9. OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE FLUIDA U … · MEHANIKA FLUIDA K – Što valja zapamtiti 77 9. OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE FLUIDA U DIFERENCIJALNOM OBLIKU Do sada smo osnovne zakone

MEHANIKA FLUIDA K – Što valja zapamtiti 77

9. OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE FLUIDA U DIFERENCIJALNOM OBLIKU

Do sada smo osnovne zakone dinamike fluida primjenjivali u integralnom obliku, što čini osnovu za inženjersku analizu problema. Takav pristup omogućuje uspostavljanje veze među integralnim veličinama poput protoka mase, količine gibanja, energije, sile na površinu stijenke ili momenta te sile i snage koju kontrolni volumen izmjenjuje s okolinom, a ne omogućuje izračunavanje polja brzine, tlaka, temperature itd. u čitavom području strujanja. To nam omogućuje diferencijalni pristup. U diferencijalnom pristupu se osnovni zakoni dinamike fluida postavljaju za česticu fluida, a formalno se izvode iz oblika za materijalni volumen, tako da materijalni volumen smanjimo na česticu fluida. Podsjetimo se da je u smislu hipoteze kontinuuma čestica fluida definirana kao infinitezimalno mali dio materijalnog volumena. Pri prijelazu od materijalnog volumena na česticu integrali po materijalnom volumenu prelaze u integrale po čestici fluida. Budući da je volumen čestice infinitezimalan podintegralna funkcija na tom infinitezimalnom volumenu se može smatrati konstantom, pa integral po čestici fluida prelazi u umnožak podintegralne funkcije i infinitezimalnog volumena čestice fluida. U nastavku se, primjenom opisanog postupka, izvode diferencijalni oblici osnovnih zakona.

Zakon očuvanja mase (jednadžba kontinuiteta) Zakon očuvanja mase, za materijalni volumen, glasi: Brzina promjene mase materijalnog volumena jednaka je nuli. Matematički zapis ovog zakona je

0dDD

)(M

=∫tV

Vt

ρ

Diferencijal dV vremenski promjenjivog materijalnog volumena M ( )V t , koji odgovara volumenu čestice fluida, je također vremenski promjenjiv, pri čemu vrijedi (vidjeti predavanja iz kinematike)

( )D d1d D

j

j

vVV t x

∂=∂

pa ako se operator materijalne derivacije uvuče pod integral treba derivirati i diferencijal volumena:

( )M M M( ) ( ) ( )

d

D dD D Dd d d 0D D D D

j jjj

j

jV t V t V tv vV t xx

vVV V V

t t t t xρ ρ

ρ ρρ ρ ρ

∂ ∂∂ +∂ ∂∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

U graničnom prijelazu kada se materijalni volumen smanji na česticu fluida (materijalnu

točku), gornji izraz prelazi o oblik MD d 0D

j

j

vV

t xρ ρ

⎛ ⎞∂+ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, iz čega je jasno da vrijedi

D / D

D 0D

j jj

j j j

t

v vv

t x t x xρ

ρ ρ ρρ ρ∂ ∂∂ ∂

+ = + + =∂ ∂ ∂ ∂

.

Gornji izraz se može zapisati i u obliku


( )0=

∂

∂+

∂∂

j

j

xv

tρρ

koji se naziva konzervativnim oblikom zakona očuvanja mase (jednadžbe kontinuiteta). Za nestlačivo strujanje (stacionarno ili nestacionarno) jednadžba kontinuiteta glasi:

0=∂

∂

j

j

xv

a izražava činjenicu da nema promjene volumena čestice fluida.

Dva pomoćna pravila u izvodu osnovnih zakona dinamike fluida Bilo koje fizikalno svojstvo fluida (masa, količina gibanja, energija, …) moguće je izraziti volumenskom gustoćom Φ ili masenom gustoćom ϕ (fizikalna veličina izražena po jedinici mase je specifična vrijednost fizikalne veličine). Tako je npr. volumenska gustoća mase m jednaka =d / dm VΦ ρ= , specifična masa =d / d 1m mϕ = . Za kinetičku energiju

2 / 2mv je volumenska gustoća 2= / 2vΦ ρ , a specifična kinetička energija je 2= / 2vϕ . Veza između volumenske gustoće i specifične fizikalne veličine je ϕρΦ = U svim zakonima dinamike fluida pojavljuje se pojam brzine promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar materijalnog volumena. Brzina promjene izražava se materijalnom derivacijom, a sadržaj fizikalne veličine integralom po materijalnom volumenu. Taj se sadržaj može izraziti ili s pomoću volumenske gustoće Φ ili s pomoću masene gustoće ϕ fizikalnog svojstva, u obliku

M M( ) ( )

d dV t V t

Φ V Vρϕ=∫ ∫ , pa za brzinu promjene sadržaja vrijedi

M M M( ) ( ) ( )d

D D D D Dd d d d dD D D D DV t V t m m V tm

Φ V V m m Vt t t t t

ϕ ϕϕ ρ ϕ ρ= = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

U gornjim je izrazima iskorištena činjenica da je masa m materijalnog volumena konstantna (kao i masa dm čestice fluida), pa se u tom slučaju pri uvlačenju operatora materijalne derivacije pod integral, operator primjenjuje samo na podintegralnu funkciju. Dakle valja zapamtiti pravilo (nazovimo ga pravilom A)

M M( ) ( )

D Dd dD DV t V t

V Vt t

ϕρϕ ρ=∫ ∫ pravilo A

Podintegralna funkcija u gornjem izrazu nakon razvoja operatora materijalne derivacije je

DD j

j

vt t xϕ ϕ ϕρ ρ

⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Ako se desnoj strani gornjeg izraza doda jednadžba kontinuiteta pomnožena s ϕ slijedi

( )

0 prema jednadžbi kontinuiteta

DD

jj

j j

vv

t t x t xρϕ ϕ ϕ ρρ ρ ρ ϕ

=

⎛ ⎞⎜ ⎟∂∂ ∂ ∂⎜ ⎟= + + +

∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

dobije se:

( ) ( )D

Dj

jj j

vv

t t x t xρ ϕρϕϕ ϕ ϕρ ρ ρ

∂∂∂ ∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂ pravilo B


Valja zapamtiti ovo jednostavno pravilo koje će poslužiti za definiranje konzervativnih oblika osnovnih zakona (treći oblik u pravilu B).

Zakon očuvanja količine gibanja (jednadžba gibanja fluida) Zakon količine gibanja za materijalni volumen glasi: Brzina promjene količine gibanja materijalnog volumena jednaka je sumi vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen. Matematički zapis, riječima iskazanog zakona količine gibanja je:

M M M M M( ) ( ) ( ) ( ) ( )

D d d dD

j ji

i i i i j jiV t V t S t V t S tn

v V f V dS f V n dSt

σ

ρ ρ σ ρ σ= + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Primjenom pravila A na lijevu stranu gornjeg izraza i prikazom površinskih sila preko volumenskog integrala (primjenom Gaussove formule), slijedi:

M M M( ) ( ) ( )

D d d dD

jiii

jV t V t V t

v V f V Vt x

σρ ρ

∂= +

∂∫ ∫ ∫

Iz gornjeg izraza slijedi nekonzervativni diferencijalni zapis zakona količine gibanja koji glasi:

DD

jiii

j

v ft x

σρ ρ

∂= +

∂

Množenjem gornjeg izraza s volumenom čestice fluida, dobije se poznati oblik drugog Newtonovog zakona za gibanje čestice fluida, u kojem je lijeva strana jednadžbe jednaka umnošku mase čestice fluida i njena ubrzanja (materijalna derivacija brzine), a desna strana je jednaka zbroju sila koje djeluju na česticu fluida, ovdje su to masena i površinska sila. Volumenska gustoća ukupne površinske sile na česticu fluida je matematički

definirana divergencijom tenzora naprezanja ji

jxσ∂∂

, što naravno označuje vektor.

Komponente toga vektora dobiju se razvojem izraza za 1i = , 2 i 3, npr. komponenta površinske sile u smjeru osi 1x (za 1i = ) je

1 11 21 31

1 2 3

j

jx x x xσ σ σ σ∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

Fizikalna interpretacija gornja tri člana slijedi iz analize površinskih sila na česticu fluida oblika elementarnog paralelopipeda sa stranicama 1dx , 2dx i 3dx , kao što prikazuje slika.

Na prikazanu česticu fluida ucrtane su samo sile u smjeru osi 1x , a na svim površinama su pretpostavljene pozitivne komponente tenzora naprezanja. Težišta površina u kojima djeluju površinske sile su označena brojevima 1 do 3 i 1' do 3'. Površine 1 do 3 imaju normale u negativnim smjerovima osi, pa na njima pozitivna naprezanja gledaju u negativnom smjeru osi 1x (vidjeti dogovor o predznacima naprezanja u poglavlju Fizikalne osnove).

x1

x2

x3

11σ

2121 2

2

dxxσ

σ∂

+∂

31σ 0

1 2

3

21σ

1111 1

1

dxxσ

σ∂

+∂

3131 3

3

dxxσ

σ∂

+∂

2' 1'

3'


Normale površina 1' do 3' su u pozitivnim smjerovima osi, pa pozitivna naprezanja na tim površinama gledaju u pozitivnom smjeru osi 1x . Komponente naprezanja su u općem slučaju funkcije prostornih koordinata. Ako na površini 1 (u težištu 1) vlada naprezanje

11σ , onda će u bliskoj točki 1', koja je od točke 1 pomaknuta u smjeru osi 1x , doći do

prirasta naprezanja 111

1

dxxσ∂∂

tako da je u težištu 1' naprezanje 1111 1

1

dxxσ

σ∂

+∂

. Slično vrijedi

i za priraste naprezanja 21σ i 31σ . Elementarna sila u smjeru osi 1x na površini 1 je

11 2 3d dx xσ− , a na površini 1' 1111 1 2 3

1

d d dx x xxσ

σ⎛ ⎞∂ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠

. Doprinos površinskoj sili u smjeru osi

1x na površini 2 je 21 1 3d dx xσ− , a na površini 2' 2121 2 1 3

2

d d dx x xxσ

σ⎛ ⎞∂ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠

. Analogno vrijedi i

za površine 3 i 3'. Ukupna površinska sila na česticu fluida jednaka je zbroju sila na šest površina i iznosi

111 21 311 2 3

1 2 3

d d d dj

j

x x x Vx x x x

σσ σ σ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠, pa je jasno da je 1j

jxσ∂∂

volumenska

gustoća površinske sile na česticu fluida u smjeru osi 1x . Primjenom pravila B na lijevu stranu gore dane jednadžbe količine gibanja

DD

jiii

j

v ft x

σρ ρ

∂= +

∂ slijedi konzervativni diferencijalni zapis zakona količine gibanja,

koji glasi:

( ) ( )j i jii

ij j

v vvf

t x xρ σρ

ρ∂ ∂∂

+ = +∂ ∂ ∂

, a prema pravilu B jasno je da vrijedi i

jii ij i

j j

v vv ft x x

σρ ρ ρ

∂∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂,

što je nekonzervativni oblik jednadžbe količine gibanja izražene naprezanjima.

Zakon očuvanja momenta količine gibanja Zakon momenta količine gibanja za materijalni volumen glasi: Brzina promjene momenta količine gibanja materijalnog volumena, u odnosu na odabrani pol, jednaka je sumi momenata vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen, u odnosu na taj isti odabrani pol. Kao što je već prije dano, matematički zapis zakona očuvanja momenta količine gibanja za materijalni volumen je:

M M M

M M M

Brzina promjene momenta ukupni moment masenih ukupni moment površinskihkoličine gibanja sila na sila na

D d d dD

k

kji j i kji j i kji j r ri kji j iV V S

V V V

xx v V x f V x n S x f

t

σ

ε ρ ε ρ ε σ ε ρ∂

= + = +∫ ∫ ∫( )

M

d

jrij ri

r r

ji

j ri

rV

xx

x x

Vx

σ

σσ

σ

∂∂+

∂ ∂

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫


Uvođenjem operatora materijalne derivacije pod integral na lijevoj strani gornjeg izraza, i deriviranjem u zadnjem članu desne strane, kao što je naznačenu u gornjem izrazu, dobije se

( )

M MD DD D

Dd d

Dj i

i j

v j

j i rikji kji j i j ji

rV Vx vv xt t

x vV x f x V

t xσε ρ ε ρ σ

+

⎛ ⎞∂= + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∫ ∫

Uzimajući da je kji j iv vε jednako nuli (vektorski umnožak vektora samog sa sobom) izraz se može preurediti u

M M

0 jednadžba količine gibanja

D d dD

i rikji j i kji ji

rV V

vx f V Vt x

σε ρ ρ ε σ

≡

⎛ ⎞⎜ ⎟∂

− − =⎜ ⎟∂⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫ ,

Odnosno iz jednadžbe momenta količine gibanja slijedi 0kji jiε σ = , što znači da je tenzor naprezanja simetričan ( ji ijσ σ= )1. Ako se pretpostavi da u fluidu nema momenata (spregova sila) raspodijeljenih po površini materijalnog volumena ili unutar samog volumena, tada se zakon očuvanja momenta količine gibanja svodi na činjenicu simetričnosti tenzora naprezanja ji ijσ σ= . Ako se unaprijed pretpostavi simetričnost tenzora naprezanja, to znači da je jednadžba momenta količine gibanja već zadovoljena (može se tvrditi da je već iskorištena pri definiranju tenzora naprezanja), pa se tu jednadžbu više ne treba uključivati u skup osnovnih diferencijalnih jednadžbi dinamike fluida.

Zakon očuvanja energije Do sada smo govorili samo o nestlačivom strujanju (strujanje kod kojega je gustoća konstantna). Konstantnost gustoće fluida podrazumijeva i konstantnost volumena čestica fluida, što znači da one ne mogu niti ekspandirati niti se komprimirati, pa kao što znamo iz termodinamike ne mogu spremiti mehanički rad u obliku unutarnje energije (za vrijeme kompresije), da bi za vrijeme ekspanzije na račun smanjenja unutarnje energije izvršile mehanički rad. U nestlačivom strujanju dakle postoji samo mehanizam pretvorbe mehaničke u unutarnju energiju putem viskoznih sila, a taj je proces uvijek jednosmjeran (nepovrativ). Zbog toga smo pri bilanciranju energije gledali samo mehaničku energiju, pri čemu smo pretvorbu mehaničke energije u unutarnju smatrali „gubicima mehaničke energije“, jer nema mehanizma za povrat jednom pretvorene mehaničke energije u unutarnju, nazad iz unutarnje u mehaničku energiju. Ako se radi o stlačivom strujanju u kojem postoji promjena gustoće odnosno volumena fluida u bilancu energije će trebati uzeti i unutarnju energiju, jer će se ona moći pretvarati u mehaničku energiju. U tom smislu ćemo ovdje definirati zakon očuvanja energije (u termodinamici se on naziva prvi zakon termodinamike) u kojem ćemo uzeti u obzir i unutarnju energiju fluida, te ćemo pod energijom smatrati zbroj unutarnje i kinetičke energije fluida. Iz prvog zakona

1 Slijedi iz pravila da je dvostruki skalarni umnožak antisimetričnog i simetričnog tenzora jednak nuli. Budući da je kjiε antisimetričan u odnosu na indekse j i i, tenzor naprezanja mora biti simetričan.


termodinamike znamo da se energija termodinamičkog sustava mijenja zbog vršenja rada nad sustavom i izmjene topline s okolinom. U termodinamici je uobičajeno promatrati termodinamički sustav između dva ravnotežna stanja pa se zakon definira kao: porast energije termodinamičkog sustava između dva stanja jednaka je izvršenom radu nad sustavom i dovedenoj toplini. U slučaju strujanja fluida imamo stalne promjene pa promatramo dva bliska vremenska trenutka. Ako zakon očuvanja energije izražen promjenom energije sustava u dva bliska trenutka podijelimo s vremenom umjesto promjene energije dobijemo brzinu promjene energije, umjesto rada dobijemo snagu i umjesto izmjenjene topline dobijemo brzinu izmjene topline (toplinski tok). Za slučaj materijanog volumena zakon očuvanja energije bi glasio: Brzina promjene zbroja kinetičke i unutarnje energije materijalnog volumena jednaka je snazi vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen, te brzini izmjene topline materijalnog volumena s okolinom.

Ako se sa u označi specifična unutarnja energija čestice fluida, tada je zbroj kinetičke i unutarnje energije unutar čestice fluida mase d dm Vρ= jednak

2 2

d d d2 2v vV Vu u Vρ ρ ρ

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Energija materijalnog volumena jednaka je zbroju (integralu) energija svih čestica unutar materijalnog volumena, a brzina promjene te energije označuje se materijalnom derivacijom toga integrala, tj. vrijedi

Brzina promjene energije MV je: M M M

2

( ) ( ) ( )

D D Dd d dD 2 D DV t V t V t

e

v eu V e V Vt t t

ρ ρ ρ⎛ ⎞

+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ,

Gdje je za zbroj specifične kinetičke i unutarnje energije uvedena oznaka e , i primijenjeno pravilo A, za materijalnu derivaciju integrala po vremenski promjenjivom materijalnom volumenu. Snaga masenih sila na česticu fluida izražava se skalarnim produktom masene sile na česticu fluida fi ρ dV i njene brzine vi, a ukupna snaga masenih sila u materijalnom volumenu jednaka je zbroju, odnosno integralu tih elementarnih snaga unutar materijalnog volumena, tj. vrijedi Snaga masenih sila u materijalnom volumenu je: Vvf

tVii d

)(M

∫ ρ

Vanjske površinske sile djeluju po materijalnoj površini SM(t), a definirane su vektorom naprezanja iσ , koji je jednak skalarnom umnošku jediničnog vektora normale jn na materijalnu površinu i tenzora naprezanja jiσ u točki materijalne površine i j jinσ σ= . Na svaki elementarni dio dS materijalne površine djeluje elementarna površinska sila di Sσ , a snaga te elementarne sile se dobije njenim skalarnim množenjem s vektorom brzine iv pomicanja materijalne površine (koja je jednaka brzini strujanja fluida). Ukupna snaga

x1

di Sσ

SM

O

x3

x2

VM

jn

if

dS

dif Vρ

dm=ρdV

jq

iv


površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen dobije se zbrajanjem, odnosno integriranjem tih elementarnih snaga po čitavoj materijalnoj površini, tj. vrijedi:

Snaga površinskih sila na MV je: ( )

M M M( ) ( ) ( )

dji ii i j ji i

jS t S t V t

vv dS n v dS V

xσ

σ σ∂

= =∂∫ ∫ ∫ ,

gdje je iskorištena Gaussove formula da se ukupna snaga površinskih sila na materijalni

volumen, prikaže volumenskim integralom. Tako bi član ( )ji i

j

vxσ∂

∂ imao fizikalno značenje

volumenske gustoće snage površinskih sila na česticu fluida. Treći uzrok promjeni energije materijalnog volumena je izmjena topline kroz materijalnu površinu. Ako se sa iq označi vektor površinske gustoće toplinskog toka (jedinica u SI sustavu mjera je 2W/m ), onda je toplinski tok (izmijenjena toplina u jedinici vremena) kroz elementarni dio materijalne površine razmjeran normalnoj komponenti tog vektora (vektor iq skalarno pomnožen s jediničnim vektorom in vanjske normale na materijalnu površinu) i elementarnoj površini dS . Ukupna snaga toplinskog toka jednaka je integralu tih elementarnih tokova kroz cijelu materijalnu površinu:

Toplinski toka kroz materijalnu površinu je: M M( ) ( )

dii i

iS t V t

qq n dS Vx∂

− = −∂∫ ∫

Toplinski tok se uzima s negativnim predznakom jer pozitivna normalna komponenta vektora površinske gustoće toplinskog toka i iq n označuje odvođenje topline iz materijalnog volumena što znači smanjenje ukupne energije materijalnog volumena. Jasno je da se površinski integral može primjenom Gaussove formule prevesti na volumenski

integral, u kojem divergencija vektora površinske gustoće toplinskog toka i

i

qx∂∂

označuje

volumensku gustoću brzine izmjene topline čestice fluida s okolinom. Matematički zapis riječima iskazanog zakona očuvanja energije je dakle

( )

M M M M( ) ( ) ( ) ( )

D d d d dD

ji i ii i

j iV t V t V t V t

ve qV f v V V Vt x x

σρ ρ

∂ ∂= + −

∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫

Sažimanjem materijalnog volumena na česticu fluida i dijeljenjem gornjeg izraza s volumenom čestice fluida dobije se diferencijalni oblik zakon očuvanja energije

( )D

Dji i i

i ij i

ve qf vt x x

σρ ρ

∂ ∂= + −

∂ ∂

Primjenom pravila B na lijevu stranu gornjeg izraza dobije se

( )ji i i

j i ij j i

ve e qv f vt x x x

σρ ρ ρ

∂∂ ∂ ∂+ = + −

∂ ∂ ∂ ∂ i

( ) ( ) ( )j ji i i

i ij j i

v e ve qf vt x x x

ρ σρρ

∂ ∂∂ ∂+ = + −

∂ ∂ ∂ ∂

gdje je ovaj posljednji oblik konzervativni zapis zakona očuvanja energije. U gornjoj jednadžbi drugi član desne strane označuje volumensku gustoću snage površinskih sila, a može se deriviranjem produkta razložiti na dva dijela:


( )

naprezanje tna površinirezultirajućaukupna snaga česticepovršinskapovršinskih sila

sila

ubrzava česticufluida mijenjakinetičku energiju

ji ji

ji i ji jiii ji i ji ji

j j j j

D V

v vv v Dx x x xσ σ σ

σ σ

+

⇒

∂ ∂ ∂∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂enzor

brzinedeformacije

snaga površinskih silakoja se troši na deformaciju česticefluida mijenjaunutarnju energiju

⇒

Iz diferencijalnog oblika jednadžbe količine gibanja je poznato da divergencija tenzorskog polja naprezanja /ji jxσ∂ ∂ označuje rezultantnu površinsku silu na česticu fluida izraženo po jedinici volumena, te će umnožak tog člana s brzinom čestice fluida označavati volumensku gustoću snage površinske sile kojom se mijenja kinetičku energiju čestice fluida, sukladno zakonu kinetičke energije u mehanici. U drugom članu gornje jednadžbe se pojavljuje tenzor gradijenta brzine /i jv x∂ ∂ , koji se, kao što je poznato iz kinematike, može prikazati zbrojem tenzora brzine deformacije i tenzora vrtložnosti. Tenzor vrtložnosti je antisimetričan tenzor, te je njegov dvostruki skalarni produkt sa simetričnim tenzorom naprezanja jednak nuli, tako da je drugi član produkt tenzora naprezanja (površinske sile) i tenzora brzine deformacije, iz čega se zaključuje da on označuje dio snage površinskih sila kojom se deformira čestica fluida, a snaga te deformacije se pretvara u unutarnju energiju, kao što je poznato iz termodinamike.

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike spada u skup osnovnih zakona, a ukazuje na jednosmjernost odvijanja realnih termodinamičkih procesa. Ovaj je zakon izražen činjenicom da entropija izoliranog sustava mora rasti ili u najboljem slučaju ostati ista, odnosno da produkcija entropije u otvorenom termodinamičkom sustavu mora biti pozitivna ili jednaka nuli. Glavna primjena ovog zakona u dinamici fluida je za ocjenu valjanosti (fizikalnosti) dobivenih rješenja strujanja fluida. Ukoliko postoji više rješenja nekog problema strujanja, uzima se ono koje je u skladu s drugim zakonom termodinamike. S obzirom da se entropija ne pojavljuje u ostalim osnovnim zakonima dinamike fluida, gornja se jednadžba može se analizirati nezavisno od ostalih jednadžbi. U tom smislu ga se neće uzimati u skup osnovnih jednadžbi, nego će ga se primjenjivati po potrebi, ukoliko postoji potreba za ispitivanjem fizikalnosti rješenja (ostvarivosti u prirodi).

Skup jednadžbi osnovnih zakona dinamike fluida U skup osnovnih zakona dinamike fluida spadaju opisani zakoni: očuvanja mase, količine gibanja, momenta količine gibanja, očuvanja energije i drugi zakon termodinamike. Dani matematički zapisi navedenih zakona vrijede uz pretpostavku hipoteze kontinuuma, homogenog, jednofaznog i kemijski inertnog fluida u kojem nema površinskih i masenih momenata. Kao što je rečeno, za taj se slučaj zakon momenta količine gibanja svodi na činjenicu simetričnosti tenzora naprezanja, te, ako se ta simetričnost unaprijed pretpostavi, jednadžbu momenta količine gibanja se ispušta iz skupa osnovnih diferencijalnih jednadžbi, jer ne nosi nikakvu novu informaciju u odnosu na jednadžbu količine gibanja. Drugi zakon termodinamike, je kao što je rečeno pasivna jednadžba, te se ni ona ne mora


uključiti u osnovni skup jednadžbi, te od skupa osnovnih zakona koji opisuju strujanje fluida ostaju: -zakon očuvanja mase (jednadžba kontinuiteta)

( )j

j

vt x

ρρ ∂∂= −

∂ ∂

-zakon količine gibanja (jednadžba količine gibanja)

( ) ( )j i jiii

j j

v vvf

t x xρ σρ

ρ∂ ∂∂

= − + +∂ ∂ ∂

-zakon očuvanja energije (energijska jednadžba)

( ) ( ) ( )j ji i ii i

j j i

v e ve qf vt x x x

ρ σρρ

∂ ∂∂ ∂= − + + −

∂ ∂ ∂ ∂

Jednadžba količine gibanja je vektorska jednadžba (koja se može razložiti na tri skalarne jednadžbe), a jednadžba kontinuiteta i energijska jednadžba su skalarne jednadžbe, tako da sustav jednadžbi označuju sustav pet skalarnih jednadžbi. U tim jednadžbama poznata je gustoća masenih sila if , a nepoznata polja su: polje gustoće ρ , tri komponente vektorskog polja brzine iv , šest komponenti simetričnog tenzora naprezanja jiσ , energije e i tri komponente vektora površinske gustoće snage toplinskog toka iq , što čini 14 nepoznatih polja. Očit je nesklad u broju jednadžbi i broju nepoznatih polja, te navedeni sustav ne može jednoznačno opisati strujanje fluida.

KONSTITUTIVNE (DOPUNSKE) JEDNADŽBE Univerzalni zakoni fizike koji vrijede za sve fluide bez obzira na njihovu vrstu i stanje nisu u stanju jednoznačno opisati strujanje fluida, te je u cilju usklađivanja broja jednadžbi i broja nepoznatih polja nužno uvesti dopunske pretpostavke o reološkim i termodinamičkim svojstvima fluida. Te dopunske relacije nemaju univerzalni karakter, te će tako zatvoreni sustav jednadžbi biti valjan samo za određenu kategoriju fluida. U nastavku se daje primjer dopunskih relacija za savršeni (termodinamički idealni) plin. Odnosi za savršeni plin Za toplinsko i kalorički savršeni plin vrijedi toplinska jednadžba stanja:

RTp=

ρ (u termodinamici pv RT= , gdje je 1v

ρ= specifični volumen)

i kalorička jednadžba stanja: vu c T= pri čemu su specifični toplinski kapaciteti pri konstantnom tlaku i konstantnom volumenu konstantni, pa je i njihov odnos konstantan ( pc =konst., vc =konst., /p vc cκ = =konst.).


Fourierov zakon toplinske vodljivosti Fourierov zakon toplinske vodljivosti uspostavlja linearnu vezu između vektora površinske gustoće toplinskog toka i gradijenta temperature, koja uz pretpostavku izotropnosti fluida, poprima oblik:

i

i xTq

∂∂

−= λ

U gornjem izrazu je λ toplinska provodnost fluida ([ ] ( )SIW/ m Kλ = ⋅ ), pozitivna je

veličina i funkcija je lokalnog termodinamičkog stanja. Predznak minus na desnoj stani izraza označuje da će toplina spontano prelaziti uvijek s mjesta više temperature prema mjestu s nižom temperaturom, dakle u smjeru suprotnom gradijentu temperature, dakle vektori toplinskog toka i gradijenta temperature su suprotno usmjereni kolinearni vektori. Newtonov zakon viskoznosti Kao što je rečeno elastična tijela se pod djelovanjem vanjskog opterećenja deformiraju, a uslijed deformacije u tijelu se pojavljuju unuratnje sile (naprezanja) koja uravnotežuju vanjska opterećenja, pa za elastična tijela kažemo da se opiru vanjskom opterećenju deformacijom. Za elastičnu deformaciju vrijedi Hookov zakon koji uspostavlja linearnu vezu između naprezanja i deformacije. Fluid se pod djelovanjem vanjskih smičnih naprezanja neprekidno deformira (struji) pri čemu je pri većem vanjskom opterećenju deformacija brža, pa kažemo da se fluid opire vanjskom opterećenju brzinom deformacije. Newtonov zakon viskoznosti uspostavlja linearnu vezu između naprezanja i brzine deformacije. U uvodu smo definirali brzinu deformacije za ravninsko strujanje izobraženim profilom brzine, a ovdje ćemo dati izraze za trodimenzijsko strujanje.

DODATAK IZ KINEMATIKE FLUIDA

Prvi Helmholtzov teorem Gibanje krutog tijela (kod kojeg je relativni međusobni položaj čestica stalan) moguće je prikazati zbrojem translatornog i sfernog (ili rotacijskog) gibanja. Fluid je tvar koja se pod djelovanjem ma kako malog smičnog naprezanja neprekidno deformira, pa je za očekivati da će u strujanju fluida međusobni položaj čestica fluida biti promjenjiv, što nazivamo deformacijskim gibanjem. Prirast brzine u dvije vrlo bliske točke prostora opisuje se gradijentom brzine u obliku

d dii j

j

vv xx∂

=∂

Gradijent brzine je tenzor drugog reda koji se uvijek može prikazati zbrojem simetričnog ijD i antisimetričnog ijV dijela, a antisimetrični dio se može prikazati dualnim vektorom

kΩ u obliku 2 εji kji kV Ω= , pa vrijedi 1 ε2

iji ji ji kji k

j

v D V Dx

Ω∂= + = +

∂


Tenzor brzine deformacije Simetrični dio ijD tenzora gradijenta brzine naziva se tenzorom brzine deformacije, definiran je izrazom

( )T1 1 ili u simoličkom zapisu grad grad2 2

jiji

j i

vvD v vx x

⎛ ⎞∂∂= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

D

Tablični prikaz komponenti tenzora brzine deformacije, koji ima 6 različitih komponenti je

31 2 1 1

1 1 2 1 3

31 2 2 2

2 1 2 2 3

3 3 31 2

3 1 3 2 3

1 12 2

1 12 2

1 12 2

ji

vv v v vx x x x x

vv v v vDx x x x x

v v vv vx x x x x

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ∂+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ako se u određenom trenutku t uoči elementarni volumen fluida oblika paralelopipeda kojemu su duljine bridova 1dx , 2dx i 3dx , tada će u vremenskom trenutku dt t+ taj paralelopiped promijeniti položaj (uslijed translacije i rotacije), ali i oblik uslijed deformacije. Deformacija tog paralelopipeda se očituje kroz promjene duljina njegovih bridova i kroz promjenu kuta među njegovim bridovima. Članovi na glavnoj dijagonali tenzora brzine deformacije označuju brzine relativne promjene duljine bridova, tj. vrijedi:

( )1111

1 1

D d1d D

xvDx x t∂

= =∂

, gdje je DDt

operator materijalne derivacije. Vrijedi i

( )2222

2 2

D d1d D

xvDx x t∂

= =∂

i ( )3333

3 3

D d1d D

xvDx x t∂

= =∂

Brzina relativne promjene obujma 1 2 3d d d dV x x x= elementa fluida je definirana izrazom

( ) ( )1 2 3

11 22 331 2 3

D d D d d d1 1 divd D d d d D

j

j

vV x x xD D D v

V t x x x t x∂

= = + + = =∂

U nestlačivom strujanju fluida je gustoća fluida konstantna, pa nema promjene volumena

čestica fluida što znači da mora biti div 0j

j

vv

x∂

= =∂

, (vidjeti jednadžbu kontinuiteta).

Članovi izvan glavne dijagonale govore o brzini kutne deformacije, tj. o brzini smanjenja kuta među bridovima početnog elementarnog paralelopipeda. Tako bi npr. vrijedilo

12 2 112 21

1 2

D 2 2D

v vD Dt x xθ ∂ ∂

= = = +∂ ∂

,

gdje je 12θ kut između bridova 1dx i 2dx iz početne konfiguracije. Analogno vrijedi i za ostale komponente. Tenzor vrtložnosti Antisimetrični dio tenzora gradijenta brzine se naziva tenzorom vrtložnosti, a definiran je izrazom:

( )T1 1 ili u simoličkom zapisu grad grad2 2

jiji

j i

vvV v vx x

⎛ ⎞∂∂= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

V


Tablični prikaz komponenti tenzora vrtložnosti, koji ima 3 po apsolutnoj vrijednosti različite komponente je

32 1 1

1 2 1 3

31 2 2

2 1 2 3

3 31 2

3 1 3 2

1 102 2

1 102 2

1 1 02 2

ji

vv v vx x x x

vv v vVx x x x

v vv vx x x x

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂− −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂= − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Vektor vrtložnosti Vektor vrtložnosti je u matematičkom smislu dualni vektor tenzora gradijenta brzine, odnosno tenzora vrtložnosti, a definiran je izrazom:

ε ε ili rotik kji kji ji

j

v V vx

Ω Ω∂= = =

∂

U fizikalnom smislu vektor vrtložnosti odgovara dvostrukoj vrijednosti vektora kutne brzine ω ( 2Ω ω= ) kojom rotira čestica fluida. Kod krutog tijela vektor kutne brzine je jedan te isti za sve čestice tijela, dok pri strujanju fluida on može biti različit za svaku česticu fluida. Strujanje fluida kod kojega je vektor vrtložnosti identički jednak nuli ( rot 0v = ) je po definiciji bezvrtložno, odnosno potencijalno strujanje. Komponente tenzora vrtložnosti mogu se prikazati preko komponenti vektora vrtložnosti ili komponenata vektor kutne brzine rotacije, u obliku

1 ε ε2ji kji k kji kV Ω ω= =

Ako se u polaznom izrazu za prirast brzine B Ad i i iv v v= − u dvije bliske točke A i B (udaljene za d jx ) gradijent brzine prikaže s pomoću tenzora brzine deformacije i vektora kutne brzine, dobije se izraz za brzinu u točki B izraženu s pomoću brzine u točki A B A ikj

translacija deformacija sferno gibanje

d ε di i ji j k jv v D x xω= + +

Gornji izraz označuje sadržaj prvog Helmholtzovog teorema koji kaže da se gibanje dviju bliskih točaka kontinuuma može prikazati zbrojem translacijskog i sfernog gibanja (kao kod krutog tijela) te deformacijskog gibanja. Newtonov zakon viskoznosti uspostavlja linearnu vezu između simetričnog tenzora naprezanja i tenzora brzine deformacije (simetričnog dijela gradijenta brzine). Polazeći od činjenice da u mirujućem plinu vlada termodinamički tlak p, a da su tangencijalna naprezanja jednaka nuli, tenzor naprezanja se može prikazati u obliku:

ji ji jip Σσ δ= − +

gdje je δji jedinični tenzor, a Σji simetrični tenzor viskoznih naprezanja, koji se uz pretpostavku izotropnosti fluida, modelira izrazom:

2 2δ 2 δ3 3

j i kji V ji ji V kk ji

i j k

v v v D Dx x x

Σ μ μ μ μ μ μ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠


U gornjem izrazu je μ dinamička viskoznost, Vμ volumenska viskoznost, a Dji tenzor brzine deformacije. Kontrakcijom indeksa u gornjem izrazu i njegovim dijeljenjem s tri, slijedi:

V

1 D(d )d D

13

kjj

k

VV t

vpx

σ μ ∂= − +

∂

Lijeva strana gornjeg izraza je srednje mehaničko naprezanje, čija se negativna vrijednost naziva i mehaničkim tlakom, a koji se razlikuje od termodinamičkog tlaka za član koji je razmjeran volumenskoj viskoznosti i relativnoj brzini promjene volumena čestice fluida. Utjecaj volumenske viskoznosti je značajan u strujanjima sa značajnim gradijentima gustoće fluida, kao što su eksplozije i udarni valovi. Volumenska viskoznost jednoatomnih plinova jednaka je nuli, a u strujanjima gdje je brzina promjene volumena čestica fluida (odnosno gustoće fluida) mala koeficijent volumenske viskoznosti se može zanemariti. U tom slučaju izraz za tenzor viskoznih naprezanja prelazi u:

jikkjijik

k

j

i

i

jji DD

xv

xv

xv

δ322δ

32 μμμμΣ −=

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂

∂=

U nestlačivom strujanju je divergencija polja brzine identički jednaka nuli te su viskozna naprezanja opisana sljedećim izrazom:

2j iji ji

i j

v v Dx x

Σ μ μ⎛ ⎞∂ ∂

= + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Viskoznosti μ i Vμ su pozitivne veličine, a funkcije su lokalnog termodinamičkog stanja fluida.

OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE NEWTONSKOG SAVRŠENOG PLINA Treba naglasiti da osnovni zakoni klasične fizike vrijede za sve fluide, a pojedini matematički modeli strujanja fluida razlikuju se jedino po dopunskim ili konstitutivnim relacijama, koje opisuju specifično ponašanje pojedinih fluida. Uvrštavanjem konstitutivnih relacija u jednadžbe osnovnih zakona dobiva se matematički model u kojem je broj nepoznatih polja usklađen s brojem jednadžbi, a koji vrijedi samo za fluide koji se ponašaju sukladno uvedenim konstitutivnim relacijama. Tako su osnovne jednadžbe dinamike newtonskog savršenog plina:

- jednadžba kontinuiteta

( )j

j

vt x

ρρ ∂∂= −

∂ ∂

- jednadžba količine gibanja ( ) ( )j i jii

ij i j

v v Σv pft x x x

ρρρ

∂ ∂∂ ∂= − + − +

∂ ∂ ∂ ∂, gdje je


2 2δ 2 δ3 3

j i kji V ji ji V kk ji

i j k

v v v D Dx x x

Σ μ μ μ μ μ μ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

- energijska jednadžba ( ) ( )2 2

V V2 2ji ii

j i ij i j i i

Σ vpvv v Tc T v c T f vt x x x x x

ρ ρ ρ λ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ = − + + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ - toplinska jednadžba stanja RTp ρ= Navedeni sustav jednadžbi je sustav šest jednadžbi u kojima se pojavljuje šest nepoznatih polja ( , , , i jv p Tρ ). Uz zadane početne i rubne uvjete, ovaj sustav jednoznačno opisuje problem strujanja newtonskog savršenog plina. Naravno, zbog nelinearnosti (npr. konvekcijski član u jednadžbi količine gibanja - prvi član desne strane) uglavnom se neće moći naći analitičko rješenje postavljenog sustava, nego će za njegovo rješavanje trebati primijeniti numeričke metode. Pojavom računala, došlo je do razvoja računalne dinamike fluida (Computational Fluid Dynamics- CFD), grane unutar mehanike fluida, koja obuhvaća metode numeričkog rješavanja gornjeg sustava jednadžbi.

MATEMATIČKI MODEL NESTLAČIVOG STRUJANJA Posebnu klasu strujanja čine nestlačiva strujanja, u kojima gustoća fluida tijekom strujanja ostaje konstantna. To se uglavnom odnosi na strujanje kapljevina, iako u strujanjima s velikim gradijentima tlaka (npr. podvodna eksplozija) može doći do razlike u gustoći kapljevina (jer su i kapljevine stlačive) tako da bi strujanje trebali promatrati kao stlačivo. S druge strane i strujanje plinova (koji su izričito stlačivi) pri malim brzinama strujanja u odnosu na brzinu zvuka, možemo smatrati nestlačivim. Tako npr. strujanje zraka u ventilacijskom kanalu brzinom do desetak metara u sekundi, uzrokuje vrlo mali pad tlaka (svega nekoliko paskala) po jedinici duljine kanala. Ako se uzme da je tlak zraka reda veličine atmosferskog tlaka (dakle reda veličine 100000 Pa), a strujanje približno izotermičko, onda je iz jednadžbe stanja jasno da zbog pada tlaka neće doći do značajne promjene gustoće zraka, pa se takvo strujanje također opisuje modelom nestlačivog strujanja. U nestlačivom strujanju se dakle toplinska jednadžba stanja RTp ρ= zamjenjuje s konst.ρ = , čime se gubi zavisnost gustoće od temperature (odnosno unutarnje energije) fluida. Ako se može zanemariti promjena viskoznosti fluida o temperaturi, tada jednadžba kontinuiteta i jednadžba količine gibanja postaju posve nezavisne od temperature. U tom se slučaju rješavanjem tih dviju jednadžbi dolazi do polja tlaka i brzine, a nakon toga se rješava energijska jednadžba (koja je jedina jednadžba u kojoj se pojavljuje temperatura) čime se dolazi do polja temperature (odnosno specifične unutarnje energije). Ako nas polje temperature ne zanima energijsku jednadžbu ne moramo niti rješavati. Jednadžbe koje opisuju nestlačivo strujanje uz μ =konst. su:


- jednadžba kontinuiteta

0j

j

vx∂

=∂

ili 1 2 3

1 2 3

0v v vx x x∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

- jednadžba količine gibanja ( ) ( ) 2

j ii ii

j i j j

v vv p vft x x x x

ρρρ μ

∂∂ ∂ ∂= − + − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Energijsku jednadžbu za slučaj nestlačivog strujanja ćemo kasnije definirati. Početni i rubni uvjeti Dani sustav jednadžbi opisuje nestlačivo strujanje bilo kojeg newtonskog fluida, u bilo kakvom geometrijskom području. Kad bi znali analitički integrirati ove jednadžbe, dobili bismo njihovo opće analitičko rješenje u kojem bi se pojavile određene funkcije integracije, koje bi činile opće rješenje neodređenim, sve dok se ne zada područje u kojem se neko strujanje analizira, uvjeti koji vladaju u tom području u početnom trenutku integracije (početni uvjeti), kao i uvjeti koji vladaju na rubu tog područja tijekom vremena integracije (rubni uvjeti). Ako nas zanima samo stacionarno rješenje (rješenje koje se dobije kad iščeznu sve vremenske promjene), početne uvjete nije potrebno zadavati. Tipični rubni uvjeti za brzinu

1) Rubni uvjet na nepropusnoj stijenci. Viskozni fluid se lijepi na stijenku, tako da je brzina fluida na stijenci jednaka brzini stijenke (nema relativne brzine između fluida i stijenke, kao što je to bio slučaj u potencijalnom strujanju). Jasno je da je na mirujućoj stijenci brzina fluida jednaka nuli. 2) Rubni uvjet na granici dvaju fluida. Ako se dva fluida (različitih gustoća i viskoznosti) koja se ne miješaju, gibaju laminarno svaki u svom sloju, pri čemu se slojevi dodiruju, tada se dodirna površina ponaša kao nepropusna stijenka, na kojoj nema relativne brzine između dva sloja. Po principu akcije i reakcije slojevi djeluju jedan na drugoga istom silom po veličini suprotnom po predznaku, što znači da su površinske sile na dodirnoj granici neprekidne. 3) Rubni uvjet na slobodnoj površini. Slobodna površina je u principu razdjelna površina dvaju fluida, od kojih jedan ima puno manju gustoću i viskoznost od drugoga (primjer strujanje vode u kanalu – gustoća i viskoznost zraka su za tri reda veličine manji od gustoće i viskoznosti vode). U tom se slučaju viskozne sile u fluidu s malom viskoznošću (u spomenutom primjeru u zraku) mogu zanemariti, pa rubni uvjet na slobodnoj površini prelazi u uvjet nultog smičnog naprezanja. U takvoj se situaciji promatra strujanje samo u fluidu veće gustoće ( u spomenutom primjeru u vodi).


ALTERNATIVNI OBLIK ENERGIJSKE JEDNADŽBE Jednadžba kinetičke i unutarnje energije U prethodnom obliku energijske jednadžbe smo vidjeli da pri strujanju fluida u polju potencijalne sile pod ukupnom energijom možemo promatrati zbroj triju oblika energije, što je zgodno u integralnom pristupu rješavanja problema. U diferencijalnom pristupu ćemo uvijek težiti najjednostavnijem obliku energijske jednadžbe. Kao što smo vidjeli iz modela nestlačivog strujanja, polje brzine i tlaka su određeni jednadžbom kontinuiteta i jednadžbom količine gibanja, a kada je poznato polje brzine uvijek možemo odrediti kinetičku energiju fluida, stoga se samo od sebe nameće kao ideja da se iz energijske jednadžbe eliminira kinetičku energiju fluida. To se može učiniti na način da se od energijske jednadžbe oduzme jednadžba kinetičke energije. Kao što je poznato iz mehanike jednadžba kinetičke energije se dobije skalarnim množenjem jednadžbe količine gibanja s brzinom. Primijenjeno na nekonzervativni oblik jednadžbe količine gibanja u diferencijalnom obliku dobije se

2DD 2

DD

jiii i i i i

i j

vt

Σv pv f v v vt x x

ρ ρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∂∂= − +

∂ ∂

Podsjetimo se fizikalnog značenja članova s površinskim silama. Član / ip x∂ ∂ označuje rezultantnu silu tlaka na česticu fluida, a njen skalarni umnožak s vektorom brzine označuje snagu tlačnih sila kojom se mijenja kinetička energija fluida. Ako je polje tlaka konstantno, onda je i rezultantna sila tlaka na česticu fluida jednaka nuli (sjetimo se statike fluida u MFI – sila konstantnog tlaka na zatvorenu površinu jednaka je nuli) pa je doprinos toga člana kinetičkoj energiji fluida jednak nuli. Zadnji član gornje jednadžbe je skalarni umnožak rezultantne viskozne sile na česticu fluida s brzinom čestice, tj. označuje doprinos viskoznih sila promjeni kinetičke energije čestice fluida. Ako se u nekonzervativnom zapisu energijske jednadžbe deriviraju članovi koji označuju površinske sile dobije se

2D

D 2v

jii i i i

i

i iji

c T i j i ij

Σv pf v v v v Tvx

u p Σxt x xx x

ρ ρ λ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂

⎛ ⎞+ = − − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝

∂∂⎝ ⎠

∂

⎠∂

pri čemu su plavom bojom označeni članovi koji se pojavljuju u jednadžbi kinetičke energije. Oduzimanjem jednadžbe kinetičke energije od jednadžbe ukupne energije (energijske jednadžbe) dobije se jednadžba unutarnje energije (članovi označeni crvenom bojom u gornjoj jednadžbi), koja glasi

( )v i iji

i j i i

D c T v v Tp ΣDt x x x x

ρ λ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= − + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠,

koja u konzervativnom obliku (dobije se primjenom pravila B iz prethodnih predavanja) glasi:

( ) ( )

( ) vD d 0d D

j vv i iji

j i j i i

VpV t

v c Tc T v v Tp Σt x x x x x

Φ

ρρλ

≥

∂∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= − − + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠


Iz termodinamike je poznato da je izraz za mehanički rad u ravnotežnom procesu jednak

dp V− , te bi snaga bila d / dp V t− , a volumenska gustoća te snage dd

p VV t

− . U mehanici

fluida se sukladno principu lokalne ravnoteže za termodinamički sustav uzima čestica fluida ( dV V→ ), a vremensku promjenu koja se odnosi na česticu fluida (materijalnu derivaciju) se označuje s D / Dt , pa je jasno da član /i ip v x− ∂ ∂ u jednadžbi unutarnje energije označuje volumensku gustoću snage sile tlaka koja doprinosi promjeni unutarnje energije. Pri ekspanziji se volumen čestice fluida povećava ( d 0V > ), a njena se unutarnja energija smanjuje, što znači da čestica vrši rad prema svojoj okolini. Pri kompresiji je d 0V < (volumen čestice fluida se smanjuje) pa se unutarnja energija čestice fluida povećava, što znači da se čestici dovodi rad iz njene okoline. Iz rečenog je jasno da se putem tlačnih sila mehanička energija može pretvarati u unutarnju i obrnuto. Član vΦ u jednadžbi unutarnje energije označuje volumensku gustoću snage viskoznih sila koja doprinosi promjeni unutarnje energije. Ako se gradijent brzine /i jv x∂ ∂ prikaže zbrojem simetričnog tenzora brzine deformacije jiD i antisimetričnog tenzora vrtložnosti

jiV , uzimajući u obzir da je dvostruki skalarni produkt simetričnog i antisimetričnog tenzora jednak nuli, može se pisati:

v ( )iji ji ji ji ji ji

j

vΣ Σ D V Σ Dx

Φ ∂= = + =

∂

Ako se u gornji izraz za viskozna naprezanja uvrsti Newtonov zakon viskoznosti, gornji izraz za volumensku gustoću snage viskoznih sila, nakon razvoja po nijemim indeksima, prelazi u oblik:

( ) ( ) ( )2 2 2v 11 22 22 33 33 11

23ji jiΣ D D D D D D DΦ μ ⎡ ⎤= = − + − + − +⎣ ⎦

( ) ( )2332211

223

213

2124 DDDDDD V ++++++ μμ

S obzirom da su koeficijenti viskoznosti pozitivne veličine, iz gornjeg je izraza jasno da je snaga viskoznih sila uvijek pozitivna veličina, što fizikalno znači da će se unutarnja energija čestice fluida zbog djelovanja viskoznih sila uvijek povećavati. Ako se gleda ukupna energija izoliranog sustava, onda je jasno da to povećanje može ići jedino na račun mehaničke energije. Viskozna pretvorba mehaničke u unutarnju energiju traje sve dok postoji gradijent brzine. U nestlačivom strujanju je divergencija brzine jednaka nuli, odnosno nema promjene volumena čestice fluida, te nema promjene unutarnje energije čestice fluida putem sile tlaka, pa jednadžba unutarnje energije prelazi u oblik

( ) ( )v

j vv

j i i

v c Tc T Tt x x x

ρρΦ λ

∂∂ ⎛ ⎞∂ ∂= − + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, gdje je

v 2ji ji ji jiΣ D D DΦ μ= = Za slučaj nestlačivog strujanja jedini mehanizam izmjene unutarnje i mehaničke energije je putem viskoznih sila, a ta je izmjena kako je rečeno uvijek jednosmjerna, tj. uslijed viskoznih sila mehanička se energija pretvara u unutarnju, a nikad obrnuto. Takav proces je dakle nepovratan, te će prema drugom zakonu termodinamike izazivati porast entropije. S obzirom da se u nestlačivom strujanju unutarnja energija ne može pretvoriti u


mehaničku, ona nema značenja sa stajališta strujanja. Stoga se u analizi nestlačivog strujanja razmatra samo mehanička energija, a brzina pretvorbe mehaničke energije u unutarnju se naziva gubicima mehaničke energije. Za nestlačivo strujanje temperaturna jednadžbe je:

( ) ( )

vDD

j vvv

j i i

v c Tc TT Tct t x x x

ρρρ Φ λ

∂∂ ⎛ ⎞∂ ∂= + = + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

U mirujućim krutim tijelima, gdje nema deformacije čestica zbog 0iv ≡ , temperaturna jednadžba se svodi na poznatu jednadžbu provođenja topline, koja glasi:

1 1 2 2 3 3i i

T T T T Tct x x x x x x x x

ρ λ λ λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Naravno, u izvodu prethodne jednadžbe nije uzeta u obzir mogućnost postojanja toplinskih izvora raspodijeljenih po volumenu fluida. Za slučaj konstantne toplinske provodnosti, jednadžba se može pisati u obliku

2

i ia

T Tt c x x

λρ

∂ ∂=

∂ ∂ ∂

gdje je a temperaturna provodnost. Za slučaj stacionarnog provođenja topline dobije se polje temperature koje je opisano Laplaceovom jednadžbom.

2 2 2 2

2 2 21 2 3

0i i

T T T Tx x x x x∂ ∂ ∂ ∂

= + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.


PRIMJER 1: U prostoru između dvije horizontalne ravne ploče, udaljene za h, nalazi se fluid konstantne gustoće ρ i konstantne dinamičke viskoznosti μ . Donja ploča miruje, a gornja se giba konstantnom brzinom u (Couetteovo strujanje). Uz pretpostavku ravninskog, stacionarnog, laminarnog strujanja s izobraženim profilom brzine i uz zanemarenje masenih sila odredite:

a) profil brzine u strujanju u zavisnosti od uzdužnog gradijenta tlaka 1d / dp x , b) smično naprezanje na ploči (silu potrebnu za vuču ploče jedinične duljine i širine), c) protok kroz presjek jedinične širine okomito na ravninu slike i srednju brzinu, d) vezu između pada tlaka na duljini L i srednje brzine pri u=0 (Poiseuilleovo strujanje).

Uradak: a) Prvo rezimirajmo uvjete iz zadatka u kojem je rečeno da je strujanje

1) ravninsko, što znači da se slika strujanja ponavlja u ravninama paralelnim s ravninom slike, a za izabrani koordinatni sustav 1 20x x , prema slici to su ravnine 3 konst.=x , što znači da nema

promjena veličina u smjeru osi 3x , tj. 3

0∂≡

∂x, a nema ni strujanja u smjeru osi 3x , pa je 3 0≡v ,

2) stacionarno, što znači da slika strujanja nije funkcija vremena, pa vrijedi 0∂≡

∂t,

3) izobraženim profilom brzine: što znači da se profil brzine više ne mijenja u smjeru strujanja

1

0∂≡

∂iv

x. Ovdje se pretpostavlja da su ploče dovoljno duge da se profil brzine formirao (izobrazio).

Naime na ulazu u prostor između ploča profil brzine je neizobražen i mijenja se, a nakon neke duljine će se izobraziti.

Problem laminarnog nestlačivog strujanja opisuje se jednadžbom kontinuiteta i jednadžbom količine gibanja.

- Jednadžba kontinuiteta glasi

0∂

=∂

j

j

vx

ili u razvijenom obliku

=0, zbog 3) =0, zbog 1)

1 2 3

1 2 3

0∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂v v vx x x

Prvi član je jednak nuli zbog izobraženog profila brzine, a treći je jednak nuli zbog ravninskog strujanja, te

slijedi 2

2

0∂=

∂vx

, što znači da komponenta 2v brzine nije funkcija koordinate 2x , zbog izobraženog profila

nije funkcija od 1x , zbog ravninskog strujanja nije funkcija 3x , a zbog stacionarnog strujanja niti vremena

t , pa ostaje da je 2v konstanta

2 konst.= =v C

1x

2x konst.=u ?=F

A

h ρ =konst.

μ =konst.


Vrijednost konstante C se određuje iz rubnih uvjeta. U viskoznom strujanju se fluid lijepi na ploču, pa je brzina fluida neposredno uz ploču jednaka brzini ploče. Donja ploča ( 2 0=x ) miruje pa je za 2 0=x i

2 0=v , što znači da je 0=C , odnosno 2 0≡v .

S obzirom da su komponente brzine 2v i 3v , jednake nuli ostaje samo komponenta 1v , koja nije funkcija 1x

zbog izobraženog profila, nije funkcija t zbog stacionarnog strujanja, a nije funkcija od 3x zbog ravninskog

strujanja, pa može biti samo funkcija od 2x ( ( )1 1 2v v x= ), stoga parcijalna derivacija 1v po koordinati 2x ,

postaje potpuna derivacija 1 2d / dv x . Jednadžba količine gibanja zapisana u indeksnoj notaciji glasi:

zanemaruje se2

=0, zbog 2)

ρ ρ μ ρ∂ ∂ ∂ ∂+ = − + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂i i i

j ij i j j

v v p vv ft x x x x

Prvi član lijeve strane otpada zbog stacionarnosti problema, a masene sile se prema uvjetima zadatka, zanemaruju. Razvojem preostalih članova u gornjoj jednadžbi po nijemom indeksu j slijedi:

2 2 2

1 2 3 2 2 21 2 3 1 2 30

=0, zbog 3) =0, zbog 3)=0, zbog 1) =0, zbog 1)

ρ ρ ρ μ=

⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + = − + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

i i i i i i

i

v v v p v v vv v vx x x x x x x

Nelinearni članovi na lijevoj strani gornje jednadžbe su jednaki nuli, a od viskoznih sila ostaje samo član s derivacijom komponente brzine 1v . S obzirom da je to vektorska jednadžba može se prikazati u obliku tri

skalarne jednadžbe za 1,2,3=i , te vrijedi

1=i 2

12

1 2

μ∂ ∂=

∂ ∂p vx x

2=i 2

0∂=

∂px

3=i 3

0∂=

∂px

Iz druge i treće jednadžbe je očito da tlak nije funkcija od 2x i 3x , a zbog stacionarnosti strujanja nije

funkcija vremena t , te se zaključuje da tlak p može biti samo funkcija od 1x ; 1( )=p p x . Iz prve jednadžbe

( ) ( )1 2

21

21 2

dd konst.d df x f x

vpx x

μ= =

je jasno da je lijeva strana funkcije od 1x , a desna od 2x , te može postojati jednakost samo ako su obje

strane konstante. Integriranjem gornje jednadžbe uvrštavajući da je 1

d konst.d

px= nakon prve integracije

slijedi:

12 1

2 1

d 1 dd d

v p x Cx xμ

= ⋅ + ,

a nakon druge integracije dobije se:

21 2 1 2 2

1

1 d2 d

pv x C x Cxμ

= ⋅ + +

Vrijednosti konstanti integracije 1C i 2C se određuju se iz sljedećih rubnih uvjeta (uvjet lijepljenja fluida na donjoj i gornjoj ploči):


2 0=x 1 0=v

2 =x h 1 =v u

Uvrštavanjem prvog rubnog uvjeta u izraz za brzinu 1v daje 2 0=C , a uvrštavanjem drugog rubnog uvjeta dobije se

21

1

1 d2 dμ

= ⋅ +pu h C hx

odakle je 11

1 d2 d

u pC hh xμ

= −

Uvrštavanjem vrijednosti konstanti 1C i 2C u polazni izraz za brzinu 1v dobije se konačni izraz za brzinu u Couetteovom strujanju, koji glasi

( ) 22 2 21 2

1

1 d 12 d

x p x xv x u hh x h hμ

⎡ ⎤= + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Dijeljenjem gornjeg izraza s u i uvođenjem bezdimenzijskih varijabli

0 1=vvu

; 2

1

d2 dh pP

u xμ⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

; 02 =x yh

izraz za profil brzine prelazi u bezdimenzijski oblik ( )0 0 0 01= + −v y Py y

gdje je 0v bezdimenzijska brzina, 0y bezdimenzijska udaljenost od donje stjenke, a P bezdimenzijski gradijent tlaka. Bezdimenzijski gradijent tlaka je definiran s negativnim predznakom tako da vrijedi

za 0>P → 1

0∂<

∂px

, tlak pada u smjeru strujanja,

za 0<P → 0∂>

∂px

, tlak raste u smjeru strujanja, i

za 0=P → 0∂=

∂px

, tlak je konstantan.

Sljedeća slika prikazuje profile brzine za različite vrijednosti parametra P.

Za slučaj 0=P dobije se linearni profil brzine 0 0=v y ili 21 =

xv uh

.

Za slučaj 1=P vrijedi ( )20 0 02= −v y y (parabola s nultočkama u 0 0=y i 0 2=y , odnosno tjemenom

u 0 1=y ). Za 1P > maksimalna brzina je veća od brzine gibanja ploče. Za slučaj 1= −P , gradijent tlaka je pozitivan, tj. sila tlaka je suprotstavljena strujanju. U tom slučaju

vrijedi ( )20 0v y= , tj. profil je opisan parabolom s tjemenom u 0 0=y . Za slučaj 1< −P u jednom dijelu

presjeka, strujanje je u suprotnom smjeru od gibanja ploče. b) Smično naprezanje u pravcu osi 1x na površinu s vanjskom normalom u pravcu osi 2x je općenito definirano izrazom:


0

1 221

2 1

τ μ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟= +⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟

⎝ ⎠

v vx x

, a u ovom slučaju 121

2

vx

τ μ ∂=

∂

Primjenom pravila o deriviranju složenih funkcija slijedi

0 0

21 02

τ μ ∂ ∂= ⋅

∂ ∂v yuy x

, a nakon što se uvrsti derivacija bezdimenzijske brzine dobije se:

( )021 1 1 2τ μ ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

u P yh

Smično naprezanje na gornjoj ploči 0( 1)=y je:

[ ]021 11τ μ

== −

y

u Ph

Slika prikazuje definiciju pozitivnog smjera smičnog naprezanja na ploči i fluidu. Na ploči vektor normale gleda u negativnom smjeru osi 2x pa pozitivno smično naprezanje 21τ gleda u negativnom smjeru osi 1x .

Ako se makne ploča s fluida, tada vanjska normala na fluid gleda u pozitivnom smjeru osi 2x , pa prema

dogovoru pozitivno naprezanje 21τ gleda u pozitivnom smjeru osi 1x .

Da bi se uravnotežilo pozitivno smično naprezanje na ploči (ploča se giba konstantnom brzinom što znači da je suma sila na ploču jednaka nuli) potrebno je na nju djelovati vanjskom silom 21d

A

F Aτ= ∫ u pozitivnom

smjeru osi 1x . U ovom slučaju je smično naprezanje konstantno po površini ploče, pa vrijedi 21F Aτ= .

Za 1P = , je 0 221 2110x hy

τ τ === = jer profil brzine ima tjeme na 0 1y = (na gornjoj ploči je 1

2

0dvdx

= )

što znači da između ploče i fluida nema sile (ploča slobodno pluta na površini gibajućeg fluida). Za 1P < smično naprezanje je pozitivno, što znači da na ploču treba djelovati silom u desno (treba ju vući) silom

21F Aτ= ( A je površina ploče), a za 1P > smično naprezanje je negativno, što znači da ploču treba kočiti (djelovati silom suprotnom od smjera gibanja). To je fizikalno jasno i iz samih profila brzine. c) Izraz za protok Q kroz presjek okomit na ploče i jedinične širine okomito na ravninu slike je definiran izrazom

1 20

d 1h

Q v x= ⋅∫ ili u bezdimenzijskom obliku uz 01v uv= i 0

2x hy= 1

0 0

0

dQ uh v y= ∫

Integriranjem izraza za brzinu ( )0 0 0 01= + −v y Py y , dobije se

PLOČA

1x

2x

jn

21 0τ >

FLUID

1x

2x jn

21 0τ >


( ) ( ) ( ) ( )

12 2 30 0 0

0

1 32 2 3 2 6 6

y y y P uhQ uh P uh P⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟= + − = + = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

Očito je za 3P = − protok jednak nuli, što je jasno i iz profila brzine, jer fluid uz gornju ploču struji u desno, a uz donju u lijevo. Srednja brzina je definirana izrazom

( )sr 31 6

Q uv Ph

= = +⋅

Za 0P = profil brzine je linearan pa je sr 2uv = .

d) Za poseban slučaj 0=u , dobije se strujanje između dvije mirujuće ravne ploče, koje se u literaturi naziva

Poiseulleovo strujanje, a izraz za brzinu ( ) 22 2 21 2

1

1 d 12 d

x p x xv x u hh x h hμ

⎡ ⎤= + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦ prelazi u

2 2 21

1

1 d 12 d

p x xv hx h hμ

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

iz kojeg je jasno da će do strujanja doći samo ako postoji gradijent tlaka. Profil brzine je paraboličan (parabola ima nultočke u 2 0x = i 2x h= , odnosno tjeme u 2 / 2x h= ) s maksimalnom brzinom u sredini razmaka, kao na sljedećoj slici

Maksimalna brzina je u simetrali kanala 2 2⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

hx i iznosi

2

max 1 21

d2 8 dh h pv v x

xμ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Iz izraza za brzinu je jasno da će strujanje biti u smjeru 1x+ , ako je gradijent tlaka negativan, tj. tlak mora opadati u smjeru strujanja. Fizikalno je to jasno jer smično naprezanje na pločama ima tendenciju kočenja fluida, pa sila tlaka mora djelovati u smjeru strujanja, da bi uravnotežila silu trenja. Protok Q između ploča je definiran integralom

( )2 31 2 2 2 2

1 10 0

1 d 1 d12 d 12 d

h hp pQ v dx x x h dx hx xμ μ

= ⋅ = − = −∫ ∫

-srednja brzina je

2

max1

d 21 12 d 3sr

Q h pv vh xμ

= = − =⋅

i iznosi max23

v .


Budući da je 1

d konst.d

px= vrijedi 2 1

1

dd

p p px L

−= , gdje je 2 1p p− promjena tlaka između dva presjeka

udaljena za L , pri čemu je presjek 2 u smjeru strujanja u odnosu na presjek 1. Ako se to uvrsti u izraz za srednju brzinu slijedi formula za pad tlaka na duljini L u Poiseuilleovom strujanju između dvije ravne ploče

1 2 2

12sr

Lp p vhμ

− = .


PRIMJER 2: Odredite profil temperature u Couetteovom strujanju iz prethodnog zadatka, pri 1d / d 0p x = ,

ako je 0T temperatura ploče koja miruje, a WT temperatura ploče koja se giba. Pretpostavite da su toplinska

provodnost λ i specifični toplinski kapacitet c fluida, konstantni. Uradak:

Osnovne jednadžbe koje opisuju problem su jednadžba kontinuiteta

0=∂

∂

j

j

xv

,

jednadžba količine gibanja tj. Navier-Stokesova jednadžba, koja uz konst.μ = glasi

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂

∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

j

j

jij

ij

i

xv

xxp

xvv

tv μρρ ,

te energijska jednadžba, koja izražena s pomoću unutarnje energije, za nestlačivo strujanje glasi

vjj j j

u u Tvt x x x

ρ ρ Φ λ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂

+ = + ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

,

gdje je 2 ij ijD DΦ μ= brzina pretvorbe mehaničke energije u unutrašnju energiju. Uz cTu = jednadžba za unutrašnju energiju prelazi u oblik:

vjj j j

T T Tc cvt x x x

ρ ρ Φ λ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂

+ = + ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

S obzirom da ρ i μ nisu funkcije temperature, prve dvije jednadžbe se mogu riješiti neovisno od energijske jednadžbe, odnosno možemo iskoristiti dobiveni rezultat iz prethodnog primjera. Za nulti gradijent tlaka profil brzine je bio linearan

21 xhuv = , uz 02 ≡v i 03 ≡v

Uz pretpostavku stacionarnog strujanja ( 0≡∂∂t

), izobraženog profila temperature 1

0Tx∂

=∂

i ravninskog

strujanja ( 03

≡∂∂x

) energijska jednadžba

2 2 2

1 2 3 v 2 2 21 2 3 1 2 30 0

0 0 0 0

T T T T T T Tc cv cv cvt x x x x x x

ρ ρ ρ ρ Φ λ= =

= = = =

⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + = + + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

prelazi u oblik


2

v 22

0 Tx

Φ λ ∂= +

∂, gdje je

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2v 11 12 13 21 22 23 31 32 332 2ij ijD D D D D D D D D D DΦ μ μ= = + + + + + + + + ,

a komponente tenzora brzine deformacije su

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

=

000

0021

0210

21

333231

232221

131211

hu

hu

DDDDDDDDD

xv

xvD

i

j

j

iij

pa je

2 2 2

v1 12 04 4

u u uh h h

Φ μ μ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = >⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Brzina pretvorbe mehaničke energije u unutrašnju je pozitivna što znači da se mehanička energija smanjuje, a unutrašnja raste. Budući da je profil brzine nepromjenjiv (kinetička energija je konstantna) i tlak je konstantan, onda je i ukupna mehanička energija fluida konstantna. To znači da će se u unutarnju energiju pretvarati sva energija uložena kroz vuču ploče. Sila potrebna za vuču ploče jedinične površine pri

konst.p = je uFh

μ= , snaga za vuču je F uΡ = ⋅ , a ta snaga izražena po jediničnom volumenu je

2

v 1P u

h hΦ μ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

, što je jednako prije dobivenom izrazu.

Budući da je strujanje ravninsko (temperatura nije funkcija od 3x ), izobraženo (temperatura nije funkcija od

1x ), stacionarno (temperatura nije funkcija od t ), pa ostaje da je temperatura funkcija samo od 2x :

)( 2xTT = te se energijska jednadžba može pisati u obliku

2

22

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

hu

dxTd μλ

Nakon prve integracije gornje jednadžbe slijedi

12

2

2

Cxhu

dxdT

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

λμ

,

a nakon druge integracije dobije se

2212

2

2

2CxCx

huT ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

λμ

.

Konstante integracije 1C i 2C određuju se iz sljedećih rubnih uvjeta

za 02 =x (donja ploča): 0TT =

Za hx =2 (gornja ploča): WT T=

Iz prvog rubnog uvjeta očito je 02 TC = , a iz drugog je

hChhuTTw 1

22

0 2+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−

λμ

, odakle je

hhu

hTTC w

20

1 2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=

λμ

Uvrštavanjem izraza za 1C i 2C u polaznu jednadžbu za temperaturu, dobije se konačan izraz za profil temperature u Couetteovom strujanju s linearnim profilom brzine, za slučaj ploča različitih temperatura


2 2

2W 00 2 2 222 2

T T u uT T x hx xh h h

μ μλ λ

− ⎛ ⎞− = + ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

Dijeljenjem gornje jednadžbe s ( )WT T− ona se svodi na bezdimenzijski oblik

( )

20 2 2 2

W 0 W 0

12

T T x u x xT T h T T h h

μλ

− ⎡ ⎤= + −⎢ ⎥− − ⎣ ⎦

Uvođenjem sljedećih oznaka za bezdimenzijske parametre

hxy 20 = i

( )2

W 0

uT Tμ Π

λ=

−, može se pisati

( )0 0 00

W 0

1 12

T T y y yT T

Π−= + −

−

iz čega je jasno da je profil temperature paraboličan. Sljedeća slika prikazuje profile temperature za različite vrijednosti parametra Π

Za 0Π = , profil temperature je linearan. Iz definicije parametra ( )

2

W 0

uT TμΠ

λ=

− je jasno da to

odgovara slučaju 0u = , odnosno mirujućem fluidu, ili 0μ = , što odgovara neviskoznom strujanju fluida (u kojem nema pretvorbe mehaničke energije u unutarnju) ili λ →∞ , što odgovara toplinski idealno provodljivom fluidu. Iz termodinamike je također poznato da će profil temperature u stacionarnom provođenju topline kroz homogeni zid biti linearan, dakle mirujući fluid se ponaša kao homogeno tijelo. Iz profila temperature je jasno da toplina prelazi s gornje ploče na fluid, i s fluida na donju ploču. Pri viskoznom strujanju fluida, dolazi do pretvorbe mehaničke energije u unutarnju (kao što je gore zaključeno sva snaga uložena za vuču gornje ploče se pretvara u unutarnju energiju), te profil temperature postaje paraboličan. Za 2Π = profil temperature ima tjeme na gornjoj ploči, što znači da je derivacija

profila temperature na gornjoj ploči je jednaka nuli; 22

0x h

Tx

=

∂=

∂, pa nema ni toplinskog toka između fluida

i ploče, te se govori o adijabatskoj granici. Za 2Π < gornja ploča je toplija od fluida pa se toplina dovodi fluidu, a za 2Π > se toplina odvodi od fluida. Dakle za 2Π > toplina se odvodi od fluida i na donjoj i na gornjoj ploči, a to je moguće zbog pretvorbe mehaničke energije u unutarnju, što je izvor za unutarnju energiju fluida, pa temperatura može imati maksimum unutar fluida. Naravno uz zadana fizikalna svojstva fluida visoka vrijednost parametra Π ostvaruju se kod visokih vrijednosti brzine u . Promotrimo stoga jedan primjer s realnim brzinama i to za slučaj da su obje ploče na istoj temperaturi W 0T T= . Tada izraz za profil temperature prelazi u

2

2 20 1

2u x xT T

h hμλ

⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦,

dakle profil je paraboličan, kao na sljedećoj slici.


Maksimalna temperatura je u simetrali kanala, a posljedica je pretvorbe mehaničke energije u unutarnju. Izraz za maksimalnu razliku temperatura je

2

2 02 8h uT T x T μΔ

λ⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Uzmimo sada primjer strujanja vode. Pri temperaturi vode 293 K, viskoznost i toplinska provodnost su: 310−=μ Pa⋅s, 598,0=λ W/(m⋅K), a promjene temperature pri različitim brzinama su izračunate u

sljedećoj tablici. u TΔ Π za W 0T T− =10 K

m/s K - 3

10 20

0.00063 0.0069 0.0278

0.0015 0.0167 0.0669

Očito je prirast temperature zbog djelovanja viskoznih sila praktički zanemariv što opravdava pretpostavku o izotermičkom nestlačivom strujanju. Kad u fluidu imamo izvana nametnuti toplinski tok, često je vrlo opravdano zanemariti član vΦ u jednadžbi unutarnje energije. U tablici je dana vrijednost parametra Π za

W 0T T− =10 K, iz koje je očito da će pri realnim brzinama strujanja fluida parametar Π biti puno manji od jedan, odnosno da će profil temperature biti približno linearan.


PRIMJER 3: U laminarnom, nestlačivom, stacionarnom, osno-simetričnom strujanju fluida, konstantne viskoznosti, s izobraženim profilom brzine u horizontalnoj cijevi kružnog presjeka (Hagen-Poieseuilleovo strujanje), odredite:

a) profil brzine, b) protok, maksimalnu i srednju brzinu, c) faktor trenja (λ u Darcy-Weissbachovom izrazu) d) tangencijalno naprezanje na stjenci cijevi.

Utjecaj gravitacije zanemarite. Uradak:

Slika prikazuje dio cijevi promjera D, te, s obzirom na geometriju, izabrani cilindrični koordinatni sustav. Pretpostavke:

1) stacionarno strujanje: 0t∂

≡∂

(veličine u strujanju nisu funkcija vremena)

2) osno-simetrično strujanje: 0ϑ∂

≡∂

(slika strujanja se ponavlja u ravninama konst.ϑ = ), a

brzina 0vϑ ≡ .

3) izobraženi profil brzine: 0zvz

∂=

∂, 0rv

z∂

=∂

(komponente brzine se više ne mijenjaju u smjeru

strujanja – u smjeru osi z ) 4) zanemaruju se masene sile: 0f = .

Strujanje je laminarno i nestlačivo, pa je problem opisan jednadžbom kontinuiteta i Navier-Stokesovom jednadžbom. -Jednadžba kontinuiteta u cilindarskim koordinatama glasi (vidjeti npr. tablicu uz vježbe 7):

0 0 zbog 2) 0 zbog 3)

1 1( ) ( ) ( ) 0r zrv v vt r r r zϑρ ρ ρ ρ

ϑ= = =

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂

Strujanje je nestlačivo ( konst.ρ = ) što znači da je prvi član jednak nuli, a cijelu jednadžbu možemo podijeliti s ρ . Treći član je jedak nuli zbog osnosimetričnosti strujanja, a četvrti zbog pretpostavke o izobraženom strujanju, pa ostaje da je

( ) 0rrvr∂

=∂

, odakle je

rCvr

=

2R=D

r

µ=konst.

ρ=konst.

z


Konstanta C integracije, se određuje iz rubnog uvjeta na stijenci cijevi gdje je r R= i 0rv = , pa slijedi

da mora biti 0C = , odnosno 0rv ≡ (brzina rv je jednaka nuli u svim točkama fluida)

- Jednadžba količine gibanja je vektorska jednadžba, a njena r -komponenta je za slučaj konst.μ = (vidjeti npr. formule uz vježbe 7) glasi

0 zbog 2)0 zbog 2)0 zbog 1) 0 zbog 3)0 2

2 2

2 2 2 20

0 zbog 2) 0 zbog 3) 0 zbog 2)

1 1 2( )

r r r rr z

r rr

v v v v v vv vt r r r z

v v v pr vr r r r z r r

ϑ ϑ

ϑ

ρϑ

μϑ ϑ

=== ==

== = =

⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂

+ + − + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤

⎛ ⎞⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥

⎣ ⎦0 zbog 4)

rfρ=

Kao što je naznačeno u jednadžbi svi članovi s brzinom su jednaki nuli , te ostaje

rp∂∂

−=0

što znači da tlak nije funkcija koordinate r , zbog stacionarnosti nije funkcija t , a zbog osnosimetričnosti strujanja nije funkcija niti koordinate ϑ , što znači da je tlak funkcija samo koordinate z , pa parcijalna derivacija tlaka po koordinati z prelazi u potpunu derivaciju. - z -komponenta jednadžbe količine gibanja (Navier-Stokesove jednadžbe), prema formulama danim uz vježbe 7, glasi

=0 zbog 0 =0 zbog 2)=0 zbog 1) =0 zbog 3)

2 2

2 2 2=0 zbog 4)

=0 zbog 2) =0 zbog 3)

1 1( )

rv

z z z zr z

z z zz

v v v v vv vt r r z

v v v pr fr r r r z z

ϑρϑ

μ ρϑ

≡⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂

+ + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥= + + − +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

Svi inercijski članovi (lijeva strana gornje jednadžbe) su jednaki nuli i dva člana viskoznih sila, kao što je naznačeno u jednadžbi, te nakon dijeljenja jednadžbe s μ ostaje

1 d 1 konst.d

zp vrz r r rμ

∂ ∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Kao što je prije zaključeno, lijeva strana jednadžbe može biti samo funkcija koordinate z , a desna samo koordinate r ( zv nije funkcija t zbog stacionarnosti, nije funkcija ϑ zbog osno-simetričnosti strujanja i nije funkcija z zbog izobraženosti profila, pa može biti samo funkcija r ), pa zaključujemo da se jednakost strana može zadovoljiti ako su obje strane konstante. Nakon prve integracije gornje jednadžbe dobije se

21

12

dv dpr r Cdr dzμ

= + ,

a nakon dijeljenja gornje jednadžbe s r

r

Crdzdp

drdvz 1

21

+=μ

i druge integracije dobije se

212 ln

41)( CrCr

dzdprvv zz ++==

μ


Konstante integracije 1C i 2C dobiju se iz sljedećih rubnih uvjeta

1. na stijenci cijevi za r R= , 0zv = (fluid se lijepi na stijenku cijevi

2. u simetrali cijevi za 0r = , 0=∂∂

rvz (zbog osno-simetričnosti strujanja)

Uvrštavajući drugi rubni uvjet u izraz za derivaciju brzine (izraz dobiven nakon prve integracije) slijedi da je

1 0C = . To je jasno da mora biti i iz samog izraza za brzinu, jer kad bi konstanta 1C koja se nalazi uz član

ln r bila različita od nule, u simetrali bi brzina bila beskonačno velika (zbog ln 0 = −∞ ), što je nefizikalno. Uvrštavanjem prvog rubnog uvjeta u izraz za brzinu slijedi izraz za konstantu 2C , koji glasi

22

1 d4 d

pC Rzμ

= −

Uvrštavanjem vrijednosti konstanti 1C i 2C u polazni izraz dobije se konačan izraz za profil brzine u laminarnom strujanju kroz okruglu cijev

2

22

1( ) 14z

dp rv r Rdz Rμ

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Profil brzine je oblika rotacionog paraboloida, a maksimalna brzina je očito u simetrali cijevi ( 0r = ), a izraz za maksimalnu brzinu jednak je koeficijentu ispred zagrade, tj. vrijedi

2 2max

1 d 1 d4 d 16 d

p pv R Dz zμ μ

= − = −

Izraz za profil brzine pomoću maksimalne brzine je:

2

max 21zrv vR

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Protok kroz cijev je dzA

Q v A= ∫ , gdje je A površina kruga (poprečnog presjeka cijevi), a dA

infinitezimalni dio te površine. Budući da je strujanje osno-simetrično za elementarnu površinu se može izabrati kružni vijenac polumjera r širine dr , čija je površina d 2 dA r rπ= , pa izraz za protok glasi

2

2max max2

0 0

2 d 2 1 d2

R R

zrQ v r r v r r R vR

ππ π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫

Srednja brzina strujanja fluid kroz cijev je

maxsr 2 2

Q Q vvA R π

= = =

Uvrštavanjem izraza za maxv dobije se veza između protoka i gradijenta tlaka

2 2 4 41 d d d4 d 2 8 d 128 d

p p pQ R R R Dz z z

π π πμ μ μ

=− =− =−

U laminarnom strujanju je protok fluida razmjeran gradijentu tlaka i četvrtoj potenciji promjera cijevi, a obrnuto je razmjeran viskoznosti fluida (Poiseuilleov zakon). Jasno je da za strujanje u pozitivnom smjeru osi z gradijent tlaka mora biti negativan. S obzirom da je gradijent tlaka konstantan, može se definirati pomoću razlike tlaka u dva presjeka, npr. udaljena za L

2 1ddp p pz L

−=

gdje indeks 1 označuje uzvodni, a indeks 2 nizvodni presjek. Uvrštavanjem toga izraza u izraz za protok dobije se

42 1

128p pQ D

Lπμ

−=−

Ako se gornji izraz usporedi s Darcy-Weissbachovim izrazom za pad tlaka u strujanju kroz cijevi, koji glasi


2sr

1 2 2L vp pD

λ ρ− = ,

slijedi

2

sr 42sr

4128

2

Dv

L Q L vD D

π

μ λ ρπ

=

odakle je faktor trenja za laminarno strujanje u okruglim cijevima

sr

64 64

Re

v D Reλ

ρμ

= =

što je poznata formula korištena u Mehanici fluida I pri hidrauličkom proračunu cjevovoda. Smično naprezanje na stijenci cijevi (normala na površinu je u smjeru r , a smjer površinske sile u smjeru osi z ) je definiran izrazom (vidjeti npr. formule uz vježbe 7)

0

z rrz

v vr z

τ μ

=⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= +⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

nakon deriviranja izraza za brzinu zv dobije se

1 d2 d

zrz

dv p rdr z

τ μ= =

a samo naprezanje na stijenci dobije se za r R=

max1 d2 drz r R

p Rz

τ = = .

Još primjera možete naći u kolegiju Mehanika fluida II.

Documents

9. OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE FLUIDA U … · MEHANIKA FLUIDA K – Što valja zapamtiti 77 9. OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE FLUIDA U DIFERENCIJALNOM OBLIKU Do sada smo osnovne zakone