2.2 Distribucin Normal

Una variable aleatoria X que toma valores reales, -oo < X < oo, tiene distribucin normal si su funcin de densidad es de la forma:

g x (x) = - = J = e"(x"^2 / 22 - oo < p < -oo, a 2 > O con p = E(X) y a 2 = V ( X ) V2Tca2

En la figura de la derecha se han dibujado algunos miembros de la familia normal. " y _ ,. .

i i Parmetros (media, desv. est) 0.6 i 0,1 (Normalestandar)

i , Q2 PROPIEDADES

0.2

1. La curva que describe la funcin es simtrica alrededor de p, y sus ramas se alejan o se o acercan segn la desviacin estndar que posea la - -4 -3 -2 -i o i 2 3 4 5 x variable aleatoria.

2. p = Md = P50 = Mc Md: Moda,

P50: Percentil 50, Me: Mediana

3. Tiene dos puntos de inflexin que estn en p - a y (i + o

NOTACIN X ~ n ,a2) Esto quiere decir que la variable aleatoria X tiene una distribucin Normal con media (i y varianza a 2

(]>u a2 (X)= Funcin de densidad ( g x (x))

< 1 > a,(X) = Funcin de distribucin ( Fx(x))

4. Si X ~ n (p,, a2) ^ Z - ~ n(0,1) a

Se lee diciendo, Z tiene distribucin normal estndar ( Tpica) con parmetros media cero y varianza uno.

96

5. M x ( t ) = - j J = H dx, haciendo Z = - ^ = > d z = , \ X = az + n V 2r ~ ~ na

M x ( t ) = = f e t ^ ) e - z 2 / 2 d z = ^ L e t ^ e ^ "2t(Jz)/2 dz V27t v2;r

= = e ^ r e-l ( z- t o ) 2-2 t 2J/ 2 dz J" con y = z - ta => dy = dz

6. M'(t) = e^+ < j 2 t 2 / 2 + M'(t = 0) = |! = E(X)

7. M"(t) = \i e ^ 2 * 2 ' 2 + a 2 t ) + a V ^ 2 / 2 => M"(t = 0) = + a 2

V(X) = n2 + a 2 - (i2 = a 2

9. F z ( -z ) = l - F z ( z )

Ejemplo 14

Sea X una variable aleatoria distribuida normalmente con parmetros (i y 2. Encontrar:

a. P(X < (i - a)

b. P(X > (i +2 a)

c. P(n - 3a < X < ii + 3a)

Solucin:

a. P(X < (i - a) => P(X < (i - a) => P(X - | i < ( i - a - ( i ) = > P

P(Z n + 2a) = 1 - P(X < n + 2a) => P(X - < 2a) => P

=> P(X > \i + 2a) = 1 - 0.97725 = 0.02275

a a a

P(Z< 2) = 0.97725

9<

C. P ( n - 3 a < X < j i + 3a) = P G i - 3 a - n < X - j i < j i + 3 a - j O = P( < < ) = a a a

= P(-3 < Z < 3) = P(Z < 3) - P(Z < -3) = 0.99865 - 0.00135 = 0.9973

NOTA 1. Los valores de probabilidad son ledos en una tabla de probabilidad normal estndar.

Ejemplo 15

La estatura de una poblacin es una variable aleatoria normalmente distribuida con media 172.2 cm y desviacin estndar 6.35 cm. Se desea seleccionar una muestra al azar de 200 personas. Cuantas de ellas se espera que midan:

a. Entre 170 y 172 cm b. Ms de 177.8 cm c. Menos de 150 cm d. Al menos 120 cm e. Ms de 200 o menos de 120 cm

Solucin:

a. P(170 < X < 172) = P(X < 172) - P(X < 170) = 0.48803 - 0.36693 = 0.1211

172-172 2 P(X < 172) = P(Z < = -0.0314) = 0.48803 6.35

170-172 2 P(X < 170) = P(Z < = -0.3464) - 0.36693 6.35

b. P(X > 178) = 1 - P(X < 178) = 1 - 0.81859 = 0.18141

178 1111 P(X < 178) = P(Z < = 0.913385 = 0.81859

6.35

150-172 2 c. P(X < 150) = P(Z < = -3.4960) = 0.00029

6.35

d. P(X > 120) = 1 - P(X < 120) = 1

120-172 2 P(X < 120) = P(Z < = -8.2204) = 0.0000 6.35

98

e. P{(X < 145)|J(X > 180)} = 1 -P(145 < X < 180) = 1-0.88877 = 0.11123

P(145 < X < 180) = P(X < 180) - P(X < 145) =

P(Z < 1.228) - P(Z < -4.283) = 0.88877 - 0.0 = 0.88877

La interpretacin de estos resultados se acostumbra a hacer tal como se ha efectuado con una medida de probabilidad, as se tiene:

a. El 12.1% de la poblacin tiene estaturas entre 170 y 172 centmetros. b. La probabilidad de que una persona tenga estatura mayor a 177.8 centmetros es 0.81859. c. El porcentaje de personas con estaturas menores a 150 centmetros tiende a cero. d. Toda la poblacin ohjeto de estudio supera los 120 centmetros de estatura. e. El 11.1% de los elementos de la poblacin tienen estaturas de mximo 145 centmetros, al

menos de 180 centmetros.

2.3 Aproximacin Binomial a la Normal

La distribucin normal es para la distribucin Binomial un lmite al cual tiende cuando n es grande y se va normalizando mas rpidamente cuando P, probabilidad del resultado A, es cercano a 0.5, facilitando enormemente el trabajo del clculo de probabilidades para una variable aleatoria discreta con distribucin Binomial al tomarse como si tal caracterstica fuera continua. Para hacer esta aplicacin es necesario corregir el clculo del resultado probabilstico que se debe hallar por ser precisamente discreta la variable, as tenemos:

Sea X~B(n, P ) => Lim P(X < a) = P(Y < a + 0.5) = P(Z < ( V ' 5 ) " = z) tambin n oo V n p ( 1 ~ p )

Lim P(X > a) = P(Y > a 0.5) = P(Z > ( a " 'S) ~ ^ = z)

=> Lim P(a

X P(X=x) 0 0,08 1 0,26 2 0,35 3 0,23 4 0,08 5 0,01

TOTAL 1,00

a - 0,5 0 B(a,P)

B(a ,P)= j x a - 1 ( l -x)P- 1 dx = r ( q ) r ( P ) r ( a + P)

R 0

100

E(X) = a

a + p V(X) = -

ap (a + P)2(a + P + l)

= ct

00

AYUDA. r ( a ) = xa~lexdx ; r ( 1 / 2 ) = V o

s a es un nmero entero positivo r(g)=(a-l)!;r(a+l)^ar(a);r(a+l/2)=(a-l/2Xa-3/2> a = 0.2 2 + 3 (3 + 2) (3 + 2 + 1) 25x6

b. Calcular la probabilidad de que a lo sumo la mitad de los tramos de la autopista requieren reparacin, en un ao cualquiera.

T 5) 4' i i Siendo g x (x) = x2 (1 - x) = x2(1 - x) = L2x2 (1 - x) ' T(3)r(2) V ' 2!1! V ;

0 < x < l

P(X

forma a la curva as:

a < 1, < 1 la forma es de U (u)

a < 1 , P > 1 la forma es de jota traspuesta

a > 1 , P < 1 la forma es de J (jota)

a > 1 , P > 1 existe un pico en X = (a - 1) / (a + p - 2)= Md

a = la distribucin es simtrica

a = P = 1 corresponde a la distribucin uniforme en el intervalo (0, 1)

a < la distribucin tiene sesgo positivo

a > la distribucin tiene sesgo negativo

NOTA 3. Si X = 1 - X se obtiene la relacin de simetra g(x, a , P) = g(l- x, p, a) y F x (x, a , P) = 1 - F x (1 - x, p, a)

NOTA 4

Fx (x) = | " t a _ 1 (1 - t)p_1 dt 0 < x < 1 es llamada beta incompleta

Ejemplo 18

La competencia en el mercado de una compaa de computadores vara mensualmente de manera aleatoria de acuerdo con una distribucin Beta (a = 10, p= 6)

a. Graficar la funcin de densidad.

b. Encontrar (j. y cr e interpretar.

c. Obtener la probabilidad de que la competencia en el mercado sea:

i. Menor que la media.

ii. Est alejado en una desviacin estndar del valor esperado de X.

iii. Est a dos desviaciones estndar de la media.

102

Calcular

d. P(0.507

2.5 Distribucin Exponencial

Sea un fenmeno aleatorio con las siguientes caractersticas:

1. X es variable aleatoria que seala el tiempo transcurrido entre dos sucesos de la misma naturaleza, indica el tamao de una regin del espacio.

2. gx(*) =

/.c > x x > 0

en otro caso

3. M x ( t ) = f V ^ e - ^ d x ^ r e x ( t ^ d x = X * - ^ = t

DISTRIBUCION EXPONENCIAL x>0

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01 0

20 40 60

X

SO 100

DISTRIBUCION EXPONENCIAL x>20

0.06

0.05

Lambda 17

0.04

0.03

0.02

0.01 0

lili 1

20 40 60 SO 100 120

X

NOTACION. X ~ Ex(k)

Lase la variable aleatoria X tiene distribucin exponencial con parmetro X .

NOTA 1. Si X ~ P(A,), X es el valor esperado en un periodo de tiempo t y es proporcional al intervalo, entonces la variable aleatoria T indica el tiempo desde que empieza el proceso de observacin hasta que ocurre un suceso Poisson. Por lo tanto, P(X = 0) = e Xt = P(T > t), es decir, la probabilidad de que no ocurra un suceso Poisson en el intervalo t es equivalente a la probabilidad de que el tiempo de observacin requerido para que suceda un evento Poisson es mayor que t. Entonces,

P(T < t) = 1 -e~u = FT(t) t > 0 .

Por lo tanto, la primera derivada F'T (t)= gT(t) es la funcin de densidad de T, en la cual se tiene el mismo parmetro X de la distribucin Poisson.

Ejemplo 19

Los clientes de un supermercado llegan en promedio de 1 por minuto. Halle la probabilidad de que transcurran:

a. Por lo menos 3' despus de la llegada del ltimo cliente y el prximo. b. Entre 2 'y 4'. c. A lo ms 2 '. d. Mximo 3', sabiendo que el penltimo y el ltimo llegaron con una diferencia de 2' cono

mnimo. e. Ms de tres minutos, sabiendo que han transcurrido al menos dos minutos.

Solucin: Se definen las variables aleatorias:

105

Y: indica el nmero de personas que llegan al supermercado por minuto. Y~P (X= ]) X: describe el tiempo (en minutos) transcurrido entre la llegada de dos clientes. X~Ex(A.= l)

a. P(X > 3) =1- Fx(3) = e"3 x 1 = n 049 = 0.05

b. P(2 < X < 4) = e"2 - e"4 = 0.117

c. P(X< 2)= l-e"2 = 0.865

d. P(X.3/X>2) = P ^ X ^ = ^ = 0 . 6 3 3 4 v ' P(X>2) 0.135

e. P(X > 3 / X > 2) = P(X > 1) = e"1 =0.368

2.6 Distribucin G a m a

Una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio tiene una distribucin GAMMA si se caracteriza por las siguientes propiedades:

I .gx00 = 1 A 0 a A > 0

r (a ) o enotrocaso

Algunas alternativas de funciones de densidad se pueden ver en la grfica del lado derecho. Siendo los parmetros de forma (a) y escala (A,) respectivamente: a = l , A,=l; a=2, A,=l; a=7, A,= l.

DISTRIBUCION GAMMA

g(x)

0.5

0.4 I 0.3

0.2

0.1

0

A / \ i

K i

I > r v

Fotti a t Escala 1,1

2,1 7,1

12 15 X

En general, la forma de la distribucin es:

-Si a < 1, jota transpuesta. -Si a > 1, tiene un pico en X = (a - 1) / A.=Md

2 . M Y ( t ) = a e t x ' X JU r ( a )

A ra U ^

-,ax e dx = Xa

r ( a )

u=x(- t )

r ( a ) Jo U - t J ~ Ar-t du=dx(A-t)

| x a - l e - x ( . - t ) d x

du

^ f u ^ e - d u = ( ^ - t ) a r ( a ) -0

f y, v x

X-t r ( a ) r ( a ) =

' X

106

=> M'(t=0)= = E(x) a

4. M"(t) = -aAa [(a +1) {X - t)a (-1)] / (X - t)2(a+1) = a(a + \)Xa/(X-t) a ia+2

=> M"( t = 0) = a ( a +1) Xa / Xa+2 = a ( a + 1) / X2

5. V(X) =

NOTACION. X~G(a,X)

La variable aleatoria X tiene distribucin Gamma con parmetros a y X.

NOTA 1. La distribucin Gamma es llamada Distribucin de Erlang con parmetros a, X, siendo a un entero positivo. En ste caso la funcin es tambin conocida como Gamma Incompleta.

NOTA 2. La distribucin Gamma tambin se denomina distribucin PEARSON TIPO III.

NOTA 3. S X ~ G ( l , r ) - > X ~ E x (*-)

NOTA 4. Si X es un entero positivo existe una relacin con la distribucin Poisson, la funcin de distribucin se expresa por

F t (t) = 1 - P(T > t) = 1 - P (menos de X ocurrencias de A suceden en (0, t)

l-P(X

El modelo Gamma se ha utilizado frecuentemente en variables tales como:

- El tiempo ( espacio) requerido para observar a ocurrencias del evento A en el intervalo t ( regin del espacio), sucesos del tipo Poisson.

- Problemas de trfico en lneas telefnicas, ERLANG, 1900. - Flujos mximos, MARKOVIC, 1965. - Resistencia de componentes del concreto reforzado, TICHY VARLIETK, 1965. - Altura de la precipitacin mensual, WHITCOMB, 1940. - Tiempo de falla de un sistema de a componentes, cada uno falla con frecuencia X. - Ingresos familiares. - Edad del hombre al contraer matrimonio por primera vez. - Tiempo total para completar una operacin, s sta se lleva a cabo en a subestaciones a una

frecuencia X.

Ejemplo 20

Suponga que cierta pieza metlica se romper despus de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo:

a. Dentro de una desviacin con respecto del tiempo promedio. b. A ms de dos desviaciones por encima de la media.

Solucin:

X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo ,en horas. Y: Nmero de ciclos /100 horas Y ~ ?{X=2) E(Y) = 2 Y': Nmero de ciclos / hora Y' ~ P(A=0.02) E(Y') = 0.02 = X X ~ G(2, 0.02)

a. P(U-CT

La planta de energa de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora

Cul es la probabilidad de que este abastecimientos sea:

a. Insuficiente en un da cualquiera?. b. Se consuman entre 3 y 8 millones de K. W./Hora? c. Encuentre E(x) y V(x).

Solucin:

a. P(X>10) = 1-P(X=3.46 0.5 0.5^

2.7 Distribucin Weibull

Fue establecida por el fsico suizo Weibull quien demostr que el esfuerzo al que se someten los materiales puede modelarse de manera adecuada mediante el empleo de esta distribucin. Tambin se ha usado para modelar situaciones del tipo tiempo- falla, bien puede indicar la vida til de cierto artculo, planta o animal, confiabilidad de un componente.

Se dice que X es una variable aleatoria con distribucin Weibull s:

1. Su funcin de densidad es de la forma:

> 0 , c x - l e x > 0, a , X : gx(x) = aX~ x a : parmetro de forma X: parmetro de escala Si a < 1 la forma es de jota traspuesta. Si a > 1 la forma incluye un pico nico, la moda, en:

DISTRIBUCION WEIBULL

x = a - 1 orX^

Q 3 < p 53 2 z; , Q 1

o

:: A FORMA Y ESCALA : - / \

. . . . 1 1 - - 0,5 1 2,8 0,8 :

L 5 0,5 :

Si a = 1 => X~ Ex (A) Obsrvense al lado las grficas de algunas de las formas que adquiere la distribucin.

109

2. Fx(x) = l - e ^ x ) a x > O

3. E(X)=A lr V ay

4 v(x)=\ Nr i+-1 v .

. ^ p - r 11+-

a

NOTACION. X ~ W(a, A,)

La variable aleatoria X tiene distribucin Weibull con parmetros a y X.

NOTA 1. Otras presentaciones de la funcin de densidad del modelo Weibull son:

y

gY(y) = a - y a " ' e 9 y > 0 e

a, 0 > 0 Y ~ W (a, 0)

E(Y): 1 A

W n i+--

a J V(Y):

f . \~2/a i i 0 J

1 + H - r 2 [ 1 + i a J l a .

1 - t ; " gT(t) = a t a 4 e{Qj t > 0; a , 0>O T ~ W ( a , 0 )

E(T) .-= r v a y

V(T) = 0/

Solucin:

a E ( X ) = ^ r ( 3 ) = 200 0.01 V '

b. V(X) = 0.01

r ( 1 + 2/0.5) - r 2 (3)J = 200000 = a 2 => a = 447.21

c. P(X > 300) = 1 - P(X < 300) = 1 - 0.5 * 0.01o'5 x"0'5 e"(0 01 x r " =0.177

2.8 Distribucin Logaritmo Normal (Lognormal)

Ocurre en la prctica cada vez que existe una variable aleatoria X tal que su logaritmo natural es una nueva variable aleatoria Y con distribucin normal, entonces X sigue el modelo probabilstico llamado logaritmo normal.

Sea la variable aleatoria X * n (|ix, CTx2) => Y=ln X x>0 =>Y~n (|ix, CTy2) X~Ln ((%, c>Y2)

La funcin de densidad de X se puede obtener teniendo en cuenta:

g x ( x ) = gY(H-1(x))

g x ( x ) : :

d(H (X) dX

(lnx-ny)

Haciendo Y=ln X => H(X)=eY = X H 1 (X)= lnX

Gy-J2 TI 2u y

(lnx-^y)

XCT ,-j2n = e 2aY x > 0

ALGUNAS DISTRIBUCIONES LOGNORMAL

x u, 00

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2 0,1

0

r \ MEE AYDESV. i i i v

-0, 3 * ' \ / i

/

'.46, U./hj 2

i i s

b 12

: i 1 i ^

k - - .... 12 15 18

Se puede demostrar que:

111

U v H

E(X) = e 2 = M x

V(X) = e^Y+CTY = 4

NOTACIN. Sea X ~ Ln (jix, aY2)

Se lee, la variable aleatoria X tiene distribucin logaritmo normal ( lognormal) con parmetros Hx Y y2

NOTA 1. Las aplicaciones de la distribucin logaritmo normal tienen que ver, entre otras con:

- Dimetro de partculas pequeas despus de un proceso de trituracin. - Tamao de un organismo bajo la accin de pequeos impulsos. - Duracin de ciertos artculos. - Ciertas resistencias sometidas a esfuerzos. - Cuando la magnitud de las observaciones abarque varios ordenes de magnitud. - El grado de acidez, PH, de una sustancia. - Distribucin del tamao de las empresas en una industria - Distribucin de la renta en un pas

Ejemplo 23

La ganancia de corriente, X, en ciertos transistores se mide en unidades iguales al logaritmo de la relacin de la corriente de salida con la de entrada (I0 /I =X). Si este logaritmo, Y, es normalmente distribuido con parmetros J.y=2, y aY2= 0.01, calcule:

a. La probabilidad de que la razn de las corrientes de salida y entrada se encuentre entre 6.1 y 8.2. b. Valor esperado y varianza de la razn especificada.

Solucin:

dx =0.8252

Tambin es posible obtener el mismo resultado haciendo

P(6.1 < X < 8.2) = P(ln 6.1 < Y < ln8.2) = F z ^ l n 8 - 2 " 2 1 - F z l n 6 - 2 " 2 ' V 0.1 J 0.1 )

= 0.85113 -0.027613=0.8252

f ln 6.2-2^1

b. E(X)=|^x=7.43, y V(X)= aY2= 0.56 => a x = 74833

112

2.9 Distribucin de Rayleigh

S X es una variable aleatoria con distribucin Weibull de parmetros a = 2; X = l/JlQ entonces X tiene distribucin de RAYLEIGH cuyas caractersticas son:

x "

1. g x ( x ) = ^ e 2 0 2 x > 0 o

n 1 / 2 i 2. E(X)= - 0 nn2 - 0 2 0 X e 2 3. E(X2) = 202 => a

Describe por ejemplo:

-La amplitud de un campo electromagntico difundido por un gran numero de pequeos difusores.

-La amplitud del ruido en un receptor con modulacin de amplitud cuando no hay seal.

NOTACION. X~R(0)

Se lee X tiene distribucin Rayleigh con parmetro 0

Ejemplo 24

La amplitud de una seal de radar retrodifundida desde la superficie del mar sigue la distribucin

R(0=l /V2 ). Encontrar el valor de la amplitud mnima x0 y que ocurre el 1% de las veces.

P(X > x0) = 0.01 => P(X

NOTACIN. X ~ C (a, p)

Se lee: La variable aleatoria X tiene distribucin de Cauchy con parmetros a, p.

- Algunas formas de la distribucin Cauchy aparecen en la figura anterior, con parmetros (a, P)=(-3, 1), (a, P)=(0, 1.5), (a, p)=(3, 1).

- Aunque es simtrica alrededor de a (Moda y Mediana a la vez), su valor esperado no existe, as como algunos momentos de orden alto.

La funcin de distribucin se denota por Fx (x) = + are tan g 2 7T

S X ~ U(-7I, n) => X ~ C ( a = 0 , p = l )

f \ x - a

2.11 Distribuciones Truncadas

En algunas ocasiones las variables aleatorias, asociadas a los modelos probabilsticos que se han estudiado, toman valores que corresponden a una parte de los que usualmente se trabajan, bien se delimitan a la izquierda a la derecha de los acostumbrados, y entonces se conocen dichas variables como variables aleatorias truncadas y a sus distribuciones como truncadas.

Sea una variable aleatoria X con funcin de densidad g x (x) xe, entonces:

Si X es truncada a la izquierda la identificamos como Y, tal que

gY(y) = i ^ a: punto donde se da la truncacin de X Y [k g x (x ) y > a

k: constante que debe hallarse a partir de j gx (x) dx 1 a

P(Y > a) = P(X >a) = 1 - P(X

Si X es truncada a la derecha la identificamos como Y, tal que

q y > b D: P u n t o donde se da la truncacin e A gv(y) =

k 8x ( x ) y ^ k: constante que debe hallarse a partir de [ gx[X) dx\

NOTA 1. Si X es una variable aleatoria discreta, el valor de k se determina con base en:

X P(X = x) = 1. Vx

Ejemplo 25

Suponga que X representa la duracin de un componente y se distribuye normalmente con parmetros valor esperado y varianza iguales a 4. Se entiende que la variable no toma valores menores de cero, por lo tanto Y tendr distribucin truncada a la izquierda. Para encontrar la densidad de Y se tiene: 00 00

| gx(x)dx=\=j kgx{x)dx=kF(X>Q)=l{\ /1A x)]=(l-^Z O 0.977

gv(y) :

Ejemplo 26

Un sistema esta formado por n componentes que funcionan independientemente, cada uno con igual probabilidad P de funcionar correctamente. Cada vez que el sistema funciona mal se inspecciona a fin de establecer cuantos y cuales son los componentes que fallan.

Si se define la variable aleatoria X como el nmero de componentes que no funcionan de los n, entonces X se distribuye probabilsticamente segn el modelo Binomial con parmetros n y (1 - P=Q). Teniendo en cuenta que el sistema se inspecciona cuando funciona mal entonces se define la variable Y como el nmero de los componentes que fallaron en el ^ stema descompuesto, la funcin de probabilidad de Y, equivale a la de X pero truncada en cero, se encuentra:

O y < 0 FY(y) = kf x (x ) 0 < y < n

115

Para determinar k se hace

I P(Y = y) = l = k y = l

X P(X = x ) - P ( X = 0) x=0 1 P11

3. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Un test de eleccin mltiple de cuatro respuestas, una de las cuales es buena, tiene 50 preguntas. Suponiendo que un estudiante conteste sin pensar y responda todas las preguntas.

a. Cul es la probabilidad de que conteste 30 o ms preguntas buenas? b. Conteste las necesarias para pasar el examen? c. S el instructor decide que no considerar ninguna calificacin como aprobado, al menos

que la probabilidad de alcanzar o sobrepasar dicha calificacin contestando sin pensar sea menor que 0.01. Cul es esa calificacin?

2. Un interruptor elctrico tiene vida til segn la distribucin exponencial, dura en promedio 2 aos. Cul es la probabilidad de que fallen al menos 30 en el primer ao, si se instalan en diferentes sistemas: a. 50 interruptores, b. 100 interruptores, c. 150 interruptores.

3. Si el 0.8% de los fusibles depositados en un lote estn defectuosos.

a. Cul es la probabilidad de que 4 fusibles estn defectuosos en una muestra aleatoria de 400. b. Encuentre la mediana de la variable aleatoria. c. Cul es la funcin generadora de momentos, el valor esperado y la varianza de sta

distribucin.

4. El conmutador de una oficina recibe un promedio de 0.6 llamadas por minuto. Determine la probabilidad de que:

a. En un minuto cualquiera ocurra al menos una llamada b. En un intervalo de 15 minutos sucedan al menos 3 llamadas. c. Se observen entre 6 y 10 llamadas por hora.

5. En la antigedad, al perforar cada uno de los 80 caracteres de una tarjeta de un computador se poda cometer un error con probabilidad P, calcular la probabilidad de que al perforar todos los caracteres.

a. La tarjeta quede mal perforada. b. La tarjeta quede bien perforada. c. Se cometan entre 5 y 9 errores en 25 perforaciones realizadas. d. Ocurra el primer error en la perforacin 12.

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6. La tasa de mortalidad para cierta enfermedad es 18 por 1.000.

a. Cul es la probabilidad de que 5 mueran de esta enfermedad de un grupo de 500? b. Encontrar el valor esperado y la varianza de la variable. c. Encuentre la probabilidad de que mueran 10 de un grupo de 1.000. d. Encuentre el nmero de muertes que pueden ocurrir como mximo en el 95% de los casos.

7. Un fabricante de bombillas elctricas ha encontrado que en promedio, un 2% son deectuosas.

a. Cul es la probabilidad de que en 1000 bombillas seleccionadas al azar se encuentren 15 o ms defectuosas?

b. Cul es la probabilidad de que se encuentren entre 15 y 25 deectuosas'/ c. Cul es la desviacin estndar y el coeficiente de variacin?

8. General Equipement Manufacturing asume que una de sus laminadoras estn produciendo lminas de aluminio de varios gruesos. La mquina por lo general produce lminas de entre 75 y 150 milmetros de grueso. Se sabe que esta variable aleatoria tiene una distribucin uniforme. Las lminas de menos de 100 milmetros de grueso no son aceptables para los compradores y se desperdician.

a. Encuentre el grosor promedio de las lminas de aluminio que produce esta mquina. b. Cul es la variacin estndar en el grosor de las lminas que produce esta mquina? c. Averige la probabilidad de que una lmina producida por esta mquina tenga que

desperdiciarse.

9. El operario de una estacin de bombeo ha observado que la demanda de agua durante las primeras horas de la tarde tiene aproximadamente una distribucin exponencial con una media de 100 pies cbicos por segundo (pcs).

a. Calcule la probabilidad de que la demanda exceda los 200 pcs durante las primeras horas dla tarde para un da seleccionado al azar.

b. Cul tendra que ser la capacidad de bombeo de la estacin durante las primeras horas de la tarde a fin de que la demanda sea mayor a la capacidad de bombeo con una probabilidad de solamente 0.01?

10. Los tiempos de respuesta en una terminal en lnea para cierta computadora, tienen aproximadamente una distribucin gamma, con una media de 4 segundos, y varianza de 8

a. Obtenga la funcin de densidad de probabilidad para los tiempos de respuesta. b. Utilice el teorema de Tchebycheff para obtener un intervalo que contiene por lo menos 75% de

los tiempos de respuesta. c. Repita b. Usando la distribucin Gamma.

11. Un distribuidor mayorista de gasolina dispone de tanques de almacenamiento que contiene una cantidad fija de gasolina y que se llenan cada lunes. La proporcin de esta reserva que se vende durante la semana es de sumo inters para el distribuidor, mediante observaciones durante muchas

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semanas encontr que podra representar el modelo de esta proporcin mediante una distribucin beta con a=4 y p=2.

a. Encuentre la probabilidad de que el mayorista venda al menos 90% de su reserva durante una semana dada.

b. Determine la media, la mediana, la moda y la varianza de la variable aleatoria. c. Debe garantizar su abastecimiento en el momento de tener no menos del 5% de su reserva,

Con que probabilidad pondr en peligro su negocio?

12. Se supone que el 30% de los aspirantes para cierto trabajo industrial tienen un entrenamiento avanzado en programacin computacional. Los aspirantes son entrevistados uno tras otro, y son seleccionados al azar del conjunto de aspirantes.

a. Determine la probabilidad de que se encuentre el primer aspirante con un entrenamiento avanzado en programacin en la quinta entrevista.

b. Cul es el nmero esperado de aspirantes que hay que entrevistar para encontrar el primero con un entrenamiento avanzado?

c. S se toma una muestra aleatoria de 20 aspirantes, cul es la probabilidad de que al menos 12 no tengan entrenamiento avanzado en programacin computacional?.

13. El 10% de las mquinas producidas en una lnea de montaje resultan defectuosas.

a. Cul es la probabilidad de encontrar la primera mquina defectuosa en la segunda prueba, si se seleccionan las mquinas aleatoriamente, una por una para probarlas?

b. Cul es la probabilidad de encontrar la tercera mquina en buen estado en: i. La quinta prueba? ii. La quinta prueba o antes?

c. Obtenga la varianza y la media del nmero de pruebas en la cual se encuentra: i. La primera mquina en buenas condiciones. ii. La tercera en buen estado.

14. Las resistencias que se utilizan en la construccin del sistema gua de un avin, tienen una duracin que sigue una distribucin Weibull con a=2 y A=0.1, medidos en miles de horas.

a. Encontrar la probabilidad de que una resistencia de este tipo seleccionada aleatoriamente tenga una duracin mayor que 5000 horas.

b. Determine las duraciones entre las cuales esta el 90% de resistencias, con la restriccin de que sean no mayores al 3% de las duraciones ms altas.

c. S tres resistencias de este tipo operan independientemente, calcular la probabilidad de que exactamente una de las tres se queme antes de 5000 horas de uso.

15. Un dispositivo electrnico de conmutacin ocasionalmente funciona mal con probabilidad 0.05 y puede ser necesario reemplazarlo. Se elabora un plan de chequeo que consiste en: Seleccionar 10 perodos de tiempo de longitud T aleatoriamente.

Reemplazar el dispositivo si se observan exactamente 3 periodos en los cuales falla.

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