，称为欠阻尼情

况，响应具有以下形式 L

CG 2

)cos(e)( d tKtf t

这是一种衰减的振荡。当电导 G=0 时，电路中没有损耗，响应变成等幅振荡。

3 ．含源线性二阶电路的全响应等于固有响应与强制

响应之和，其中固有响应是对应齐次微分方程的通解 fh(t) ；

强制响应是非齐次微分方程的特解 fp(t) 。

线性含源二阶电路的全响应也等于零输入响应与零状态响应之和。其中零输入响应是仅由初始状态引起的响应；零状态响应是仅由独立电源引起的响应。

4 ．用时域方法分析求解 n 阶动态电路响应 f(t) 的一般方法是

(1) 列出以 f(t) 为变量的 n 阶微分方程

)0(d

d)......0(

d

d),0(

1

1-n

nt

f

t

ff

(3) 求出对应齐次微分方程的通解 fh(t) 和非齐次微分方

程的特解 fp(t) ，然后将它们相加得到完全响应。 )()()( ph tftftf

(4)利用初始条件

)0(d

d)......0(

d

d),0(

1

1-n

nt

f

t

ff

确定响应 f(t) 中的待定常数，得到响应的表达式

(2)找出确定待定常数所需要的初始条件

动态电路的完全响应由独立电源和储能元件的初始状态共同产生。仅由初始状态引起的响应称为零输入响应；仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。线性动态电路的全响应等于零输入响应与零状态响应之和。

5 ．建立以 f(t) 为变量的 n 阶微分方程和确定相应初始条件

)0(d

d)......0(

d

d),0(

1

1-n

nt

f

t

ff

的工作可以利用微分算子，将微分方程的运算转变为代数方程的运算。

6 ．现在已经有很多动态网络和符号网络分析程序可以用来分析复杂的高阶动态电路，读者可以利用这些程序来建立微分方程，计算网络的固有频率，计算网络的阶跃响应和冲激响应以及各种输入波形激励下的完全响应。

2002 年春节摄于成都人民公园