9° Clase - Analisis de Sensibilidad MDIO

12-04-2015

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Profesor:Profesor:Profesor:Profesor:

WLADIMIR EDUARDO SOTO SILVAWLADIMIR EDUARDO SOTO SILVAWLADIMIR EDUARDO SOTO SILVAWLADIMIR EDUARDO SOTO SILVA

15 de Abril de 2015

FACULTAD DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA ---- CURICÓ CURICÓ CURICÓ CURICÓ

Universidad de Talca

Análisis de Sensibilidad

2Universidad de Talca

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Que es análisis de sensibilidad ?.

El análisis de sensibilidad es el estudio de la forma en que se afectala solución optima al presentarse cambios en los coeficientes de unprograma lineal.

Utilizando este análisis podemos responder a preguntas como:

�¿Cómo afectará a la solución optima un cambio en uno de loscoeficientes de la función objetivo?

�¿Cómo afectará a la solución optima un cambio en el valor delsegundo elemento de una restricción?

Introducción


Dado que el análisis de sensibilidad se ocupa de la forma enque los cambios anteriores afectan a la solución optima, el análisis nocomienza hasta que se obtiene precisamente la solución optima alproblema de programación lineal original.

Por esto ultimo, al análisis de sensibilidad con frecuencia sele denomina análisis de post-optimalidad.

Así pues, pese al cambio en alguno de los parámetros de laformulación original que dan paso a un nuevo problema, no seránecesario volver a resolver el problema desde el principio.

Introducción


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La principal razón de la importancia del análisis desensibilidad para quienes toman las decisiones es que los problemasreales ocurren en un medio ambiente dinámico. Los precios de lasmaterias primas varían, la demanda fluctúa, las empresas sustituyenmaquinaria y mano de obra, entre otras.

Introducción


El nuevo problema puede diferir del original en una o variosde los siguientes aspectos:

•Cambios en la disponibilidad de recursos (Vector b (LadoDerecho de la restricción)).

•Cambios en los costos unitarios o utilidades (Vector C (Coef. enla función objetivo)).

•Cambios en los coeficientes tecnológicos (Matriz aij).

Introducción


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El objetivo fundamental del análisis de sensibilidad esidentificar los parámetros sensibles (por ejemplo parámetros cuyosvalores no pueden cambiar sin que cambie la solución optima).

Para ciertos parámetros que están clasificados comosensibles, también puede resultar de gran utilidad determinar elintervalo del parámetro para el que la solución no cambia.

Introducción


El análisis de sensibilidad requeriría un esfuerzocomputacional exorbitante si fuera necesario volver a aplicar elmétodo simplex desde el principio para investigar cada cambio en elvalor de un parámetro.

Por fortuna, la esencia fundamental del análisis desensibilidad prácticamente elimina el esfuerzo computacional.

Introducción


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Resumen Procedimiento Análisis de Sensibilidad.

•Revisión del Modelo : Se hacen los cambios deseados en el modeloque se va a investigar.

•Revisión de la tabla simplex final: Se emplea la idea fundamentalpara determinar los cambios que resultan en la tabla simplex final.

•Conversión a la forma apropiada: Se convierte esta tabla en laforma apropiada para identificar y evaluar la solución básica actualaplicando ( según sea necesario) eliminación de gauss.

Introducción


•Prueba de factibilidad : se prueba la factibilidad de esa soluciónverificando que todas las variables básicas sigan teniendo valores nonegativos en la columna del lado derecho.

•Prueba de optimalidad: se verifica si esta solución es optima (si esfactible), comprobando que todos los coeficientes de las variables nobásicas en el reglón 0 sigan siendo no negativos.

•Re-optimización : si esta solución no pasa cualquiera de laspruebas, se puede obtener (si se desea) la nueva solución optimapartiendo de la tabla actual como tabla simplex inicial (haciendo lasconversiones necesarias) para el método simplex o el simplex-dual.

Introducción


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Supongamos el siguiente P.P.L original, cuya solución optima seconoce:

Se produce un cambio en el vector , cuyo nuevo valor será: ,donde es un vector de m componentes. El nuevo problema a resolveres:

Cambios en el Vector b


Como se comienza con la solución optima del Problema Original, sabemos que es la inversa de la base optima B del problema original, entonces la solución al problema original es:

Al cambiar b a el vector cambia a uno nuevo dado por:



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• Si >=0, entonces será la nueva solución optima delproblema nuevo y el valor de la función objetivo será

• Si <0, entonces no será factible y se utilizará el modelodual simplex para restaurar la factibilidad y, de hecho, la optimalidaddel problema nuevo. El simplex dual se debe aplicar sobre la tablaoptima del problema original cambiando por



Suponga que se quiere producir un volumen X de unproducto químico A, el cual se vende a $ 5/litro y otro volumen Y deotro producto químico B, a un precio de $3/litro. Existen dosrestricciones, siendo las mas importantes: personal y costo deproducción. La primera tiene máximo 15 personas, mientras que lasegunda tiene un máximo de $10/hora de trabajo. Los coef.Tecnológicos son los siguientes:

Ejemplo


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SeaX1: numero de litros del producto químico AX2: numero de litros del producto químico B.

El PPL y tableau optimo son los siguientes:


Ejemplo

�Tableau Inicial

�Tableau Final


VB x1 x2 x3 x4 b

Z -5 -3 0 0 0

x3 3 5 1 0 15

x4 5 2 0 1 10

VB x1 x2 x3 x4 b

Z 0 0 5/19 16/19 235/19

x2 0 1 5/19 -3/19 45/19

x1 1 0 -2/19 5/19 20/19

Ejemplo

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Ejemplo

VB x1 x2 x3 x4 b

Z 0 0 5/19 16/19 235/19

x2 0 1 5/19 -3/19 45/19

x1 1 0 -2/19 5/19 20/19

Supongamos que producto del mercado laboral, nuevasrestricciones al empleo y la situación macroeconómica, se debereducir a 5 el numero de empleados y el costo de producción a$5/hora.

El nuevo vector de disponibilidad de recursos es:


Variaciones en b (Solución optima)

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Nuevo PPLNuevo PPLNuevo PPLNuevo PPL

No es necesario resolver el problemas desde el principio, sinoque utilizaremos el análisis de sensibilidad, con el cual determinado siel nuevo vector

es factible o no. Si no es así, habrá que restablecer la factibilidad y laoptimalidad, utilizando el simplex dual , a partir de la tabla optima delproblema original. Por lo tanto:



Por lo tanto el nuevo vector es:

El nuevo valor de la función objetivo es:



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Supongamos ahora, que el personal se reduce a 10personas, pero se produce un incremento en el costo máximo porhora de producción, siendo este de $20. El nuevo escenario seria:

NuevoNuevoNuevoNuevo PPLPPLPPLPPL


Variaciones en b (Solución no-optima)

Utilizando el análisis de sensibilidad, se tiene que:

Por lo tanto el nuevo vector es

Por lo tanto, el necesario utilizar el simplex dual pararestaurar la factibilidad y obtener la optimalidad. De esa manera,utilizando el tableau optimo del problema original y reemplazando losvalores de la columna por , se tiene:



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La nueva solución es

X1= 10/3 litros de producto químico A por horaX2=0 litros de producto químico B por hora

El nuevo valor de la función objetivos es:


VB X1 X2 x3 x4 b

Z 0 0 5/19 16/19 235/19

x2 0 1 5/19 -3/19 -10/19

x1 1 0 -2/19 5/19 80/19

VB x1 x2 x3 x4 b

Z 0 16/3 5/3 0 50/3

x4 0 -19/3 -5/3 1 10/3

x1 1 5/3 1/3 0 10/3

Inicial

Final


Para encontrar los intervalos de variación del vector b,debemos cotejar la factibilidad del problema.

Para el análisis de los intervalos de cada uno de loscomponentes del vector b, lo usual es analizar la variación de unrecurso en particular, dejando a los otros constantes (ceteris paribus)


Intervalos de Variación del Vector b

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Ejemplo:

Realice un análisis de sensibilidad sobre el vector b,encontrando los intervalos de variación para que la solución seaoptima, y no se cambie la región factible del problema (Cumplimientode Factibilidad del problema)



Dejando la formulación en forma estándar, se tiene:



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De la indicación, se tiene que:

Verificando la factibilidad del vector b



De la indicación, se tiene para b1 que:



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La inecuación vectorial entrega solo una inecuación con dependenciade b3, la que nos dice que:



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Supongamos nuevamente en el siguiente problema original:

El cambio en el vector c, será a un nuevo valor ,donde es un vector de n componentes. El problema nuevo aresolver es


Cambios en los Coef de Z (cj)

Sea la inversa de la base optima asociada al problemaoriginal. Entonces, al generar el incremento de C, se tiene quelos cambian a , o sea:

Donde aj es la columna de la matriz A.Se sabe que en condiciones de optimalidad ,no en B y , entonces, si se cumplen estas doscondiciones, el vector Xb asociado a la tabla optima del problemaoriginal permanece optimo y al nuevo valor de la función objetivoserá:



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En caso contrario, es decir , se deberá hacerprimero , mediante operaciones matricialeselementales y después obtener las condiciones de optimalidad

mediante el método simplex primal.



Ejemplo:

Siguiendo el ejemplo del caso anterior:

Supongamos que el precio unitario del producto químico B,se reduce de $3 a $1, por lo tanto, el problema original queda:



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Por lo tanto:

Como la única componente de C que cambio es c2, entonces indicaque solo se cambia el costo reducido de es:



Pero sabemos que en condiciones de optimalidad, ya que j=2 está en la base original optima delproblema original, por lo tanto, hay que reemplazar el valor del costoreducido asociado a dicha variable y mediante operacionesmatriciales elementales se debe restablecer la factibilidad, a partir dela siguiente tabla optima del problema original.



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Al restablecer la factibilidad, la tabla queda de la siguiente forma:



VB x1 x2 x3 x4 b

Z 0 2 5/19 16/19 235/19

x2 0 1 5/19 -3/19 45/19

x1 1 0 -2/19 5/19 20/19

VB x1 x2 x3 x4 b

Z 0 0 -5/19 22/19 145/19

x2 0 1 5/19 -3/19 45/19

x1 1 0 -2/19 5/19 20/19

La cual no es optima, ya que . Utilizando el método simplexprimal, se obtiene la nueva solución:

La solución optima para este nuevo problema es



VB x1 x2 x3 x4 b

Z 0 1 0 1 10

x3 0 19/5 1 -3/5 9

x1 1 2/5 0 1/5 2

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Por lo cual, se concluye que se deja de producir el bien 2, yaque sus costos son mayores que sus ganancias, por lo cual, solo seproduce el bien 1., el cual esta limitado por la restricción 1.



Sigamos con el ejemplo del caso anterior, pero ahora supongamosque el precio unitario del producto químico A y B, se reducen de $5 a$1 y $3 a $1, respectivamente, entonces el problema nuevo queda.

Por lo tanto:



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Las componentes de C que cambian son c1 y c2, generando quecambien los costos reducidos , entonces:

Como sabemos que el vector x1 y x2 están en la base optima,entonces se deben cumplir las condiciones de optimalidad, ya que j=1,2 están en la base originaloptima del problema original, por lo tanto, reemplazando dichos



Valores y mediante operaciones matriciales elementales se deberestablecer la factibilidad, quedando la siguiente tabla inicial delProblema original:

Al restablecer la factibilidad e indirectamente la optimalidad, la tablanueva queda:



VB x1 x2 x3 x4 b

Z 4 2 5/19 16/19 235/19

x2 0 1 5/19 -3/19 45/19

x1 1 0 -2/19 5/19 20/19

VB x1 x2 x3 x4 b

Z 0 0 3/19 2/19 65/19

x2 0 1 5/19 -3/19 45/19

x1 1 0 -2/19 5/19 20/19

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De esta manera, el tableau del problema nuevo, con lossiguientes resultados:

De esta manera, la reducción de los precios unitarios, generoque la utilidad final se redujera de $12,37 a $3,42, ya que no variaronlas producciones de los productos químicos A y B.



Supongamos el siguiente problema:

Donde el tableau optimo es el siguiente:



VB x1 x2 x3 x4 b

Z 9/2 0 0 5/2 45

x3 1 0 1 0 4

x2 3/2 1 0 1/2 9

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Utilizando el problema anterior, ahora supongamos que elprecio unitario de la primera actividad es $10, por lo tanto, elproblema original queda:

Por lo tanto, el vector queda:



Como la única componente de C que cambio es c1, entoncesindica que solo cambia el costo reducido es:

En este caso, la condición indica que si noes optimo y como j=1 no esta en la base original, por lo tanto, hay queaplicar el método simplex para obtener la optimalidad del problemanuevo. Así:



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Por lo tanto, es optimo, lo cual quiere decir que en incrementedel precio unitario de $3 a $10 sobre la primera actividad (que no esbásica) ha generado un cambio en la solución optima, la cual es:



VB x1 x2 x3 x4 b

Z -5/2 0 0 5/2 45

x3 1 0 1 0 4

x4 3/2 1 0 1/2 9

VB x1 x2 x3 x4 b

Z 0 0 5/2 5/2 55

x2 0 0 1 0 4

x1 0 1 -3/2 1/9 3

Inicial

Final

Lo anterior significa que como x1 no es básica, su nivel deutilización es de cero, pero el incremento de su precio unitario es losuficientemente atractivo para que su nivel de utilización seincremente de su valor cero a 4 unidades, pero a su vez se reduce elnivel de utilización del producto dos de 9 a 3 unidades, lo bueno esque dicho cambio incremente la utilidad de $45 a $55.



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Profesor:Profesor:Profesor:Profesor:

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