Astronomija i astrofizika II

POLITROPSKI MODELI I LANE-EMDENOVA

JEDNADŽBA

POLITROPSKI ZVJEZDANI MODELI

- Sustav jednadžbi strukture zvijezde nije moguće analitički riješiti nužne su numeričke metode i modeliranje

Analitički zvjezdani modeli: Lane-Emdenova jednadžba- Analitička rješenja su moguća u popsebnim i vrlo

ograničenim slučajevima

J. Homer Lane 1869.Robert Emden proširio Laneov rad

Mehaničke jednadžbe strukture zvijezde moguće je simultano riješiti bez jednadžbi za izvor i prijenos energije ukoliko postoji jednostavna ovisnost tlaka o gustoći

Mehaničke jednadžbe strukture zvijezde:

Hidrostatska ravnoteža:𝑑𝑃

𝑑𝑟= −𝐺

𝑀𝑟𝜌

𝑟2 = −𝜌𝑔

Jednadžba očuvanja mase:𝑑𝑀𝑟

𝑑𝑟= 4𝜋𝑟2𝜌

Jednadžba izvora energije:𝑑𝐿𝑟

𝑑𝑟= 4𝜋𝑟2𝜌𝜖

Temperaturni gradijent za prijenos energije zračenjem:𝑑𝑇

𝑑𝑟= −

3

4𝑎𝑐

𝜅𝜌

𝑇3

𝐿𝑟

4𝜋𝑟2

Adijabatski temperaturni gradijent:𝑑𝑇

𝑑𝑟= − 1 −

1

𝛾

𝜇𝑚𝐻

𝑘

𝐺𝑀𝑟

𝑟2

- Analitičko rješenje zahtjeva jednostavnu ovisnost:𝑃 = 𝑓 𝜌

- U stvarnosti tlak ne ovisi jednostavno o gustoći tlak ovisi i o temperaturi i o sastavu zvijezde ovisnost je vrlo složena

- Jednadžba stanja plina je složena 𝑃 = 𝑓 𝜌, 𝑇, 𝑋, 𝑌, 𝑍

Pod određenim uvjetima tlak ovisi samo i isključivo o gustoći!

- U adijabatskom plinu tlak eksplicitno ovisi samo o gustoći:

𝑃 = 𝐾𝜌𝛾

POLITROPI su hipotetski zvjezdani modeli u kojima tlak jednostavno ovisi o gustoći

- Relativna jednostavnost politropskih modela omogućuje uvid u zvjezdanu strukturu

LANE – EMDENOVA JEDNADŽBA

Izvod (nije potpun, koraci su preskočeni i izvedeni na nastavi)

Jednadžba hidrostatske ravnoteže:𝑑𝑃

𝑑𝑟= −𝐺 𝑀𝑟𝜌/𝑟2

𝑑

𝑑𝑟

𝑟2

𝜌

𝑑𝑃

𝑑𝑟= −𝐺

𝑑𝑀𝑟

𝑑𝑟

Iskoristimo jednadžbu očuvanja mase:𝑑𝑀𝑟

𝑑𝑟= 4𝜋𝑟2𝜌

kako bi iz gornje jednadžbe eliminirali gradijent mase:1

𝑟2

𝑑

𝑑𝑟

𝑟2

𝜌

𝑑𝑃

𝑑𝑟= −4𝜋𝐺𝜌

Poissonova jednadžba:𝟏

𝒓𝟐

𝒅

𝒅𝒓

𝒓𝟐

𝝆

𝒅𝑷

𝒅𝒓= −𝟒𝝅𝑮𝝆 (𝟏)

Definiramo gravitacijsku potencijalnu energiju po jedinici mase:

𝜱𝒈 ≡𝑼𝒈

𝒎Iz gornje jednadžbe dobijemo sferno simetrični oblik Poissonove jednadžbe:

𝟏

𝒓𝟐

𝒅

𝒅𝒓𝒓𝟐

𝒅𝜱𝒈

𝒅𝒓= 𝟒𝝅𝑮𝝆

Izvod sferno-simetrične Poissonove jednadžbe tijekom nastave.

- Poissonova jednadžba je vrlo česta u fizici: elektromagnetizam električno polje kao negativni gradijent elektrostatskog potencijala (Maxwellove

jednadžbe): 𝐸 = −𝛻𝑈

Pretpostavka jednostavne ovisnosti tlaka o gustoći Politropska jednadžba stanja:

𝑷 𝝆 = 𝑲𝝆𝜸 𝐾, 𝛾 > 0 su konstante

Uvrstimo politropsku jednadžbu stanja u Poissonovujednadžbu (1) (koraci preskočeni):

𝛾𝐾

𝑟2

𝑑

𝑑𝑟𝑟2𝜌𝛾−2

𝑑𝜌

𝑑𝑟= −4𝜋𝐺𝜌

Zamjena:

𝛾 ≡𝑛 + 1

𝑛

n je politropski indeks

𝑛 + 1

𝑛

𝐾

𝑟2

𝑑

𝑑𝑟𝑟2𝜌 1−𝑛 /𝑛

𝑑𝜌

𝑑𝑟= −4𝜋𝐺𝜌

Gornju jednadžbu možemo zapisati u bezdimenzionalnom obliku radi pojednostavljenja:- Gustoću zapišemo bezdimenzionalno preko faktora

skaliranja 𝝆𝒄 i bezdimenzijske funkcije 𝑫𝒏 𝒓 koja

opisuje ovisnost gustoće o udaljenosti r :𝝆 𝒓 = 𝝆𝒄 𝑫𝒏 𝒓 𝒏 𝟎 ≤ 𝑫𝒏 ≤ 𝟏

𝜌𝑐 će predstavljati gustoću u središtu zvijezde u

politropskom modelu

Ubacimo bezdimenzionalni oblik u gornju jednadžbu (izvod na satu) i dobijemo:

𝑛 + 1𝐾𝜌𝑐

1−𝑛 /𝑛

4𝜋𝐺

1

𝑟2

𝑑

𝑑𝑟𝑟2

𝑑𝐷𝑛

𝑑𝑟= −𝐷𝑛

𝑛

- Izraz u uglatim zagradama je konstantan i ima dimenziju kvadrata udaljenosti

Definiramo:

𝜆𝑛 ≡ 𝑛 + 1𝐾𝜌𝑐

1−𝑛 /𝑛

4𝜋𝐺

1/2

Uvedemo bezdimenzijsku nezavisnu varijablu 𝝃 kojom skaliramo i udaljenost r :

𝒓 ≡ 𝝀𝒏𝝃

i ubacimo u gornju jednadžbu (izvod na satu):𝜆𝑛

2

𝑟2

𝑑

𝑑𝑟𝑟2

𝑑𝐷𝑛

𝑑𝑟= −𝐷𝑛

𝑛

Konačno dobijemo:

Lane – Emdenova jednadžba:

𝟏

𝝃𝟐

𝒅

𝒅𝝃𝝃𝟐

𝒅𝑫𝒏

𝒅𝝃= −𝑫𝒏

𝒏

Rješavanjem Lane-Emdenove jednadžbe dobijemo bezdimenzijsku funkciju 𝐷𝑛 𝜉 u ovisnosti o bezdimenzijskoj varijabli 𝜉 koja opisuje udaljenost za određeni politropski

indeks n- Rješenja za 𝐷𝑛 𝜉 vode do profila ovisnosti gustoće o

udaljenosti r 𝝆 = 𝝆𝒏 𝒓- Profil tlaka kao ovisnost tlaka o udaljenosti r dobijemo

iz politropske jednadžbe stanja:

𝑷𝒏 𝒓 = 𝑲𝝆𝒏𝒏+𝟏 /𝒏

- Temperaturni profil možemo dobiti uz pretpostavku idealnog plina i tlaka zračenja za konstantni sastav zvijezde:

𝑃𝑛 𝑟 =𝜌𝑛 𝑟 𝑘𝑇𝑛 𝑟

𝜇𝑚𝐻+

1

3𝑎𝑇𝑛

4 𝑟

RJEŠAVANJE LANE – EMDENOVE JEDNADŽBE

- Potrebno je riješiti diferencijalnu jednadžbu drugog reda diferencijalne jednadžbe je moguće riješiti samo uz zadane rubne uvjete

- Diferencijalna jednadžba drugog reda zahtjeva dvije konstante integracije nužna su dva rubna uvjeta

RUBNI UVJETI:

POVRŠINA ZVIJEZDE:- Na površini pretpostavljamo da su tlak i gustoća jednaka

nuli:𝑃𝑛 𝑟 = 𝑅 → 0 ⇒ 𝜌𝑛 𝑟 = 𝑅 → 0

𝑫𝒏 𝝃𝟏 = 𝟎 𝐧𝐚 𝐩𝐨𝐯𝐫š𝐢𝐧𝐢 𝐨𝐝𝐫𝐞đ𝐞𝐧𝐨𝐣 𝐬 𝝃 = 𝝃𝟏

𝜉1 predstavlja površinu i ujedno je nul-točka rješenja 𝐷𝑛 𝜉

SREDIŠTE ZVIJEZDE:

- Promatramo udaljenost inifinitezimalno blizu središtu zvijezde: 𝒓 = 𝜹

- Masa sadržana u inifinitezimalno malom volumenu radijusa 𝑟 = 𝛿:

𝑀𝑟 =4𝜋

3 𝜌𝛿3

𝜌 je srednja gustoća plina unutar radijusa 𝑟 = 𝛿, odnosno u središtu zvijezde

Uvrstimo u jednadžbu hidrostatske ravnoteže (izvod na satu):

𝑑𝑃

𝑑𝑟= −𝐺

𝑀𝑟𝜌

𝑟2

te dobijemo:𝑑𝑃

𝑑𝑟= −

4𝜋

3𝐺 𝜌2𝛿 → 0 ako 𝛿 → 0

Tlak iznosi:

𝑃 = 𝐾𝜌 𝑛+1 /𝑛

Slijedi:𝑑𝑃

𝑑𝑟= 𝐾

𝑛 + 1

𝑛𝜌1/𝑛

𝑑𝜌

𝑑𝑟→ 0 za 𝛿 → 0

ako 𝑑𝑃

𝑑𝑟→ 0 za 𝛿 → 0 slijedi:

𝒅𝝆

𝒅𝒓→ 𝟎 𝒛𝒂 𝜹 → 𝟎

𝜌 = 𝜌𝑐𝐷𝑛𝑛

𝑑𝜌

𝑑𝑟= 𝜌𝑐𝑛𝐷𝑛

𝑛−1𝑑𝐷𝑛

𝑑𝑟→ 0 za 𝛿 → 0

ako 𝑑𝜌

𝑑𝑟→ 0 za 𝛿 → 0 slijedi:

𝒅𝑫𝒏

𝒅𝒓→ 𝟎 𝐳𝐚 𝜹 → 𝟎

𝑟 ≡ 𝜆𝑛𝜉𝑑𝐷𝑛

𝑑𝑟=

𝑑𝐷𝑛

𝜆𝑛𝑑𝜉→ 0 za 𝛿 → 0

Rubni uvjet u središtu zvijezde:

𝒅𝑫𝒏

𝒅𝝃→ 𝟎 𝐳𝐚 𝜹 → 𝟎

U središtu zvijezde za 𝜉 = 0, 𝜌𝑐 treba predstavljati gustoću u središtu normaliziranje skalirane funkcije gustoće 𝑫𝒏:

𝑫𝒏 𝟎 = 𝟏

Izvod:

𝜌 𝑟 = 0 = 𝜌𝑐

𝜌 𝑟 = 𝜌𝑐 𝐷𝑛 𝑟 𝑛 ⇒ 𝑫𝒏 𝟎 = 𝟏

Ukupna masa zvijezde u politropskom modelu za određeni indeks n može se odrediti ukoliko su definirani rubni uvjeti u središtu i na površini:

𝑀 = 4𝜋 0

𝑅

𝑟2𝜌 𝑟 𝑑𝑟

Polumjer zvijezde r = R 𝑹 = 𝝀𝒏𝝃𝟏

U gornji integral ubacimo bezdimenzijske veličine (izvod izostavljen) i dobijemo:

𝑀 = 4𝜋𝜆𝑛3𝜌𝑐

0

𝜉1

𝜉2𝐷𝑛𝑛𝑑𝜉

Iz Lane-Emdenove jednadžbe dobijemo (izvod izostavljen):

𝜉2𝐷𝑛𝑛 = −

𝑑

𝑑𝜉𝜉2

𝑑𝐷𝑛

𝑑𝜉

Ubacimo taj izraz u integral za masu i integriramo (izvod izostavljen):

𝑀 = −4𝜋𝜆𝑛3𝜌𝑐𝜉1

2𝑑𝐷𝑛

𝑑𝜉 𝜉1

𝑑𝐷𝑛

𝑑𝜉 𝜉1

je derivacija 𝐷𝑛 na površini zvijezde

Lane – Emdenova jednadžba je matematički 'lijepa' ali sadrži mnoga ograničenja:1. Ne uključuje prijenos energije u zvijezdi2. Ne uključuje izvore energije u zvijezdi3. Vrijedi samo za hidrostatsku ravnotežu uz očuvanje

mase4. Vrijedi samo za idealizirane politropske jednadžbe

stanja plina

Lane – Emdenova jednadžba ima samo 3 analitička rješenja i to za indekse n = 0, 1, 5

Rješenje za politropski indeks n = 0

Lane – Emdenova jednadžba:1

𝜉2

𝑑

𝑑𝜉𝜉2

𝑑𝐷𝑛

𝑑𝜉= −𝐷𝑛

𝑛

Uvrstimo indeks n = 0:1

𝜉2

𝑑

𝑑𝜉𝜉2

𝑑𝐷0

𝑑𝜉= −𝐷0

0 = −1

Sredimo i integriramo jednom (izvod izostavljen):

𝑑𝐷0

𝑑𝜉= −

𝜉

3+

𝐶′

𝜉2

Konstantu integriranja C' odredimo iz rubnog uvjeta u središtu zvijezde:

𝑑𝐷0

𝑑𝜉= 0 𝑧𝑎 𝜉 = 0

𝜉2𝑑𝐷0

𝑑𝜉 𝜉=0

= 𝐶′ ⇒ 𝐶′ = 0

Sada imamo:𝑑𝐷0

𝑑𝜉= −

𝜉

3Integriramo i dobijemo (izvod izostavljen):

𝐷0 = −𝜉2

6+ 𝐶′′

Drugu konstantu integracije odredimo iz uvjeta normalizacije u središtu zvijezde:

𝜌 0 = 𝜌𝑐 ⇒ 𝐷0 0 = 1

𝜉 → 0 ⟹ 𝐶′′ = 1

Rješenje za politropski indeks n = 0:

𝑫𝟎 = 𝟏 −𝝃𝟐

𝟔

Na površini 𝜉1 rubni uvjet je 𝜌 𝑟 = 𝑅 = 0 𝐷0 𝜉1 = 0

𝝃𝟏 = 𝟔

Rješenje za politropski indeks n = 1

𝐷1 𝜉 =sin 𝜉

𝜉𝜉1 = 𝜋

Rješenje za politropski indeks n = 5

𝐷5 𝜉 = 1 +𝜉2

3

−1/2

𝜉1 → ∞

- Iako radijus zvijezde teži u beskonačnost, ukupna masa zvijezde je konačna!

- Politropi za 𝑛 ≥ 5 nisu fizikalni jer ukupne mase nisu

konačne

Fizikalno moguća rješenja postoje samo za politropske indekse 𝟎 ≤ 𝒏 ≤ 𝟓

Analitička rješenja Lane-Emdenove jednadžbe za politropske indekse n = 0, 1, 5

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

Analitička rješenja Lane-Emdenove jednadžbe za politropske indekse n = 0, 1, 5

- Sličnost politropske jednadžbe stanja sa jednadžbom stanja adijabatskog plina

- Za idealni monoatomni plina 𝛾 = 5/3

𝛾 ≡𝑛 + 1

𝑛

𝑛 ≡1

𝛾 − 1=

3

2

Adijabatski plin ima politropski indeks n = 1.5

Kompaktne zvijezde velike gustoće (bijeli patuljci) također se mogu opisati politropskim indeksom n = 1.5 (nerelativističke potpuno degenerirane zvijezde)

- Politrop n = 1.5 ne može se riješiti analitički, samo numerički!!

Eddingtonov standardni model

- Zvijezda u radijativnoj ravnoteži opisana je s politropskim indeksom n = 3

- Pretpostavimo politrop u kojem ravnotežu održavaju tlak idealnog plina i tlak zračenja

- Ukupan tlak u nekoj točki unutar zvijezde je:𝑃 = 𝑃𝑔 + 𝑃𝑟𝑎𝑑

Tlak idealnog plina:

𝑃𝑔 =𝜌𝑘𝑇

𝜇𝑚𝐻= 𝛽𝑃

0 ≤ 𝛽 ≤ 1𝛽 predstavlja udio tlaka zračenja u ukupnom tlaku

Doprinos ukupnom tlaku zbog tlaka zračenja:

𝑃𝑟𝑎𝑑 =1

3𝑎𝑇4 = 1 − 𝛽 𝑃

Politropska jednadžba stanja mora biti neovisna o temperaturi i mora ovisiti samo o gustoći eliminirajmo temperaturu T :

𝜌𝑘𝑇

𝜇𝑚𝐻= 𝛽𝑃

𝑇 =𝜇𝑚𝐻𝛽𝑃

𝜌𝑘Uvrstimo temperaturu u tlak zračenja (izvod na satu) i dobijemo konačno:

𝑃 =3 1 − 𝛽

𝑎

𝑘

𝜇𝑚𝐻𝛽

4 1/3

𝜌4/3

- Izraz u uglatim zagradama je konstantan:

𝐾 =3 1 − 𝛽

𝑎

𝑘

𝜇𝑚𝐻𝛽

4 1/3

Konačno dobijemo:

𝑃 = 𝐾𝜌4/3

𝛾 = 4/3 𝑛 =1

𝛾−1 𝒏 = 𝟑

U astrofizici najznačajniji su politropski modeli s indeksima n = 1.5 i n = 3- Ovi modeli nemaju analitička rješenja- Numerička rješenja ovih modela su jednostavna (vidi

zadatak za dodatne bodove)

Rješenja Lane-Emdenove jednadžbe za politropske indekse n = 0, 1, 1.5, 3, 5

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson